Semana6_Variables_Aleatorias_Continuas_parte1

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PROBABILIDADES Y ESTADISTICA 
Tema 4.1: Variables Aleatorias Continuas 
 
 
 Dra. Patricia Guevara Vallejo 
Docente del DECE 
Universida de las Fuerzas Armadas -ESPE 
 
 
 
 
Mayo 2020 
 
I 
 ÍNDICE 
Capítulo 4. Variables aleatorias continuas ________________ 84 
4.1. Definición de variable aleatoria continua _________________ 84 
4.2. Función de densidad ___________________________________ 84 
4.3. Función de distribución ________________________________ 85 
4.4. Esperanza matemática para una variable aleatoria continua 85 
4.5. Varianza para una variable aleatoria continua ____________ 85 
4.6. Distribuciones continuas _______________________________ 91 
4.7. Distribuciones normal __________________________________ 91 
4.7.1. Variable aleatoria normal estándar ___________________________________ 93 
Bibliografía ______________________________________ 98 
 
 
 
 
 
 
84 
Capítulo 4. Variables aleatorias continuas 
 
 
 
 
 
 
Como ya se mencionó en el capítulo anterior, una v.a. continua es aquella que toma un rango 
infinito de valores en R. A continuación se enuncia la definción formal. 
 
4.1. Definición de variable aleatoria continua 
Una variable aleatoria X se dice continua, si y solo si la probabilidad en cualquier punto es cero. 
Es decir: xR p(X=x) = 0 
 
A diferencia de las variables aleatorias discretas donde se podía calcular la probabilidad puntual 
f(x)=p(X=x), ahora esto no tiene sentido, por lo dicho anteriormente; y por este mismo principio 
p(X≤x) = p(X<x). 
 
4.2. Función de densidad 
La función f(x), definida en el conjunto de los números reales, se llama función de densi-
dad de probabilidad de la variable aleatoria continua X, si y solo si la probabilidad de que 
x se encuentre entre dos valores se calcula con la integral definida de f(x) entre a y b. 
𝑝(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
 
Teorema 
Una función f(x) de una variable aleatoria continua X será de densidad si satisface dos 
propiedades: 
1. f(x) 0 para -<x<+ 
2. ∫ 𝒇(𝒙)
+
−
𝒅𝒙 = 𝟏 
 
 
User
Lápiz
User
Texto escrito a máquina
f(z)dz
User
Lápiz
User
Texto escrito a máquina
f(x)dx
User
Resaltado
User
Resaltado
User
Resaltado
 
85 
4.3. Función de distribución 
Si X es variable aleatoria continua y su función de densidad es f(x), entonces la función 
de distribución F(x) se define por: 
𝑭(𝒙) = 𝒑(𝑿 ≤ 𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙)
𝒙
−∞
𝒅𝒙 para -<x<+ 
 
La función de distribución F(x) para una variable aleatoria continua satisface cuatro propiedades: 
1. 0F(x) 1  xX 
2. F(xi) F(xj) si xi<xj 
3. P(X>x) = 1 - p(Xx) = 1-F(x) 
4. P(xi X xj) = p(Xxj) - p(Xxi) = F(xj) – F(xi) = 
j
i
x
x
f(x)dx , xi<xj 
Nota. La función de de densidad f(x) puede obtenerse al derivar la función de distribución F(x). 
 
4.4. Esperanza matemática para una variable aleatoria continua 
Si X es variable aleatoria continua y f(x) es sun función de densidad, la esperanza matemá-
tica de X o valor esperado de X se define: 
𝑬(𝑿) = ∫ 𝒙𝒇(𝒙)
+
−
𝒅𝒙 
4.5. Varianza para una variable aleatoria continua 
Si X es variable aleatoria continua y f(x) es su función de densidad, la varianza puede defi-
nirse mediante la esperanza matemática de X como sigue: 
𝑽𝒂𝒓(𝑿) = 𝑽(𝑿) = 𝑬(𝒙 − 𝒖)𝟐 = ∫ (𝑿 − 𝒖)𝟐𝒇(𝒙)
+
−
𝒅𝒙 
Aplicando las propiedades, se demuestra que: Var(X) = E(X2) – [E(X)]2. 
 
