ESTADÍSTICA II_Distribución Normal_SESION 2-convertido

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ESTADÍSTICA II
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS 
INTERNACIONALES
Docente: Yetsabel Auccaille Quispe
DISTRIBUCIÓN NORMAL
PROPÓSITO: Calcular la probabilidad de una variables continua que sigue una distribución normal y
resolver problemas de aplicación usando la distribución normal.
Distribución Normal
Distribución de Probabilidad Continua
Definición: Una variable continua es la variable que puede tomar
cualquier valor que esté en un intervalo de valores dado, y en los cuales la
distribución de probabilidad es continua.
Ejemplos
Tiempo, velocidad, temperatura, peso, etc.
Una distribución de probabilidad continua que es muy importante es la
distribución normal. Varios matemáticos han contribuido a su
desarrollo, entre los que podemos contar al astrónomo-matemático
del siglo XVIII Karl Gauss. En honor a su trabajo, la distribución de
probabilidad normal también es conocida como distribución gaussiana.
Distribución Normal
❖ La distribución normal es una de las distribuciones más importantes y
de uso más frecuente en la estadística, puesto que gran parte de la
teoría fue desarrollada inicialmente para variables con esta distribución.
❖ La gran mayoría de variables aleatorias que se estudian en
experimentos físicos (alturas, pesos) son aproximadamente modelados
por una distribución normal. Muchas distribuciones de probabilidad,
incluyendo discretas, pueden ser aproximadas por esta distribución (si
se cumplen ciertas condiciones).
Aunque una variable no se distribuya normal, las sumas y promedios de
las variables, si se cumplen ciertas condiciones, tendrán una
distribución normal aproximada (Teorema Central del Límite)
Definición: Una variable aleatoria X tiene distribución normal
con parámetros µ (media) y σ 2 (varianza) si su función está
dada por:
Ejemplo 1. La resistencia a la compresión de muestras de cemento
puede ser modelada por una distribución normal con media de
6000Kg/cm2 y una desviación estándar de 100Kg/cm2 . ¿Cuál es la
probabilidad de que la resistencia a la compresión de una muestra sea
inferior a 6250Kg/cm2 ?
La resistencia a la compresión de muestras de cemento puede ser
modelada por una distribución normal con media de 6000Kg/cm2 y una
desviación estándar de 100Kg/cm2 . ¿Cuál es la probabilidad de que la
resistencia a la compresión de una muestra sea inferior a 6250Kg/cm2 ?
Ninguna de las técnicas estándar se pueden usar para evaluar la
expresión anterior. En vez de eso, para µ = 0 y σ = 1 (normal estándar) se
han evaluado numéricamente y tabulado ciertos valores. A partir de
estas tablas se puede usar para calcular probabilidades para cualquier µ
y σ
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR 𝑵(𝟎; 𝟏)
La variable aleatoria con distribución 𝑁(0; 1) se denota por Z,
tal que
𝑍 =
𝑋−𝜇
𝜎
, donde 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2)
𝒇 𝒛 =
𝟏
𝟐𝝅
𝒆−
𝒛𝟐
𝟐 ,
−𝟒 < 𝒛 < +𝟒
Si X tiene una distribución normal con media µ y desviación estándar σ,
entonces:
Tiene una distribución normal estándar. Así, 
Al estandarizar, cualquier probabilidad en la que interviene X se puede
expresar como una probabilidad asociada a una variable aleatoria Z
(Normal Estándar)
PROPIEDADES
1. Media 𝐸 𝑥 = 𝜇
2. Varianza 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜎2
3. Desviación típica 𝜎 = 𝜎2
4. Dadas 𝑋1~𝑁(𝜇1, 𝜎1) y 𝑋2~𝑁(𝜇2, 𝜎2) variables
aleatorias independientes, entonces se verifica que:
𝑋1 + 𝑋2~𝑁(𝜇1 + 𝜇2, 𝜎1
2 + 𝜎2
2).
5. La distribución Normal es Simétrica y asintótica,
cuya asíntota es el eje X (y=0)
Uso de la tabla Normal 
N(𝜇 = 0, 𝜎 = 1)
https://www.um.es/documents/877924/4630870/Mayores2018+Mat+Apli+
CCSS+-+tabla_de_la_distribucion_normal3-1.pdf/fdcdf99d-b6d6-49c8-82af-
eded690dbf4f
MANEJO DE LA TABLA 𝑵(𝟎; 𝟏)
CASO I. 𝑃 𝑍 < 𝑧0 , con 𝑧0 > 0
https://www.um.es/documents/877924/4630870/Mayores2018+Mat+Apli+CCSS+-+tabla_de_la_distribucion_normal3-1.pdf/fdcdf99d-b6d6-49c8-82af-eded690dbf4f
𝑃 𝑍 < 1.25 = 0.8944 . Procedemos de la siguiente forma:
Buscamos en la tabla de la 𝑁(0; 1) el valor 1.25. En la primera
columna buscamos el valor 1.2 y en esta fila nos desplazamos
hacia la derecha hasta la columna con valor 0.05.
