Guía 4 1 Ejercicios Propuestos

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Ejercicios capítulo 4
Aplicaciones matemáticas para economía y negocios - EAF200A
Rafael Águila Felipe del Canto Bernardo Quiroga
29 de Octubre de 2020
Problema 1
Considere el siguiente problema
máx
x,y
x2y
s.a. 2x2 + y2 = 3
a) Encuentre candidatos a solución del problema utilizando el método de Lagrange.
b) Usando el método de reducción (reemplazando la restricción en la función objetivo), compruebe lo
obtenido en el paso anterior.
c) Clasifique cada uno de los puntos críticos obtenidos.
Problema 2
Analice cada uno de los siguientes problemas. Utilice propiedades de cuasi concavidad (convexidad) para
justificar que los candidatos encontrados sean o no soluciones.
a) máx
x,y
x3, sujeto a (x− 1)2 = 1.
b) máx
x,y
(x+ y)3, sujeto a y = 0. (Haga un dibujo para ayudarse con el análisis.)
Problema 3
Encuentre y clasifique los valores extremos de las siguientes funciones sujeto a restricciones de igualdad.
Además, donde sea posible, verifique que se cumple el teorema de la envolvente.
a) f(x, y) = ax+ y, sujeto a a−
√
x−√y = 1, con a > 1.
b) f(x, y) = x− 3y − xy, sujeto a x+ y = 6.
Problema 3
Encuentre y clasifique los candidatos a solución de los siguientes problemas sujetos a restricciones de
igualdad. Además, verifique que se cumple el teorema de la envolvente.
a) máx
x,y
f(x, y) = −x2 − y2, sujeto a ax+ y = 1, con a > 0.
b) mı́n
x,y
f(x, y) = ax+ by, sujeto a lnx+ y = 1.
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Aplicaciones matemáticas para economía y negocios EAF200A2S 2020
Problema 4
Consideremos una empresa que fabrica tres artículos A, B y C en cantidades x, y y z, respectivamente.
La empresa fija los precios de sus artículos según unas funciones decrecientes en la cantidad producida del
siguiente modo:
Un artículo A vale 200− 4x unidades monetarias (um).
Un artículo B vale 200− 3y um.
Un artículo C vale 100− x um.
Además, la empresa ha calculado empíricamente que su costo en función de las cantidades producidas
puede aproximarse por la función:
C(x, y, z) = x2 + 2y2 + z2 + 100z + 100
El objetivo de la empresa es maximizar sus beneficios, pero se comprometió a tener una producción total
de 58 unidades.
a) Escriba el problema de optimización y resuélvalo. Recuerde comprobar que el punto encontrado es un
máximo.
b) ¿Le conviene a la empresa aumentar su producción en una unidad adicional?
Problema 5
Dos hermanos viven juntos. El hermano mayor cuida de su hermano menor que es discapacitado, y
administra el presupuesto común. El hermano menor solamente gusta de consumir un tipo de bien, z. El
hermano mayor gusta de consumir dos tipos de bienes, x e y, que le generan una utilidad U(x, y) = lnx+ln y.
El hermano mayor desea que ambos hermanos consuman el mismo volumen, por lo que se obliga a que
x+y = z. Los precios de los bienes (x, y, z) vienen dados por (p, r, 1), respectivamente, y el hermano percibe
un salario de $w al mes para gastar en la casa.
a) Plantee el problema de maximización de utilidad que el hermano mayor enfrenta cada mes.
b) Obtenga un punto crítico del problema, y determine si es un máximo.
c) El hermano mayor ha recibido un anuncio de que su salario va a aumentar un poquito. Calcule el valor
de un aumento del salario en el bienestar del hermano mayor. Asimismo, calcule el valor del mismo
aumento del salario en el consumo del hermano menor.
d) Argumente si el hermano menor se beneficia o no de la mejora salarial de su hermano. ¿Cómo es
posible que mejore si su hermano mayor no valora directamente el consumo de z?
