9-Modelos probabilisticos continuos - Gonzalo Sosa_

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Estadística y Análisis de Datos 
 
 
1 
MODELOS PROBABILÍSTICOS CONTINUOS 
 
DISTRIBUCIÓN UNIFORME EN UN INTERVALO 
Definición: Una variable aleatoria continua X sobre un espacio de probabilidad (S, A, P), tiene distribución 
uniforme en un intervalo (a; b), a < b, y se indica X  U (a; b) si su función de densidad de probabilidad es 
constante en ese intervalo. 
 





 
x 
bxa
xf ab
de valores otros para0
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 1 
Observación. Si X  U (a; b) entonces f es una función de densidad de probabilidad. 
1) f(x)  0 xR 
2)  



-
dxxf 1 
En efecto: 
 
1)   01 
ab
xf puesto que a < b por lo que b – a > 0 entonces su inverso multiplicativo también es 
positivo 
2)          





 b
b
a ab
a
-b
b
a
a
--
dx.dxdxdxxfdxxfdxxfdxxf 00 1 
   100 11 

abx
ab
b
aab
 
Puede observarse que los parámetros de este modelo son a y b. 
Se usa la siguiente notación X es U(a, b) (“X es uniforme con parámetro a y b”) 
 
Integrando f(x), obtenemos la función de distribución del modelo uniforme. 
    
x
-
duufxF 
Entonces:  
ab
ax
u
ab
du
ab
du
ab
xF
x
a
x
a
x
a 







 
111
 
De manera que 
 












bx
bxa
ax
xF
ab
ax
si1
si
si0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 2 
a x b x 
F(x) 
1 
F(x) 
a x b x 
 f(x) 
 
ab 
1 
f(x)= 0 
f(x) =
ab 
1 
f(x) = 0 
Estadística y Análisis de Datos 
 
 
2 
Esperanza y Varianza 
         
   
  222
1
2
1
 
0 
1
00 
1
 0 
222 ba
.ab
ab.abab
ab
x
ab
xdx
ab
dx..xdx
ab
.xdx..x
dxxf.xdxxf.xdxxf.xdxxf.xXE
b
a
b
ab
b
a
a
b
b
a
a

























 
Luego,  
2
ba
XE

 
Para calcular la varianza necesitamos obtener primeramente E(X 
2
). 
         
 
  333
1
3
1 
0 1001 0 
 
22
22
333
2222
22222
aabb
.ab
aabb.ab
ab
ab
x
ab
dxx
ab
dx..xdx
ab
xdx..x
dxxf.xdxxf.xdxxf.xdxxf.xXE
b
a
b
ab
b
a
a
b
b
a
a



























 
Entonces 
        
 
1212
2
12
363444
 
4
2
343
2222222
2222222
222
abaabbbabaaabb
babaaabbbaaabb
XEXEXD















 
Por lo tanto,    
12
2
2 abXD

 
Cuando una variable aleatoria está uniformemente distribuida en el intervalo (a, b), su densidad es simétrica 
en el centro del intervalo 
2
ba y así este valor es tanto la media como la mediana de la distribución. (Observe 
el Gráfico 1). 
Desviación típica.  
 
12
2
ab
XD

 
 
Ejemplo. Un colectivo pasa por cierta parada cada 15 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que un señor 
que llega en un momento dado tenga que esperar el colectivo más de cinco minutos? 
Se define la variable aleatoria X que indica el tiempo de espera, entonces X es U(0, 15). Se calcula en primer 
lugar la función de distribución: 
 










15si1
150si
0si0
15
x
x
x
xF
x
 
La probabilidad pedida viene dada por:       670
15
5
151515 ,FXPXP  
 
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL 
La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de 
distribución describe procesos en los que: 
 Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, 
 el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf , 
no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada. 
Ejemplos de este tipo de distribuciones son: 
 El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue 
este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia 
orgánica mediante la técnica del carbono 14, C
14
; 
Estadística y Análisis de Datos 
 
 
3 
 El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente; 
 En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo 
iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo 
probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una 
herida importante. 
 
Definición: Una variable aleatoria continua X sobre un espacio de probabilidad (S, A, P), tiene distribución 
exponencial con parámetro μ > 0 y lo indicamos X  Exp() si su función de densidad de probabilidad es: 
 


 


x 
xe.
xf
x
de valores otros para0
0
 
 
Gráfico 3 
Observación. Si X  Exp() entonces f es una función de densidad de probabilidad. 
1) f(x)  0 xR 
2)  


0
1dxxf 
En efecto: 
1)   xe.xf  0
1

 x
e
. si x  0 y  > 0 
  0xf si x < 0 
Por lo tanto, f (x)  0 xR 
2)   


























  

11
limlim
0
000 tt
t
x
t
xx
e.
e
dxedxe.dxxf 
 1
1
0
11
lim 
0






























  
tt e.
 