𝟏. 𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟓 = 𝟏. 𝟐𝟓
Calculando en la Aplicación
𝝁=0 𝝈 = 𝟏
𝒙 = 𝟏. 𝟐𝟓 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 = 0.8944
CASO II. 𝑃 𝑍 < −𝑧0 = 𝑃 𝑍 > 𝑧0
𝑷 𝒁 < −𝒛𝟎 𝑷 𝒁 > 𝒛𝟎
P 𝑍 < −1.34 = 𝑃 𝑍 > 1.34
𝑃 𝑍 > 1.34 = 1 − 𝑃 𝑍 < 1.34 = 1 − 0.9099 = 0.0901
Como la distribución Normal es Simétrica entonces la Normal
estándar también es simétrica. Por lo que el área por debajo de
-1.34 es igual al área por encima de 1.34, es decir
𝑃 𝑍 < −1.34 = 𝑃 𝑍 > 1.34 , como muestra la siguiente figura.
𝑃 𝑍 < −1.34 𝑃 𝑍 > 1.34
𝝁=0 𝝈 = 𝟏
𝒙 = −𝟏. 𝟑𝟒 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 = 0.0901
CASO III. 𝑷 𝒛𝟏 ≤ 𝒁 ≤ 𝒛𝟐 = 𝑷 𝒁 ≤ 𝒛𝟐 − 𝑷 𝒁 ≤ 𝒛𝟏
𝑃 1.25 < 𝑍 < 1.34 = 𝑃 𝑍 < 1.34 − 𝑃 𝑍 < 1.25
= 0.9099 − 0.8944 = 0.0155
Hallar 𝑧0 de la distribución Normal 𝑁(0; 1) en cada caso:
1) 𝑃 𝑍 < 𝑧0 = 0.7019 se busca en la parte central de la tabla
normal 𝑁(0; 1) la probabilidad 0.7019, observando la fila 0.5 y la
columna 0.03, luego
USO DE LA TABLA NORMAL 𝑵(𝟎; 𝟏) EN FORMA
INVERSA
𝑧0 = 0.53
En la aplicación
2) 𝑷 𝒁 < 𝒛𝟏 = 𝟎. 𝟖𝟗𝟗𝟕, se busca en la parte central de la
tabla normal 𝑁(0; 1) la probabilidad 0.8997, observando
la fila 1.2 y la columna 0.08, luego
𝒛𝟏 = 𝟏. 𝟐𝟖
Cuando tenemos una variable aleatoria Normal 𝑁(𝜇, 𝜎2), para calcular las
probabilidades se efectúa un cambio de variable que convierte en una v.a.
𝑁(0; 1).
𝑿~𝑵 𝝁, 𝝈𝟐 → 𝒁 =
𝑿 − 𝝁
𝝈
~𝑵(𝟎; 𝟏)
A esta variable se llama normalizada o tipificada.
𝑷 𝑿 ≤ 𝒙𝟎 = 𝑷 𝒁 ≤
𝒙𝟎 − 𝝁
𝝈
𝑷 𝒙𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝒙𝟐 = 𝑷
𝒙𝟏 − 𝝁
𝝈
≤
𝑿 − 𝝁
𝝈
≤
𝒙𝟐 − 𝝁
𝝈
= 𝑷 𝒛𝟏 ≤ 𝒁 ≤ 𝒛𝟐
TIPIFICAR UNA VARIABLE NORMAL
Ejercicio 1. Si la estatura de 500 estudiantes sigue una
distribución Normal con promedio 172 cm y desviación típica
5cm, hallar el número de estudiantes con estatura
a)Entre 170 y 175 cm
b)Mayor de 180 cm
SOLUCIÓN
Sea 𝑋: La estatura del estudiante
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
𝜇 = 172 𝑐𝑚 y 𝜎 = 5 𝑐𝑚
𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 Entonces 𝑋~𝑁 𝜇 = 172, 𝜎2 = 25
a) Calcularemos primero la probabilidad del número de estudiantes con
estatura entre 170 y 175 cm.