Nota. La esperanza matemática y la varianza en el caso continuo cumplen las mismas propie-
dades propuestas en el caso discreto, sin embargo la demostración en el caso continuo requiere el 
uso de la integral en lugar de sumatoria. 
 
Ejemplo 4.1. (Ejercicio 4.18, Prob. & Estad. Aplic. Ing. Montgomery & Runger. 1a. Ed.) 
Suponga que la función de distribución es: 𝐹(𝑥) = {
0 𝑥 < 0
0.2𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 5
1 𝑥 > 5
 
User
Resaltado
User
Lápiz
User
Lápiz
User
Texto escrito a máquina
A1=b1*h1
A = Sum(Ai)
A= lim f(x) delta x
User
Lápiz
User
Lápiz
User
Texto escrito a máquina
p(X>x) = 
User
Lápiz
User
Texto escrito a máquina
 = u
User
Texto escrito a máquina
X, f(x), F(x), E(x), ...
User
Cuadro de texto
p(X<2)=0.2(2)=0.4
p(X>3)=1-p(X<=3)=1-F(x)=1-0.2(3)=0.4
f(x) = 0.2 si 0<=X<=5
 0 otro caso
 
86 
 
 
Ejemplo 4.2 
 
 
Ejemplo 4.3 
Tomado del libro de Prob. & Estad. Aplic. Ing. Montgomery & Runger. 1era. Edición 
El diámetro de un agujero taladrado en milímetros es 10e-10(x-5) para x>5 mm, aunque el diámetro 
requerido es 5mm, las vibraciones, el desgaste de las herramientas y otros factores producen 
diámetros mayors que 5 mm. 
 
87 
a. Calcular la media y la varianza del diámetro de los agujeros. 
 
 
 
(Resuelto, revise) 
Var(x) = E(x2) - 2 = ∫ 10e−10(x−5) 𝑥2𝑑𝑥
+∞
5
 
Para usar: uv-vdu, se definen: 
u=x2  du = 2xdx 
dv=10e-10(x-5)dx  v = ∫ 10e−10(x−5) 𝑑𝑥= 
−1
10
∫ 10ew 𝑑𝑤=e-10(x-5) 
w=-10(x-u)  dw=-10dx 
Luego: I = uv-vdu = x2.e-10(x-5) – 2 ∫ e−10(x−5)xdx= x2.e-10(x-5) – 2I1 
Para la integral I1, usar nuevamente: uv-vdu, por lo que se definen: 
u=x  du = dx 
dv=e-10(x-5)dx  v = ∫ e−10(x−5) 𝑑𝑥=
−1
10
e-10(x-5) 
 
88 
Luego: 
I1 = uv-vdu= x. 
−1
10
e-10(x-5)+ 
1
10
∫ e−10(x−5)dx= 
−𝑥𝑒−10(𝑥−5)
10
−
𝑒−10(𝑥−5)
100
 en I 
I = x2.e-10(x-5) – 2I1 = x2.e-10(x-5) – 2*(
−𝑥𝑒−10(𝑥−5)
10
−
𝑒−10(𝑥−5)
100
) 
𝐼 = 
𝑥2
𝑒10(𝑥−5)
− 2 ∗ (
−𝑥
10𝑒10(𝑥−5)
−
1
100𝑒10(𝑥−5)
) 
= 
52
𝑒0
− 2 ∗ (
−5
10𝑒0
−
1
100𝑒0
) – lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑒10(𝑥−5)
− 2 lim
𝑥→∞
𝑥
𝑒10(𝑥−5)
− lim
𝑥→∞
1
100𝑒10(𝑥−5)
 = 
Aplicando L’Hopital una y dos veces en el término que corresponde 
= 25 + 1 +
1
50
−
2𝑥
10𝑒10(𝑥−5)
− 2 (
1
10𝑒10(𝑥−5)
− 0)= 
Aplicando L’Hopital 
= 25 + 1 +
1
50
− lim
𝑛→∞
2
100𝑒10(𝑥−5)
− lim
𝑛→∞
(
1
10𝑒10(𝑥−5)
)= 
= 25 + 1 +
1
50
− 0=26.02 
 
