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Ejercicios 307
Ejercicios
� 12.1 Encontrar los extremos de las siguientes
funcionales y determinar si son máximos o míni-
mos:
a) J [x, u] =
40∫
0
−u
2
2
dt sujeto a ẋ = u,
x(0) = 20 y x(40) = 0.
b) J [x, u] =
1∫
0
u2dt sujeto a ẋ = x + u,
x(0) = 1 y x(1) = 0.
c) J [x, u] =
10∫
0
(2xu + u2)dt sujeto a ẋ = u,
x(0) = 10 y x(10) libre.
d) J [x, u] =
2∫
0
(x − u2)dt sujeto a ẋ = u,
x(0) = 0 y x(2) libre.
e) J [x, u] =
40∫
0
−1
2
(x2 + u2)dt sujeto a ẋ =
u− x, x(0) = 1 y x(40) libre.
f ) J [x, u] =
2∫
0
(2x − 3u − u
2
2
)dt sujeto a
ẋ = x + u, x(0) = 5 y x(2) libre.
g) J [x, u] =
1∫
0
ln udt sujeto a ẋ = −3u,
x(0) = 0 y x(1) = 30.
� 12.2 Encontrar el máximo de las siguientes fun-
cionales:
a) J [x, u] =
4∫
0
(x− u)dt sujeto a ẋ = x + u,
x(0) = 5, x(4) libre y u(t) ∈ [0, 2].
b) J [x, u] =
1∫
0
(x−2u)dt sujeto a ẋ = x+u,
x(0) = 4, x(1) libre y u(t) ∈ [0, 1].
c) J [x, u] =
4∫
0
3xdt sujeto a ẋ = x + u,
x(0) = 5, x(4) libre y u(t) ∈ [0, 2].
� 12.3 Una firma de microchips desea maximizar
la siguiente función de ganancias
5∫
0
(
K −K2 − I
2
2
)
dt,
en donde K es el capital e I la inversión bruta. Da-
da la naturaleza de la firma, el capital tiene una alta
tasa de depreciación igual a 0.5 y su ecuación de
evolución está dada por
K̇ = I − 0.5K.
Se tiene que inicialmente K(0) = 0 y se desea que
K(5) = 10. Encontrar las trayectorias óptimas pa-
ra el capital y para la inversión. Posteriormente,
resolver el problema si K(5) está libre. Probar que
el punto de equilibrio es un punto silla.
� 12.4 Un monopolio tiene una función de costos
dada por
C(x) = αx2 + β,
en donde x es el nivel de producción. La función de
demanda p es dinámica14 y evoluciona de acuerdo
con la ecuación
ṗ = Ap + x−B.
Todos los parámetros son positivos. Encontrar el
máximo de
T∫
0
(px− C(x)) dt
si p(0) = p0 y p(T ) = pT .
14El primer ejemplo de una función de demanda dinámica fue proporcionado por Evans [Eva24].
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308 Ejercicios
� 12.5 Resolver el siguiente problema:
max
4∫
0
3xdt
sujeto a
ẋ = x+u, x(0) = 5, x(4) ≥ 300 y u(t) ∈ [0, 2].
� 12.6 Resolver el siguiente problema:
min
1∫
0
(x2 + u2)dt
sujeto a
ẋ = u, x(0) = 0 y x(1) ≥ 1.
� 12.7 Encontrar el tiempo mínimo para pasar de
x(0) = 8 a x(T ) = 0 suponiendo que el estado
x evoluciona de acuerdo con la ecuación ẋ = 2u y
que u(t) ∈ [−1, 1].
� 12.8 Resolver el ejemplo 12.6.1 con las si-
guientes condiciones iniciales y finales: x1(0) =
x2(0) = 0, x1(1) y x2(1) libres.
� 12.9 El acervo de plata de una mina en el tiem-
po t está dado por A(t) y la tasa de extracción es
x = −Ȧ con x ∈ [0, xmax]. El precio de la plata
está dado de forma exógena y sigue una trayectoria
p(t). No hay ningún costo de extracción. El acervo
inicial está dado por A(0) = A0 > xmax y el acer-
vo final es A(T ) = 0, el tiempo final T está libre
y debe ser determinado. Si el tiempo se descuenta
a una tasa r, resolver el problema de maximizar el
valor presente de las ganancias, es decir,
max
T∫
0
pxe−rtdt
sujeto a
Ȧ = −x,
A(0) = A0, A(T ) = 0, T libre y x ∈ [0, xmax].
� 12.10 La población de salmón en determinada
región se denota por x(t) y su función de creci-
miento es f(x). La pesca del salmón está dada por
h(t), en donde h(t) ∈ [0, pmax]. Así, la población
de salmón evoluciona de acuerdo con
ẋ = f(x)− h.
