Ayudantías Inferencia

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Distribuciones derivadas de la Normal
Ejercicios Propuestos
1. Suponga que X1,X2, ...,Xn,Xn+1 constituyen una muestra aleatoria
de una distribución Normal con media µ y varianza �2 y sea
X̄n =
1
n
nX
i=1
Xi Tn = (n
�1
nX
i=1
(Xi � X̄n)2)1/2
Determine el valor de la constante k tal que la v.a k(Xn+1 � X̄n)/Tn
tengs una distribución t-student. Especifique sus grados de libertad.
: , 21
Estimación Puntual: Máxima Verosimilitud
Ejercicios propuestos
1. Suponga que se dispone de una muestra aleatoria de tamaño n de
pares (X1,Y1), . . . , (Xn,Yn) de una población Normal Bivariada, de-
notada por
✓
X
Y
◆
⇠ N2
✓✓
µx
µy
◆
,
✓
�2x ⇢�x�y
⇢�x�y �
2
y
◆◆
con densidad
f (x , y |✓) =
��1x �
�1
yp
2⇡(1� ⇢2)
e
� 1
2(1�⇢2)
"
(x�µx )2
�2x
� 2⇢�x�y (x�µx )(y�µy )+
(y�µy )2
�2y
#
Encuentre los EMV del vector ✓ = (µx , µy ,�2x ,�
2
y , ⇢).
: , 28
Estimación Puntual: Máxima Verosimilitud
Ejercicios propuestos
2. Sea Y1,Y2, . . . ,Yn una muestra aleatoria independiente con función
de densidad Yi ⇠ N(↵ + �xi ,�2), donde xi es conocido para todo
i = 1, 2, . . . , n. Encuentre el EMV del vector ✓ = (↵,�,�2).
3. Sea X1,X2 . . . ,Xn una muestra aleatoria independiente de tamaño n
con distribución X ⇠ Uniforme(✓� 1/2, ✓+ 1/2). Encuentre el EMV
de ✓.
: , 29
Propiedades de un Estimador
Ejercicios Propuestos
1. Considere que dispone de un muestra aleatoria simple X1,X2, . . . ,Xn
de una población con la siguiente distribución.
f (x |✓) =
x
✓2
e�x/✓, x � 0, ✓ > 0.
a) Muestre que el EMV es igual a EM.
b) Encuentre el ECM del estimador de máxima verosimilitud.
c) Muestre que el EMV es consistente en media cuadrática.
: , 58
Propiedades de un Estimador
Ejercicios Propuestos
2. Sea X1,X2, . . . ,Xn una muestra iid con distribución Normal(0,�2).
a) Muestre que el EMV está dado por b�2 =
Pn
i=1 X
2
i
n
.
b) Reporte el ECM del estimador.
c) Muestre que el estimador es cumple con la consistencia débil.
3. Sea X1,X2, . . . ,Xn una muestra iid con distribución
f (x |✓) =
8
<
:
2✓2
x3
, si ✓  y < 1,
0, en otro caso.
a) Muestre que el EMV está dado por b✓ = ḿın{X1,X2, . . . ,Xn}.
b) ¿Es asintóticamente insesgado el EMV?.
c) Muestre que el estimador es cumple con la consistencia débil.
: , 59
Intervalos de confianza
A partir del método pivotal se obtienen los siguientes intervalos de confi-
anza bilaterales para los parámetros, y a partir de ellos se pueden fácilmente
construir intervalos unilaterales.
Parámetro Población IC Bilateral
µ N(µ,�2), � conocido (ȳ ⌥ z1�↵/2 �pn )
µ N(µ,�2), � desconocido (ȳ ⌥ tn�1
1�↵/2
sp
n
)
n pequeño
µ Cualquier Población, (ȳ ⌥ z1�↵/2 spn )
� desconocido y n grande
�2 N(µ,�2), µ desconocido
⇣
(n�1)s2
�2
1�↵/2,n�1
, (n�1)s
2
�2
↵/2,n�1
⌘
: , 6
Intervalos de confianza
Parámetro Población IC Bilateral
✓ Cualquier Población
⇣
✓̂ ⌥ z1�↵/2
q
CCR(✓̂)
⌘
n grande
⇡ Bernoulli(⇡),
⇣
⇡̂ ⌥ z1�↵/2
q
⇡̂(1�⇡̂)
n
⌘
n grande
µ Poisson(�) (ȳ ⌥ z1�↵/2
q
ȳ
n )
µ Exponencial(�) (ȳ ⌥ z1�↵/2 ȳpn )
g(✓) Cualquier Población
 
g(✓̂) ⌥ z1�↵/2
s
CCR(✓̂) ·
✓
[@g(✓)
@✓
◆2!
