Ecuaciones semilineales

Vista previa del material en texto

�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page ii — #2 �
�
�
�
�
�
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page ii — #2 �
�
�
�
�
�
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page ii — #2 �
�
�
�
�
�
Ecuaciones semilineales
con espectro discreto
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page ii — #2 �
�
�
�
�
�
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page ii — #2 �
�
�
�
�
�
José F. Caicedo 
Alfonso Castro
Ecuaciones semilineales
con espectro discreto
Bogotá, D. C., Colombia, agosto de 2012
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
 
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page ii — #2 �
�
�
�
�
�
 © Universidad Nacional de Colombia
 Facultad de Ciencias 
 Departamento de Matemáticas
 © José F. Caicedo 
 Universidad Nacional de Colombia 
 Departamento de Matemáticas, sede Bogotá 
 Alfonso Castro 
 Harvey Mudd College
 Department of Mathematics 
 Claremont, CA, EUA
ilustración portada 
y contraportada 
Profesor Gustavo Rubiano
Departamento de Matemáticas 
isbn 978-958-761-242-4 
Mathematics Subject Classification (MSC2010): 35-XX
Primera edición, 2012 
preparación editorial e impresión:
Editorial Universidad Nacional de Colombia
www.editorial.unal.edu.co
direditorial@unal.edu.co
Bogotá, Colombia
 
Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio 
sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales
Impreso y hecho en Bogotá, D. C. Colombia
Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia
 
 Caicedo Contreras, José Francisco, 1939-
 Ecuaciones semilineales con espectro discreto / José F. Caicedo, Alfonso Castro. –
 Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias, 2012
 xiv, 178 p. 
 Incluye referencias bibliográficas
 
 ISBN : 978-958-761-242-4
 1. Ecuaciones diferenciales parciales 2. Ecuaciones diferenciales semilineales 3.
 Teoría espectral (Matemáticas) 4. Análisis funcional II. Castro Buitrago, Alfonso, 
 1950- II. Tít. 
 
 CDD-21 515.353 / 2012
 
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page ii — #2 �
�
�
�
�
�
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page v — #5 �
�
�
�
�
�
Contenido
Prólogo ix
1 Conservación de energía 1
1.1 El método de Cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Soluciones positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Soluciones Oscilatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Plano de fase, energía, valor intermedio 11
2.1 Principio de Contracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Alternativa de Fredholm, caso semilineal . . . . . . . . . . 13
2.4 Plano de fase, ecuación superlineal . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Valor intermedio generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . 19
vvii
Xi
Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia
 
 Caicedo Contreras, José Francisco, 1939-
 Ecuaciones semilineales con espectro discreto / José F. Caicedo, Alfonso Castro. –
 Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias, 2012
 xiv, 178 p. 
 Incluye referencias bibliográficas
 
 ISBN : 978-958-761-242-4
 1. Ecuaciones diferenciales parciales 2. Ecuaciones diferenciales semilineales 3.
 Teoría espectral (Matemáticas) 4. Análisis funcional II. Castro Buitrago, Alfonso, 
 1950- II. Tít. 
 
