Teoria7_f1_VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 2015 v2 junio_ pdf

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PROBABILIDADES Y ESTADISTICA- APUNTES DE CLASE 2015 
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS_ PARTE 1 
Muchas variables aleatorias que se observan en la vida real no son variables aleatorias discretas porque la cantidad 
de valores que pueden asumir no se pueden enumerar (o sea es un conjunto no numerable). 
Por ejemplo 
 el tiempo Y (en minutos) necesario para completar el TP N°1 de Estadística Descriptiva podría, en teoría, 
asumir cualquiera de los valores del número incontable (no numerable) que hay dentro del intervalo o < y < 240. 
 La precipitación pluvial diaria en cierto lugar, 
 La intensidad de la luz solar a una hora determinada del día 
Son ejemplos de v.a. que pueden asumir cualquier valor del número infinito e innumerable de puntos que hay en 
uno o más intervalos sobre la recta real. 
En contraste con las v. a. discretas, tales variables se llaman “variables aleatorias continuas” 
Ahora bien, es imposible asignar una cantidad finita de probabilidad a c/u del número infinito de puntos dentro de un 
intervalo de R, de forma tal que la suma de las probabilidades sea igual a 1. Una v.a. continua tiene una probabilidad 
cero de asumir exactamente cualquiera de sus valores. En principio esto puede parecer alarmante, pero se vuelve 
más razonable cuando se considera un ejemplo particular. Consideremos una v.a. cuyos valores son los alturas de 
los hombres mayores de 21 años. Entre cualquiera de dos valores, por ejemplo 1,635 y 1,645 m o incluso entre 
1,6399 y 1,6401 hay un número infinito de alturas una de las cuales es 1,64. Es remota la probabilidad de seleccionar 
una hombre al azar que tenga exactamente una altura de 1,64 m y no alguna otra altura del conjunto infinitamente 
grande de alturas tan cercanas a ese valor que humanamente no se pudiera medir la diferencia, y entonces se asigna 
una probabilidad cero al evento. 
No obstante este no es el caso si se habla acerca de la probabilidad de seleccionar un hombre que al menos mida 
1,63m pero no más de 1,65m. 
Para v.a. continuas vamos a tener que calcular probabilidades del tipo P(a<X<b), P(W>c), etc. 
Nótese que cuando X es continua 
P(a < X ≤ b) = P(a < X< b) + P(X=b) = P(a < X< b) 
 =0 
Esto es, no importa que se incluyan o no uno o ambos extremos del intervalo, esto no es verdad cuando X es discre-
ta. 
Por lo tanto la distinción entre las v.a. continuas y discretas por lo regular se basa en la diferencia entre sus funciones 
de distribución acumulada (FDA). 
La FDA, función de distribución acumulada FX(x) para una v.a. X es 
FX(a) = P( X ≤ a) para todo a € R 
Para una variable aleatoria discreta, la FDA en “a” es la suma acumulada de pX(x) desde el valor x más pequeño que 
X puede asumir hasta el valor “a”. esto es 
FX(a) = P( X ≤ a) = )x(p
ax
iX
i


 
Por ejemplo, para la v.a. X que tiene la distribución de probabilidad que se indica, la FDA que se muestra es una fun-
ción escalonada. Observemos que los saltos en los puntos 2, 3 y 4 son las probabilidades respectivas. 
 
X 2 3 4 
pX(xi) 0,2 0,5 0,3 
 
 
 
 
2 
 
 
 
En contraste con la FDA para una v. a. discreta la FDA 
para una v.a. continua es una función continua y 
monótona creciente k de x, tal que 
Si x1 < x2 entonces F(x1) ≤ F(x2), 
Es decir, conforme x aumenta, F(x) nunca disminuye. 
Una gráfica de la FDA para una v.a. continua podría 
tener el aspecto siguiente 
 
 
Definición: Una v.a. continua es una que tiene las siguientes tres propiedades, 
1°) Adopta un número no numerable de valores posibles en el intervalo (-∞ , +∞). 
2°) La FDA es continua. 
3°) La probabilidad de que X asuma exactamente cualquiera de sus valores es cero. 
 
Walpole: 
 
 
3 
 
 
 
4 
 
 
Función de Distribución Acumulada FDA de una v.a. continua y su relación con la función de den-
sidad. 
Definición: La función de distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria continua X con función de 
densidad f(x) es 
F(x) = P(X ≤ x) = 
 
 
, para 
Como consecuencia inmediata de la definición anterior se escriben los dos resultados, 
P(a < X < b) = F(b) – F(a), y f(x) = 
 
 
, si existe la derivada. 
 