: , 7
Ejercicios Propuestos
1. Sea Y1,Y2, ...,Yn una m.a de tamaño n de una población con
distribución Uniforme(0, ✓).
(a) Demuestre que U = max{Y1, ...,Yn}/✓ es una función pivote para ✓
(b) Utilizando la parte (a) construya un intervalo bilateral simétrico
(1� ↵)% para ✓
2. Sea X1,X2, ...,Xn una m.a N(0,�2),
f (x |�2) = 1p
2⇡�2
e�
1
2�2
x2 x 2 R
(a) Construya una función pivote para �2 basándose en el estad́ıstico
T =
Pn
i=1 X
2
i
(b) Utilizando la función pivote de la parte (a) construya un intervalo
bilateral simétrico (1� ↵)% para �2
: , 32
Ejercicios Propuestos
3. Un ingeniero asegura que el tiempo que tarde un operario en realizar
una labor espećıfica tiene desviación estándar de 0.9338 minutos con
una media de 6 minutos. Para poder ratificar su afirmación, toma el
tiempo a 7 operarios:
8.5 7.5 6.0 6.8 7.3 6.6 8.0
(a) Utilizando un IC de 90% de confianza ¿Estará aún convencido el
ingeniero de que la labor en estudio tiene una desviación estándar de
0.9338?
(b) ¿Que conclusión obtiene si no dispone del valor de la desviación
estándar y desea verificar si efectivamente el tiempo medio es de 6
minutos?
: , 33
Ejercicios Propuestos
4. Sea X1, ...,Xn una m.a proveniente de la distribución exponencial de
parámetro ✓. Sea Y1, ...,Ym otra m.a independiente de la anterior,
proveniente de la distribución exponencial de parámetro ✓
(a) Demuestre que T = 2✓
Pn
i=1 Xi ⇠ �
2
2n
(b) Demuestre que S = ✓Xn
�Ym
⇠ F (2n, 2m)
(c) Construya un IC bilateral de nivel (1� ↵)% para ✓�
5. Suponga que X1, ...,Xn es una m.a proveniente de la población
f (x |✓) = ✓x✓�1 0 < x < 1
Construya un intervalo bilateral aproximado de nivel (1�↵)% para ✓
: , 34
Ejercicios Propuestos
6. Suponga que X1, ...,Xn constituye una m.a de una población Normal
con media µ y varianza �2 desconocidas.
(a) Construya un ĺımite inferior de confianza L(X1, ...,Xn) para µ tal que
P(L(X1, ...,Xn) < µ) = 0.99
(b) Construya un ĺımite superior de confianza U(X1, ...,Xn) para �2 tal
que
P(�2 < U(X1, ...,Xn)) = 0.99
: , 35
Intervalos de Confianza
Intervalos para dos muestras
La interpretación estará dada por los valores contenidos en los intervalos de
confianza. A continuación un resumen de los intervalos para dos muestras:
Parámetro Población IC Bilateral
µX � µY X ⇠ N(µX ,�2x ), �x conocido,
 
x̄ � ȳ ⌥ z1�↵/2
r
�2x
n +
�2y
m
!
Y ⇠ N(µY ,�2y ), �y conocido
µX � µY X ⇠ N(µX ,�2x ), �x desconocido,
 
x̄ � ȳ ⌥ tg,1�↵/2
r
S2x
n +
S2y
m
!
Y ⇠ N(µY ,�2y ), �y desconocido g =
������
⇣⇥
S2x /n
⇤
+
⇥
S2y /m
⇤⌘2
(S2x /n)
2
n�1 +
(S2y /m)
2
m�1
������
µX � µY X ⇠ N(µX ,�2x ), �x = �y = � conocido,
✓
x̄ � ȳ ⌥ z1�↵/2�
q
1
n +
1
m
◆
Y ⇠ N(µY ,�2y )
: , 19
Intervalos de Confianza
Intervalos para dos muestras
Sigue
Parámetro Población IC Bilateral
µX � µY X ⇠ N(µX ,�2x ), �x = �y = �,
✓
x̄ � ȳ ⌥ z1�↵/2Sp
q
1
n +
1
m
◆
Y ⇠ N(µY ,�2y ), � desconocido S
2
p =
(n�1)S2X+(m�1)S
2
Y
m+n�2
µX � µY X ⇠ fX (·), E(X ) = µX , Var(X ) des,
 
x̄ � ȳ ⌥ z1�↵/2
r
S2x
n +
S2y
m
!