 CDD-21 515.353 / 2012
 
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page ii — #2 �
�
�
�
�
�
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page vi — #6 �
�
�
�
�
�
vi CONTENIDO
2.6 Sistemas con acoplamiento débil . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 El método de líneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Problemas radialmente simétricos 25
3.1 Identidad de Pohozaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Caso radialmente simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Energía y plano de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Métodos de Orden 31
4.1 Principio del máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Supersoluciones y subsoluciones . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Grado, género, teoría L-S 37
5.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Grado de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 Aplicaciones de Teoría de grado . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4 Grado de Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Aplicaciones del grado de L-S . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.6 La noción de género . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.7 Teorema de Liusternick-Schnirelman . . . . . . . . . . . . 78
5.8 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Bifurcación 85
6.1 Ejemplos y contraejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
viii
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page ii — #2 �
�
�
�
�
�
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page vii — #7 �
�
�
�
�
�
CONTENIDO vii
6.2 Teoremas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7 El método de Lyapunov-Schmidt 97
7.1 Introdución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 Resultados Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3 Ejemplos de problemas variacionales . . . . . . . . . . . . 102
7.4 Lemas de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.5 El espectro del operador de Laplace . . . . . . . . . . . . . 117
7.6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.7 Otros problemas variacionales . . . . . . . . . . . . . . . 132
8 Otros principios variacionales 135
8.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.2 Resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.3 La noción de seudogradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.4 El lema de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.6 Principios de minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.7 Aplicaciones de los principios de minimax . . . . . . . . . 148
8.8 La variedad de Nehari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A Funciones de Green 163
Bibliografía 167
iX
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page ii — #2 �
�
�
�
�
�
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page ii — #2 �
�
�
�
�
�
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page ix — #9 �
�
�
�
�
�
Prólogo
Este libro está diseñado como un primer curso sobre ecuaciones di-
ferenciales semilineales para estudiantes con conocimientos básicos de
álgebra lineal, análisis matemático y ecuaciones diferenciales. El estu-
dio del primer capítulo solamente requiere de conocimientos básicos de
ecuaciones diferenciales elementales. Para el segundo capítulo se necesita
manejo de las coordendas polares y el teorema del valor intermedio. Lo
anterior, más conocimiento de ecuaciones diferenciales ordinarias singu-
lares facilitan el estudio del capítulo 3. En el capítulo métodos de orden,
se usa a menudo el papel de las segundas derivadas parciales por su im-
portancia para determinar mínimos o máximos locales. El estudio de los
capítulos 5 a 8 requiere de cierta familiaridad con conceptos básicos del
análisis funcional tales como la integral de Lebesgue, espacios de Hilbert
y espacios Lp.
Por ecuación semilineal entendemos una ecuación de la forma
L(u) +N(u) = 0, (1)
donde L es un operador lineal y N es un operador no lineal de caracte-
rísticas tales como dependencia en menos derivadas que L. Prototipo de
estos problemas es la ecuación
∆u+ g(x, u) = 0,x ∈ Ω; u(x) = 0, x ∈ ∂Ω, (2)
donde ∆ denota el operador de Laplace y Ω, una región en Rn. Para
regiones acotadas, el operador de Laplace, sujeto a las condiciones de
ixXi
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page ii — #2 �
�
�
�
�
�
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page x — #10 �
�
�
�
�
�
x CAPÍTULO 0. PRÓLOGO
frontera en (2), tiene espectro discreto; es decir, sus valores propios for-
man una sucesión sin punto de acumulación en la recta real. En efecto,
ellos son una suceción decreciente, convergente a −∞ y todos tienen mul-
tiplicidad finita. Para ver cuan abierta está esta area del conocimiento,
notamos que el operador de D’Alembert �u ≡ ∂2u
∂t2
− ∂2u
∂x2
sujeto a las
condiciones u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t) = u(x, t + 2π) también tie-
ne espectro discreto ({k2 − j2; k = 1, 2, . . . , j = 0, 1, . . .}), pero el valor
propio 0 tiene multiplicidad infinita. Esto es causa de que muchas de las
propiedades de solubilidad de (2) no se puedan llevar a
�u+ g(t, x, u) = 0, u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t) = u(x, t+ 2π). (3)
Complicaciones mayores surgen en el anterior problema cuando se
pide que en las soluciones el período en la variable t sea múltiplo irra-
cional de 2π, es decir, 2τπ con τ irracional, (ver [15]). En esos casos, 0
no es valor propio y el espectro puede tener puntos de acumulación (ver
[54]). En general podemos decir que la solubilidad de (1) está determi-
nada por la interacción de la derivada de N con el espectro de L. Un
punto de partida para este análisis son las notas 8.4 y 8.5 Allí se ve que
si el rango de la derivada de N no intersecta el espectro de −L entonces
(1) tiene una única solución. El teorema 7.5, debido a A. Ambrosetti y
G. Prodi, demuestra que cuando el rango de N ′ intersecta el espectro de
−L, bien puede ser que la ecuación (1) no tenga solución o tenga más de
una solución. En el caso del teorema 7.5 puede decirse que el rango del
operador L+N es como el de una función cuadrática, una parábola. A
medida que el rango de N ′ incluye más valores propios la ecuación (1)
puede tener más soluciones. Esto se pone de manifiesto en los teoremas
1.2 y 7.5.
Queremos hacer énfasis en que los últimos dos capítulos están inti-
mamente ligados. Son muchas las oportunidades que aparecen al mezclar
las técnicas de reducción del capítulo 7 con los principios de minimax
del capítulo 8 (ver [27] y [24]). Los teoremas 8.2 y 8.3 merecen espe-
cial atención pues dan existencia de puntos críticos en la ausencia de
simetrías.
No hemos pretendido hacer un tratado exhaustivo del progreso en
análisis funcional no lineal sino dar conocimientos suficientes que moti-
ven el estudio de problemas de actualidad. En los últimos capítulos se
presentan problemas y bibliografía para iniciarse en la investigación de
la solubilidad de problemas no lineales.
Xii prólogo
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page ii — #2 �
�
�
�
�
�
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page xi — #11 �
�
�
�
�
�
xi
Los autores agradecen a la Universidad Nacional de Colombia, sede
Bogotá, y a Harvey Mudd College, y a sus departamentos de matemá-
ticas, por su hospitalidad; sin esta, culminar el presente libro hubiera
tomado muchos años más.
Claremont, California, mayo de 2012
Xiiiprólogo
�
�
“Semilineales_v4” — 2012/6/20 — 7:51 — page ii — #2 �
�
�
�
�
�
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 1 — #13 i
i
i
i
i
i
CAPÍTULO 1
Conservación de energía
1.1 El método de Cuadratura
Comenzamos explicando cómo obtener información acerca de solu-
ciones de ecuaciones de la forma:
u′′(t) + f(λ, u(t)) = 0, t ∈ [0, π], (1.1)
u(0) = u(π) = 0 (1.2)
λ ∈ R, usando “cuadratura”. Por cuadratura entenderemos el análisis de
(1.1) a través de observar que si (1.1) se multiplica por u′(t), entonces
esta ecuación queda reducida a una ecuación cuadrática de primer orden.
En efecto, multiplicando (1.1) por u′(t) tenemos que
1
2
(
(u′(t))2
)′
+ (F (λ, u(t))′ = 0, (1.3)
1
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 2 — #14 i
i
i
i
i
i
2 CAPÍTULO 1. CONSERVACIÓN DE ENERGÍA
donde F (λ, x) =
∫ x
0 f(λ, s) ds. Es decir,
(u′)2 + 2F (λ, u) = C, (1.4)
donde C es independiente de t. La ecuación (1.4) es, en efecto, una forma
de conservación de energía.
Si la ecuación (1.1), sujeta a condiciones iniciales, tiene unicidad de
soluciones (por ejemplo, cuando f es localmente Lipschitziana en la se-
gunda variable), vemos que las soluciones de (1.1) son simétricas con
respecto a sus puntos críticos. Es decir:
Lema 1.1. Si u es solución de (1.1) en [a, τ ] y u′(τ) = 0, entonces
u(t) = u(2τ−t) es solución de (1.1) en [τ, 2τ−a]. Si además (1.1) sujeta
a condiciones iniciales tiene solución única, entonces u(τ + t) = u(τ − t)
para todo t ∈ [0,mı́n{τ, π − τ}].
Demostración. Sean v(t) = u(t+τ), y w(t) = u(τ−t). Fácilmente vemos
que v, w son soluciones de (1.1) (nótese que sólo intervienen las derivadas
de orden par y que f no depende de t). Como v(0) = w(0) = u(τ), y
v′(0) = u′(τ) = w′(0) = 0, obtenemos que v, w satisfacen la misma
condición inicial. Luego, por unicidad de soluciones v(t) = u(t + τ) =
w(t) = u(τ − t), prueba el lema. �
El lema anterior implica que aun cuando el problema de valor inicial
no tenga una única solución, si se conoce una solución en un intervalo
[a, b] y u′(a) = u′(b) = 0, entonces simetrizando alrededor de a y de b,
se puede extender la solución de la ecuación diferencial en (1.1) en R.
A continuación usamos las anteriores observaciones para entender la
estructura de las soluciones del problema (1.1)-(1.2) cuando λ > 0 y
f es positiva. También las usamos en el caso en que f es “superlineal”
para cada λ ∈ R para probar que el problema (1.1)-(1.2) tiene infinitas
soluciones (ver teorema 1.2).
1.2 Soluciones positivas
En esta sección consideramos el caso en que el término no lineal es
positivo. Demostramos:
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 3 — #15 i
i
i
i
i
i
1.2. SOLUCIONES POSITIVAS 3
Lema 1.2. Si f(λ, t) ≥ 0 para todo λ > 0 y todo t ∈ R y f es continua,
entonces:
a) Las soluciones de (1.1)-(1.2) o son positivas en (0, π) o son idéntica-
mente nulas.
b) Si u, v son soluciones de (1.1)-(1.2) y u(π2 ) > v(
π
2 ), entonces
u(t) > v(t) para todo t ∈ (0, π).
c) Además si u 6= v, entonces F (λ, u(π2 )) 6= F (λ, v(
π
2 )).
Demostración. Sean G : [0, π]× [0, π]→ R definida por:
G(s, t) =
{
s(π−t)
π , si 0 ≤ s ≤ t,
t(π−s)
π , si t ≤ s ≤ π.
(1.5)
Para la construcción de esta función, ver anexo (Funciones de Green).
Un cálculo elemental demuestra que (1.1)-(1.2) es equivalente a
u(t) =
∫ π
0
G(s, t)f(λ, u(s)) ds, para todo t ∈ [0, π]. (1.6)
Como el integrando en (1.6) es no negativo, vemos que u(t) ≥ 0 para
todo t ∈ [0, π]. Ya que para cada t ∈ [0, π] G(., t) es positiva en (0, π),
obtenemos que si u(τ) = 0 para algún τ ∈ [0, π], entonces f(λ, u(s)) = 0
para todo s ∈ (0, π). Luego u(t) = 0 para todo t ∈ (0, π), esto demuestra
a).
Sea τ punto crítico de u. De (1.4) tenemos:
(u′(t))2 = 2F (λ, u(τ))− 2F (λ, u(t)), para todo t ∈ [0, π].
En particular u′(0) = −u′(1) =
√
2F (λ, u(τ)), donde τ es tal que
u(τ) = máx{u(t); t ∈ [0, π]}. Si F (u(τ) = 0, vemos que u′ ≡ 0, luego
u ≡ 0. Pero si F (u(τ)) 6= 0, tenemos que tanto u como v(t) = u(π − t)
satisfacen:
u′(t) =
√
2F (λ, u(τ))− F (λ, u(t)), u(0) = 0 en [0, τ1), (1.7)
v′(t) =
√
2F (λ, v(τ))− F (λ, v(t)), v(0) = 0 en [0, τ2), (1.8)
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 4 — #16 i
i
i
i
i
i
4 CAPÍTULO 1. CONSERVACIÓN DE ENERGÍA
donde τ1 = sup{t; u(t) < u(τ)}, τ2 = ı́nf{t;u(t) ≤ u(τ)}. Ya que el
lado derecho de las ecuaciones (1.7)-(1.8) es el mismo y es localmente
Lipschitziano en [0, u(τ)), por el teorema de unicidad de soluciones para
problemas de valor inicial tenemos:
u(t) = v(t) = u(π − t) en [0, τ1), τ1 = π − τ2.
Ahora si τ2 ≤ τ1, se puede demostrar que u(τ1) = u(τ2) = u(t)
(ejercicio). Luego u(t) = u(π − t) también [τ1, τ2], es decir, tenemos:
Si u satisface (1.1)-(1.2), entonces:
u(
π
2
) = máx{u(t); t ∈ [0,π]} y u(t) = u(π − t). (1.9)
Es decir, u es simétrico con respecto a π2 .
Sean u, v dos soluciones de (1.1)-(1.2) tales que u(π2 ) > v(
π
2 ). De
(1.4) tenemos∫ u(t)
0
du√
F (λ, u(π2 ))− F (λ, u)
= t
√
2 t ∈ [0, τ1], (1.10)
∫ v(t)
0
du√
F (λ, u(π2 ))− F (λ, v)
= t
√
2 t ∈ [0, τ2]. (1.11)
Ya que F es creciente en la segunda variable, de las igualdades (1.10)-
(1.11) obtenemos:
u(t) = v(t) ∀t si y sólo si F
(
λ, u
(π
2
))
= F
(
λ, v
(π
2
))
. (1.12)
Además si F (λ, u(π2 )) > F (λ, v(
π
2 )), entonces u(t) > v(t) para todo
t ∈ (0, π), esto demuestra las partes b) y c). �
Ahora podemos demostrar:
Teorema 1.1. Sean g : R → R continua y positiva y f(λ, u) = λg(u).
Si ĺımu→∞
g(u)
u = ∞, entonces existe λ
∗ > 0 tal que para 0 < λ < λ∗ el
problema (1.1)-(1.2) tiene por lo menos dos soluciones, y para λ = λ∗
por lo menos una solución. Si u, v satisfacen (1.1)-(1.2) y u(π2 ) < v(
π
2 ),
entonces u(t) < v(t) para todo t ∈ (0, π).
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 5 — #17 i
i
i
i
i
i
1.2. SOLUCIONES POSITIVAS 5
Si además g es convexa para λ ∈ (0, λ∗), el problema (1.1)-(1.2) tiene
exactamente dos soluciones y para λ = λ∗ una única solución.
Demostración. Como toda solución de (1.1)-(1.2) es positiva en (0, π)
y posee un único punto crítico en π2 necesariamente una tal solución es
creciente en (0, π2 ). Luego de (1.4) concluimos:
u′ =
√
C − 2λG(u), en [0, π
2
] (1.13)
donde G(u) =
∫ u
0 g(s)ds. Como u
′(π2 ) = 0. Es decir:
u′ =
√
2λ
(
G(ρ)−G(u(t))
)
, t ∈ [0, π
2