𝑷 𝟏𝟕𝟎 < 𝑿 < 𝟏𝟕𝟓 = 𝑷
𝟏𝟕𝟎 − 𝝁
𝝈
<
𝑿 − 𝝁
𝝈
<
𝟏𝟕𝟓 − 𝝁
𝝈
= 𝑷
𝟏𝟕𝟎 − 𝟏𝟕𝟐
𝟓
< 𝒁 <
𝟏𝟕𝟓 − 𝟏𝟕𝟐
𝟓
= 𝑷
−𝟐
𝟓
< 𝒁 <
𝟑
𝟓
= 𝑷 −𝟎. 𝟒 < 𝒁 < 𝟎. 𝟔
= 𝑷 𝒁 < 𝟎. 𝟔 − 𝑷 𝒁 < −𝟎. 𝟒
= 𝑷 𝒁 < 𝟎. 𝟔 − 𝑷 𝒁 > 𝟎. 𝟒 = 𝟎. 𝟕𝟐𝟓𝟕 − 𝟎. 𝟑𝟒𝟒𝟔 = 𝟎. 𝟑𝟖𝟏𝟏
Por lo tanto el número de estudiantes con estatura entre 170 y 175
cm es 500 ∗ 𝟎. 𝟑𝟖𝟏𝟏 = 𝟏𝟗𝟎. 𝟓𝟓 = 𝟏𝟗𝟏
Usando Aplicación:
𝑷 𝟏𝟕𝟎 < 𝑿 < 𝟏𝟕𝟓 = 𝑷 𝑿 < 𝟏𝟕𝟓 − 𝑷 𝑿 < 𝟏𝟕𝟎
= 𝟎. 𝟕𝟐𝟓𝟕𝟒𝟕 − 𝟎. 𝟑𝟒𝟒𝟒𝟓𝟕𝟖 = 𝟎. 𝟑𝟖𝟏𝟏𝟔𝟗
Por lo tanto 𝑬𝒍 # 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅 = 500 ∗ 𝟎. 𝟑𝟖𝟏𝟏𝟔𝟗 = 𝟏𝟗𝟎. 𝟓𝟖𝟒𝟓 = 𝟏𝟗𝟏
b) Calcularemos primero la probabilidad del número de estudiantes con
estatura mayor de 180 cm.
𝑷 𝑿 > 𝟏𝟖𝟎 = 𝑷
𝑿 − 𝝁
𝝈
>
𝟏𝟖𝟎 − 𝝁
𝝈
= 𝑷 𝒁 >
𝟏𝟖𝟎 − 𝟏𝟕𝟐
𝟓
= 𝑷 𝒁 >
𝟖
𝟓
= 𝑷 𝒁 > 𝟏. 𝟔 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟒𝟖
Por lo tanto el número de estudiantes con estatura mayor de 180 cm es
500 ∗ 𝟎. 𝟎𝟓𝟒𝟖 = 𝟐𝟕. 𝟒 = 𝟐𝟕
Usando aplicación
𝑷 𝑿 > 𝟏𝟖𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟒𝟕𝟗𝟗. Entonces
𝑬𝒍 # 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅 = 500 ∗ 𝟎. 𝟎𝟓𝟒𝟕𝟗𝟗 = 𝟐𝟕. 𝟑𝟗𝟗𝟓 = 𝟐𝟕
Ejercicio 2. Suponga que el director del programa de entrenamiento
desea saber la probabilidad de que un participante escogido al azar
requiera entre 550 y 650 horas para completar el trabajo requerido en el
programa.
SOLUCIÓN
Esta probabilidad está representada por el área sombreada de la figura.
Primero calculamos un valor de z para nuestro punto correspondiente a 650
horas de la siguiente manera:
𝑷 𝟓𝟓𝟎 < 𝑿 < 𝟔𝟓𝟎 = 𝑷
𝟓𝟓𝟎 − 𝝁
𝝈
<
𝑿 − 𝝁
𝝈
<
𝟔𝟓𝟎 − 𝝁
𝝈
= 𝑷
𝟓𝟓𝟎 − 𝟓𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
< 𝒁 <
𝟔𝟓𝟎 − 𝟓𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝑷
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
< 𝒁 <
𝟏𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝑷 𝟎. 𝟓 < 𝒁 < 𝟏. 𝟓 = 𝑷 𝒁 < 𝟏.𝟓 − 𝑷 𝒁 < 𝟎. 𝟓
= 𝟎. 𝟗𝟑𝟑𝟏𝟗𝟑 − 𝟎. 𝟔𝟗𝟏𝟒𝟔𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟒𝟏𝟕𝟑𝟏
Usando Aplicación:
𝑷 𝟓𝟓𝟎 < 𝑿 < 𝟔𝟓𝟎 = 𝑷 𝑿 < 𝟔𝟓𝟎 − 𝑷 𝑿 < 𝟓𝟓𝟎
= 𝟎. 𝟗𝟑𝟑𝟏𝟗𝟑 − 𝟎. 𝟔𝟗𝟏𝟒𝟔𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟒𝟏𝟕𝟑𝟏
Ejercicio 3. Ángel desea solicitar un préstamo de $75,000 al banco para
adquirir un nuevo tractor. El funcionario de crédito no tiene ningún dato
específico sobre la historia del banco acerca de préstamos para equipo,
pero le dice a Ángel que a través de los años, el banco ha recibido
aproximadamente 1,460 solicitudes de préstamo por año y que la
probabilidad de que sean aceptadas fue, en promedio, de
aproximadamente 0.8.
a) Ángel tiene curiosidad acerca del promedio y de la desviación estándar
del número de préstamos aceptados por año.
b) Suponga que después de una minuciosa investigación el funcionario de
crédito le dice a Ángel que en realidad las cantidades correctas son de
1,327 solicitudes al año con una probabilidad de aprobación de 0.77.
¿Cuáles son ahora la media y la desviación estándar?