Y ⇠ fY (·), E(Y ) = µY , Var(Y ) des n, m grandes
✓1 � ✓2 X ⇠ f (x ; ✓1),
✓
b✓1 � b✓2 ⌥ z1�↵/2
q
CCR
�b✓1
�
+ CCR
�b✓2
�◆
Y ⇠ f (y ; ✓1) b✓1 y b✓2 son EMV
: , 20
Intervalos de Confianza
Intervalos para dos muestras
Sigue
Parámetro Población IC Bilateral
�2X
�2
Y
X ⇠ N(µX ,�2x ), µX desconocido,
✓
S2x
S2y
1
Fn�1,m�1,1�↵/2
;
S2x
S2y
1
Fn�1,m�1,↵/2
◆
Y ⇠ N(µY ,�2y ), µY desconocido
µX � µY
⇣
X
Y
⌘
⇠ N
✓✓
µX
µY
◆
,
 
�2X ⇢�X�Y
⇢�X�Y �
2
Y
!◆ ⇣
D ⌥ tn�1,1�↵/2
SDp
n
⌘
Datos pareados ,Di = Xi � Yi D = 1n
Pn
i=1 Di
�2D = �
2
X + �
2
Y � 2⇢�X�Y S
2
D =
1
n�1
Pn
i=1(Di � D)
2
�x , �y y ⇢ desconocidos
: , 21
Intervalos de Confianza
Intervalos para dos muestras
Finalmente
Parámetro Población IC Bilateral
⇢
⇣
X
Y
⌘
⇠ N
✓✓
µX
µY
◆
,
 
�2X ⇢�X�Y
⇢�X�Y �
2
Y
!◆ ⇣
e2a�1
e2a+1
, e
2b�1
e2b+1
⌘
⇢ = E(X�E(X ))(Y�E(Y ))p
E(X�E(X ))2
p
E(Y�E(Y ))2
=
�xy
�x�y
a = 12 ln
⇣
1+⇢̂
1�⇢̂ � z1�↵/2
q
1
n�2
⌘
b⇢ =
P
(Xi�X̄ )(Yi�Ȳ )
n�1sP
(Xi�X̄ )2
n�1
sP
(Yi�Ȳ )2
n�1
b = 12 ln
⇣
1+⇢̂
1�⇢̂ + z1�↵/2
q
1
n�2
⌘
�x , �y y ⇢ desconocidos
: , 22
Intervalos de Confianza
Ejercicios Propuestos
1. Un ingeniero en computación está investigando la utilidad de dos
lenguajes de diseño para mejorar las tareas de programación. Se pide
a 12 programadores expertos, familiarizados con los dos lenguajes,
que codifiquen una función estándar en ambos lenguajes, anotando el
tiempo, en minutos, que requieren para hacer esta tarea. Los datos
obtenidos son los siguientes:
Programador Leng A Leng B Programador Leng A Leng B
1 17 18 7 16 10
2 16 14 8 14 13
3 21 19 9 21 19
4 14 11 10 23 24
5 18 23 11 13 15
6 24 21 12 18 20
¿Es alguno de los dos programas más óptimo en cuanto al tiempo?
: , 42
Intervalos de Confianza
EjerciciosPropuestos
2. Un relevante art́ıculo del área de la salud publicado en Amer. J. Public
Health (año 1983) reporta los siguientes datos sobre la incidencia de
disfunciones importantes entre recién nacidos con madres fumadoras
de tabaco y de madres que no consuḿıan.
Fumadora No Fumadora
Tamaño muestral 1246 11178
Número de disfunciones importantes 42 294
bp 0.0337 0.00263
Reporte el intervalo de confianza al 95% para la diferencia de pro-
porciones de disfunciones importantes (entre madres fumadoras y no
fumadoras). ¿Cual seŕıa su conclusión?