] (1.14)
donde ρ = u(π2 ) = max{u(t), t ∈ [0, π]. Luego:∫ u(t)
0
du√
G(ρ)−G(u)
= t
√
2λ. (1.15)
En particular ∫ ρ
0
du√
G(ρ)−G(u)
=
π
2
√
2λ. (1.16)
Recíprocamente, supongamos que la pareja (ρ, λ) satisface (1.16). Sea
H(u(t)) = −t
√
2λ+
∫ u
0
du√
G(ρ)−G(u)
. (1.17)
Como Hu 6= 0 para u > 0, por teorema de la función implícita dedu-
cimos que H(u, t) = 0 define u como función de t con u(0) = 0, u(π2 ) = ρ,
además u es creciente y (1.13) se obtiene. En particular u satisface (1.1),
y u′(π2 ) = 0. Luego u(π) = 0, es decir, u es solución al problema (1.1)-
(1.2). Concluimos que (1.16) es condición necesaria y suficiente para que
(1.1)-(1.2) tenga solución.
Para completar la demostración del teorema 1.1 basta con hallar el
gráfico de la función
λ = 2π−2
(∫ ρ
0
du√
G(ρ)−G(u)
)2
= 2π−2(γ(ρ))2. (1.18)
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 6 — #18 i
i
i
i
i
i
6 CAPÍTULO 1. CONSERVACIÓN DE ENERGÍA
Para esto observamos que
ĺım
ρ→0
∫ ρ
0
du√
G(ρ)−G(u)
= 0 (1.19)
ĺım
ρ→∞
∫ ρ
0
du√
G(ρ)−G(u)
= 0. (1.20)
Las demostraciones de (1.19)-(1.20) se dejarán como ejercicio al lec-
tor. Para demostrar (1.19), usamos que g(0) > 0 y para (1.20) usamos
que:
ĺım
u→∞
g(u)
u
=∞.
De la continuidad de γ (¡demuéstrese!) y de (1.19)-(1.20) se deduce
que si
λ∗ = 2π−2(máx{(σ(ρ)2; ρ ∈ (0,∞)}
entonces (1.1)-(1.2) tiene por lo menos dos soluciones cuando 0 < λ < λ∗,
y por lo menos una solución cuando λ∗ < λ. Demostraremos ahora que
las soluciones positivas de (1.1)-(1.2) están ordenadas. Más exactamente,
“Si u(π2 ) < v(
π
2 ) entonces u(t) < v(t) para todo t ∈ (0, π) ”.
En efecto, de (1.15) tenemos
t
√
2 =
∫ u(t)
0
ds√
G(u(π2 )−G(s)
, para todo t ∈ (0, π
2
). (1.21)
t
√
2 =
∫ v(t)
0
ds√
G(v(π2 )−G(s)
, para todo t ∈ (0, π
2
). (1.22)
Como G(u(π2 ) < G(v(
π
2 ) (¡g es positiva!), vemos que el integran-
do (1.21) es menor, para cada s, que el integrando en (1.22). Luego
u(t) < v(t) para todo t ∈ (0, π).
Supongamos, finalmente, que g es convexa. Si (1.1)-(1.2) tiene tres so-
luciones u, v, w; de la afirmación anterior, podemos suponer que
u < v < w en (0, π). Si z = v − u y σ = w − u, obtenemos
z′′ + λh(t)z = 0, z > 0 en (0, π), z(0) = z(π) = 0
σ′′ + λk(t)σ = 0, σ > 0 en (0, π), σ(0) = σ(π) = 0,
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 7 — #19 i
i
i
i
i
i
1.3. SOLUCIONES OSCILATORIAS 7
donde
h(t) =
g(v(t))− g(u(t))
v(t)− u(t)
y k(t) =
g(w(t))− g(u(t))
w(t)− u(t)
.
Por la convexidad de g obtenemos que h < k en (0, π), contradice el
teorema de comparación de Sturm-Liouville (entre dos ceros de z debe
haber un cero de σ). Esto completa la demostración del teorema 1.1. �
1.3 Soluciones oscilatorias
Consideramos ahora la existencia de soluciones, no necesariamente
positivas, para el problema “superlineal ”
u′′ + f(u) = α t ∈ [0, π],
u(0) = u(π) = 0,
(1.23)
donde α ∈ R, y f : R→ R es continua y satisface
ĺım
|u|→∞
f(u)
u
=∞. (1.24)
Ya que las soluciones de (1.23) son simétricas con respecto de sus
puntos críticos (véase lema 1.1 de sección 1.1), para hallar una solución
de (1.23)-(1.24), en el siguiente teorema demostraremos que (1.23)-(1.24)
tiene infinitas soluciones. Para ello veremos que, para enteros positivos k
suficientemente grandes, la ecuación (1.23) tiene una solución en (0, πk )
la cual tiene exactamente un máximo, y un mínimo y u′(0) = u′(πk ) > 0.
Es decir, una solución de la forma (ver figura 1.1): Luego, extendiendo
u a (0, π), usando
u(x) = u(x− jπ
k
); si x ∈ [jπ
k
,
(j + 1)π)
k
] (∗),
tenemos así una solución que tiene exactamente k máximos y k míni-
mos; esto demuestra que (1.23) tiene infinitas soluciones. Sean F (u) =∫ u
0 f(s)ds, ρ = u(a), q = u(b). Siguiendo el análisis que condujo a (1.7)-
(1.8) vemos que
u′ =
√
2(F (ρ)− αρ− F (u) + αu en [0, a],
u′ =
√
2(F (q)− αq − F (u) + αu en [2a, 2a+ b].
(1.25)
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 8 — #20 i
i
i
i
i
i
8 CAPÍTULO 1. CONSERVACIÓN DE ENERGÍA
a 2a
2a+b
2(a+b)=π/k
ρ
Figura 1.1. Formas de oscilaciones.
Luego:
t
√
2 =
∫ u(t)
0
du√
2F (ρ)− αρ− F (u) + αu
, t ∈ [0, a]. (1.26)
(t− 2a)
√
2 = −
∫ u(t)
0
du√
2F (q)− αq − F (u) + αu
, t ∈ [2a, 2a+ b].
(1.27)
Ya que u es simétrica respecto de a, calculando la derivada de u en
2a, usando (1.25) tenemos:
F (q)− αq = F (ρ)− αρ. (1.28)
Ahora podemos demostrar:
Teorema 1.2. Si f satisface (1.24), entonces para cada α ∈ R existe un
entero positivo K = K(α) tal que para todo k ≥ K, el problema (1.23)
tiene una solución con k máximos locales. En particular, para cada α el
problema (1.23) tiene infinitas soluciones.
Demostración. Dado α ∈ R, definimos H(s) = F (s) − αs. Por (1.23)
vemos que H ′(s) < 0 para s < 0 suficientemente grande y H(s) → ∞
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 9 — #21 i
i
i
i
i
i
1.3. SOLUCIONES OSCILATORIAS 9
cuando s→ −∞. Por consiguiente vemos que existe A ≤ 0 tal que:
H(s) ≤ H(q) si q ≤ A y s ∈ (q, 0). (1.29)
Igualmente vemos que H(s) → ∞ cuando s → ∞ y que H ′ > 0 en
vecindad de +∞. En particular vemos que existe A1, tal que H ′ > 0 en
el intervalo [A1,∞), y
H(s) ≤ H(ρ) si ρ ≥ A1 y s ∈ (0, ρ), y (1.30)
H(s) ≥ H(A). (1.31)
Sea Q la inversa de H restringida a (−∞, A]. Para ρ > A1 definimos
γ(ρ) =
∫ ρ
0
ds√
H(ρ)−H(s)
−
∫ q
0
ds√
H(q)−H(s)
. (1.32)
donde q = Q(H(ρ)). Un cálculo elemental (véase (1.11)-(1.12)) demues-
tra que γ(ρ)→ 0 cuando ρ→∞.
Sea K el menor entero mayor que π/(2−máx{γ(ρ); ρ ≥ A1}). Por
teorema del valor intermedio, para cada k ≥ K, existe ρk tal que
γ(ρk) =
π
2k
. (1.33)
Ahora definimos
a =
∫ ρk
0
ds√
H(ρk)−H(s)
, b =
∫ qk
0
ds√
H(qk)−H(s)
donde qk = Q(H(ρk)). Volviendo a (1.7)-(1.8) observamos que para
t ∈ [0, a] la fórmula: ∫ u
0
ds√
H(ρk)−H(s)
= t
√
2. (1.34)
define a u como función de t. Derivando luego con respecto a t tenemos
u′ =
√
2
√
H(ρk)−H(u(t), (∗∗)
elevando al cuadrado y derivando respecto a t, tenemos que
2u′u′′ = 2(−(f(u(t))− α)u′(t),
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 10 — #22 i
i
i
i
i
i
10 CAPÍTULO 1. CONSERVACIÓN DE ENERGÍA
como u es positiva en (0, a), tenemos que
u′′ + f(u(t)) = α,
vemos que u satisface (1.22) en [0, a]. Usando que u es simétrica con
respecto de a en [0, 2a]. De igual manera vemos que:∫ u(t)
0
ds√
H(ρk)−H(u)
= (t− 2a)
√
2
define una solución de (1.15) en [2a, 2a+b], que u(2a) = 0, u′(2a+b) = 0.
Esto concluye la demostración del teorema 1.2. �
Invitamos al lector a consultar [30], [47]y [55] para mayor información
sobre el métodode cuadratura.
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 11 — #23 i
i
i
i
i
i
CAPÍTULO 2
Plano de fase, energía, valor intermedio
2.1 Principio de contracciones
En esta sección revisamos detalles relativos a dependencia continua
de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias respecto de paráme-
tros que las definen para obtener información sobre problemas de frontera
a partir de problemas de valor inicial. El principio de contracciones y el
teorema de valor intermedio serán las principales herramientas.
Teorema 2.1 (Principio de contracciones). Sean (X, d) espacio métrico
completo y (Y, δ) espacio métrico. Si f : X × Y → X es continua en la
segunda variable y existe λ ∈ [0, 1), tal que:
d(f(x1, y), f(x2, y)) ≤ λd(x1, x2), (2.1)
entonces existe una función continua ϕ : Y → X tal que f(x, y) = x si
y solo si y = ϕ(x).
Demostración. Del hecho que λ ∈ [0, 1), se deduce que para cada y, la
función f(·, y) tiene exactamente un punto fijo x∗. Tal punto fijo se ob-
11
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 12 — #24 i
i
i
i
i
i
12 CAPÍTULO 2. PLANO DE FASE, ENERGÍA, VALOR INTERMEDIO
tiene escogiendo un punto x0 ∈ X arbitrario si definimos:
x1 = f(x0, y), x2 = f(x1, y), . . . , xn+1 = f(xn, y). Logramos que la suce-
sión (xn) es de Cauchy (demuestre esto como ejercicio). Por la completez
de X, se tiene que existe x∗, tal xn converge a x∗. De la continuidad de
f en la primera variable, se sigue que f(x∗, y) = x∗. Luego x∗ = ϕ(y).
Veamos que ϕ es continua. Supongamos que yn converge a y∗, tenemos:
d(ϕ(yn), ϕ(y
∗)) = d
(
f(ϕ(yn), yn), f(ϕ(y
∗), y∗)
)
≤ d
(
f(ϕ(yn), yn), f(ϕ(y
∗), yn)
)
+ d
(
f(ϕ(y∗), yn), f(ϕ(y
∗), y∗)
)
≤ λ
(
d(ϕ(yn), ϕ(y
∗)) + d(f(ϕ(y∗), yn), f(ϕ(y
∗), y∗))
)
.
Luego
d(ϕ(yn), ϕ(y
∗)) ≤ 1
1− λ
d(f(ϕ(y∗), yn), f(ϕ(y
∗), y∗))→ 0 si n→∞,
esto demuestra que ϕ es continua. �
Nota 2.1. Como ejercicio se propone demostrar existencia y dependencia
continua de soluciones de
u′′ +
n
r
u′ + f(u, r) = 0, u′(0) = 0, u(0) = a,
donde f es continua en [0,∞)× [0,∞).
2.2 Variación de parámetros
Es fácil verificar que si λ > 0, entonces la solución a la ecuación
diferencial
u′′ + λu = p(t) t ∈ [0, π]; u(0) = a, u′(0) = b
está dada por:
u(t, a, b, p) = a cos(t
√
λ)+
b sen(t
√
λ)√
λ
+
∫ t
0
sen((t− s)
√
λ)p(s)ds√
λ
. (2.2)
En esta fórmula es fácil verificar que si an → a, bn → b y pn → p en
L1(0, π), entonces u( , an, bn, pn) converge uniformemente a u( , a, b, p)
en [0, π].
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 13 — #25 i
i
i
i
i
i
2.3. ALTERNATIVA DE FREDHOLM, CASO SEMILINEAL 13
2.3 Alternativa de Fredholm, caso semilineal
Consideramos el problema semilineal:
u′′ + g(u) = p(t) (2.3)
u(0) = u(π) = 0. (2.4)
Suponemos que ĺım|u|→∞
g(u)
u = λ ∈ R, λ > 0, que g es localmente
lipschitziana, y que p es continua. Veamos en primer lugar:
Teorema 2.2. Si λ /∈ {n2;n = 1, 2, 3, . . .}, entonces el problema (2.3)
tiene solución.
Demostración. Como g es localmente lipschitziana, el problema (2.3)
sujeto a condición inicial
u(0) = 0, u′(0) = b
tiene una única solución u( , b). Reescribiendo g(u) = λu−h(u), tenemos
que ĺım|u|→∞
h(u)
u = 0. Luego:
u(t, b) =
b sen(t
√
λ)√
λ
+
∫ t
0
sen
(
(t− s)
√
λ)
)
(p(s) + h(u))ds
√
λ
.
En particular si ψ(b) = u(π, b), ψ es continua. Como para cada b,
u(t, b) es continua, existe t0 ∈ [0, π] tal que |u(t0, b)| = máx{|u(t, b)|}.
Luego, para b
|u(t0, b)| ≤ |b|
∣∣∣sen(t√λ)√
λ
∣∣∣+ C1 + C2�|u(t0, b)| y
|u(t0, b)| ≤
1
1− �C2
(
|b|
∣∣∣sen(t√λ)√
λ
∣∣∣+ C1).
Donde � > 0 arbitrario, suficientemente pequeño y C1 cota para p
en [0, π]. Ya que
√
λ no es entero, sin pérdida de generalidad podemos
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 14 — #26 i
i
i
i
i
i
14 CAPÍTULO 2. PLANO DE FASE, ENERGÍA, VALOR INTERMEDIO
suponer que sen(
√
λπ) > 0. Luego, si b→∞
ψ(b) = u(π, b) ≥
b sen
(√
λπ
)
√
λ
− C1 −
∫ π
0
|h(u(s, b)| ds
≥
b sen
(√
λπ
)
√
λ
− C1 − πC2�
( b√
λ
+ C1
1− C2�
)
→∞.
Igualmente se demuestra que ψ(b)→ −∞ si b→ −∞.
Si sen(
√
λπ) < 0 se razona de manera similar con −ψ(b). Luego por la
continuidad de ψ vemos que existe β tal que ψ(β) = u(π, β) = 0, esto
demuestra el teorema. �
Surge la pregunta: ¿Qué pasa si λ = n2?
Procediendo de manera similar vemos que todo se reduce a saber si
0 está en el recorrido de la función:
ψ(b) =
∫ π
0
sen(n(π − s))
(
p(s) + h(u(s, b)
)
ds.
No entraremos en detalles de la desigualdad siguiente: Por ejemplo,
si h es acotada y creciente, vemos que es necesario que:
∫ π
0
h(−∞)(sin(mx))+ − h(+∞)(sin(mx)− ds <
∫ π
0
sin(ns)p(s) ds
<
∫ π
0
h(+∞)(sin(mx)+ − h(−∞)(sin(mx)− ds.
(2.5)
La anterior condición es conocida como condición de Landesman-
Lazer. Se invita al lector a consultar [18] para la demostración de que la
anterior condición también es suficiente.
Estos dos casos λ /∈ {n2, n = 1, 2, 3, · · · } y λ = n2 justifican el título
de esta sección de Alternativa de tipo Fredholm.
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 15 — #27 i
i
i
i
i
i
2.4. PLANO DE FASE, ECUACIÓN SUPERLINEAL 15
2.4 Plano de fase, ecuación superlineal
Consideramos el problema de frontera:
u′′+f(u) = p(t), t ∈ [0, π] (2.6)
u(0) = u(π) = 0, (2.7)
bajo las hipótesis:
ĺım
|u|→∞
f(u)
u
=∞, f, p continuas. (2.8)
Ya hemos visto, usando cuadratura, que si p(t) es función constante,
entonces (2.6) tiene infinitas soluciones. El propósito de esta sección,
además de explicar el método de plano de fase, es mostrar que (2.8) es
suficiente para demostrar que (2.6) tiene infinitas soluciones. En primer
lugar, transformamos la ecuación (2.6) en un sistema de primer orden,
llamando x = u, y = u′ tenemos:
x′ = y, y′ = −f(x) + p(t). (2.9)
Del principio de contracciones (f ∈ C1) se deduce que para cada
a ∈ R, el problema (2.9) tiene una única solución que satisface:
x(0) = 0, y(0) = a. (2.10)
Más aún, denotando tal solución como (x(a, t), y(a, t)) sabemos que
esta función es continua en las dos variables. Tambén si an → a, en-
tonces (x(an, ), y(an, )) converge uniformemente a (x(a, ), y(a, )) en
intervalos compactos.
Lema 2.1. Existe a0 tal que si |a| ≥ a0, entonces x2(a, t) + y2(a, t) 6= 0
para todo t ∈ [0, π]. Más precisamente, Si
E(a, t) =
y′(a, t)2
2
+ F ((x(a, t)) F (t) =
∫ t
0
f(s) ds, (2.11)
entonces
ĺım
|a|→∞
E(a, t) =∞ (2.12)
uniformemente para t en intervalos compactos.
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 16 — #28 i
i
i
i
i
i
16 CAPÍTULO 2. PLANO DE FASE, ENERGÍA, VALOR INTERMEDIO
Demostración. De (2.8) se sigue que F es acotada inferiormente. Sea
M ∈ R, tal que F (t) ≥M para todo t ∈ R. Como
dE
dt
= p(t)u′(t) ≥ −‖p‖∞
(√
2
√
E −M
)
≥ −‖p‖∞
(√
2
√
E +
√
2
√
|M |
)
, o
(E −M)−1/2d(E −M)
dt
≥ −
√
2‖p‖∞
2
√
E(t)−M ≥ 2
√
E(a, 0)−M −
√
2‖p‖∞t. (2.13)
Como E(a, 0) = a
2
2 y E(a) → ∞ cuando |a| → ∞, vemos que
E(a, t)→∞ cuando |a| → ∞ uniformemente para t en intervalos acota-
dos; esto demuestra el lema. �
Por el lema 2.1, existe a0 tal que si |a| ≥ a0, entonces E(a, t) ≥ 1
para todo t ∈ [0, π]. En particular, (u(t), u′(t)) 6= (0, 0). Luego existe una
función θ(a, t) tal que
θ(a, 0) = 0 (2.14)
x(a, t) = r(a, t) sen(θ(a, t)) (2.15)
y(a, t) = cos(θ(a, t). (2.16)
De la definición de r y el Lema 2.1 tenemos:
Corolario 2.1. Para t ∈ [0, π] tenemos
ĺım
|a|→∞
r(a, t) =∞. (2.17)
Lema 2.2.
ĺım
|a|→∞
θ(a, π) =∞.
Demostración. Fácilmente vemos que:
dθ
dt
=
y2 − xy′
x2 + y2
=
y2 − x(p(t)− f(x))
r2
(2.18)