Función de distribución 
      
x
-
duufxXPxF 
Entonces: 
 
x
x
xx
x
u
uxx u
e
e
e.e.e.
e
duedue.xF
























 
11
1
 
1111
 
0
0
00
 
Estadística y Análisis de Datos 
 
 
4 
De manera que:  







00
01
x
xe
xF
x
 
 
Gráfico 4 
Esperanza y Varianza 
   
 






















































































































 

  

11
10
1
00 
11
lim
10
lim 
lim
1
lim 
1
22
0
0
2
0
0
00
0
0
000
ee
e.
e.
t
ee.x
dxe
e.x
dxe.xdxe..xdxxf.xXE
tttt
t
x
t
t
x
t
x
x
xx

 
Luego,  


1
XE 
Para obtener la varianza calculamos E(X 
2
): 
   
20
2
0
2
0
22 2

 
   dxe.xdxe..xdxxf.xXE xx 
Entonces:       
222
222 112





 XEXEXD 
Desviación típica  




11
2
XD 
Ejemplo 
En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de 0
210
84 P . Sabiendo que la duración media de un 
átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuántos días transcurrirán hasta que haya desaparecido el 90% de 
este material? 
El tiempo X de desintegración de un átomo de 0
210
84 P es una variable aleatoria de distribución exponencial. 
Como la duración media de un átomo de 0
210
84 P es de 140 días, se tiene que 140
11
140 

 . 
Entonces el tiempo que transcurre hasta que el 90% del material radiactivo se desintegra es: 
Estadística y Análisis de Datos 
 
 
5 
  días 32210ln14010ln
1
10lnln901901 

  ,,x,e.x,e,exF xx 
 
Consideremos otro ejemplo: 
Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución 
exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha 
implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de20 años? Si el marcapasos lleva 
funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que 
cambiarlo antes de 25 años? 
Sea X la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en una persona. Tenemos que X 
sigue una distribución exponencial con 
16
1
 
Entonces,     7135012020
20
16
1
,eFXP 

 
En segundo lugar 
 
 
 
   
 
71350
73160
5220
11
11
51
525
5
255
525
16
5
16
5
16
25
,
,
,
e
ee
F
FF
XP
XP
X/XP 











 
Luego como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial, 
   205205  XPX/XP 
o sea, en la duración que se espera que tenga el objeto, no influye en nada el tiempo que en la 
actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que ``la distribución exponencial no tiene 
memoria". 
 
Teorema. Sea X una variable aleatoria con distribución exponencial. Entonces para dos enteros positivos 
cualesquiera s y t:    tXPsX/tsXP  
 
RELACIÓN ENTRE EL MODELO EXPONENCIAL Y EL MODELO DE POISSON 
El modelo exponencial puede obtenerse a partir del modelo de Poisson. 
Si una secuencia de eventos ocurre en el tiempo de acuerdo con la ley de Poisson, a un promedio de 𝜇 
eventos por unidad de tiempo entonces la variable aleatoria que denota el tiempo transcurrido entre las 
ocurrencias del evento tiene distribución exponencial con parámetro . 
Ejemplo: Si las llegadas de pacientes a una clínica siguen la ley de Poisson, entonces la distribución del 
tiempo entre las sucesivas llegadas es una variable exponencial. 
Entonces, sea X la variable aleatoria tiempo de espera entre la ocurrencia de un evento y la ocurrencia del 
evento siguiente (variable tiempo entre eventos) y procedamos a determinar la función de distribución de X, 
evaluando el evento (X > x) para cualquier intervalo de tiempo específico x. El evento (X > x) significa que es 
un evento que todavía no ha ocurrido en el intervalo de tiempo (0; x). De manera que si consideramos Y 
variable aleatoria de Poisson que indica el número de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo, 
por la ley de Poisson la probabilidad del evento (X > x) es: 
     

 eeYPxXP
!0
0
0
 con  = .x donde : promedio de ocurrencias 
Se tiene que P(Y = 0) = P(no ocurra ningún evento en (0; x)) 
Como resultado, la función de distribución acumulada de la variable exponencial es: 
      xexXPxXPxF  11 
donde  es el número medio de las ocurrencias por unidad de tiempo o espacio en la distribución de Poisson, 
x longitud del intervalo de tiempo entre los sucesos y e es la base de los logaritmos naturales. 
La función de densidad de la variable exponencial es:     xe.x´Fxf  
 