La función de crecimiento satisface las siguientes
propiedades: existe un nivel de saturación K, de
tal forma que f(0) = 0 = f(K); f(x) > 0 si
x ∈ (0, K); f(x) < 0 si x > K, f es doblemente
diferenciable y f ′′ < 0. Resolver el siguiente pro-
blema de optimización:
max
∞∫
0
(p− c(x))h(t)e−ρtdt
sujeto a ẋ = f(x) − h y con x0 dado. Se supone
que c(x) es el costo unitario de la pesca, que es di-
ferenciable con c′ < 0; p es el precio de mercado
del salmón y ρ la tasa de descuento temporal.
� 12.11 Después de años de noviazgo, Miguel y
Rosita se unen en feliz matrimonio. Deciden llevar
una vida poco ortodoxa en la cual planean nunca
tener hijos y sólo vivir hasta cumplir 50 años de ma-
trimonio. La función de utilidad de este matrimo-
nio está dada por u(c) = 2
√
c, donde c representa,
como es usual, el consumo. Asimismo, poseen una
tasa de descuento temporal dada por ρ. Sus ingresos
reales provienen de dos fuentes: w el ingreso labo-
ral y ar que corresponde a los rendimientos reales
de una cantidad a de activos y una tasa de interés
r. Sus egresos reales son el consumo c y la acumula-
ción de activos ȧ. Las condiciones iniciales y finales
son a(0) = 0 y a(50) = 0.
a) Resolver el problema de maximización de
Miguel y Rosita al inicio de su vida juntos.
Ilustrar con un diagrama de fase.
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Ejercicios 309
b) Integrando la restricción presupuestal con la
condición de no juego de Ponzi, probar que el
valor presente de su ingreso laboral a lo largo
de toda su vida es igual al valor presente del
consumo durante el mismo periodo.
c) Resolver el problema de maximización supo-
niendo que Miguel y Rosita son una familia
común que decide tener hijos y preocuparse
por el bienestar de todos sus descendientes.
En otras palabras, suponer que ahora el ho-
rizonte de tiempo es infinito. Representar la
solución en un diagrama de fase.
� 12.12 Plantear las condiciones de primer orden
y resolver el siguiente problema. La autoridad mo-
netaria controla la cantidad nominal de dinero me-
diante un variable que denotamos por u(t). Por ra-
zones institucionales, esta variable sólo puede to-
mar valores en el intervalo [−0.1, 0.1]. La tasa de
crecimiento del ingreso nominal se denota por x(t)
y satisface la siguiente ecuación diferencial:
a2
2
ẍ + aẋ + x = u.
El objetivo de la autoridad monetaria es llegar a una
tasa constante de crecimiento del ingreso nominal
en un mínimo de tiempo. El problema se puede
plantear como,
min
T∫
0
dt
sujeto a
a2
2
ẍ + aẋ + x = u
y a las siguientes condiciones de frontera: x(0) =
x0, ẋ(0) = ẋ0, x(T ) = xT , ẋ(T ) = 0 y
u ∈ [−0.1, 0.1]. (Sugerencia: convertir el proble-
ma en uno con dos variables de estado definiendo
y(t) = ẋ(t).)
� 12.13 En 5.7.2 se mostró un ejemplo de los
efectos de una devaluación y se utilizó una ecua-
ción de demanda de dinero. En este ejercicio se
obtiene dicha ecuación a partir de un problema de
optimización.
Considerar el siguiente problema:
max
∞∫
0
u(c, m)e−ρtdt
sujeto a y + T = c + ṁ + mπ y con m0 dado. La
notación es la misma que en la sección 12.8.1 salvo
por y, que representa un ingreso exógeno ya que en
este modelo no hay producción. La transferencia T
que hace el Banco Central al agente representativo
(“la sociedad”) es financiada mediante la inflación
y está dada por
T = mπ.
a) Resolver el problema de optimización y ob-
tener la función de demanda de dinero.
b) Obtener un sistema de ecuaciones diferen-
ciales en m y c. Éste debe ser el mismo siste-
ma que se utilizó en la sección 5.7.2.
c) Resolver el problema si ahora el Banco Cen-
tral, en lugar de transferir al agente los ingre-
sos que obtiene por la inflación, los desper-
dicia en actividades inútiles (por ejemplo, los
tira al golfo de México).
� 12.14 Para el modelo de una economía abierta
pequeña realizar los siguientes ejercicios:
a) Dibujar las trayectorias para k, p, I y c en el
caso del “shock positivo” en la producción.
b) Analizar el caso en que, en t = τ, inespera-
damente la tasa de interés extranjera r cam-
bia a r̄ > r. Representar el diagrama de fase
y dibujar las trayectorias de todas las varia-
bles como en el inciso anterior.
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310 Ejercicios
� 12.15 Considerar la siguiente variante del mo-
delo de Ramsey en donde el hogar-empresa repre-
sentativo resuelve el problema de maximización
max
∞∫
0
u(c)e−ρtdt
sujeto a
f(k) + T = c(1 + τ) + k̇,
en donde u y f son funciones de utilidad y produc-
ción, respectivamente, con las propiedades usuales.