= 1 +
xf(x)− x2 − xp(t)
r2
. (2.19)
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 17 — #29 i
i
i
i
i
i
2.4. PLANO DE FASE, ECUACIÓN SUPERLINEAL 17
Por la hipótesis (2.8), xf(x)−x
2−xp(t)
r2
es acotada inferiormente para
x ∈ R, t ∈ [0, π]. Esto y el corolario 2.1 implican la existencia de a1 tal
que sí |a| ≥ a2, entonces (xf(x)−x
2−xp(t)
r2
> −12 . Luego
dθ
dt
>
1
2
para todo ∈ [0, π]. (2.20)
Sea j ≥ 4|p|∞ + 4 un entero positivo (usamos el teorema del valor inter-
medio). Por (2.20) existe r1(a) ≡ r1 ∈ (0, 2j ) tal que θ(a, r1) =
1
j . Debido
a (2.8) existe k >
√
1 +j2 tal que |f(x)| ≥ j3|x| si |x| > k. Usaremos
θ(t) = θ(a, t). Por el corolario 2.1, existe a(j) tal que si |a| ≥ a/j), enton-
ces r(a, t) > k
√
1 + j2 si |a| ≥ a(j). Para t > r1 tal que θ(t) ≤ π− 1j tene-
mos | tan(θ(t))| ≥ 1j . Luego |y(a, t)| ≤ j|x(a, t)|. Así que, para |a| > a(j)
y t ∈ [0, π] tenemos:
x2 + j2x2 ≥ x2 + y2 ≥ r2. (2.21)
En consecuencia
|x(a, t)| ≥ r(a, t)√
1 + j2
≥ k. (2.22)
Reemplazando en (2.20) tenemos
dθ
dt
≥ xf(x)− x
2
x2 + y2
− ‖p‖∞
r
≥ j
2x2 − x2
x2 + y2
− ‖p‖∞
r
≥ j
3 − 1
1 + j2
− ‖p‖∞
kj
≥ 3j
4
− j
4
≥ j
2
.
(2.23)
Luego existe s1 ∈ (t1, r1+ 2πj ) tal que θ(a, s1) = π−
1
j (usamos el teorema
de valor intermedio). Usando de nuevo (2.20) tenemos que existe
t1 ∈ (s1, s1 + 2j ) tal que θ(a, t1) = π. Además
t1 <
4 + 2π
j
. (2.24)
Repitiendo este argumento, vemos que para i < jπ4+2π ; i entero positivo,
existe ti <
i(4+2π)
j tal que θ(a, ti) =
i
π (por inducción, ver nota siguiente
después del lema). En particular θ(a, π) > mπ , donde m es la parte entera
de jπ4+2π . Esto demuestra el lema.
�
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 18 — #30 i
i
i
i
i
i
18 CAPÍTULO 2. PLANO DE FASE, ENERGÍA, VALOR INTERMEDIO
Nota 2.2. Hacemos la prueba de inducción usada. Como dθdt ≥
1
2 y
dθ
dt ≥
j
2 , entonces al suponer como hipótesis de inducción que si n <
jπ
4+2π ,
existe tn ∈ [0, π] tal que θ(tn) = nπ y que tn < n(4+2πj ), se tiene que si
n+ 1 < jπ4+2π , entonces
θ(tn +
2
j
)− θ(tn) >
2
j
2
=
1
j
,
luego θ(tn+ 2j )− > nπ+
1
j > nπ = θ(tn), entonces por teorema del valor
intermedio, existe rn+1 ∈ (tn, tn + 2j ) tal que θ(rn+1) = nπ +
1
j .
Ahora, θ(rn+1 + 2πj )− θ(rn+1) >
2π
j
2 j = π, entonces
θ(rn+1 +
2π
j
) > nπ +
1
j
+ π = (n+ 1)π +
1
j
> (n+ 1)π − 1
j
> nπ +
1
j
= θ(rn+1).
Nuevamente, por teorema del valor intermedio, existe
sn+1 ∈ (rn+1, rn+1 +
2π
j
tal que θ(sn+1) = (n+ 1)π −
1
j
.
Ahora, θ(sn+1 + 2j )− θ(sn+1) >
2
j
2 =
1
j , entonces
θ(sn+1 +
2
j ) > (n+ 1)π−
1
j +
1
j = (n+ 1)π > (n+ 1)π−
1
j = θ(sn+1). De
nuevo por teorema del valor intermedio, existe tn+1 ∈ (sn+1, sn+1 + 2j )
tal que θ(tn+1) = (n+ 1)π. Ahora,
tn+1 < sn+1 +
2
j
< rn+1 +
2π
j
< tn +
2
j
+
2π
j
+
2
j
= tn +
4 + 2π
j
< n
4 + 2π
j
+
4 + 2π
j
= (n+ 1)
4 + 2π
j
.
Esto completa la prueba por inducción.
Ahora es fácil demostrar
Teorema 2.3. Si f satisface (2.8), entonces el problema (2.6)-(2.7) tiene
infinitas soluciones.
Demostración. Ya que ψ(a) = θ(a, π) es función continua definida en
[a0,∞), por el Teorema del Valor Intermedio existe sucesión {a1, a2, . . .} ⊂
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 19 — #31 i
i
i
i
i
i
2.5. VALOR INTERMEDIO GENERALIZADO 19
[a0,∞), tal que θ(ai, π) = (i + k)π donde k es el mayor entero menor
que θ(a0,π)π . De la definición de θ se deduce que para cada i = 1, 2, . . .,
la función x(ai, .) es una solución de (2.6)-(2.7). Esto demuestra el teo-
rema. �
2.5 Teorema del valor intermedio generalizado
Pieza fundamental en los desarrollos hasta ahora presentados ha sido
el Teorema del valor Intermedio en dimensión uno. Por ello, para poder
extender los anteriores resultados a ecuaciones más complejas, es preciso
extender el teorema del valor intermedio. A continuación presentamos
una tal generalización atribuida a Carlo Miranda.
Teorema 2.4. Sean aj < bj, j = 1, 2, . . . , n números reales y
f : [a1, b1]× · · · × [an, bn]→ Rn continua, de componentes f1, f2, . . . , fn.
Si para cada i = 1, 2, . . . , n se tiene que
fi(x1, . . . , xi−1, ai, xi+1, . . . , xn) ≤ 0 y
fi(x1, . . . , xi−1, bi, xi+1, . . . , xn) ≥ 0
para todo (x1, . . . , x1−1, xi+1, . . . , xn), o,
fi(x1, . . . , xi−1, ai, xi+1, . . . , xn) ≥ 0 y
fi(x1, . . . , xi−1, bi, xi+1, . . . , xn) ≤ 0
para todo (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn), entonces existe
z ∈ [a1, b1]× · · · × [an, bn] tal que f(z) = 0.
Este teorema es equivalente al Teorema del Punto fijo de Brouwer.
El lector familiarizado con la teoría de grado de Brouwer puede darse
cuenta de que, usando la propiedad de Homotopía del grado, el resultado
se deduce fácilmente. Dejaremos su demostración para tal capítulo (ver
teorema 5.21).
La siguiente sección muestra como usar el Teorema del Valor Inter-
medio Generalizado.
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 20 — #32 i
i
i
i
i
i
20 CAPÍTULO 2. PLANO DE FASE, ENERGÍA, VALOR INTERMEDIO
2.6 Sistemas con acoplamiento débil
En esta sección consideraremos el problema de frontera:
u′′i + fi(ui) + gi(t, u1, . . . , un) = 0, t ∈ [0, π] (2.25)
ui(0) = ui(π) = 0, i = 1, 2, . . . , n. (2.26)
Diremos que el sistema (2.25) es débilmente acoplado si las funciones
g1, . . . , gn son acotadas. Supondremos que para i = 1, 2, . . . , n
ĺım
|u|→∞
fi(u)
u
=∞. (2.27)
Es decir, el sistema (2.25) es superlineal. A continuación indicamos
cómo demostrar (véase [28]):
Teorema 2.5. Si f1, . . . , fn satisfacen (2.27), entonces el problema (2.25)
tiene infinitas soluciones. Más precisamente, existen enteros positivos
M1, . . . ,Mn tales que si mi ≥ Mi para i = 1, . . . , n donde los mi son
también enteros, entonces (2.25) tiene una solución (u1, . . . , un) tal que
ui tiene mi ceros en (0, π).
Demostración. Bosquejo de la demostración: imitando la demostración
del Lema 2.1 de la sección anterior, se ve que existen números reales
αi ≥ 0 i = 1, . . . , n tales que |ai| ≥ αi para i = 1, . . . , n, entonces
(ui(a1, . . . , an, t))
2 + (u′i(a1, . . . , an, t))
2 > 0,
para todo t ∈ [0, π]. Más aún,
Ei(a1, . . . , an, t)) =
1
2
((u′i(a1, . . . , an, t))
2 + F (ui(a1, . . . , an, t))→∞,
uniformemente en t ∈ [0, π] cuando ai → ∞, donde Fi(x) =
∫ x
0 fi(s) ds.
De aquí se deduce que si ai ≥ αi i = 1, . . . , n entonces existen funciones
continuas crecientes θi(a1, . . . , an, t) para i = 1, . . . , n tales que:
θi(a1, . . . , an, 0) = 0 y θi(a1, . . . , an, π)→∞ si ai →∞. (2.28)
(véase lema 2.2 de la sección anterior).
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 21 — #33 i
i
i
i
i
i
2.7. EL MÉTODO DE LÍNEAS 21
Además existen números reales positivos w1, . . . , wn tales que
θi(a1, . . . , a−1, αi, ai+1, . . . , an, π) ≤ wi (2.29)
donde ai ≥ αi, i = 1, 2, . . . , n.
Definimos: para todo i = 1, 2, · · · , n
Ωi = min{θi(a1, . . . , an, π); ai ≥ αi, } i = 1, . . . , n}. (2.30)
Sea ahoraMi el mayor entero menor que Ωiπ . Ahora, dadosm1, . . . ,mn
tales que mi > Mi, definimos
zi(a1, . . . , an) = θi(a1, . . . , an, π)−miπ, i = 1, . . . , n.
De (2.28) vemos que existen βi > αi, i = 1, . . . , n tales que si aj ∈
[αj , βj ], entonces:
zi(a1, . . . , ai−1, βj , a1+1, . . . , an) > 0.
Como zi(a1, . . . , ai−1, αi, a1+1, . . . , an) < 0, por el teorema del valor
Intermedio generalizado (2.4), vemos que z = (z1, . . . , zn) tiene un cero.
Es decir, existen a1, . . . , an tales que θi(a1, . . . , an, π) = miπ. En otras
palabras, ui(a1, . . . , an, π) = 0 y ui tiene mi − 1 ceros en (0, π), esto
permite concluir el bosquejo de demostración del teorema 2.5. �
2.7 El método de líneas
En esta sección, a través de un ejemplo, mostramos el papel que
puede jugar el estudio de sistemas “grandes” de ecuaciones diferenciales
parciales. Consideramos una “discretización” de una ecuación de onda
que da sistemas de ecuaciones ordinarias con acoplamiento “lineal”. Esta
sección solo debe tomarse como una “lista de inquietudes”.
Este método de líneas se usa, por ejemplo, para transformar problemas
de valor inicial y de frontera asociados con la ecuación bidimensional de
seno-Gordon en dos variables espaciales en un problema de valor inicial
de segundo orden.
Consideramos el problema de frontera:
utt − uxx + f(u) = p(x, t) x ∈ [0, π], t ∈ [0, T ]
u(x, 0) = u(x, T ) = u(0, t) = u(π, t) = 0.
(2.31)
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 22 — #34 i
i
i
i
i
i
22 CAPÍTULO 2. PLANO DE FASE, ENERGÍA, VALOR INTERMEDIO
Subdividimos el intervalo [0, π] en n+ 1 sub-intervalos iguales, deno-
tando uk(t) = u(kπn , t), para k = 1, . . . , n vemos que la ecuación (2.31)
puede aproximarse por el sistemau′′k(t)− (n+ 1)(uk+1(t)− 2uk(t) + uk−1(t)) + f(uk) = pk(t), (2.32)
donde u0(t) = 0, un+1(t) = 0 (véase (2.31)).
Además, por (2.31) las funciones uk deben satisfacer la siguiente con-
dición:
uk(0) = uk(T ) = 0, k = 1, . . . , n. (2.33)
El lector debe observar la analogía con el sistema (2.25)-(2.26). El
sistema (2.32) no es débilmente acoplado. En efecto, la ecuación (2.32)
es equivalente a u′′ + f(u) + Au = p(x, t), donde A es la matriz de
componentes
aij = 2(n+ 1)
2 si i = j
aij = −(n+ 1)2 si i = j + 1, o i = j = 1
aij = 0 si |i− j| ≥ 2.
En particular A es una matriz simétrica real. Sus valores propios son:
2(n+ 1)2
(
1− cos( jπ
n+ 1
)
)
j = 1, 2, . . . , n.
En el proceso de demostrar que las soluciones de (2.32)-(2.33) con-
ducen a soluciones de (2.31) aparecen los siguientes problemas:
1. (Estimaciones a priori) Dar condiciones sobre f y p para que si
(u1, . . . , un) son soluciones de (2.32) tales que ui(0) = 0,
|u′i(0)| ≤ b, entonces las ui serán acotadas, digamos por B. Aquí
se requiere que B dependa de b pero no de n.
2. (Oscilación) ¿Es posible dar condiciones sobre f y p tales que in-
dependientes de n, existan? α1, α2, . . . , αn tales que si |ai| ≥ αi,
entonces ¿las funciones argumento θi estén definidas y las conclu-
siones del teorema 4 anterior prevalezcan?.
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 23 — #35 i
i
i
i
i
i
2.7. EL MÉTODO DE LÍNEAS 23
Otra alternativa que debe ser considerada es la siguiente: para
j = 1, . . . , n sea
φj = Col
(
sen(
jπ
n+ 1
), . . . , sen(
jkπ
n+ 1
), . . . , sen(
jnπ
n+ 1
)
)
. (2.34)
Como cada φj es un vector propio de A y φj 6= φj cuando i 6= j, ya
que A es matriz simétrica vemos que {φ1, . . . , φn} es base ortogonal de
Rn.
Además:
‖φj‖2 = kn,j(n+ 1) y kn,j = 0(1). (2.35)
Luego si un(t) := u(t) =
∑n
j=1 αj(t)φj , entonces
‖u‖2(t) =
n∑
j=1
α2jkn,j(n+ 1) y
〈Au, u〉 =
n∑
j=1
2(n+ 1)2
(
1− cos( j
n+ 1
)
)
kj,nα
2
j (n+ 1). (2.36)
Reemplazando u en (2.32) tenemos:
α′′j +2(n+1)
2
(
1−cos( j
n+ 1
)
)
αj(t)+
〈ϕj , f̃(u)〉
(kn,jn+ 1)
=
〈ϕj , pn〉
(kn,jn+ 1)
, (2.37)
donde la k−ésima componente de f̃(u) es
f
(
n∑
k=1
αj(t) sen(
jkπ
n+ 1
)
)
. (2.38)
Aquí 〈ϕj , pn〉 > denota el producto interno en L2.
Más explícitamente:
α′′j + σj,nαj +
n∑
k=1
sen( jkπn+1)f̃k(u)
kn,j(n+ 1)
=
〈ϕj , pn〉
kn,j(n+ 1)
≡Wn,j , (2.39)
donde σn,j = 2(n+ 1)2
(
(1− cos( jn+1)
)
.
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 24 — #36 i
i
i
i
i
i
24 CAPÍTULO 2. PLANO DE FASE, ENERGÍA, VALOR INTERMEDIO
Usando la fórmula de variación de parámetros tenemos:
αj(t)
(
(σn,j)
1
2kn,j(n+ 1)
)
= senh((σn,j)
1
2 t)aj
+
∫ t
0
senh
(
(σn,j)
1
2 (t− s)
)
〈ϕj , f̃(u)− pn〉 ds.
Para verificar la efectividad de este método se sugiere tratar de
comprobar que si f y p son funciones acotadas, entonces para cada
n = 1, 2, . . . existen vectores (a1, . . . , aj , . . . , an) tales que αj(π) = 0
para j = 1, . . . , n. Luego, ver que los vectores un definidos por medio de
los αj tienen un límite que satisface la ecuación diferencial parcial (2.31)
y las condiciones de frontera (2.31).
El lector interesado en profundizar sobre el método de líneas puede
consultar [11] y [45] y bibliografía citada en esos artículos.
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 25 — #37 i
i
i
i
i
i
CAPÍTULO 3
Problemas radialmente simétricos
3.1 Identidad de Pohozaev
Los argumentos de esta sección, debidos al matemático ruso Poho-
zaev, han sido activamente estudiados. Supongamos que u satisface:
∆u+ λf(u) = 0 en Ω (3.1)
u = 0 en δΩ, (3.2)
donde Ω es región acotada en RN , ∆ es el Laplaciano y λ ∈ R. Multipli-
cando por u la ecuación (3.1) e integrando por partes obtenemos:
−
∫
Ω
∇u · ∇u+ λ
∫
Ω
uf(u) = 0. (3.3)
Sea F (u) =
∫ u
0 f(s) ds. Multiplicando (3.1) por x · ∇u obtenemos:
0 = (x · ∇u)∆u+ λf(u)(x · ∇u)
=
N∑
i,j
xi
∂u
∂xi
∂2u
∂x2j
+ λx · ∇F (u).
(3.4)
25
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 26 — #38 i
i
i
i
i
i
26 CAPÍTULO 3. PROBLEMAS RADIALMENTE SIMÉTRICOS
De nuevo integrando por partes sobre Ω, y teniendo en cuenta que
u = 0 en ∂Ω, obtenemos:∫
Ω
N∑
i,j=1
xi
∂u
∂xi
∂2u
∂x2j
+ λ
(∫
∂Ω
F (u)(x · η)dσ −
∫
Ω
F (u)∆
(
1
2
|x|2
))
= −λN
∫
Ω
F (u) +
∫
Ω
N∑
i,j=1
xi
∂u
∂xi
∂2u
∂x2j
= 0,
(3.5)
donde η denota la normal exterior unitaria a ∂Ω.
Ahora calculamos la última integral:∫
Ω
(x · ∇u)∆u =
∫
∂Ω
(x · ∇u)(∇u · η)dσ −
∫
Ω
∇(x · ∇u) · ∇u. (3.6)
Definiendo I =
∫
∂Ω(x · ∇u)(∇u · η)dσ, de (3.6) tenemos:∫
Ω
(x · ∇u)∆u = I −
∫
Ω
N∑
i,j=1
(
δij
∂u
∂xi
+ xi
∂2u
∂xi∂xj
)
∂u
∂xj
= I −
∫
Ω
∇u · ∇u−
∫
Ω
N∑
i,j=1
xi
∂2u
∂xi∂xj
∂u
∂xj
= I − λ
∫
Ω
f(u)u−
∫
Ω
x · ∇
(
1
2
‖∇u‖2
)
= I − λ
∫
Ω
f(u)u−
∫
∂Ω
(x · η)
(
1
2
‖∇u‖2
)
+
∫
Ω
div(x)
(
1
2
‖∇u‖2
)
=
1
2
I − λ
∫
Ω
f(u)u+
∫
Ω
div(x)(
1
2
‖∇u‖2)
=
1
2
I − λ
∫
Ω
f(u)u+N
∫
Ω
(
1
2
‖∇u‖2
)
,
donde δij es el delta de Kronecker. Como para cada x ∈ ∂Ω, ∇u(x) y
η(x) son linealmente dependientes por ser ambos perpendiculares a ∂Ω,
obtenemos:
∇u(x) = ±‖∇u(x)‖2
(
x · η
)
. (3.7)
Entonces:
(x · ∇u(x))
(
∇u(x) · η(x)
)
= ‖∇u(x)‖2
(
x · η
)
. (3.8)
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 27 — #39 i
i
i
i
i
i
3.2. CASO RADIALMENTE SIMÉTRICO 27
De la definición de I y de (3.8) tenemos que:
I =
∫
∂Ω
‖∇u(x)‖2(x · η).