 
b. Obtenga la probabilidad de que un diámetro sea mayor que 5 mm 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 4.4 
Tomado del libro de Prob. & Estad. Aplic. Ing. Montgomery & Runger. 5ta. Edición 
 
 
Además hallar lo siguiente 
 
89 
a. p(X>5) 
 
 
b. p(X>20) 
 
 
c. E(X) 
 
 
d. Var(X) 
 
 
 
Ejemplo 4.5 
Tomado del libro de Prob. & Estad. Aplic. Ing. Montgomery & Runger. 5ta. Edición 
 
 
Además hallar lo siguiente 
a. p(X<12.5) 
 
 
 
b. p(12.6<X<12.7) 
 
 
 
c. E(X) 
 
 
 
90 
 
 
 
 
d. Var(X) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 4.6 
Demuestre que la función f(x) = kx2, para 0<x<4 es una función de densidad para alg{u valor 
de k. Determine el valor de k. 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 4.7 
Si f(x)=e—x, x>0, es función de probabilidad, hallar: 
a. P(X>2) 
 
 
b. P(2<X≤3) 
 
 
 
c. E(x) 
 
 
 
d. V(x) 
 
 
91 
4.6. Distribuciones continuas 
Algunos casos de distribuciones continuas son la normal, exponencial, uniforme continua, 
entre otras. 
 
4.7. Distribuciones normal 
La distribución normal es un modelo matemático que permite estudiar el comportamiento 
de una variable cuya función de densidad de ajusta a la denominada Campana de Gauss, medi-
ante el cálculo de las probabilidades para predecir la ocurrencia de eventos. La distribución nor-
mal, es una de las distribuciones más importantes dentro de la Estadística, por su aplicabilidad 
en diferentes situaciones reales dentro de la Administración, la Biología, la Agronomía, la Medic-
ina, Ingeniería, etc. El matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855), fue quien aporto en el estu-
dio de esta distribución. Y a la gráfica de la función de densidad tiene la forma de una campana a 
la que se le ha llamado “Campana de Gauss”. 
 
 
No todas las variables se pueden estudiar a través de la distribución normal, ya que podrían ajus-
tarse mejor a otros modelos. Para poder usar esta distribución, se comprobar si la variable sigue 
una distribución normal a través de pruebas de hipótesis no paramétricas. 
 
Definición. Si X es una variable aleatoria normal de parámetros la media=E(X) y la varianza 
Var(X)=2, notada como X  N(, 2), entonces tiene una función de densidad: 
2
σ
μx
2
1
X e
2πσ
1
(x)f





 

 , -<X< , e=2,71828... y =3,14159 (1) 
La función de densidad, tiene las siguientes características: 
1. Simétrica 
2. Mesocúrtica 
3. Asintótica respecto al eje X. 
4. Los puntos de inflexión tienen abscisas los x x 
http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
 
92 
 
 
La variable aleatoria normal, tienen las siguientes medidas descriptivas: 
Media Varianza Coeficiente de asimetría Coeficiente de curtosis 
E(x) =  Var(x) =2 3 = 0 4 = 3 
 
Comparación entre varias gráficas de distribución normal 
 Igual media, pero diferentes desviaciones estándar, implica mayor o menor dispersión. 
 Igual desviación estándar, pero diferente media, solo implica traslación de la media. 
 