: , 43
Intervalos de Confianza
Ejercicios Propuestos
3. Se encontró que la desviación estándar muestral de concentración de
sodio en la sangre entera (mEq/l) para m = 20 anguilas marinas fue
Sx = 40.5, mientras que la desviación estándar muestral de concen-
tración para n = 20 anguilas de agua dulce fue Sy = 32.1 (“Ionic
composition of the plasma and whole blood of marine and freshwater
eels”, Comp. Biochemistry and Physiology, 1974, pp. 541-544). Si se
supone normalidad de las dos distribuciones de concentración, con un
nivel de confianza del 90% determine si son iguales las varianzas en
la concentración.
: , 44
Test de Hipótesis
Introducción
I Se considera la estimación del parámetro desconocido ✓, de tal
manera que deba pertenecer a un cierto espacio paramétrico ⌦
I Suponga que ⌦ = ⌦0 [ ⌦1 donde ⌦0 y ⌦1 son disjuntos (Partición
de ⌦)
I Se define la Hipótesis Nula: H0 como la hipótesis de que ✓ 2 ⌦0
I Se define la Hipótesis Alternativa: H1 como la hipótesis de que
✓ 2 ⌦1
I Un contraste de hipótesis es aquel que a partir de evidencia muestral
buscar rechazar o aceptar la hipótesis planteada por el investigador
: , 3
Test de Hipótesis
Ejercicio 1
Suponga que X1, ...,Xn es una m.a de una distribución Normal con media
µ es desconocida y cuya varianza es 1. Suponga además que µ0 es un
número espećıfico y que se quiere contrastar las siguiente hipótesis
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
Considere el procedimiento de prueba tal que se rechaza H0 cuando
|X n � µ0| � c . Determine el valor de c para que el nivel de significancia
de la prueba sea de ↵.
: , 8
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 1
Se quiere contrastar las siguientes hipótesis:
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
donde se rechaza H0 si |X n � µ0| � c .
Para determinar el valor de c , se hace fijando el nivel de significancia de la
prueba y como ⇥0 contiene sólo un valor µ0, se tiene que ↵(µ) = ↵ (no
es función de µ), luego
↵ = P(Rechazar H0|µ 2 ⇥0)
= P(|X n � µ0| � c |µ 2 ⇥0)
= 1� P(�c  X n � µ0  c |µ 2 ⇥0) (1)
Para cacular dicha probabilidad, debemos conocer la distribución de
X n � µ0 bajo H0, es decir, cuando µ = µ0, ya que ⇥0 contiene sólo el
valor de µ0.
: , 9
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 1
Luego como X1, ...,Xn ⇠ N(µ, 1), entonces X n ⇠ N(µ, 1n ).
Luego Bajo H0, se tiene que µ = µ0.
De esta manera, el estad́ıstico X n distribuye N(µ0,
1
n ).
Estandarizando se tiene
Xn�µ0
1/
p
n
⇠ N(0, 1)
Aśı podemos calcular ↵, retomando la ecuación (1):
↵ = 1� P(�c  X n � µ0  c |µ 2 ⇥0)
= 1� P(�c  X n � µ0  c |µ = µ0)
= 1� P
✓
� c
1/
p
n
 X n � µ0
1/
p
n
 c
1/
p
n
���µ = µ0
◆
Como
Xn�µ0
1/
p
n
Bajo H0 es N(0,1) se tiene
: , 10
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 1
↵ = 1� P
✓
� c
1/
p
n
 Z  c
1/
p
n
◆
↵ = 1�
✓
�
✓
c
1/
p
n
◆
� �
✓
� c
1/
p
n
◆◆
↵ = 1�
✓
�
✓
c
1/
p
n
◆
�
✓
1� �
✓
c
1/
p
n
◆◆◆
↵ = 1�
✓
2�
✓
c
1/
p
n
◆
� 1
◆
1� ↵
2
= �
✓
c
1/
p
n
◆
�
�1
⇣
1� ↵
2
⌘
=
c
1/
p
n
donde �
�1
(↵) corresponde al cuantil que acumula ↵ en una N(0,1).