Reemplazando en la última relación en (3.6) tenemos:∫
Ω
(x · ∇u)∆ = 1
2
I − λ
∫
Ω
f(u)u+N
∫
Ω
(
1
2
‖∇u‖2
)
=
1
2
I − λ(1− 1
2
N)
∫
Ω
f(u)u,
(3.9)
donde hemos usado (3.3). Sustituyendo (3.9) en (3.5) tenemos:
1
2
I = λ(1− 1
2
N)
∫
Ω
f(u)u+ λ
∫
Ω
F (u) (3.10)
o equivalentemente:
1
2
I = λ
∫
Ω
(
NF (u)− 1
2
(N − 2)f(u)u
)
dx. (3.11)
Fórmulas como la precedente (3.11), se conocen como identidades de
Pohozaev: en particular, implican que si Ω es convexo o, más general-
mente, en forma de estrella
(
(x · η) ≥ 0) y f(u) = u|u|p−1, entonces
(3.1)-(3.2) tienen soluciones no nulas si (s + p) ≥ N+2N−2 . Se sabe que si
p < N+2N−2 , entonces (3.1)-(3.2), tiene infinitas soluciones (véase [65] ).
Versiones generalizadas de (3.11) pueden encontrarse en [61] .
3.2 Caso radialmente simétrico
Suponemos ahora que Ω es la bola unidad en Rn y que u es una
función radial (u(x) = u(y) si ‖x‖ = ‖y‖). Al hacer la sustitución ‖x‖ =
r, la ecuación (3.1) se transforma en:
urr +
N − 1
r
ur + λf(u) = 0. (3.12)
ur(0) = 0. (3.13)
u(0) = a. (3.14)
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 28 — #40 i
i
i
i
i
i
28 CAPÍTULO 3. PROBLEMAS RADIALMENTE SIMÉTRICOS
Multiplicando (3.12) por rnu e integrando por partes en [0, t] tene-
mos:
0 =
∫ t
0
rn
(
uurr + nuur + λf(u)u
)
dr
= tnuur −
∫ t
0
rn(ur)
2dr + λ
∫ t
0
rnuf(u) dr,
(3.15)
donde n = N − 1.
Multiplicando esta ecuación (3.15) por n−12 tenemos:
0 =
n− 1
2
tnuur −
n− 1
2
∫ t
0
rnu2r dr +
λ(n− 1)
2
∫ t
0
rnuf(u) dr.
De manera similar, multiplicando (3.12) por rNur e integrando por
partes en [0, t], obtenemos:
0 =
tNu2r
2
+
n− 1
2
∫ t
0
rnu2r dr + λ
∫ t
0
rNurf(u) dr
o equivalentemente
0 =
tN (ur)
2
2
+
n− 1
2
∫ t
0
rn(ur)
2 dr − λ
∫ t
0
NrnF (u) dr + λtNF (u).
(3.16)
donde F (u) =
∫ u
0 f(s)ds. Combinando (3.15) multiplicada por
n−1
2 y
sumándola a (3.16) obtenemos:
(n− 1)tnuur
2
+
tNu2r
2
+ λtNF (u) + λ
∫ t
0
rn(
n− 1
2
uf(u)−NFu)) dr
Si 0 ≤ r1 < r2 ≤ 1 y H(t) = (n−1)t
nuur
2 +
tNu2r
2 + λt
NF (u), tenemos
0 = H(r2)−H(r1) + λ
∫ r2
r1
rn(
n− 1
2
uf(u)−NFu)) dr. (3.17)
Invitamos al lector a deducir una fórmula del tipo (3.17) cuando f
depende de (r, u). Un caso particular interesante es f(r, u) = p(r) + g(u)
Para más detalles véase [25].
Estas técnicas pueden extenderse a problemas cuasilineales. Estos
son casos en los que el operador lineal (rnur)r es reemplazado por expre-
siones de la forma (rng(ur))r. Tal es el caso, por ejemplo, del operador
p-Laplaciano (ver ecuación (7.104)) o del k-Hessiano (ver [44]).
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 29 — #41 i
i
i
i
i
i
3.3. ENERGÍA Y PLANO DE FASE 29
3.3 Energía y plano de fase
Por analogía con el teorema2.3 es fácil conjeturar que si:
ĺım
|u|→∞
f(u)
u
=∞, (3.18)
entonces la ecuación:
urr +
N
r
ur + f(u) = p(r), r ∈ [0, 1), (3.19)
ur(0) = 0, (3.20)
u(1) = 0, (3.21)
tiene infinitas soluciones. Volviendo a la demostración del teorema 2.3,
se ve que un ingrediente fundamental es demostrar que para cada r la
energía es grande si la energía inicial lo es. Tomando f(u) = u|u|
4
N−2 ,
r1 = 0, r2 = 1 vemos que independientemente del valor inicial que u tome
en 0 la energía en 1 es acotada. En efecto, volviendo a (3.17) vemos que(
urr(1)
)2
+ 2λ|u|
2N
N−2 + (N − 2)u(1)ur(1) = 0. (3.22)
Luego
(ur(1))
2 + 2λ|u|
2N
N−2 ≤ (ur(1))
2
2
+
(N − 2)2
2
(u(1))2, (3.23)
esto implica que (ur(1))2 + (u(1))2 es acotado. Para salvar este escollo,
es preciso analizar cuidadosamente el integrando en (3.17). Resulta que
si queremos que H(r)→∞ cuando |a| → ∞ es preciso imponer a f cier-
tas condiciones. Funciones con crecimiento subcrítico, es decir, funciones
tales como f(u) = u|u|α con α < 4N−2 permiten extender los argumentos
del Capítulo 2. En particular, en este caso, el sistema (3.19)-(3.21) tiene
infinitas soluciones cuando (3.18) se satisface. En [25] y [28] se hallan
estos desarrollos. Para estudios sobre el caso α ≥ 4/(N − 2) referimos al
lector a [2], [44] y [72], entre otros.
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 30 — #42 i
i
i
i
i
i
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 31 — #43 i
i
i
i
i
i
CAPÍTULO 4
Métodos de orden
4.1 Principio del máximo
Importante información acerca de ecuaciones elípticas de segundo or-
den resulta de extensiones del principio del máximo, que en su forma más
común, dice que toda función armónica que no sea constante, definida
en en la adherencia de un abierto conexo, no puede tener máximo ni
mínimo local en su interior.
Aquí, y con el propósito de dar aplicaciones, presentamos, para casos
relativamente simples pero significativos, algunas versiones del principio
del máximo. Referimos al lector, el libro de M. Protter y H. Weinberger
[60] para resultados más generales y demostraciones.
Teorema 4.1 (El principio del máximo). Sea Ω una región en Rn.
Si bj : Ω→ R, j = 1, . . . , n son funciones continuas, u : Ω→R y
−∆u+
n∑
j=1
bj(x)
∂u
∂xj
≥ 0 en Ω,
31
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 32 — #44 i
i
i
i
i
i
32 CAPÍTULO 4. MÉTODOS DE ORDEN
entonces u no tiene mínimos locales en Ω salvo que sea constante.
Corolario 4.1. Sea Ω región acotada en Rn Si f ≥ 0 en Ω, f 6≡ 0,
−∆u = f en Ω y u = 0 en ∂Ω, entonces u > 0 en Ω.
Demostración. Si u(x) ≤ 0 para algún x ∈ Ω, entonces, como u = 0 en
∂Ω, luego existe a ∈ Ω tal que
mı́n{u(x); x ∈ Ω} = u(a).
En particular a es mínimo local, esto contradice el teorema 4.1. �
Teorema 4.2 (Hopf). Sea Ω región acotada en Rn. Si
−∆u+
n∑
j=1
bj(x)
∂u
∂xj
≥ 0, en Ω,
∂Ω es suave y u toma mínimo local en x ∈ ∂Ω, entonces ∂u∂η (x) < 0,
donde ∂∂η denota la derivada normal exterior.
Teorema 4.3. Sea Ω la bola abierta de radio a > 0 en Rn. Si
∆u+ f(u) = 0, en Ω, u ≥ 0 en Ω, u = 0 en ∂Ω,
y f es de clase C1. Entonces u es radialmente simétrica (u(x) = u(y) si
‖x‖ = ‖y‖) y radialmente decreciente (∂u∂r < 0 para 0 < r < a).
Este teorema fue demostrado en [39] para el caso en que u > 0 en Ω,
mientras que el caso u ≥ 0 en Ω fue demostrado en [31]. La demostración
en [39] puso de manifiesto la utilidad del método de planos paralelos. Por
ejemplo, este se usa para establecer la existencia de estimaciones a priori
para soluciones positivas de ecuaciones semilineales elípticas (ver [36] y
[40]).
4.2 Supersoluciones y subsoluciones
Consideremos la ecuación:
−∆u = λf(u(x)) en Ω (4.1)
u = 0 en ∂Ω.
donde Ω es región con frontera ∂Ω suave, λ > 0, λ ∈ R.
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 33 — #45 i
i
i
i
i
i
4.2. SUPERSOLUCIONES Y SUBSOLUCIONES 33
Definición 4.1. Decimos que v (respectivamente w) es una subsolución
de la ecuación (4.1) (respectivamente supersolución) si v ≤ 0 en ∂Ω
(respectivamente w ≥ 0 en ∂Ω ) y −∆v ≤ λf(x, v) (respect. −∆w ≥
λf(x,w)).
Teorema 4.4. Suponemos en la ecuación (4.1) que f es de clase C1 en
Ω. Si la ecuación 4.1 tiene subsolución u y una supersolución u y u ≤ u
en Ω, entonces 4.1 tiene una solución u que satisface u ≤ u ≤ u . Más
aún, u puede obtenerse como:
u = ĺım
n→∞
un donde u1 = u,
−∆un+1 = λf(x, un) en Ω,
un+1 = 0 en ∂Ω.
Demostración. Consideramos el caso en que f es creciente. Se deja como
ejercicio el caso en que f ′ cambia de signo. La existencia de las un se
sigue de cuando el problema de Dirichlet
−∆u = g en Ω, u = 0 en ∂Ω,
tiene una única solución, cuando g : Ω→ R es continua y que la aplica-
ción Φ : C(Ω) → C(Ω), g → u es compacta (ver teorema 8.7) Veamos
que (un) es convergente. Como:
−∆
(
un+1 + un
)
= λ
(
f(x, un)− f(x, un−1)
)
en Ω
un+1 − un = 0 en ∂Ω.
Inductivamente vemos que un+1 ≥ un ≥ · · · ≥ u1 = u. Igualmente
tenemos:
−∆(w − u2) = λ
(
f(x,w)− f(x, u2)
)
≥ 0,
entonces u2 ≤ u . Iterando este argumento, tenemos que u ≤ un ≤ u.
Luego, por el Teorema de Dini ([67]), existe u tal que u = ĺımn→∞ un.
Por la compacidad de (−∆)−1 (ver teorema 8.7) tenemos
u = ĺım
n→∞
un = ĺım
n→∞
(−∆)−1(λf(x, un−1)) = (−∆)−1(λf(x, u)).
Luego
−∆u = λf(x, u) en Ω, u = 0 en ∂Ω.
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 34 — #46 i
i
i
i
i
i
34 CAPÍTULO 4. MÉTODOS DE ORDEN
Otra manera de obtener una solución es definiendo: u1 = ū,
−∆un+1 = λf(x, un).
Esta nueva sucesión (un) es decreciente y converge a una solución U
no necesariamente igual a u. De hecho u es solución de (4.1), entre v y
w. �
A continuación vemos cómo utilizar el método de súper-sub solucio-
nes para demostrar que el problema
∆u+ f(u) = p(x) x ∈ Ω, (4.2)
u = 0 x ∈ ∂Ω, (4.3)
tiene solución cuando f es acotada.
En efecto, tenemos:
Teorema 4.5. Sea p : Ω → R una función continua y acotada. Si
f : R → R es diferenciable y acotada, entonces el problema (4.2)-(4.3)
tiene solución.
Demostración. Sea ϕ : R→ R la solución de:
−∆ϕ = 1 en Ω
ϕ = 0 en ∂Ω.
Por el principio del máximo sabemos que ϕ es positiva en Ω. Sean
c < 0 y d > 0 números reales tales que:
c ≤ inf{f(u)− p(x), u ∈ R;x ∈ Ω} y
d ≥ sup{f(u)− p(x);u ∈ R, x ∈ R}.
Fácilmente se ve que cϕ es una subsolución y que dϕ es una super-
solución. Como además cϕ < dϕ en Ω, por el teorema 4.5, tenemos que
(4.2)-(4.3) tienen una solución que, además, satisface cϕ ≤ u ≤ dϕ, por
tanto, esta demostrado el teorema. �
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 35 — #47 i
i
i
i
i
i
4.2. SUPERSOLUCIONES Y SUBSOLUCIONES 35
Ejemplo 4.1. Sea λ ≥ 0 y f : R → [0,∞) diferenciable. Consideremos
el problema:
−∆u = λf(u) en Ω, (4.4)
u = 0 en ∂Ω. (4.5)
Ya sabemos, del principio del máximo, que las soluciones de (4.4)-
(4.5) son positivas en Ω. Claro es que u ≡ 0 es una subsolución de (4.4)-
(4.5), luego, si esta tiene una solución w, vemos que (para el mismo valor
de λ) iterando la subsolución 0, llegamos a una solución u ≤ w. Como la
construcción de u es independiente de w, vemos que u ≤ w para cualquier
w, solución de (4.4)-(4.5).
Es decir, tenemos:
Teorema 4.6. Si (4.4)-(4.5) tienen solución, entonces tiene una solu-
ción mínima u. Igualmente si f es acotada superiormente (no necesa-
riamente positiva), entonces (4.4)-(4.5) tienen supersolución positiva y,
por tanto, solución máxima u.
La primera afirmación de este teorema ha sido demostrada en el pá-
rrafo precedente. La segunda se propone como ejercicio. Se invita al lector
a analizar los resultados de [46], donde se considera el caso f(u) = eu,
para identificar las ramas de soluciones mínimas y máximas, cuando exis-
ten. Cuando (4.4)-(4.5) tienen subsolución u y supersolución u tales que
u ≤ u del teorema 4.6, se sigue que si existen dos soluciones no ordena-
das, entonces existe una tercera solución, ver ([3]). Se invita al lector a
consultar [46] donde se da una descripción completa de las soluciones de
(4.4)-(4.5) cuando f(x, u) = eu y Ω es una bola. La dimensión de Ω juega
un papel preponderante en la estructura del conjunto de soluciones.i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 36 — #48 i
i
i
i
i
i
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 37 — #49 i
i
i
i
i
i
CAPÍTULO 5
Grado, género, teoría de Liusternik-Schnirelmann
En este capítulo estudiamos las nociones de grado de Brouwer, grado
de Leray-Schauder, Teoría de Liusternik-Schnierelmann, y damos apli-
caciones a problemas de existencia de soluciones débiles a problemas de
frontera para ecuaciones diferenciales parciales.
5.1 Preliminares
En la sección siguiente presentamos la noción de “grado de Brou-
wer” y enunciamos algunos teoremas básicos de dicha teoría que se usa-
rán en este capítulo. La noción de grado de Brouwer es generalizada
a espacios de dimension infinita; una tal generalización es el “grado de
Leray-Schauder”. Esta es de gran aplicabilidad en el análisis de ecuacio-
nes diferenciales no lineales (véase [38], [57] y [70]).
Definición 5.1. Sea Ω ⊂ Rm abierto y f : Ω→ Rn diferenciable.
i) Decimos que p ∈ Rn es un valor regular de f , si p /∈ f(Ω), o, si para
37
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 38 — #50 i
i
i
i
i
i
38 CAPÍTULO 5. GRADO, GÉNERO, TEORÍA L-S
todo x ∈ f−1(p) el rango de la matriz Df(x) = Jf(x) (Jacobiana
de f en x) es mı́n{m,n}.
En particular, si m = n, p es un valor regular de f si det f ′(x) =
det
(
J(f(x)
)
6= 0 para todo x ∈ f−1(p) o f−1(p) = ∅.
ii) p ∈ Rn es llamado valor singular de f si no es valor regular.
Teorema 5.1 (Teorema de Sard). Si f : Ω→ Rn es de clase C |m−n|+1,
entonces la medida de Lebesgue del conjunto de valores singulares de f ,
es cero. En particular, el conjunto de valores regulares de f es denso en
Rn.
Demostración. Véase [42, Appendix 1], [56, Capítulo 2]. �
Teorema 5.2 (Teorema de la función inversa). Sean Ω ⊂ Rn abierto,
f : Ω → Rn aplicación de clase Ck, k ≥ 1, x0 ∈ Ω. Si f(x0) = y0 y
det(f ′(x0)) 6= 0, entonces existe una vecindad abierta W de x0 tal que
f : W → f(W ) es biyección, f(W ) es abierto, y f−1 : f(W )→W es de
clase Ck.
(Demostración véase [50])
Teorema 5.3 (Existencia, unicidad y dependencia continua). Sean f :
[0, ε)× Rn → Rn aplicación continua y localmente lipschitziana respecto
a segunda variable. Para cada x0 ∈ Rn, existe δ > 0 tal que si ‖x−x0‖ <
δ, entonces existe una única función continua ψ(x, t) tal que dψ(x,t)dt =
f(t, ψ(x, t)), t ∈ (−δ, δ) y ψ(x, 0) = x. Más aún, si ε = ∞ y para algún
real A |f(t, x)| ≤ A(|x|+ 1), entonces δ =∞.
Escribiremos ψx(t) = ψ(x, t).
Las pruebas de los anteriores teoremas son consecuencia del siguiente
teorema (véase [14, Section 7]).
Teorema 5.4 (El principio de contracción). Sean (X, d), (Y, δ) espacios
métricos, (X, d) completo. Si f : X × Y → X es continua y existe λ ∈
[0, 1) tal que d(f(x, y), f(x1, y)) ≤ λd(x, x1) para todo x, x1 ∈ X, y ∈
Y , entonces existe una función ϕ : Y → X tal que f(x, y) = x si y solo
si x = ϕ(y).
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 39 — #51 i
i
i
i
i
i
5.1. PRELIMINARES 39
Teorema 5.5 (El teorema de la función implícita). Sean k,m, n ≥ 1
enteros, m > n, Ω ⊂ Rm abierto, f : Ω→ Rn de clase Ck. Si
det

