Programação Dinâmica

Vista previa del material en texto

Ejercicios 361
Ejercicios
� 14.1 Considerar el problema de maximización
especificado por (14.1).
a) Utilizar la función lagrangiana (14.7) para
obtener condiciones necesarias sobre las va-
riables para la existencia de un máximo.
b) Definir la función valor e interpretar los
multiplicadores utilizando el teorema 10.2.6.
Comparar los resultados con los obtenidos
en el teorema 14.2.1.
� 14.2 Reproducir el ejemplo 14.2.2 con alguna
hoja de cálculo para los siguientes casos:
a) p = 3 y T = 9.
b) p = 3, T = 9 y un factor de descuento tem-
poral β = 0.9.
c) p = 3, T = 9 y un factor de descuento tem-
poral β = 0.5.
� 14.3 Considerar el siguiente problema de maxi-
mización de una empresa
max
T−1∑
t=0
(
1
1 + r
)t
Πt(kt, lt, It)
sujeto a
kt+1 = (1− δ)kt + It,
k(0) = k0 y k(T ) = kT dados,
en donde r es la tasa real de descuento, kt el capi-
tal, lt la mano de obra, It la inversión, δ la tasa de
depreciación del capital y Πt(kt, lt, It) la función
de ganancias netas.
a) Encontrar e interpretar las condiciones de
primer orden si
Πt(kt, lt, It) = F (kt, lt)− wtlt − It,
en donde wt es la trayectoria exógena del sa-
lario y F es una función de producción con
las propiedades usuales.
b) Resolver el mismo problema si el costo de
instalar el capital es γI
2
t
2kt
y por lo tanto la fun-
ción de ganancias queda dada por
Πt(kt, lt, It) = F (kt, lt)−wtlt−It− γI
2
t
2kt
.
En este caso, asumir que el capital no se de-
precia, es decir, δ = 0. Comparar con el mo-
delo de inversión en tiempo continuo dado
en la sección 11.7.1
� 14.4 Sean w0, ..., wT y C números positivos da-
dos. Expresar el siguiente problema como un pro-
blema de programación dinámica y resolverlo:
max
T∑
t=0
wtu
2
t
sujeto a
T∑
t=0
ut = C, ut ≥ 0 para toda t.
� 14.5 Sean p0, ..., pT y s0, ..., sT números no
negativos tales que
T∑
k=0
pk = 1. Expresar el siguien-
te problema como un problema de programación
dinámica y resolverlo:
max
T∑
t=0
ptst
st + ut
sujeto a
T∑
t=0
ut = C, ut ≥ 0 para toda t.
� 14.6 Resolver el modelo discreto de Ramsey de
la sección 14.5 con la restricción presupuestal dada
por (14.23).
� 14.7 La familia Robinson tiene una cantidad
inicial de riqueza w0. En cada periodo de tiempo,
la familia consume parte de esta riqueza e invierte
la restante a una tasa r. La función de utilidad de la
c©2001. Lomelí-Rumbos.
362 Ejercicios
familia es u(ct) =
√
ct, de manera que el proble-
ma a resolver, suponiendo un factor de descuento
igual a β y un horizonte infinito, es
max
∞∑
t=0
βt
√
ct
sujeto a wt+1 = (1 + r)(wt − ct) y w0 dado.
a) Encontrar la ecuación de Euler correspon-
diente.
b) Encontrar explícitamente la función valor.
c) Hacer los dos incisos anteriores si u(ct) =
cα, α ∈ (0, 1).
� 14.8 En el ejemplo 14.6.5,
a) sustituir el valor de F en las ecuaciones
(14.24) y (14.25) y posteriormente realizar
el análisis cualitativo de la ecuación (14.25),
b) encontrar el valor óptimo V (k0) para los si-
guientes valores de los parámetros: α = β =
0.5, A = 1 y k0 = 0.2.
� 14.9 Considerar el ejemplo dado en la sección
14.8.1 con las siguientes variantes: la función de
utilidad es u(ct) = ln ct, Rt = R, yt = y cons-
tantes y no hay incertidumbre. Realizar las siguien-
tes demostraciones:
a) La condición (14.34) implica que
ct =
1
(βR)n
ct+n.
b) Utilizando la expresión del inciso anterior,
probar que (14.39) se puede reescribir como
ct = (1− β)
(
at +
yR
R− 1
)
.
