Ayudantia2

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EAS201a - Inferencia Estad́ıstica
Escuela de Administración UC
Material de Apoyo
Ayudant́ıa 2
: , 1
Distribuciones derivadas de la Normal
Tópicos de la Ayudant́ıa
I Distribuciones derivadas de la Normal
I Ejercicios
I Ejercicios Propuestos
: , 2
Distribuciones derivadas de la Normal
I Si Z ∼ N(0, 1), entonces la v.a U = Z 2 tiene distribución χ2(1)
I Si U1,U2, ...,Un son v.a iid χ
2(1), entonces V =
∑n
i=1 Ui tiene
distribución χ2(n)
I Si Z ∼ N(0, 1) y U ∼ χ2(n) son va independientes, entonces
T = Z√
U/n
tiene distribución t(n)
I Si U ∼ χ2(m) y V ∼ χ2(n) son va independientes, entonces
F = U/mV/n tiene distribución F (m, n)
: , 3
Distribuciones derivadas de la Normal
La Media y Varianza Muestral
Sean X1, ...,Xn son una m.a proveniente de la cualquier distribución. Se
define la media y varianza muestral por
X̄ =
1
n
n∑
i=1
Xi
S2 =
1
n − 1
n∑
i=1
(Xi − X̄ )2
: , 4
Distribuciones derivadas de la Normal
La Media y Varianza Muestral
Suponga que la distribución de la m.a es N(µ, σ2), entonces
I La media muestral X̄ tiene distribución N
(
µ, σ
2
n
)
Note que si la m.a tiene otra distribución y n es grande, entonces
por TLC la distribución de X̄ se puede aproximar por N
(
µ, σ
2
n
)
I La varianza muestral no tiene una distribución conocida, pero si la
multiplicamos por un factor, (n−1)S
2
σ2 se tiene que la distribución es
χ2(n − 1)
I A partir de lo anterior, se tiene que la v.a X̄−µ
S/
√
n
tiene distribución
t(n − 1)
: , 5
Distribuciones derivadas de la Normal
Ejercicio 1
Utilizando el teorema de transformación de variables aleatorias demuestre
que si Z ∼ N(0, 1) entonces la v.a U = Z 2 tiene distribución χ2(1).
Calcule E (U) y Var(U)
: , 6
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 1
Z ∼ N(0, 1) luego fZ (z) = 1√2π e
− z22 , z ∈ R
Sea U = Z 2, luego Z = ±
√
U. Defina g−11 (z) = −
√
U y g−12 (z) =
√
U
Sus respectivas derivadas son
dg−11 (z)
du =
−1
2
√
u
y
dg−12 (z)
du =
1
2
√
u
Luego por teorema de transformación de v.a se tiene que
fU(u) =
∣∣∣∣ −12√u
∣∣∣∣ 1√2π e− (−
√
u)2
2 +
∣∣∣∣ 12√u
∣∣∣∣ 1√2π e− (
√
u)2
2
: , 7
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 1
De esta manera,
fU(u) =
1√
u
1√
2π
e−
u
2 , u > 0
Que corresponde a la densidad de una v.a χ2(1)
Note que fU(u) se puede reescribir de la siguiente forma:
fU(u) =
1√
u
1√
2π
e−
u
2
=
1√
π
(
1
2
)1/2
u
1
2−1e−
1
2 u
Por propiedades de la función gamma Γ(·) se tiene que Γ(1/2) =
√
π, luego
: , 8
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 1
fU(u) =
1
Γ(1/2)
(
1
2
)1/2
u
1
2−1e−
1
2 u
Que corresponde a la densidad de una v.a Gamma
(
1
2 ,
1
2
)
Lo que se concluye que una v.a χ2(1) es equivalente a una Gamma
(
1
2 ,
1
2
)
Esta relación nos será de utilidad para el cálculo de E(U) y Var(U).
Recuerde que si X ∼ Gamma(r , λ) entonces
E(X ) =
r
λ
Var(X ) =
r
λ2
De esta manera,
E(U) =
1/2
1/2
= 1 Var(U) =
1/2
1/4
= 2
: , 9
Distribuciones derivadas de la Normal
Ejercicio 2
(a) Demuestre que si V ∼ χ2(n) entonces para n grande su distribución
se puede aproximar por una distribución Normal de media n y
varianza 2n.
(b) Sea S2 la varianza muestral de una m.a de tamaño n.
Calcule E(S2) y Var(S2).
: , 10
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 2
(a) Por enunciado se tiene que V ∼ χ2(n), entonces V se puede escribir
como una suma de v.a iid con distribución χ2(1), es decir,
V =
n∑
i=1
Ui donde Ui
iid∼ χ2(1)
Por ejercicio anterior se tiene que E (Ui ) = 1,Var(Ui ) = 2, luego
E(V ) =
n∑
i=1
E(Ui ) = n
Var(V ) =
n∑
i=1
Var(Ui ) = 2n
Como V es una suma de v.a iid, por TLC se puede aproximar su
distribución por una Normal con media n y varianza 2n.
: , 11
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 2
(b) La varianza muestral se define por S2 =
∑n
i=1(Xi−X̄ )
2
n−1 .