∂f1
∂xi1
· · · ∂f1∂xin
. . . . . . .
∂fn
∂xi1
· · · ∂fn∂xin
 (x0) 6= 0,
entonces existen ε > 0 y una función ψ de clase Ck definida en el con-
junto {x ∈ Rm; ‖x− x0‖ < ε, xi1 = (x0)i1 , . . . , xin = (x0)in} al conjunto
{x ∈ Rm;xj = (x0)j ,∀j /∈ {i1, . . . , in}} tal que f(x+ψ(x)) = y0 = f(x0).
Más aún, si f(x) = y0 y ‖x− x0‖ < ε, entonces x = z + ψ(z).
Teorema 5.6 (Soluciones periódicas para sistemas autónomos). Sean
Ω subconjunto abierto de Rn, y f : Ω → Rn localmente lipschitziana. Si
x : R→ Ω satisface x′ = f(x), x(0) = x(T ), entonces x es T -periódica.
Demostración. Sea y(t) = x(t + T ). Claramente y(0) = x(T ) = x(0).
También y′(t) = x′(t + T ) = f(x(t + T )) = f(y(t)). Por unicidad de
soluciones al problema de valores iniciales, vemos que x(t) = y(t) =
x(t+ T ) para todo t ≥ 0. Por consiguiente, x es T -periódica. �
Teorema 5.7. Si S ⊂ E es compacto, donde E es de Banach real, en-
tonces Ŝ es compacto, donde
Ŝ =
⋂
{V ⊃ S, V es cerrado y convexo}.
Demostración. Se ve fácilmente que Ŝ es la adherencia de {ax + (1 −
a)y;x, y ∈ S, a ∈ [0, 1]}. Usando la compacidad de [0, 1] y de S, se
deduce que toda sucesión {zn} ⊂ Ŝ tiene una subsucesión convergene,
luego Ŝ es convexo. �
El siguiente teorema es una generalización del teorema de exten-
sión de Tietze. Para el lector no familiarizado con la teoría de espacios
vectoriales topológicos, tener en mente que todo espacio de Banach es
localmente espacio vectorial topológico localmente convexo.
Recordamos que en un espacio topológicoX un recubrimiento {Ui}i∈I
de X se dice que es localmente finito si todo punto de X tiene una ve-
cindad que intersecta solo un número finito de los elementos del recubri-
miento.
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 40 — #52 i
i
i
i
i
i
40 CAPÍTULO 5. GRADO, GÉNERO, TEORÍA L-S
Un refinamiento {Wj} de un recubrimiento, {Ui} es un recubrimiento,
tal que cadaWj está contenido en alguno de los Ui; también suele decirse
que el recubrimiento Wj está subordinado al recubrimiento Ui.
Teorema 5.8 (Teorema de Dugundji). Sea (X, d) espacio métrico y
A ⊂ X cerrado. Sea E espacio topológico localmente convexo. Sea C ⊂ E
convexo. Si f : A→ C es continua, entonces existen F : X → C continua
tal que F|A = f . Más aun: si f es compacta, entonces, F es compacta.
Demostración. Para cada x ∈ X − A, sea Vx vecindad abierta de x, tal
que diam(Vx) ≤ d(x,A). Por consiguiente, {Vx}x∈X−A es recubrimiento
por abiertos de X − A. Ya que X − A es paracompacto (todo espa-
cio métrico es paracompacto), existe un refinamiento localmente finito
{Uα}α∈Λ, el cual cubre X − A (para cada α, existe x tal que Uα ⊂ Vx).
En particular, Uα ∩A = ∅. Para cada α, definimos
λα(x) =
d(x,X − Uα)∑
β∈Λ d(x,X − Uβ
).
Para cada α, λα es continua y finita. Más aún,
∑
α λα(x) = 1. Para
cada Uα escogemos aα ∈ A tal que d(aα, Uα) < 2d(Uα, A). Un tal aα
existe porque d(Uα, A) = ı́nf{d(x, y), x ∈ Uα, y ∈ A} y d(Uα, A) <
2d(Uα, A). Ahora definimos:
F (x) =
{∑
α λα(x)f(aα), si x /∈ A,
f(x) si x ∈ A.
Claramente, el rango de F es un subconjunto de C. Ahora tenemos
F|A = f y F : X → C. Si x ∈ int(A), entonces F coincide con f en una
vecindad de x, entonces F es continua en x. Si x ∈ X − A, existe una
vecindad de x que intersecta solo un número finito de los Uα. Sea W una
vecindad de x contenida en X−A conW ∩Uα = ∅ salvo para un número
finito de los α, así, W ⊂ (Uα1 ∪ · · · ∪ Uαn). Por tanto,(
F|W
)
(y) = λα1(y)f(aα1) + · · ·+ λαn(y)f(aαn).
Por consiguiente, F|W es continua, luego F es continua en x. De-
ducimos que F es continua en X. Sea x0 ∈ ∂A ⊂ A. Sea W vecindad
convexa de 0. Como f es continua existe r > 0, tal que si d(x, x0) < r,
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 41 — #53 i
i
i
i
i
i
5.2. GRADO DE BROUWER 41
entonces f(x) ∈ f(x0)+W (x ∈ A), así f(x)−f(x0) ∈W . Demostramos
ahora que si d(x, x0) < r6 , entonces F (x)− f(x0) ∈W . Supongamos que
x ∈ X −A, d(x, x0) < r6 y d(x, aα) <
r
2 para algún α. Entonces
d(x0, aα) ≤ d(x, x0) + d(x, aα) <
r
6
+
r
2
< r.
Por consiguiente, f(aα) − f(x0) ∈ W . Por otro lado, si d(x, x0) < r6
y d(x, aα ≥ r2 , entonces
d(x, aα) ≥
3r
6
> 3d(Uα, A).
Si x ∈ Uα, entonces
d(x, aα) ≤ d(aα, Uα) + diam(Uα) ≤ 2d(Uα, A) + diam(Uα) ≤ d(Uα, A),
esto es una contradicción. Por tanto, x /∈ Uα. Luego λα(x) = 0, y
F (x) =
∑
d(x,Uα)<
r
2
λα(x)f(aα) +
∑
d(x,Uα)≥ r2
λα(x)f(aα).
Deducimos que F (x) − f(x0) ∈ W . Por tanto, F es continua en x0.
Ya que f(A) es compacto, entonces (ver teorema 5.7.)
k(f(A)) =
⋂
{Z;Z es convexo, cerrado, y f(A) ⊂ Z}
es también compacto ya que F (X) ⊂ conv(f(A)) ⊂ conv(f(A)), y
F (X) ⊂ conv(f(A)) ⊂ k(f(A)), así F (X) es compacto. Por consiguiente
F es compacta. �
5.2 Grado de Brouwer
Dados un conjunto abierto acotado Ω ⊆ Rn, un elemento p ∈ Rn y
una función continua f : Ω → Rn, tal que p /∈ f(∂Ω), les asociamos un
entero denotado d(f,Ω, p). Al número d(f,Ω, p) lo llamaremos el grado
de f en Ω con respecto a p y lodefinimos a continuación. Primero lo
definimos para funciones de clase Ck, k ≥ 1.
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 42 — #54 i
i
i
i
i
i
42 CAPÍTULO 5. GRADO, GÉNERO, TEORÍA L-S
Definición 5.2. Sean Ω conjunto abierto acotado de Rn, y f : Ω→ Rn
función de clase Ck, k ≥ 1. Si p ∈ Rn − f(∂Ω) es valor regular de f ,
definimos d(f,Ω, p) por:
d(f,Ω, p) =