Consideremos el siguiente ejemplo: 
Una sustancia radiactiva emite partículas α, el número de partículas emitidas sigue la Ley de Poisson a un 
promedio de 2 partículas por segundo. Calcule la probabilidad de que: 
Estadística y Análisis de Datos 
 
 
6 
a) En 3 segundos se emitan menos de 2 partículas. 
b) Entre 2 partículas sucesivas transcurran: 
 más de ½ segundo, 
 entre 0,2 segundos y 0,6 segundos, 
 1 segundo. 
 
p = 2 partículas por segundo 
Sea X v. a. que indica en número de partículas emitidas en un intervalo de tiempo. 
Y v. a. que indica el tiempo transcurrido entre la emisión de dos partículas consecutivas. 
F(y)= {
1 − e−2y si y ≥ 0
0 si y < 0
 
a) P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) =
e−6∙60
0!
+
e−6∙61
1!
 = 0,017351265 
 = 2  3 = 6 
 
b) P(Y > 0,5) = 1 − P(Y ≤ 0,5) = 1 − F(0,5) = 
1 − (1 − e−2∙0,5) = e−1 = 0,367879441 
 
P(X = 0) =
e−1∙10
0!
= e−1 = 0,367879441 
t = 0,5seg;  = 20,5 = 1 
 
P(0,2 < Y < 0,6) = F(0,6) − F(0,2) = 1 − e−2∙0,6 − (1 − e−2∙0,2) = −e−1,2 + e−0,4 = 0,369125834 
 
P(Y = 1) = 0 
 
DISTRIBUCIÓN NORMAL 
De entre todas las distribuciones continuas tiene especial relevancia la distribución Normal o de Gauss. 
Las variables que presentan una distribución Normal tienen características comunes tales como la 
acumulación de valores en torno al valor de la media, la simetría en la distribución de los valores y escasos 
valores alejados de la media, por ejemplo: 
- Caracteres morfológicos de individuos: altura, peso, número de pie, tamaño del palmo, etc. 
- Características de la mayoría de los productos de consumo: duración de las bombillas, resistencia a 
la rotura de muebles o de piezas, duración de los electrodomésticos, etc. 
- Calificaciones obtenidas en cursos, asignaturas y exámenes. 
La distribución normal suele usarse como modelo probabilístico para el estudio de ciertas variables 
biológicas (por ejemplo, varios estudios epidemiológicos a gran escala sugieren el uso de la distribución 
normal en el estudio del nivel de colesterol en suero para grandes poblaciones); en otros casos puede ocurrir 
que una sencilla función, como el logaritmo, de una cierta variable biológica siga una distribución normal 
(por ejemplo, esos mismos estudios sugieren que el logaritmo de los niveles de triglicéridos en suero se 
distribuye normalmente). 
 
Definición. Una variable aleatoria continua X sobre un espacio de probabilidad (, A, P), tiene distribución 
normal general de parámetros  y 
2
 con R y 
2 
> 0 y se indica X  N(, 
2
) si su función de densidad es: 
 
2
2
1
π2
1 








x
exf
σ
 para todo x 
 
Gráfico 5 
 
 
f 
Estadística y Análisis de Datos 
 
 
7 
Observación. Si X  N(, 
2
) entonces f es una función de densidad de probabilidad. 
1) f(x)  0 para todo x. 
2)  


dxxf = 1 
En efecto: 
1)  
 
 
 
0
π2
1
π2
1
π2
1
0
2
22
1
2
2
2
2
2

















x
xx
e.
eexf
00
.σ
σσ
 
2) 
   










 dxedxe
xx
2
2
2
2
22
π2
1
π2
1
σσ
 (1) 
Aplicamos en (1) integración por sustitución: dudxdxdu
x
u 





1
 
Entonces: 12
2
1
π2
1
π2
1
π2
1
2
2 2
2
2
2
2























duedu..edxe
uu
x
σσσ
 
Esperanza y varianza. E(X) =  D
2
(X) = 
2 
Desviación típica. D(X) =  2 
 
Proposición. Sea X  N(, 
2
) . Si f denota la función de densidad de X entonces: 
1. f está definida y es continua para todo xR. 
2. f es simétrica respecto de . 
3. f es creciente en (, ) y decreciente en (, ). 
4. f tiene puntos de inflexión en x =    y x =  +  . 
 