DISTRIBUCION RECTANGULAR (o UNIFORME) SOBRE UN INTERVALO [a, b] 
Parámetros de la distribución: a y b 
 
Sean a y b dos números reales tales que a < b y sea el experimento que consiste en seleccionar un punto X del 
intervalo S= { x / a ≤ x ≤ b} de forma que la probabilidad de que X pertenezca a cualquier subintervalo de S es 
proporcional a la longitud de ese subintervalo . 
Esta distribución de probabilidad de la v.a. X se denomina Distribución Rectangular (o Uniforme) sobre en Inter-
valo [a, b] 
Aquí, X es el resultado de un experimento que a menudo se describe diciendo que “se selecciona al azar un punto 
del intervalo [a, b]”. 
Puesto que X debe pertenecer al intervalo S la fdp será cero fuera de S 
 
f(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Puesto que la probabilidad que se seleccione uno de los puntos extremos a o b es cero, es irrelevante la distribución 
que considere como una distribución uniforme en el intervalo cerrado a ≤ x ≤ b, o en el intervalo abierto a < x < b, o 
en los intervalos semiabiertos a ≤ x < b o a < x < b. 
 
Deducción de la función de densidad de probabilidad f(x): 
Dijimos que X es el resultado de un experimento que se describe diciendo “se selecciona al azar un punto del inter-
valo [a, b]”. 
Por ejemplo consideremos el caso que a=2 y b=10 
 
 
Dado que la probabilidad de que X pertenezca a cualquier subintervalo de [2, 10] es proporcional a la longitud de ese 
subintervalo 
P(2 ≤ X ≤ 3) = P(5 ≤ X ≤ 6) = P(9 ≤ X ≤ 10) = P(4,7 ≤ X ≤ 5,7), 
pues los cuatro subintervalos tienen la misma longitud 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego f(x) debe ser independiente de la localización del subintervalo de [2, 10]. 
Además P(2 ≤ X ≤ 3) < P(2 ≤ X ≤ 5) 
Por consiguiente P( X € cualquier subintervalo de [2, 10] ) es proporcional a la longitud de ese subintervalo), luego 
f(x) tiene que ser constante 
¿Cuál es el valor de la constante? f(x) = k 
 
 
 
1 luego 
 
 
1, k (b-a) = 1, de donde k= 
 
 
 
 
La función de distribución acumulada será: 
Si a ≤ x ≤ b; 
F(x) = P(X ≤ x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si x < a ; F(x) = P(X ≤ x) = 
 
 
 
 
 
Si x ≥ b; F(x) = P(X ≤ x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego 
F(x) = 
 
 
 
 
 
 
Graficarla. 
 
Caso importante: a = 0 y b = 1 
 
f(x) = 
 
 
 
 
La FDA será 
 
F(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA 
Definición: 
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad fX(x), entonces 
 
 
 
 
Ejemplo: Hallamos el error esperado en la temperatura de reacción para un experimento controlado de laboratorio del 
ejemplo 2.6 de la pág. 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Hallamos el valor esperado de una distribución rectangular sobre el intervalo [a, b]. 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA 
Definición: 
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad fX(x) y valor esperado E(X), entonces se define la 
Varianza de X 
 
 
 
 
Se definela desviación estándar de x 
Desv. Estándar (X) = 
 
0 
0,2 
0,4 
0,6 
0,8 
1 
-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 
F(x) 
x 
Función de Distribución de una v.a. uniforme en el 
intervalo [0, 1] 
6 
 
También se demuestra que 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Hallar la varianza y la desviación estándar de X en el ejemplo anterior 
 
 
 
 
 
 
 – 
 
 
 
 
 
0,6375 
Desviación Estándar (X) = 
Ejemplo: Hallamos la varianza y la desviación estándar de X ∿ Rectangular sobre [a, b]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desviación Estándar (X) = 
 
 
 
DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR 
(Leer Walpole) 
Una variable aleatoria tiene Distribución Normal Estándar, si la función de densidad es: 
 
 
 
 
 
 
 
  <z < 
 
Su curva recibe el nombre de “Curva Normal”, es la 
curva en forma de campana, la cual describe en forma 
aproximada muchos fenómenos que ocurren en la 
naturaleza, la industria y la investigación. 
Propiedades de la función de densidad de la normal estándar 
1) Es simétrica respecto al eje f(-z) = f (z) 
2) Nunca vale cero, se acerca al eje X en forma asintótica en cualquiera de los dos sentidos alejándose de ce-
ro. 
 