 
Definición. Si X es una variable aleatoria normal de parámetros la media =E(X) y la varianza 
Var(X)=2, notada como X  N(, 2), entonces tiene una función de distribución: 







 


0
2
x
σ
μx
2
1
0X e
2πσ
1
)xP(X(x)F 
F(z) cumple con las propiedades de la función de distribución para variables aleatorias continuas. 
 
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
-3
,6
-3
,2
-2
,8
-2
,4 -2
-1
,6
-1
,2
-0
,8
-0
,4 0
0
,4
0
,8
1
,2
1
,6 2
2
,4
2
,8
3
,2
f(x)
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
-3
,6
-3
,2
-2
,8
-2
,4 -2
-1
,6
-1
,2
-0
,8
-0
,4 0
0
,4
0
,8
1
,2
1
,6 2
2
,4
2
,8
3
,2
3
,6
F(x)=P(X≤x)
pvgue
Texto escrito a máquina
pero usando el valor estandarizado es 0
pvgue
Texto escrito a máquina
xo
pvgue
Lápiz
pvgue
Lápiz
pvgue
Resaltado
pvgue
Lápiz
pvgue
Texto escrito a máquina
0
 
93 
4.7.1. Variable aleatoria normal estándar 
 
La función de densidad de una variable aleatoria normal es compleja, mucho más cuando a cada 
cálculo de probabilidad le corresponde el cálculo de una integral definida, mediante métodos nu-
méricos. Para resolver el problema se realiza el cambio de variables con z (variable aleatoria nor-
mal estándar) para trasladar el eje de simetría al Origen del sistema de referencia. Luego se con-
struye una table de probabilidades para diferentes valores de Z desde -3.69 a 3.69 aproximad-
amente. 
Esta variable aleatoria no tiene unidad de medida, pues ha sido estandarizada para cualquier valor 
de X. Por lo tanto las probabilidades calculadas con Z, serán las requeridas para X, pues la curva 
mantiene su tamaño y forma, solo ha trasladado su eje de simetría. 
 
 
 
Definición.- Si X sigue una distribucion normal de media x y desviación estándar x=1, se 
define la variable aleatoria 𝑍 =
𝑋−𝜇𝑋
𝜎𝑋
, denominada variable aleartoria normal estándar de media 
x=0 y desviación estándar z=1. La variable aleatoria normal estándar es el cambio de variable 
que permite la traslación de la media hacia el Origen y a la vez hace que la desviación estándar se 
haga uno, por lo tanto Z tambien tiene distribución normal. 
Por lo que se puede denotar Z N(, ) 
Se demuestra que E(Z)=0 
E(Z) = E 0)μ(μ
σ
1
)μE(x
σ
1
σ
ux
xx
x
x
xx
x 






 
 
Se demuestra que Var(Z)=1 
Var(Z)=Var 1
σ
σ
Var(X)
σ
1
)μVar(X
σ
1
σ
μX
x
2
x
2
x
2x
x
2
x
x 




 
 
pvgue
Resaltado
pvgue
Texto escrito a máquina
ux
pvgue
Texto escrito a máquina
- inf
pvgue
Texto escrito a máquina
+inf
pvgue
Texto escrito a máquina
uz=0
pvgue
Resaltado
pvgue
Cuadro de texto
uz
pvgue
Texto escrito a máquina
con media z=0 y desv. est z =1
pvgue
Texto escrito a máquina
E(x)-E(ux)
pvgue
Texto escrito a máquina
Var(x)-Var(ux)=
 
94 
4.7.1.1. Función de densidad y distribución normal estándar 
 
Si Z tiene distribución normal estándar con media 0 y varianza 1, se denota: Z  N(0, 1). Y la 
función de de densidad y distribución de probabilidad para esta variable se definen a contin-
uación. 
Función de densidad normal estándar: 2
Z
z
2
e
2π
1
(z)f

 -<z< 
Función de distribución normal estándar: 









z z
2
1
Z dze
2π
1
(z)F
2
 -<z< 
Sus gráficas son: 
 