Demostración 
1. Las funciones potencia y exponencial son continuas para todo xR por lo tanto, su composición también 
lo es. 
2. La función f es simétrica con respecto a x = . 
 
 
 Gráfico 6 
Tomamos dos puntos: x1 =  + b y x2 =  – b que equidistan de x = . 
 x2 =  b x = x1 = + b 
 
 
Estadística y Análisis de Datos 
 
 
8 
Las ordenadas f(x1) y f(x2) deben ser iguales: 
 
   
2
2
2
2
2
2
1
222
1 π2
1
π2
1
π2
1 








bbx
eeexf
σσσ
 
 
   
2
2
2
2
2
2
2
222
2 π2
1
π2
1
π2
1 








bbx
eeexf
σσσ
 
 f(x1) = f(x2)  x1, x2 / x1 y x2 equidistan de x = . 
3. La función de densidad f presenta un máximo en x = . 
 
2
2
1
π2
1 








x
exf
σ
 
 
 
 
 
 


 





xe
..
x.
ex´f
xx
2
2
2
2
2
2
2
π2
1
2
2
π2
1
3σσ
 
Ahora, si: 
 
 
 
 

























 mínimo o máximo posible 0
0
1
0
0
π2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
e
e
xe
.
x
x
x
3σ
 
Calculamos la segunda función derivada: 
 
 
 
 
 
 

























1
π2
1
 
1
π2
1
2
2
π2
1
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
x
e
.
e
..
x.
e
.
x´´fx
xx
σ
σσ 3
 
 
 
 
  0
π2
1
1
π2
1
1
π2
1
 
3
0
32
2
2
3
2
2












 


.
e
.
e
.
´´f
σσσ
 
Por lo tanto, f tiene un máximo en x = : 
 
 
 Gráfico 7 
Luego: f es creciente en (, ) y decreciente en (, ). 
x = 
Estadística y Análisis de Datos 
 
 
9 
 
π2
1
π2
1
π2
1 02
1
2
σσσ










eef ordenada máxima de f. 
4. Existencia de puntos de inflexión 
Para determinar la existencia de puntos de inflexión se iguala a cero la función segunda derivada, 
obteniéndose las soluciones x1 =  +  y x2 =  – . Se calcula la función tercera derivada y en ella se 
reemplaza x por estas soluciones, obteniéndose en los dos casos resultados distintos de cero. Por lo tanto, 
se afirma la existencia de putos de inflexión en x1 =  +  y x2 =  –  
 
La forma y la posición de una distribución normal dependen de los parámetros  y 
2
, en consecuencia hay 
un número infinito de distribuciones normales. 
Función de distribución 
      
x
-
duufxXPxF 
Entonces:  
   
 












x ux u
dueduexF
2
2
2
2
22 
2
1
2
1
 
 
Gráfico 8 
Se cumple:   0lim 

xF
x
 y   1lim 

xF
x
 
 
MODELO NORMAL STANDARIZADO O TIPIFICADO 
Definición. Una variable aleatoria continua X sobre un espacio de probabilidad (, A, P), tiene distribución 
normal estándar si X  N(0; 1), es decir, si su función de densidad es: 
  2
2
π2
1
x
ex

 para todo x 
 
 Gráfico 9 
 
 
Estadística y Análisis de Datos 
 
 
10 
Función de distribución 
   








xx
u
dueduex
u
22
22
 
2
1
2
1
 
 
Gráfico 10 
 
RELACIÓN ENTRE EL MODELO N(, 
2
) Y EL N(0, 1) 
Proposición. Sea X  N(, 
2
) entonces 



X
Z es normal N(0, 1). 
Demostración 
      
    1
11
00
111
2
2
2
2
22 



























XD
X
DZD
XE
X
EZE
 
 
Corolario. Sea X  N(, 
2
) entonces: 
  








a
aXP 
  
















ab
bXaP 
 
Para facilitar el cálculo de probabilidad con la Distribución Normal Estándar, existen tablas con (x) para 
algunos valores de x. 
Ejercicios resueltos: 
Use la Tabla de la Distribución Normal Estándar para cada uno de los siguientes ejercicios. 
Sea X variable aleatoria con Distribución Normal Estándar. 
Calcule usando la Tabla 
a) P(X  1,45) = (1,45) = 0,9265 
 
Gráfico 11 
 
b) P(X  1,45) = (1,45) = 0,0735 
Estadística y Análisis de Datos 
 
 
11 
 
Gráfico 12 
c) P(X  1,45) = 1 – P(X < 1,45) = 1 – (1,45) = 1 – 0,9265 = 0,0735 
 
Gráfico 13 
d) P(1,25  X  1,45) = (1,45) – (1,25) = 0,9265 – 0,8944 = 0,0321 
 
Gráfico 14 
e) Encuentre x tal que P(X  x) = 0,64. En la Tabla, el valor de x correspondiente más cercano es 0,36. 
 