Problema 6
En el contexto de Gestión Operacional, en muchas ocasiones se necesita analizar el tiempo transcurrido
hasta terminar una actividad, cuando dichas actividades están ordenadas secuencialmente. Ese tiempo se
puede estudiar (y estimar) usando un modelo de densidad de probabilidades llamado “normal” o “gaussiano”:
g(tj , θ, σ) =
(
1
σ
√
2π
)
e
− 1
2
(
tj−θ
σ
)2
.
2
Aplicaciones matemáticas para economía y negocios EAF200A2S 2020
Aquí, tj es el tiempo transcurrido entre completar la actividad j-ésima y la (j − 1)-ésima, con j =
{1, 2, 3, 4, . . . }. El valor θ ≥ 0 es el tiempo medio de espera, el cual es desconocido, y el valor σ ≥ 0 es la
desviación estándar del tiempo de espera, también desconocido.
Suponga que se tiene un conjunto de T actividades medidas independientemente, (o sea, un conjunto
{t1, t2, . . . , tT } de duraciones de actividades individuales, secuenciales pero independientes). Para poder es-
timar los valores desconocidos de θ y σ, se necesita determinar los valores θ̂ y σ̂ que maximizan la función
L(θ, σ):
L(θ, σ) = g(t1, θ, σ)g(t2, θ, σ) · · · g(tT , θ, σ) =
T∏
j=1
g(tj , θ, σ)
a) Desarrolle la multiplicación expresada por la función L(θ, σ), y plantee el problema de maximización
correspondiente. Diferenciando, obtenga un punto crítico (θ̂, σ̂) para L(θ, σ). (Hint importante: Re-
cuerde que el punto (θ̂, σ̂) que maximiza la función L(θ, σ) es exactamente el mismo que maximiza la
función `(θ, σ) = ln[L(θ, σ)]. Fíjese que en este caso maximizar `(θ, σ) es mucho más fácil y rápido
que maximizar L(θ, σ).)
b) Verifique que ese punto crítico (θ̂, σ̂) encontrado en el punto anterior sea un máximo local.
c) Ahora considere que, en muchos procesos, es conveniente saber si el tiempo medio de duración y
su desviación estándar son iguales. Si dicha igualdad fuese válida, queremos estudiar cómo cambia
el problema. Plantee y resuelva el problema de optimización restringido, utilizando el método de
Lagrange. Obtenga el valor del multiplicador de Lagrange.
Problema 7
Una persona vive solo 2 periodos. En el primer periodo de su vida trabaja y consume, pero en el segundo
solo consume. La utilidad que obtiene de consumir en toda su vida es
U(c) = ln(c1) + β ln(c2),
donde β ∈ [0, 1] es un parámetro que controla cuánto le importa el futuro al individuo. Producto de que solo
trabaja en el primer periodo, su único ingreso es y, que debe repartir entre el consumo de ambos periodos.
Lo que no consume en el primer periodo, se ahorra en el banco y da intereses de r para el periodo siguiente.
Además, el costo del bien es $1 en ambos periodos. Así, si consume c1 en el periodo 1 y c2 en el 2, su
restricción presupuestaria es
(1 + r)(y − c1) = c2 ⇐⇒ c1 +
c2
1 + r
= y
Por simplicidad, llame R = 1 + r. La persona quiere obtener la mayor utilidad posible.
a) Escriba el problema de optimización.
b) Resuelva el problema. Muestre que el punto encontrado es un máximo.
c) ¿Qué significa que β = 0? ¿Cómo es la solución óptima en ese caso? Explique.
d) ¿Qué significa que β = 1? ¿Cómo es la solución óptima en ese caso? Explique.
e) Muestre que la función de valor crece cuando cambia R. Explique en el contexto del problema.
f) Muestre que la utilidad máxima crece cuando y crece. Explique en el contexto del problema.
g) Muestre que el ahorro no cambia cuando cambia R, ¿por qué entonces la utilidad máxima crece?
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