Observar que, si definimos la riqueza total en
t como wt = at + yRR−1 , la ecuación anterior
nos dice que el consumo en t es una propor-
ción constante de esta riqueza.
c) Definir el ingreso permanente como
ypt =
R− 1
R
at + y
y probar que ypt satisface
∞∑
k=0
ypt
Rk
= at +
yR
R− 1 = wt.
Es decir, el ingreso permanente es aquel cu-
yo valor presente, a lo largo de toda la vida
(infinita, en este caso), es igual a la riqueza
total.
d) Combinar los dos incisos anteriores y probar
que
ct =
[
1−
(
βR− 1
R− 1
)]
ypt .
A esto se lo conoce como la hipótesis del
ingreso permanente.10 El consumo no es
simplemente una proporción fija del ingreso
(ct = (1−s)yt) sino una proporción fija del
ingreso permanente. Aquí la tasa de ahorro
está dada por s = βR−1R−1 .
� 14.10 Realizar el análisis cualitativo del sistema
dinámico dado por la ecuación (14.31) de la sec-
ción 14.6.1.
� 14.11 Considerar el siguiente problema del ho-
gar representativo:
max E0
( ∞∑
t=0
βtu(ct)
)
sujeto a
at+1 = R(at + yt − ct),
{yt} y a0 dados,
en donde toda la notación es como en el ejemplo
14.8.1 y los rendimientos R son constantes.
10Milton Friedman menciona la hipótesis del ingreso permanente en [Fri56].
c©2001. Lomelí-Rumbos.
Ejercicios 363
a) Encontrar las condiciones de primer orden.
b) Si la función de utilidad es de la forma
u(t) = (B + εt)ct − D2 c
2
t ,
en donde εt es un shock aleatorio a las pre-
ferencias y B, D son constantes conocidas,
describir el tipo de proceso que sigue el con-
sumo si se tiene que εt+1 = αεt +ϑt+1 con
Et(ϑt+1) = 0, γt+1 = ct+1 − Et(ct+1)
y la tasa subjetiva es igual a la tasa real, de
manera que βR = 1.
c) Describir el proceso que sigue el consumo si
εt es una caminata aleatoria.
� 14.12 Considerar el siguiente problema del ho-
gar representativo:
max E0
(
T−1∑
t=0
e−αct
−α
)
sujeto a
at+1 = at + yt − ct,
yt = yt−1 + εt,
a0 dado,
en donde la función de utilidad es de aversión ab-
soluta al riesgo constante u(ct) = e
−αct
−α . Toda la
notación es como antes y εt es un proceso IID, dis-
tribuido como una normal con media 0 y varianza
σ2.
a) Obtener las condiciones de primer orden y
utilizar el hecho de que, dada x distribuida
como una normal con varianza σ2 se tiene
que E(ex) = eE(x)+
σ2
2 para probar que
ct+1 = ct +
ασ2
2
+ εt.
b) Probar que
ct =
(
1
T − t
)
at +yt− α(T − t− 1)σ
2
4
.
� 14.13 (Basado en el modelo de activos de Lucas
citado en la sección 14.8.4) Considerar el siguiente
problema del hogar representativo:
max E0
( ∞∑
t=0
βtu(ct)
)
sujeto a
yt + (dt + pt)st = ct + ptst+1,
{yt}, {dt}, {pt} y s0 dados.
Aquí, st denota el número de acciones de un ac-
tivo al principio del periodo t, dt son los dividen-
dos del activo generados al principio del periodo, pt
es el precio del activo (en términos reales) una vez
producidos los dividendos al principio del periodo.
Las demás variables son iguales que en el proble-
ma anterior. Como es costumbre, la restricción es
simplemente una restricción presupuestal en donde
yt +(dt +pt)st son los ingresos totales del periodo
y ct + ptst+1 los egresos totales.
a) Obtener las condiciones de primer orden.
b) Por definición de los rendimientos Rt, en el
periodo t éstos quedan dados por el cociente
Rt =
dt+1 + pt+1
pt
.
Probar que se obtiene entonces la condición
(14.35).
c) Suponer que la función de utilidad está dada
por u(ct) = ct. Probar entonces que
pt+1 = βEt(pt+1 + dt+1).
Resolver esta ecuación iterando hacia el fu-
turo y dividir la solución en la parte funda-
mental y la parte de burbuja.
c©2001. Lomelí-Rumbos.