Propiedad Importante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces: 
(a)  (-a) = 1  (-a)  (-a) = 1 – 2 .(-a) 
 (a) 
 (-a) 
 (-a) 
a 0 a 
a 0 a 
Estadística y Análisis de Datos 
 
 
12 
(a) = 1 - (-a) 
 
APROXIMACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A UNA NORMAL 
Teorema de De Moivre - Laplace 
Sea una variable aleatoria X que es Bi(n, p), si n, entonces 
npq
npX 
 es asintóticamente N(0, 1), es decir, 
 10 ;N
npq
npX d


 
 n 
Este Teorema nos dice que, en ocasiones y bajo ciertas condiciones se puede aproximar una distribución 
binomial a una normal, lo cual puede facilitar notablemente los cálculos. La aproximación no siempre es 
posible, y si no se tienen en cuenta las condiciones que la permiten pueden cometerse importantes errores de 
cálculo. 
Si una variable aleatoria X es binomial con parámetros n y p, Bi(n, p), puede aproximarse a una distribución 
normal con  = n.p y varianza 
2
 = n.p.q cuando (np  5 y nq  5) o (np > 5 y p  0,5 o nq > 5 y p > 0,5). 
La variable aleatoria binomial X es discreta, mientras que las variables normalmente distribuidas son 
continuas; cuando una variable binomial cumple los requisitos para realizar la aproximación a la normal debe 
tenerse en cuenta que P(X = a) = 0, si X es continua, para evitar errores debe realizarse la corrección por 
continuidad, esto significa que la equivalencia P(X = a) cuando X es binomial y por lo tanto discreta, debe 
considerarse como P(a – 0,5 < X < a + 0,5), al realizar la aproximación a la normal y ser X continua, 
calculando la probabilidad de que X esté contenida en un determinado intervalo. 
 
CORRECCIONES 
1) P(XB = a) = P(a – 0,5  XN  a + 0,5) 
2) P(XB  a) = P(0  XB  a) = P(0 – 0,5  XN  a + 0,5) = P(– 0,5  XN  a + 0,5) 
3) P(a XB  b) = P(a – 0,5  XN  b + 0,5) 
4) P(XB < a) = P(XB  a – 1) y luego usar 2) 
5) P(a< XB < b) = P(a + 1  XB  b – 1) y luego usar 3) 
 
Ejemplo 
Un sistema compuesto está formado por 100 componentes que funcionan independientemente. 
La probabilidad de que cualquier componente falle durante un período de operación es igual a 0,1. A fin de 
que funcione el sistema completo, al menos deben funcionar 85 componentes. Calcule la probabilidad de 
que el sistema funcione. 
Sea X v. a. que indica el número de componentes que funcionan 
XBi(n = 100, p = 0,9) 
Utilizando aproximación de la normal:  = n.p = 100.0,9 = 90 ; σ = √100.0,9.0,1 = 3 
P(XB≥85)=1-P(XB<85)=1-P(XB≤84)=1-P(0≤XB≤84)= 
= 1 − P(0 − 0,5 ≤ XN ≤ 84 + 0,5) = 1 − P(−0,5 ≤ XN ≤ 84,5) = 
= 1 − [ (
84,5−90
3
) − F (
−0,5−90
3
)] = 1 − [(−1,83) − F(−30,17)] = 1 − 0,0336 = 0,9664 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
1. Devore, Jay L. Probabilidad y Estadística. Thomson. 2005. 
2. Mendenhall, W.; Wackerly, D.; Scheaffer, R. Estadística Matemática con Aplicaciones. Grupo Editorial 
Iberoamericana. 1994. 
3. Obregón Sanin, I. Teoría de la probabilidad. Limusa. 1997. 
4. Walpole, Ronal E.; Myres Raymond H. Probabilidad y Estadística. Mc.Graw –Hill. 1992.