Se sabe que
(n − 1)S2
σ2
∼ χ2(n − 1)
Luego, por parte (a) del ejercicio se tiene que la media y varianza
están dadas por
E
(
(n − 1)S2
σ2
)
= n − 1
Var
(
(n − 1)S2
σ2
)
= 2(n − 1)
: , 12
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 2
Despejando se obtiene,
(n − 1)
σ2
E(S2) = (n − 1) ⇒ E(S2) = σ2
(n − 1)2
σ4
Var(S2) = 2(n − 1) ⇒ Var(S2) = 2σ
4
n − 1
: , 13
Distribuciones derivadas de la Normal
Ejercicio 3
Sean
X1, ...,X10 una m.a de una población N(µX , σ
2)
Y1, ...,Y15 una m.a de una población N(µY , σ
2)
W1, ...,W20 una m.a de una población N(µW , σ
2)
Todas las muestras son independientes entre śı.
Sean S2X ,S
2
Y y S
2
W las respectivas varianzas muestrales.
(a) Obtenga P
(
SX
SY
< 1.4365
)
(b) Usando la distribución de X + Y + W , construya un estad́ıstico T
tal que T ∼ t(42)
: , 14
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 3
(a) Por enunciado se tiene que
S2X =
10∑
i=1
(Xi − X̄ )2
9
S2Y =
15∑
i=1
(Yi − Ȳ )2
14
S2W =
20∑
i=1
(Wi − W̄ )2
19
Se sabe que
9S2X
σ2
∼ χ2(9) 14S
2
Y
σ2
∼ χ2(14) 19S
2
W
σ2
∼ χ2(19)
todas independientes entre śı. De esta manera,
9S2X
σ2 /9
14S2Y
σ2 /14
∼ F9,14 ⇒
S2X
S2Y
∼ F9,14
: , 15
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 3
Nos piden calcular,
P
(
SX
SY
< 1.4365
)
= P
(
S2X
S2Y
< 2.063
)
Lo que corresponde a calcular la probabilidad acumulada de una F9,14 en
el valor 2.063.
Dos alternativas:
I El valor exacto de dicha probabilidad se puede obtener por medio del
software R con el comando
pf(2.063,9,14) = 0.8915
: , 16
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 3
I Usando las tablas F con 9 y 14 grados de libertad que se disponen
para probabilidades de 0.90, 0.95, 0.975. Para dichos valores se
obtiene
P(F < 2.12) = 0.90
P(F < 2.65) = 0.95
P(F < 3.21) = 0.975
En nuestro caso el valor más cercano a 2.063 es 2.12 por lo cual
P
(
S2X
S2Y
< 2.063
)
≈ 0.90
: , 17
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 3
(b) Por enunciado Xi ,Yi y Wi tienen distribución Normal, luego
X ∼ N
(
µX ,
σ2
10
)
Y ∼ N
(
µY ,
σ2
15
)
W ∼ N
(
µW ,
σ2
20
)
y son todas independientes entre śı. Luego
X + Y + W ∼ N
(
µX + µY + µW ,
σ2
10
+
σ2
15
+
σ2
20
)
: , 18
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 3
Además,
9S2X
σ2
∼ χ2(9) 14S
2
Y
σ2
∼ χ2(14) 19S
2
W
σ2
∼ χ2(19)
independientes entre śı, luego la suma de ellas también es una v.a con
distribución χ2
V =
9S2X
σ2
+
14S2Y
σ2
+
19S2W
σ2
∼ χ2(9 + 14 + 19) = χ2(42)
Como (X +Y +W ) y V son v.a independientes, luego se puede construir
un estad́ıstico T con distribución t-student de la siguiente manera
: , 19
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 3
T =
(X+Y+W )−(µX +µY +µW )√
1
σ2
( 110 +
1
15 +
1
20 )√
1
σ2
(9S2X +14S2Y +19S2W )
42
∼ t(42)
Lo que es equivalente a
T =
(X + Y + W )− (µX + µY + µW )√
13
60·42 (9S
2
X + 14S
2
Y + 19S
2
W )
∼ t(42)
: , 20
Distribuciones derivadas de la Normal
Ejercicios Propuestos
1. Suponga que X1,X2, ...,Xn,Xn+1 constituyen una muestra aleatoria
de una distribución Normal con media µ y varianza σ2 y sea
X̄n =
1
n
n∑
i=1
Xi Tn = (n
−1
n∑
i=1
(Xi − X̄n)2)1/2
Determine el valor de la constante k tal que la v.a k(Xn+1 − X̄n)/Tn
tengs una distribución t-student. Especifique sus grados de libertad.
: , 21
Distribuciones derivadas de la Normal
Ejercicios Propuestos
2. Suponga que X1,X2, ...,Xn constituyen una m.a de una distribución
exponencial de parámetro β. Demuestre que 2β
∑n
i=1 Xi tiene
distribución χ2 con 2n grados de libertad.
3. Demuestre usando el teorema de transformación que si X ∼ Fn,m
entonces 1X tiene distribución Fm,n.
4. Sea X1,X2, ...,X50 una m.a de con media 0 y varianza 4. Sea S
2
50 su
varianza muestral. Calcule P
(
1 < S250 < 3
)
.
: , 22