∑
x∈f−1(p)
signo(det(f ′(x))), si f−1(p) 6= ∅,
0, si f−1(p) = ∅,
donde signo : R− {0} → {−1, 1}, es definida por:
signo(s) =
{
1, si s > 0,
−1, si s < 0.
Al entero d(f,Ω, p) se llama grado de f con respecto a Ω y a p.
La anterior definición está bien dada ya que Ω es compacto, y como
p es valor regular, esto implica que f−1(p) es finito (consecuencia del
Teorema de la función inversa 5.2).
Ejemplo 5.1. Sea Ω = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 < 4}. Definimos f(x, y) =
(x2−y2, 2xy). En verdad f es la función de variable compleja f(z) = z2.
Luego f−1({(1, 0)}) tiene dos elementos, los cuales son (1, 0) y (−1, 0).
En este caso det(f ′(x, y)) = 4x2 + 4y2 > 0 si (x, y) 6= (0, 0). Por tanto
d(f,Ω, (1, 0)) = 2.
A continuación demostramos las tres propiedades que caracterizan el
Grado de Brouwer: invariancia bajo homotopía, escisión y existencia de
soluciones (véase [6].)
Teorema 5.9 (Invariancia por homotopía). Si h : Ω × [0, 1] → Rn
aplicación de clase Ck, k ≥ 2 tal que:
a) 0 es un valor regular de h,
b) 0 es un valor regular de f0 y de f1, donde f0(x) = h(x, 0) y
f1(x) = h(x, 1),
c) 0 /∈ h(∂Ω× [0, 1]),
entonces
d(f0,Ω, 0) = d(f1,Ω, 0).
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 43 — #55 i
i
i
i
i
i
5.2. GRADO DE BROUWER 43
Demostración. Sean h1, · · · , hn las componentes de h. Tenemos
h′(x, λ) =
 ∂h1∂x1 · · · ∂h1∂xn ∂h1∂λ. . . . . . . . . .
∂hn
∂x1
· · · ∂hn∂xn
∂hn
∂λ .

