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Ayudant́ıa: Control Óptimo Economı́a Matemática Noviembre , 2015 1 1. Control óptimo con horizonte infinito 1. Suponga el problema de un individuo que debe max c(t) V (0) = ∫ T 0 v(k(t), c(t), t)dt s.a ˙k(t) = g(k(t), c(t), t) k(0) = k0 k(T )e−r·T ≥ 0 Donde k es la variable de estado y c es la variable de control. Muestre que en el óptimo la derivada total del hamiltoniano respecto al tiempo es igual a la derivada parcial. 2. Problema de Ramsey Considere el caso de un individuo en una economı́a que max c(t) V (0) = ∫ ∞ 0 u(c(t))e(−(ρ−n)tdt s.a ˙a(t) = w(t) + (r(t) − n)a(t) − c(t) a(0) = a0 (a) Plantee el Hamiltoneano (b) Obtenga las CPO (c) Muestre que de las CPO se tiene que r = ρ− ( u′′(c)c u′(c) ċ c ) De ahora en adelante asuma que u(c) = c1−θ − 1 1 − θ (d) Encuentre una expresión para ċc . 1 2 2. Control óptimo con horizonte finito 1. Suponga una empreza que debe entregar un pedido de B en T. Suponga los costos vienen dados por la variable de control u y por la variable de estado x. Luego, el problema queda max u − ∫ T 0 (c1u(t) 2 + c2x(t))dt s.a x′(t) = u(t) x(0) = 0 x(T ) = B Resuelva el problema. 2. Resuelva max u − ∫ T 0 1 2 u(t)2dt s.a x′(t) = u(t) + x(t) x(0) = x0 x(T ) = xT 2
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