 
 
 
 
3) Max 
 
 
 
 
En efecto 
 (z) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (z) = 0 sii z = 0 
 
 (z) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para z = 0; 
 ( 0 ) < 0 en z = 0 hay un máximo 
 
 
 
Además 
 ( z ) = 0 z = ±1 
Luego en z = ±1 la curva presenta puntos de inflexión 
4) El área total bajo la curva es igual a 1. Esto es 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) La Función de Distribución Acumulada de z será: 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 definida para todo z tal que 
Ver los valores de se dan en la tabla correspondiente. 
La Distribución Normal estándar se puede generalizar para convertirse en una familia de distribuciones. 
DISTRIBUCION NORMAL CON PARAMETROS μ y σ
2 
 
X tiene una Distribución Normal con parámetros si su función de densidad puede expresarse como 
 (x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) La moda, que es el punto sobre el eje horizon-
tal donde la curva presenta un máximo, ocurre 
en x = . Se demuestra que E(X) = que será 
tanto la media de la distribución como la me-
diana. 
2) Es simétrica respecto al eje vertical x = . 
3) La curva tiene puntos de inflexión en x = ± , 
Es cóncava hacia abajo si y es cóncava hacia arriba en cualquier otro caso x o 
si 
El valor de es la distancia desde hasta los puntos de inflexión de la curva (los puntos donde la curva 
cambia de concavidad ) 
4) El área bajo la curva es igual a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficas de Curvas Normales para distintos valores de y σ
2 
 
 
 
 
 
Notación: Si X tiene una Distribución Normal con parámetros se denota X N ( 
 
CALCULO DE PROBABILIDADES PARA UNA v.a. X N ( 
 (x) no es una función elemental, entonces no puede integrarse de forma sencilla. 
8 
 
Puesto que tenemos tablas para = 0 y = 1, mediante una sencilla transformación reducimos el problema, al de 
una variable con densidad normal estándar 
 
 
 
 
 
Es decir 
 
 
 
 
Demostración: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Haciendo la sustitución z= 
 
 
 , dz = 
 
 
, resulta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Las piezas de pan de centeno distribuidas a los almacenes y tiendas locales por cierta panadería tienen una 
longitud media  de 30 cm y una desviación estándar = 2 cm. Suponga que las longitudes están normalmente dis-
tribuidas, ¿qué porcentaje de piezas son 
a) de más de 31,7 cm de longitud? 
b) entre 29,3 y 33,5 cm de longitud? 
c) de una longitud menor que 25,5 cm? 
Sea X “ longitud de una pieza de pan de centeno de la panadería A”. 
a) 
 
 
 
A cada medición X le corresponde una medición Z estándar (o tipificada). La longitud de 31,7 cm de una pieza equi-
vale a 0,85 unidades de desviación estándar por arriba de la media. 
Respuesta: el 80,23 % de las piezas de pan tiene una longitud mayor que 31,7 cm. 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 0,0122 
 
 
31,7 
9 
 
 
 
 
10 
 
APROXIMACION NORMAL DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL: Leer de Walpole 
Ejemplo: Si X tiene distribución binomial con parámetros n=15 y p=0,4, calcular las probabilidades que se 
indican usando la aproximación normal. Compare con el valor exacto de la probabilidad binomial. 
a) P(X = 5), b) P(2 ≤ X ≤ 4), c) P(X < 6) 
 
a) La probabilidad exacta binomial será 
 Pbinomial(X = 5) = 
 
 
 
X b(n=15, p=0,4), luego E(X)= 15·0,4 = 6 ; V(X) = 15·0,4·0,6 = 3,6 y 
Superponemos sobre el histograma de probabilidad binomial una curva normal con µ = 6 y 
 
La probabilidad exacta de que 
X = 5 es igual al área del 
rectángulo cuya base está 
centrada en x = 5, lo que resul-
ta aproximadamente igual al 
área de la región sombreada 
bajo la curva normal entre las 
dos coordenadas x1 = 4,5 y 
x2 = 5,5. Ver gráfico. 
 
 
 Pbinomial (X = 5) PNormal (4,5 ≤ X ≤ 5,5) = PN. Estándar 
 
 
 
 
 
 
 PNE(-0,79 < Z < - 0,26) 
 0,1826 
Comparar los valores exacto y aproximado. 
En general, si a = 0, 1, 2, …, n Pbinomial (X = a) PNormal (a - ½ ≤ X ≤ a + ½) 
b) Pbinomial (2 ≤ X ≤ 4) = ( pX(2) + pX(3) + pX(4) 
= 0,0219 + 0,0634 + 0,1268 
 = 0,2121 
La probabilidad aproximada usando la distribución normal será: 
 Pbinomial (2 ≤ X ≤ 4) PNormal (2 - ½ ≤ X ≤ 4 + ½) = PNormal (1,5 ≤ X ≤ 4,5) 
 PN. Estándar 
 
 
 
 
 
 = P(Z ≤ - 0,79) – P(Z ≤ - 2,37) 
 0,2059 
En general, si a = 0, 1, 2, …, n y b = 0, 1, 2, …, n 
Pbinomial (a ≤ X ≤ b)) PNormal (a - ½ ≤ X ≤ b + ½) 
c) La probabilidad binomial exacta será 
 
Pbinomial ( X < 6) = Pbinomial ( X ≤ 5) = 0,4032 
 
La aproximación normal será: 
 
Pbinomial ( X < 6) = Pbinomial ( X ≤ 5) PNormal (X ≤ 5,5) = P(Z ≤ - 0,26) 
 0,3974 
Observemos que la diferencia entre el valor exacto y el aproximado es mínima