 
4.7.1.2. Propiedades de la función de distribución normal estándar 
Si Z  N(0, 1), cumple dos propiedades de simetría: 
1) P(Z  z) = 1- P (Z z) = P(Z-z) 
2) P(– z  Z  z) = 1 – 2P(Z  – z) = 2P(Z  z) – 1 
 
4.7.1.3. Uso de las tablas de la distribución normal 
 
En este curso usareos la table de distribución F(z) completa, tanto para valores positivos como 
negativos de z, en el rango de -3.69 a 3.69 en una hoja de dos partes, primera parte valores de z 
negativos y la segunda parte con valores de z positivos. En cada parte, la primera columna de z 
tiene un decimal y las siguientes colmnas el Segundo decimal, mientras que en la parte interna de 
la table se encentran las probabildades p(Zz), que corresponden al área bajo la curva limitado 
por el punto crítico z. 
 
Por ejemplo para calcular P(Z1,96), se busca en la primera columna el número 1,9 y en las colum-
nas el centésimo 0,06; luego la celda intersección de la fila y columna correspondientes es la prob-
abilidad buscada; en este caso ese número es 0,975 por lo que: P(Z  1,96) = 0,975 
0,000
0,200
0,400
0,600
-3
,6
-3
,1
-2
,6
-2
,1
-1
,6
-1
,1
-0
,6
-0
,1
0
,4
0
,9
1
,4
1
,9
2
,4
2
,9
3
,4
f(z)
0,000
0,500
1,000
-3
,6
-3
,1
-2
,6
-2
,1
-1
,6
-1
,1
-0
,6
-0
,1
0
,4
0
,9
1
,4
1
,9
2
,4
2
,9
3
,4
F(z)
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Lápiz
pvgue
Texto escrito a máquina
z
pvgue
Texto escrito a máquina
=p(Z<=z)
pvgue
Lápiz
pvgue
Texto escrito a máquina
F(z)
 
95 
 
Z = 1.96 
 
 
Ejemplo 4.8 
Considere la variable aleatoria normal estándar Z  N(0,1), halle las siguientes probabilidades. 
a. P(Z  1,73) = 0,9582 
 
b. P(Z1,73)=1–0,9582 =0,0418=P(Z<-1,73) 
 
c. P( –0,17  Z 1,82) = 
 
d. P(-3,6≤ Z≤3,6)= P(Z≤3,6)-Z≤-3,6≤)= 
 
e. P(Z 4,1 o Z 2,8). 
 
Dado que {z  -1,4}  {z 2,8} =  
tenemos que: 
P(Z 4,1 o Z≥2,8) = 
P(Z≥-1,4)+P(Z≥2,8)=0,0808+0,0026 
f. P(Z>1.96) = p(Z<-1.96) = 0.025 
 
 
g. P(Z<-10) 
h. P(Z>6) 
i. P(Z<8) 
j. P(Z>-5) 
k. P(Z<0) 
l. P(-1.96<Z<1.96) 
 
 
 
 
Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
1.6 0.9452 0.8277 0.7961 0.7870 0.7844 0.7836 0.7834 0.7833 0.7833
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761
2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887
 
96 
 
Ejemplo 4.9 
Considere la variable aleatoria normal estándar Z  N(0,1), dada la probabilidad, hallar el valor 
de Z (punto crítico) 
 
a. Encontrar el valor de z tal que: P(Z < z) = 0.975 
Buscar en el interior de la tabla, el valor que corresponde a la probabilidad de 0.975 
 
 
 
b. Encontrar el valor de z tal que: P(Z  z) = 0,4602 
El valor de z que se busca es aquel cuya área a su derecha es 0,4602 
O si consideramos que P(Z  z) = 0,4602 = 1 - P(Z  z)  P(Z  z) = 0,5398 
Luego, se ubica esta área bajo en la tabla de distribución, para hallar el valor correspondiente 
a Z; y el valor correspondiente de z es 0,1; es decir, P(Z  0,1) = 0,5398 
 
 
c. Hallar z tal que: P(-z  Z  z) = 0,8 
0,8 = P(– z  Z  z) = 1 – 2P(Z  – z); de donde: P(Z  -z) = 0,1 
En la tabla el valor correspondiente a dicha probabilidad es –z= –1,28 es decir z = 1,28. 
 