Adicionalmente, ρ es la tasa subjetiva de descuen-
to, c el consumo, w el salario, k el capital,τ un
impuesto al consumo y T una transferencia del go-
bierno a los hogares (igual para todos), financiada
por medio del impuesto. Como siempre, c es la va-
riable de control y k la variable de estado; todas las
demás variables son exógenas para el optimizador.
a) Resolver el problema de optimización, incor-
porar la restricción presupuestal del gobierno
dada por T = τc y obtener un sistema de
ecuaciones diferenciales en c y k. Realizar un
diagrama de fase para el sistema de ecuacio-
nes resultante. Comprobar que el resultado
es idéntico al modelo de Ramsey sin depre-
ciación del capital (δ = 0). La conclusión
es que este tipo de impuesto al consumo no
afecta el estado estacionario ni la trayectoria
hacia éste.
b) Ahora cambiemos la restricción presupuestal
como sigue.
(1 + γ)f(k) = c + k̇ − χ,
en donde γ es un subsidio a la producción,
financiado por un impuesto χ (igual para to-
dos). Resolver el problema de optimización y
probar que la tasa real que observan los hoga-
res está dada por (1+γ)f ′(k), que es mayor
que f ′(k) en el inciso anterior. Incorporar
la restricción presupuestal del gobierno da-
da por γf(k) = χ y obtener un sistema de
ecuaciones en c y k. Realizar un diagrama
de fase. ¿Cómo se compara el estado esta-
cionario con aquél en el cual no hay ningún
impuesto (modelo usual de Ramsey)?
c) Resolver el problema si la función de utilidad
es lineal, dada por u(c) = c y la restricción
presupuestal está dada por
f(k) = c + k̇.
Ilustrar con un diagrama de fase.
� 12.16 (Crecimiento endógeno) Considerar
el mismo modelo del ejercicio anterior, pero con
u(c) = ln c y f(k) = Aeµtkα, con µ > 0 un
coeficiente de desarrollo tecnológico (exógeno) y
α ∈ (0, 1). No hay ningún tipo de impuesto, así
que la restricción presupuestal queda dada por
Aeµtkα = c + k̇.
a) Resolver el problema de optimización.
b) Probar que k̇k =
ċ
c =
ẏ
y =
µ
1−α . A esto se
le llama crecimiento balanceado (las variables
crecen a la misma tasa).
� 12.17 En el artículo original de Frank Ramsey
[Ram28], los individuos no descuentan el futuro
ya que Ramsey considera que es éticamente insoste-
nible el “descontar” a las generaciones futuras. Para
poder acotar la integral impropia considera un nivel
de utilidad máximo, que llamamos la dicha absoluta
y denotamos por D. El problema de optimización
a resolver es, entonces,
min
∞∫
0
(D − ln c)dt
sujeto a kα = c+ k̇ y con k0 dado. Se supone, ade-
más, que u(c) = ln c y f(k) = kα, 0 < α < 1,
son las funciones de utilidad y producción, respec-
tivamente.
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Ejercicios 311
a) Obtener las condiciones de primer orden pa-
ra el problema de optimización ¿Cómo evo-
luciona el consumo?
b) Comparar los resultados del inciso anterior
con el modelo usual, en donde hay una tasa
subjetiva de descuento.
� 12.18 (Gasto gubernamental) 15 Supon-
gamos que el gobierno provee servicios G que son
parte de la función de producción (pueden pen-
sarse como infraestructura básica necesaria para la
producción). Estos servicios se pagan por medio de
un impuesto τ a la producción. Si c y k denotan
las trayectorias de consumo y capital, ρ es la tasa
subjetiva de descuento temporal, la función de pro-
ducción es f(k, G) = Gαk1−α, 0 < α < 1 y la
función de utilidad es u(c) = c
1−σ
1−σ con σ �= 1 el
coeficiente positivo de aversión relativa al riesgo16,
el problema del hogar representativo es,
max
∞∫
0
c1−σ
1− σ e
−ρtdt,
sujeto a (1− τ)Gαk1−α = c + k̇, con k0 y G da-
dos. Nótese que la trayectoria de G es paramétrica
(exógena) para el optimizador.
a) Encontrar las condiciones de primer orden y
obtener una ecuación que describa la evolu-
ción del consumo.
b) Incorporar la restricción presupuestal del go-
bierno G = τf(k, G). Obtener G como
función de τ y k, y sustituir en la ecuación
de evolución del consumo. ¿Cuál es la tasa
de crecimiento γ = ċc?
c) Encontrar τ que maximiza γ.
d) El planeador central toma la economía en sus
manos y resuelve el problema de optimiza-
ción del hogar representativo. La diferencia
es que G no es paramétrico para el planeador
y por lo tanto incorpora la restricción presu-
puestal del gobierno en el problema de opti-
mización. La restricción presupuestal resul-
tante es
Gαk1−α = c + G + k̇.
Resolver el problema de optimización en este
caso.
e) Obtener, como antes, γp = ċc . ¿Es ésta me-
nor o mayor que la tasa γ obtenida anterior-
mente? Interpretar.
15Basado en [Bar90].
16Véase la sección 3.1.1.
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