Para i = 1, . . . , n+ 1, sea Ai la submatriz de h′ resultante de omitir
en h′ la i-ésima columna. Ya que estamos suponiendo que 0 es un valor
regular de h, existe i tal que det(Ai(x, λ)) 6= 0 si h(x, λ) = 0. Luego el
campo vectorial definido por
z(x, λ) = (a1(x, λ), . . . , an+1(x, λ)),
donde ai(x, λ) = (−1)i det
(
Ai(x, λ))
)
no se anula cuando h(x, λ) = 0.
En particular, ya que h−1({0}) es compacto, existen α > 0 tal que
‖z(x, λ)‖ ≥ α si h(x, λ) = 0.
Afirmamos que
〈z(x, λ),∇hi(x, λ)〉 = 0, para i = 1, . . . , n. (5.1)
En efecto, debido a que la i-ésima (i = 1, . . . , n) y la última fila de
Bi =

∂h1
∂x1
· · · ∂h1∂xn
∂h1
∂λ
. . . . . . . . .
∂hn
∂x1
· · · ∂hn∂xn
∂hn
∂λ
∂hi
∂x1
· · · ∂hi∂xn
∂hi
∂λ
 (5.2)
son iguales, tenemos que detBi = 0. Por otro lado,
0 = det(Bi)
(−1)n+2 ∂hi
∂x1
(−1)a1 + · · ·+ (−1)2n+2
∂hi
∂λ
(−1)n+1an+1
= (−1)n+3
(
a1
∂hi
∂x1
+ · · ·+ an+1
∂hi
∂λ
)
. (5.3)
Claramente (5.1) se deduce de (5.3).
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 44 — #56 i
i
i
i
i
i
44 CAPÍTULO 5. GRADO, GÉNERO, TEORÍA L-S
Sea x0 ∈ Ω tal que h(x0, 0) = f0(x0) = 0. Ya que 0 es valor regular
de f0, tenemos
an+1(x0) 6= 0. (5.4)
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que an+1(x0) > 0.
Sea ϕ(t) la solución al problema de valor inicial:
ϕ′(t) = z(ϕ(t)), ϕ(0) = (x0, 0). (5.5)
En particular, si ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn, ϕn+1) (Recordamos que
ϕn+1(0) = 0 por hipótesis) y ϕ′n+1(0) > 0. Por tanto existe t′ > 0
tal que ϕn+1(s) > 0 para todo s ∈ (0, t′). Sea
t1 = sup{t > 0; 0 < ϕn(s) < 1, ∀s ∈ (0, t)}.
Afirmamos que t1 <∞.
Supongamos que no, es decir, para todo t > 0, ϕn(t) ∈ (0, 1). Por
(5.1) tenemos (h(ϕ(t)))′ = h′(ϕ(t))z(ϕ(t)) = 0. Por tanto h(ϕ(t)) =
0 para todo t > 0. Por consiguiente, la sucesión {ϕ(n);n = 1, 2, . . .}
tiene una subsucesión convergente. Por tanto, sin pérdida de generalidad
podemos suponer que {ϕ(n)} → β. Por continuidad de h tenemos que
h(β) = 0.
Por la hipótesis c) vemos que β /∈ ∂Ω × [0, 1].Ya que 0 es un valor
regular, vemos que para algún i (i = 1, . . . , n + 1) existe ε > 0 tal que
|ai(x, λ)| ≥ c > 0 (c ∈ R). Luego podemos suponer que
ai(x, λ) ≥ c para ‖(x, λ)− β‖ < ε. (5.6)
Ahora distinguimos dos casos:
i) β ∈ ∂Ω× (0, 1),
ii) β ∈ Ω× {0, 1}.
Si sucede i), por el teorema de la función implícita existe δ < ε y una
función diferenciable ψ : (−δ, δ)→ Rn+1 tal que
h(β + (0, . . . , s, 0, . . . , 0) + ψ(s)) = 0, ψ(0) = 0 (5.7)
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 45 — #57 i
i
i
i
i
i
5.2. GRADO DE BROUWER 45
y si ‖x − β‖ < δ, entonces x = β + (0, . . . , s, 0, . . . , 0) + ψ(s). Por (5.6)
y el hecho de que h(ϕ(t)) ≡ 0, ya que ϕ(n) → β vemos que para n es
suficientemente grande
ϕ(n) = β + (0, . . . , sn, 0, . . . , 0) + ψ(sn). (5.8)
Si sn ≤ 0, ya que ϕ′i(t) = ai(ϕ(t)) > c vemos que cuando ‖ϕ(t)−β‖ <
δ, entonces ϕ′i(t) > c. En particular, para algún tn ∈ [n, n+ δc ] tenemos
ϕ(tn) = β.
De manera similar si sn > 0 para algún tn ∈ [n − δc , n], tenemos
ϕ(tn) = β. Ahora, tomando m > n + δc , vemos que tn 6= tm y ϕ(tn) =
ϕ(tm) = β. Por consiguiente, ϕ es periódica.
En particular, ϕ(t) ∈ Ω × (0, 1) para todo t, esto contradice que
ϕ(0) ∈ Ω× {0}. Luego i) no puede ocurrir.
Si ocurre ii), extendemos h a todo Ω× [0, 1]∪Bδ(β) para δ suficien-
temente pequeño. Razonando como en (5.8), vemos que β = ϕ(tn), lo
cual contradice que ϕn+1(t) ∈ (0, 1) para todo t > 0. Por tanto, ya que
i) y ii) no pueden ocurrir, tenemos que t1 <∞. Luego, por continuidad,
obtenemos
ϕ(t1) ∈ Ω× {0, 1}. (5.9)
Si ϕn+1(t1) = 0, entonces
ĺım
t→t1
ϕn+1(t1)
t1 − t
≤ 0.
Luego ϕ′n+1(t1) < 0 , porque 0 es un valor regular de f0.
De manera similar ϕ′n+1(t1) > 0 si ϕ(t1) ∈ Ω× {1}. Por otro lado, si
an+1(x0, 0) < 0, según la solución al problema,
ϕ′(t) = −z(ϕ(t)), ϕ(0) = (x0, 0)
vemos que existe t1 > 0 tal que ϕ(t1) ∈ Ω× {0, 1}.
Más aún, si ϕn+1(t1) = 0, entonces an+1(ϕ(t1)) > 0 y si ϕn+1(t1) = 1,
entonces an+1(ϕ(t1)) < 0. Reemplazando h por h1(x, t) := h(x, 1− t).
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 46 — #58 i
i
i
i
i
i
46 CAPÍTULO 5. GRADO, GÉNERO, TEORÍA L-S
Vemos que para cada x0 ∈ Ω × {1} con f1(x0) = y existe una única
x1 ∈ Ω× {0, 1} tal que an+1(x, 1) · an+1(x1) < 0 si x1 ∈ Ω× {1}
an+1(x, 1) · an+1(x1) > 0 si x1 ∈ Ω× {0}. (5.10)
Ahora, si f−10 (y) = {x1, . . . , xm} y f
−1
1 (y) = {z1, . . . , zl}, entonces
m∑
i=1
signdet(f ′0(xi)) =
∑
ϕn+1(t1,xi)=1
signdet(f ′0(xi)) =
=
∑
ϕn+1(t1,zi)=0
signdet(f ′1(zi)) =
l∑
i=1
signdet(f ′1(zi)),
esto demuestra el teorema. �
A continuación, el teorema de Sard nos ayuda a ver que es posible
hablar de grado para 0 valores no regulares de una aplicación.
Lema 5.1. Sea Ω abierto acotado de Rn, y f : Ω → Rn aplicación de
clase C2 tal que 0 /∈ f(∂Ω). Si {yj} una sucesión de valores regulares de
f tal que yj → 0, entonces la sucesión d(f,Ω, yj) es convergente.
Demostración. Primero demostraremos que d(f,Ω, .) es localmente cons-
tante en el conjunto de valores regulares de f contenido en Rn − f(∂Ω).
En efecto, sea y es valor regular de f . Por tanto, por la compacidad
de Ω, vemos que f−1(y) = {x1, . . . , xm} ⊂ Ω es finito. Por el teorema
de la función inversa para cada xj existe un abierto Uj con xj ∈ Uj
(j = 1, . . . ,m) tal que
f : Uj → f(Uj)
es difeomorfismo , f(Uj) es abierto en Rn y f−1 : f(Uj)→ UJ es C2, así
signo(det(f ′(x)) es constante para x ∈ Uj .
Ahora demostramos que para ε suficientemente pequeño
si ‖z − y‖ < ε entonces f−1(z) ⊂
m⋃
j=1
Uj .
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 47 — #59 i
i
i
i
i
i
5.2. GRADO DE BROUWER 47
Si no, existe una sucesión zk → y tal que para cada k existe
xk ∈ Ω−
m⋃
j=1
≡W, con f(xk) = zk.
Ya queW es compacto, la sucesión {xk} tiene un límite (o una subsu-
cesión convergente) x ∈W . Por la continuidad de f vemos que f(x) = y,
esto contradice que f−1(y) = {x1, . . . , xm} ⊂ W . Luego d(f,Ω, .) es lo-
calmente constante en el conjunto de valores regulares de f contenidos
en Rn − f(∂Ω).
Sea ahora yi → y, con cada yi valor regular. Sea hi,k := h(x, t) =
f(x)− tyi − (1− t)yk. Por la continuidad de f , vemos que si 0 /∈ f(∂Ω),
entonces para i, k grandes 0 /∈ h(∂Ω × [0, 1]). Ya que yi, yk son valores
regulares de f vemos que 0 es un valor regular de h(x,0) y h(x, 1). Luego,
por el teorema de Sard y constancia local del grado existe z tal que
d(f,Ω, yj + z) = d(f,Ω, yj), y d(f,Ω, yk + z) = d(f,Ω, yk)
y z es un valor regular de h(x, t). Por el teorema de homotopía (teorema
5.9)
d(h(., 0),Ω, z) = d(h(., 1)Ω, z) = d(f,Ω, yj + z)
= d(f,Ω, yk + z) = d(f,Ω, yk) = d(f,Ω, yj).
esto demuestra el lema 5.1. �
El siguiente teorema nos dice que el grado es constante en cada com-
ponente conexa de Rn − f(∂Ω).
Teorema 5.10. Sean Ω abierto acotado de Rn y f : Ω → Rn de clase
C2. Si W es una componente conexa de Rn − f(∂Ω), entonces d(f,Ω, .)
es constante en W . Es decir, si p, q están en W , entonces d(f,Ω, p) =
d(f,Ω, q).
Demostración. Por el lema 5.1 vemos que d(f,Ω, ) puede extenderse por
continuidad a W , ya que los valores de d(f,Ω, ) son números enteros y
W es conexo, tenemos que d(f,Ω, ) es constante en W . �
Ahora enunciamos y demostramos el teorema que permite extender
la noción de grado a funciones continuas.
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 48 — #60 i
i
i
i
i
i
48 CAPÍTULO 5. GRADO, GÉNERO, TEORÍA L-S
Teorema 5.11. Sean Ω abierto acotado de Rn y {fj : Ω → Rn} su-
cesión de funciones de clase C2 uniformemente convergentes a f , y ∈
Rn− f(∂Ω), entonces para j ∈ N suficientemente grande d(fj ,Ω, ) está
definido y la sucesión {d(fj ,Ω, y)}j∈N es convergente.
Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que y = 0,
ya que fn → f uniformemente y 0 /∈ fj(∂Ω) existen j y a > 0 tales
que para x ∈ ∂Ω, ‖fj(x)‖ ≥ a > 0 para j ≥ J . En verdad, debi-
do a que f(∂Ω)es compacto existe b tal que ‖fj(x)‖ ≥ b > 0. Como
fj converge uniformemente a f en f(∂Ω)existe N tal que si j ≥ n,
‖fj(x) − f(x)‖ < b2 para todo x ∈ ∂Ω. Por tanto, ‖m(x)‖ ≥
b
2 = a.
Sea ahora h(x, t) = tfj(x, t) + (1− t)fk(x) donde j, k ≥ N . Ya que {fj}
converge uniformemente, existe N1 ≥ N tal que ‖fn(x)− fm(x)‖ > a, si
n,m ≥ N1, x ∈ Ω. Así ‖h(x, t)‖ > 0 para x ∈ ∂Ω. Sean j, k ≥ N1 y z
suficientemente pequeño tal que h(x, t) 6= z para x ∈ ∂Ω y = d(fj ,Ω, z),
d(fk,Ω, 0) = d(fk,Ω, z). Por el teorema 5.9 d(fj ,Ω, 0) = d(fk,Ω, 0), se
demuestra el teorema 5.11. �
Este teorema permite definir:
Definición 5.3. Sean Ω abierto acotado en Rn. Sea f : Ω→ Rn continua
con 0 /∈ f(∂Ω). Definimos d(f,Ω, 0) = ĺımj→∞ d(fj ,Ω, 0), donde {fj} es
una sucesión de funciones de clase C2 convergente uniformemente a f .
Se debe notar a este punto, que en la definición se da de mane-
ra similar para y ∈ R tal que y ∈ Rn − f(∂Ω), que una tal sucesión
existe en virtud del teorema de aproximación de Stone-Weirstrass. Tam-
bién debe notarse que d(f,Ω, 0) no depende de la sucesión fj escogi-
da. El lector debe verificar que si {fj} y {gj} son dos sucesiones que
convergen uniformemente a f , con 0 /∈ fj(∂Ω) y 0 /∈ gj(∂Ω), entonces
ĺımj→∞ d(fj ,Ω, 0) = ĺımj→∞ d(gj ,Ω, 0).
También se evidencia que hemos usado el teorema de Sard para ga-
rantizar que en el caso en que 0 = y no es valor regular sino que uno
puede aproximarse a 0 = y por valores regulares de f y así poder afirmar
que en el caso en que f es de clase C2 d(f,Ω, 0) = ĺımj→∞ d(f,Ω, zj)
donde zj es sucesión de valores regulares convergente a 0, que no depende
de la sucesión zj escogida.
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 49 — #61 i
i
i
i
i
i
5.2. GRADO DE BROUWER 49
Notamos que no podemos quitar 0 /∈ f(∂Ω).
Podemos ahora establecer algunas propiedades básicas del grado. Al-
gunas consecuencias fáciles de las otras, citamos: existencia, invariancia
por homotopía, escisión, aditividad.
Teorema 5.12 (Invariancia homotópica). Sean Ω abierto acotado de
Rn, f, g : Ω→ Rn continuas. Si h : Ω× [0, 1]→ Rn es continua, tal que
h(x, 0) = f(x), h(x, 1) = g(x), y p = 0 /∈ h(∂ × [0, 1]), entonces
d(f,Ω, 0) = d(g,Ω, 0).
Demostración. Por el teorema de aproximación de Stone-Weierstrass
existe una sucesión hj de funciones de clase C2 (hj ∈ C(Ω× [0, 1],Rn))
que convergen uniformemente a h. Por el teorema previo, y la definición
de grado para j, suficientemente grande
d(hj(., 0),Ω, 0) = d(f,Ω, 0), d(hj(., 1),Ω, 0) = d(g,Ω, 0)
esta definido. Sea z valor regular de hj , h(., 0) y hj(., 1) y ‖z‖ suficien-
temente pequeña tal que z /∈ h(∂Ω× [0, 1]), así que
d(hj(., 0),Ω, z) = d(hj(.,Ω, 0), d(hj(., 1),Ω, 0) = d(hj(., z),Ω, 0).
Por el teorema 5.9 tenemos que d(f,Ω, 0) = d(g,Ω, 0).
Esto demuestra el teorema. �
Teorema 5.13 (Existencia). Sean Ω abierto acotado en Rn y f : Ω →
Rn continua, 0 /∈ f(∂Ω), y d(f,Ω, 0) 6= 0, entonces existe y ∈ Ω con
f(y) = 0.
Demostración. Sea {fj} sucesión de funciones de clase C2 en Ω conver-
gente a f tal que d(fj ,Ω, 0) = d(f,Ω, 0) 6= 0. Para cada j, sea yj valor
regular de fj con ‖yj‖ < 1j . y d(fj ,Ω, yj) = d(f,Ω, 0). Como yj es valor
regular existe xj con f(xj) = yj . Debido a que Ω es compacto, podemos
suponer que xj → x. Por consiguiente:
‖f(xj)‖ ≤ ‖f(xj)− fj(xj)‖+ ‖fj(xj)‖ → 0 si j →∞.
Por tanto, por continuidad de f , f(x̄) = 0, se demuestra el teorema.
�
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 50 — #62 i
i
i
i
i
i
50 CAPÍTULO 5. GRADO, GÉNERO, TEORÍA L-S
Teorema 5.14 (Escisión). Sean Ω, f como en anterior teorema. SiW ⊂
Ω es abierto y 0 /∈ f(∂W ), entonces
d(f,Ω, 0) = d(f,W, 0) + d(f,Ω−W, 0).
Demostración. Sea {fk} una sucesión de clase C2 convergente unifor-
memente a f . Por tanto, sin pérdida de generalidad, podemos suponer
d(f,Ω, 0) = d(fk,Ω, 0).
Ya que {fk} converge uniformemente a f en W y en Ω−W podemos
asumir d(fk,Ω, 0) = d(f,Ω, 0 = y d(fk,Ω − W, 0) = d(f,Ω − W, 0).
Para k suficientemente grande 0 /∈ fk(∂Ω ∪ ∂W ). Para tales k sea ε > 0
tal que si ‖z‖ < ε, entonces z /∈ fk(fk(∂Ω ∪ ∂W ) y d(fk,Ω −W, z) =
d(fk,Ω−W, 0), y d(fk,W, z) = d(f,W, 0).
Por tanto, escogiendo un valor regular z de fk con ‖z‖ < ε tenemos
d(fk,Ω, z) =
∑
fk(x)=z
signdet(f ′k(x))
=
∑
fk(x)=z,x∈Ω−W
sign(det(f ′k(x)) +
∑
fk(x)=z,x∈W
sign(det(f ′k(x))
= d(fk,Ω−W, z) + d(fk,W, z).
Por tanto
d(f,Ω, 0) = d(fk,Ω, 0) = d(fk,Ω, z) = d(fk,Ω−W, z) + d(fk,W, z)
= d(fk,Ω−W, 0) + d(fk,W, 0)
= d(f,Ω−W, 0) + d(f,W, 0),
se demuestra el teorema. �
El siguiente teorema es consecuencia del teorema sobre invariancia
homotópica del grado, el cual nos dice: el grado depende de los valores
en la frontera, más exactamente:
Teorema 5.15 (Dependencia de los valores en la frontera). Si Ω es
abierto acotado en Rn y f, g : Ω → Rn son continuas, tales que f(x) =
g(x) para todo x ∈ ∂Ω, y 0 /∈ f(∂Ω), entonces d(f,Ω, 0) = d(g,Ω, 0).
i
i
“Semilineales_v4” — 2012/7/19 — 7:20 — page 51 — #63 i
i
i
i
i
i
5.2. GRADO DE BROUWER 51
Demostración. Sea h(x, t) = tf(x) + (1 − t)g(x), (x, t) ∈ Ω × [0, 1] h es
continua y si x ∈ ∂Ω, h(x, t) = g(x) = f(x) 6= 0 y h(x, 0) = g(x). Por
tanto, por teorema (5.12) (homotopía) d(f,Ω, 0) = d(g,Ω, 0). �
Ahora, algunas aplicaciones interesantes de la teoría de grado, en esta
parte usaremos el Teorema de Weierstrass que establece que los polino-
mios son densos en el conjunto de las aplicaciones continuas definidas en
un compacto con valores reales (provisto de la norma del supremum).
Teorema 5.16 (Teorema de Borsuk). Si Ω es abierto acotado y simétrico
respecto a 0, en Rn, 0 ∈ Ω y f : Ω→ Rn es continua con f(x) = −f(−x)
(impar) y 0 /∈ f(∂Ω), entonces d(f,Ω, 0) es un entero impar.
Para demostrar el Teorema de Borsuc necesitamos unos lemas rela-
cionados con el teorema de extensión de Tietze.
Lema 5.2. Sea K ⊂ Rn compacto, ϕ ∈ C(K,Rm) (m > n) tal que
0 /∈ ϕ(K). Entonces para todo cubo Q ⊂ Rn, K ⊂ Q, existe una función
continua ψ : Q→ Rm − {0} tal que ψ(x) = ϕ(x) para todo x ∈ K.
Demostración. Sea α = mı́n{‖ϕ(x);x ∈ K‖} > 0. Sea g una función
polinomial, por tanto, de clase C1 y definida aún en Q, tal que para
todo x ∈ K ‖ϕ(x) − g(x)‖ < α4 . Extendemos g a Q × R
m−n por definir
h(x, z) = g(x). Por tanto, g(Q) es el conjunto de valores no regulares de
h. Luego, por el teorema de Sard, existe a ∈ Rm con ‖a‖ < α4 el /∈ g(Q).
Sea v(x) = g(X)− a
Tenemos ahora
‖ϕ(x)− v(x)‖ < ‖a‖+ ‖ϕ(x)− g(x)‖ < α
2
, para todo x ∈ K. (5.11)
Sean η : R+ → R+ definida por
η(t) =
{
1, si