Controle ótimo com restrições

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328 Ejercicios
Ejercicios
� 13.1 Encontrar la solución general del proble-
ma
max
T∫
0
(u2 + v2)dt
sujeto a
ẋ = u,
ẏ = v,
x− v = 0.
� 13.2 Resolver el siguiente dual al problema iso-
perimétrico del ejemplo 13.2.1. Encontrar la solu-
ción general para la curva de longitud mínima que
pasa por (0, 1) y (1, 2), y que determina un área A
entre la curva y el eje t.
� 13.3 Encontrar la solución general al problema
max
T∫
0
u2dt
sujeto a
ẋ = u,
T∫
0
xdt = A.
con A una constante.
� 13.4 Sea S la cantidad total de algún recurso na-
tural, sea Q la tasa de extracción de este recurso.
Suponer que este recurso es esencial para la produc-
ción de todos los bienes y servicios que proporcio-
nan utilidad a los individuos. De esta forma, la fun-
ción de utilidad del individuo representativo queda
dada por u(Q) = Q
1−γ
1−γ , con γ > 0, γ �= 1 (note-
mos que se trata de una función tipo CRRA como
en la sección 3.1.1). Los individuos descuentan el
tiempo a una tasa ρ. Resolver el siguiente problema:
max
∞∫
0
u(Q)e−ρt
sujeto a
∞∫
0
Qdt = S,
en donde S es una constante. Resolver el problema
definiendo x(t) = S −
t∫
0
Qds, el acervo restante
del recurso en el tiempo t (nótese que x(0) = S y
x(T ) = 0).
� 13.5 Sea S la cantidad total de algún recurso na-
tural, sea Q la tasa de extracción de este recurso,
C(Q) una función convexa y doblemente diferen-
ciable de costos de extracción, r la tasa real y P una
trayectoria de precios dada de manera exógena. Si
la empresa tiene un horizonte infinito, su problema
es
max
∞∫
0
(PQ− C(Q))e−rtdt
sujeto a
∞∫
0
Qdt = S.
Plantear el problema como un problema de control
y resolverlo.
� 13.6 Resolver el siguiente problema:
max
∞∫
0
(
1
α
Kα − qI)e−rtdt
sujeto a
K̇ = I − δK,
Imin ≤ I ≤ Imax,
K(0) = K0 dado.
En donde Imin e Imax son constantes que acotan
la inversión. El resto de la notación es como en la
sección 13.3.1.
c©2001. Lomelí-Rumbos.
Ejercicios 329
a) Resolver el modelo obteniendo un sistema de
ecuaciones en K y λ como en 13.3.1.
b) Realizar el diagrama de fase correspondiente
y calcular el tiempo terminal T ∗ al igual que
en 13.3.1.
� 13.7 Considerar el siguiente problema
max
3∫
0
(4− t)udt
sujeto a
ẋ = u,
x− t ≤ 1,
x(0) = 0,
x(3) = 3,
u ∈ [0, 2]
y con lagrangiano asociado
L = (4− t)u + λu + µ(1− x + t).
a) Dado que x(0) = 0, inicialmente la restric-
ción no está activa y µ = 0. Probar que
en este caso λ es constante. Puesto que el
lagrangiano es lineal en u, argumentar por
qué se debe tener inicialmente u = 2. (Su-
gerencia: ver que u = 0, u ∈ (0, 2) no son
posibles.) Resolver para x si 0 < t < 1.
b) Probar que la restricción se activa en t = 1 y
utilizar que ẋ = u ≥ 0 para probar que se
desactiva en t = 2 y que u = 0 si t > 2.
Encontrar x si t > 2.
c) Probar que mientras la restricción está activa
se tiene un problema de control singular con
u = 1 y λ lineal.
d) Graficar las soluciones u(t) y x(t) con t ∈
[0, 3].
� 13.8 Resolver los siguientes problemas:
a) min
5∫
0
(4x + u2)dt sujeto a ẋ = u, x(0) =
10, x(5) = 0 y x ≥ 6− 2t.
b) min
T∫
0
(2x + u2)dt sujeto a ẋ = u, x(0) =
2, x(T ) = 0 y x ≥ 1− 12 t.
c©2001. Lomelí-Rumbos.