Medidas de Tendência Central

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ESTADÍSTICA
TEMA 3. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
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1. Media
Es el promedio aritmético de los datos. Por lo tanto, el cálculo e 
interpretación de la media sólo tiene sentido cuando utilizamos 
datos numéricos como es el caso de las variables discretas, 
continuas, de escala de medición de intervalo o de razón.
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1.1 Cálculo de la media para datos sin agrupar
Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8
Masa (Kg) 50 55 60 62 60 58 60 55
Ejemplo: Luego de registrar la masa corporal de un grupo de estudiantes se obtuvo los 
siguientes datos:
Donde:
ҧ𝑥 : Es la media de los datos 
𝑛: Es la cantidad de datos 
𝑥𝑖: Es el valor de cada dato
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
ҧ𝑥 =
50+55+60+62+60+58+60+55
8
= 57,5
Interpretación: La masa corporal promedio del grupo de estudiantes es de 57.5 kg
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1.2. Cálculo de la media para datos agrupados
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
𝑓𝑖: Frecuencia absoluta de cada dato
Masa 
corporal 
(Kg)
Cantidad 
de 
estudiantes
50 6
55 10
60 15
65 13
68 4
70 2
Total n= 50
𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒙𝒊𝒇𝒊
50 6 300
55 10 550
60 15 900
65 13 845
68 4 272
70 2 140
Total n= 50 σ𝒊=𝟏
𝒏 𝒙𝒊𝒇𝒊=3007
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
=
3007
50
= 60,14
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑓𝑖 = 300 + 550 + 900 + 845 + 272 + 140
= 3007
Interpretación: La masa corporal 
promedio del grupo de empleados 
es de 60.14 kg.
Ejemplo: Se registra y organiza la masa corporal de un grupo de 50 empleados en la siguiente tabla:
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1.3. Cálculo de la media para datos agrupados en intervalos
El procedimiento para el cálculo de la media es igual al proceso anterior, pero 
antes se debe calcular la marca de clase xi.
Ejemplo: En el mes de abril se realizó una encuesta a un grupo de padres de 
familia para conocer el gasto que realizaron en la compra de útiles escolares. 
La información recogida se organizó en la siguiente tabla:
Gasto (S/) fi
[60;70> 23
[70; 80> 35
[80; 90> 65
[90; 100> 20
[100; 110] 17
Total n=160
Gasto (S/) 𝑥𝑖 fi 𝑥𝑖𝑓𝑖
[60; 70> (60+70)/2=65 23 1495
[70; 80> (70+80)/2=75 35 2625
[80; 90> (80+90)/2=85 65 5525
[90; 100> (90+100)/2=95 20 1900
[100; 110] (100+110)/2=105 17 1785
Total n=160 13330
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
ҧ𝑥 =
13330
160
= 83,31
Interpretación: El gasto 
promedio por la compra de 
útiles escolares es de S/ 83.31.
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2. Mediana
Es el valor que se encuentra en la mitad de un 
conjunto de datos ordenados en forma 
ascendente. Este estadígrafo sirve para analizar 
variables cuantitativas y cualitativas ordinales
➢ 50% de los datos son menores o 
iguales la mediana y el otro 50% de 
datos son mayores o iguales a esta.
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2.1. Cálculo de la mediana para datos sin agrupar
43 33 50 48 48 40 35 48 52 30 35
30 33 35 35 40 43 48 48 48 50 52
Ejemplo: A continuación, se muestra las 
edades de un grupo de personas.
Para calcular la mediana de este grupo de datos 
primero hay que ordenarlos en forma ascendente:
La mediana es el dato que se encuentra en la parte 
central, en este caso: 
Interpretación: El 50% de las personas tiene como 
mínimo 43 años. También se puede decir que la 
mitad de las personas tiene como máximo 43 años.
20 15 15 28 18 30 32 12 17 12
12 12 15 15 17 18 20 28 30 32
Tenemos dos datos en la parte central, por lo tanto:
Ejemplo: A continuación, se muestra el gasto 
mensual (en S/) en consumo de galletas de un grupo 
de estudiantes.
Ordenamos los datos en forma ascendente:
𝑴𝒆 =
𝟏𝟕 + 𝟏𝟖
𝟐
= 𝟏𝟕, 𝟓
Interpretación: El 50% de las personas gasta más 
de S/ 17.5 en su consumo mensual de galletas. 
También se puede decir que la mitad de los 
estudiantes gasta menos de S/ 17.5 en su consumo 
mensual de galletas.
𝑴𝒆 = 𝟒𝟑
(𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟) (𝑛 𝑝𝑎𝑟)
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2.2. Cálculo de la mediana para datos agrupados
Ejemplo: La siguiente tabla agrupa las edades de 
los alumnos del último ciclo de la universidad.
Edades 
xi
𝒇𝒊 𝑭𝒊
23 8 8
24 12 20
25 45 65
26 58 123
27 25 148
Total n= 118
El valor correspondiente a esta frecuencia es la mediana.
Cuando la cantidad de datos es muy grande se utiliza tablas de distribución de 
frecuencias y el procedimiento es similar al que se ha desarrollado.