Probabilidad para diferentes desviaciones de la media. 
Puesto que la media corresponde al valor Z = 0, el área correspondiente a una desviación estándar 
-1<Z<+1, es decir la probabilidad de que la variable se encuentre a una desviación estándar de la 
media expresada como P(-1<Z<+1) es 0.6827; luegola probabilidad de estar a dos desviaciones y 
tres desviaciones estándar de la media son respectivamente: P(-2<Z<+2)= 0.9545 y P(–3<z<+3) 
= 0.9973. 
pvgue
Texto escrito a máquina
Resp. Z=1.96
pvgue
Resaltado
pvgue
Resaltado
pvgue
Texto escrito a máquina
Resp. Z=0,10
pvgue
Texto escrito a máquina
z=-1,285=(-1,28-1,29)/2, es un promedio con los valores proximos alrededor del z buscado para la prob. indicada.
 
97 
 
 
 
Puntos críticos para probabilidades usuales. 
En la estimación de parámetros y prueba de hipótesis que se estudiará más adelante, es común 
hallar puntos críticos en la distribución normal estándar que delimitan las áreas bajo la curva o 
prababilidades en una sola cola (derecha o izquierda) o en dos colas. Como se mestra a a contin-
uación valores típicos. 
 
Proba-
bilidad 
Punto crítico que limita 
probabilidad en cola 
izquierda 
Punto crítico que limita 
probabilidad en cola 
derecha 
Punto crítico que lim-
ita probabilidad en 
dos colas 
0.99 z = - 2.325 z = + 2.325 z = 2.575 
0.95 z = - 1.645 z = + 1.645 z = 1.96 
0.90 z = - 1.285 z = + 1.285 z = 1.645 
 
 
Ejemplo 4.9 
Sea X una variable aleatoria con distribución normal de media 50 y varianza 100, encontrar P(X 
 30) 
Sol. 
Como 2 = 100, la desviación estándar es  = 100 =10 
P(X  30) = 





 


10
5030
σ
μX
P = P(Z  –2) = 0.0228 
 
Ejemplo 4.10 
Si el tiempo (en segundos) que una bacteria resiste a determinado antibiótico se distribuyera de 
forma normal con media 1200s y varianza 14400s2, ¿cuál es la proporción de bacterias que resis-
ten más de 1000 segundos? 
Sol. 
X: tiempo (seg) de resistencia al antibiótico, X  N(1200, 14400),  = 14400 = 120 
P(X1000)= 




 

120
12001000
ZP = P(Z–1.67) = 1 – P(Z –1.67) = 1– 0,0475 = 0,9525 
-3 -2 -1 0 1 2 3 
z 
68.27
95.45
99.73
 
98 
Luego la proporción de bacterias que resiste más de 1000 segundos ante el antibiótico es 0.9525. 
 
Ejemplo 4.11 
En el estudio del ingreso en la población, se sabe que éste se distribuye de forma normal con un 
 
Ejemplo 4.11 
En el estudio del ingreso en la población, se sabe que éste se distribuye de forma normal con un 
ingreso promedio de $345 y una desviación estándar de $46. Si se elige un ciudadano al azar, 
a. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga un sueldo inferior a $280? 
 
 
b. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga un sueldo superior a $324? 
 
 
 
c. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga un sueldo superior a $400? 
 
 
 
d. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga un sueldo entre $300 y superior a $360? 
 
 
 
e. ¿Cuál es el ingreso que es superado por el 80% de esa población 
 
 
Bibliografía 
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https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad_continua
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