Primero se ubica la frecuencia 
mediana (𝐹𝑚) utilizando:
𝑭𝒎 ≥
𝒏
𝟐
Calculamos la frecuencia mediana.
𝑭𝒎 ≥
𝟏𝟒𝟖
𝟐
= 𝟕𝟒
Buscamos en la tabla la primera frecuencia absoluta 
acumulada cuyo valor es mayor o igual a 74.
25 45 65
26 58 123
27 25 148
𝑭𝒎
Por lo tanto, la mediana es la edad 
correspondiente a dicha frecuencia.
𝑴𝒆 = 𝟐𝟔
Interpretación: El 50% de los estudiantes del último ciclo tiene 
por lo menos 26 años. También se puede decir que la mitad de los 
estudiantes del último ciclo tiene como máximo 26 años.
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2.3. Cálculo de la mediana para datos agrupados en intervalos
Primero se ubica la frecuencia 
mediana (𝐹𝑚) utilizando: 𝑭𝒎 ≥
𝒏
𝟐
Luego se utiliza la siguiente expresión:
𝑴𝒆 = 𝑳𝒊 +𝒘 ∗
𝒏
𝟐 − 𝑭𝒎−𝟏
𝒇𝒎
Donde:
𝑴𝒆 : Mediana
𝒘 : Ancho de clase o amplitud.
𝑳𝒊 : Límite inferior de la clase
𝒏 : cantidad de datos
𝑭𝒎−𝟏 : Frecuencia acumulada anterior a la 𝐹𝑚
𝒇𝒎 : Frecuencia absoluta mediana.
Ejemplo: En la siguiente tabla se muestra el ahorro 
semanal de un conjunto de personas agrupado en intervalos. 
Ahorro semanal 
(S/)
fi Fi
[50; 60> 4 4
[60; 70> 6 10
[70; 80> 18 28
[80; 90> 12 40
[90; 100] 15 55
Total n=55
𝑭𝒎 ≥
𝟓𝟓
𝟐
= 𝟐𝟕, 𝟓
𝑴𝒆 = 𝟕𝟎 + 𝟏𝟎 ∗
𝟓𝟓
𝟐 − 𝟏𝟎
𝟏𝟖
𝑴𝒆 = 𝟕𝟗, 𝟕𝟐
Interpretación: La mitad de los encuestados tiene un 
ahorro semanal mínimo de S/ 79.72.
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3. Moda
Es el dato de mayor frecuencia. La moda es el estadígrafo que se 
puede utilizar tanto en variables cuantitativas como cualitativas.
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10 12 9 10 15 12 12 16 13 12 12 12 10 12
Interpretación: La cantidad de platos a la carta ofrecidos con 
mayor frecuencia es igual a 12.
3.1. Cálculo de la moda para datos no agrupados
Ejemplo: Se ha registrado la cantidad de platos a la carta que ofrecen los 
restaurantes de un distrito de Lima. Los resultados son los siguientes:
Se puede ver que el número que aparece con más frecuencia es el 12.
𝑴𝒐 = 𝟏𝟐
Sin embargo, la moda no es necesariamente única. En ocasiones pueden existir dos o más modas.
11 4 11 11 7 10 7 6 7 7 7 11 11 8
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3.2. Cálculo de la moda para datos agrupados
Cuando la cantidad de datos es muy grande se utiliza tablas de distribución de 
frecuencias y el procedimiento es el mismo que se ha utilizado. Es decir, debemos 
identificar el dato con la mayor frecuencia.
Ejemplo: En la siguiente tabla se muestran las edades de un grupo de estudiantes.
Edad fi
18 4
19 6
20 12
21 18
22 10
23 10
Total n= 60
𝑴𝒐 = 𝟐𝟏
Interpretación: La edad más frecuente entre los 
estudiantes es de 21 años.
Moda
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3.3. Cálculo de la moda para datos agrupados en intervalos
La clase modal se encuentra en la mayor frecuencia
𝑴𝒐 = 𝑳𝒊 +𝒘 ∗
𝒅𝟏
𝒅𝟏 + 𝒅𝟐
Donde:
𝑴𝒐 : Mediana
𝒘 : Ancho de clase o amplitud.
𝑳𝒊 : Límite inferior de la clase
𝒏 : cantidad de datos
𝒅𝟏 = 𝒇𝒎 − 𝒇𝒎−𝟏
𝒅𝟐 = 𝒇𝒎 + 𝒇𝒎+𝟏
Ejemplo: Usando la información del (ejemplo 2.3) 
realizaremos el cálculo e interpretación de la moda.
Ahorro 
semanal (S/)
fi
[50; 60> 4
[60; 70> 6
[70; 80> 18
[80; 90> 12
[90; 100] 15
Total n=55
𝒅𝟏 = 𝟏𝟖 − 𝟔 = 𝟏𝟐
𝒅𝟐 = 𝟏𝟖 − 𝟏𝟐 = 𝟔
𝑴𝒐 = 𝟕𝟎 + 𝟏𝟎∗
𝟏𝟐
𝟏𝟐 + 𝟔
𝑴𝒐 = 𝟕𝟔, 𝟔𝟕
Interpretación: El ahorro semanal más 
frecuente entre los encuestados es de S/ 76.67.
𝒇𝒎