: , 11
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 1
Recuerde que en este curso hemos denotado al cuantil que acumula ↵ en
una N(0,1) por z↵, luego,
z1�↵2 =
c
1/
p
n
) c = 1p
n
· z1�↵2
De esta manera, hemos determinado expĺıcitamente la región de rechazo
del test, en donde se rechaza H0 si
|X n � µ0| �
1p
n
· z1�↵2
Equivalentemente, se rechaza H0 si
�����
X n � µ0
1p
n
����� � z1�
↵
2
: , 12
Test de Hipótesis
Ejercicio 2
Suponga que X1, ...,X25 constituye una m.a de una distribución N(µ,�2),
donde ambos parámetros son desconocidos. Se desea contrastar las siguien-
tes hipótesis
H0 : µ = µ0
H1 : µ > µ0
Considere el estad́ıstico T =
X 25�µ0
S/
p
25
, donde S es la desviación estándar
muestral. Considere el procedimiento de prueba tal que se rechaza H0
cuando T � 1.32.
(a) Determine el nivel de significancia del test
(b) Determine la función Potencia del test
: , 13
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 2
(a) El nivel de significancia del test corresponde a
↵ = max
µ2⇥0
↵(µ)
Note que ⇥0 contiene solo un valor:µ = µ0, luego ↵(µ) = ↵(µ0),
por lo tanto el nivel de significancia del test se reduce ↵ = ↵(µ0).
↵ = ↵(µ0) = P(Rechazar H0|µ 2 ⇥0)
= P(T � 1.32|µ = µ0) (2)
Como X1, ...,X25 ⇠ N(µ,�2), se tiene que:
X 25 � µ
S/
p
25
⇠ t24
: , 14
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 2
Aśı Bajo H0: (µ = µ0),
X 25 � µ0
S/
p
25
⇠ t24
Luego, volviendo a la ecuación (2)
↵ = P(T � 1.32|µ = µ0)
↵ = 1� P(T < 1.32) donde T ⇠ t24
1� ↵ = P(T < 1.32)
Por lo tanto, el cuantil que acumula 1�↵ de una t-student con 24 grados
de libertad es 1.32, aśı
t
24
1�↵ = 1.32
Buscando en la tabla se tiene que 1� ↵ = 0.90 ) ↵ = 0.1
: , 15
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 2
(b) La potencia del test se define como ⇡(µ) = ↵(µ) para µ 2 ⇥0,
luego ⇡(µ) = ⇡(µ0) = 0.1.
Para µ 2 ⇥1,
⇡(µ) = P(Rechazar H0|µ 2 ⇥1)
= P(Rechazar H0|µ > µ0)
= P(T � 1.32|µ > µ0)
Note que el estad́ıstico T =
X 25�µ0
S/
p
25
bajo H1 : (µ > µ0) no tiene
distribución t24, ya que Bajo H1,
X 25�µ
S/
p
25
con µ > µ0 distribuye t24
: , 16
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 2
Luego,
⇡(µ) = P(T � 1.32|µ > µ0)
= P
✓
X 25 � µ0
S/
p
25
� 1.32|µ > µ0
◆
= P
✓
X 25 � µ0 � 1.32
Sp
25
|µ > µ0
◆
= P
✓
X 25 � µ0 + 1.32
Sp
25
|µ > µ0
◆
= P
✓
X 25 � µ
S/
p
25
� µ0 � µ
S/
p
25
+ 1.32|µ > µ0
◆
Como T1 =
X 25�µ
S/
p
25
bajo H1 tiene distribución t24, se tiene que
: , 17
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 2
⇡(µ) = 1� FT1
✓
µ0 � µ
S/
p
25
+ 1.32
◆
Por lo tanto, la Función Potencia del test está dada por
⇡(µ) =
(
0.1 µ = µ0
1� FT1
⇣
µ0�µ
S/
p
25
+ 1.32
⌘
µ > µ0
Cuyo gráfico es el siguiente:
: , 18
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
µ
P
ot
en
ci
a
µ0
: , 19
Test de Hipótesis
Ejercicio 3
Una mezcla de combustible y cemento se utiliza para techar y ésta debe
tener una resistencia a la comprensión de más de 1300. La mezcla no
se utilizará a menos que haya una evidencia experimental que indique de
manera concluyente que se ha cumplido la especificación de resistencia.
Supongamos que la resistencia a la comprensión esta mezcla distribuye
normal con � = 60. Represente con µ la media poblacional de resistencia,
y se considera una muestra de tamaño n = 20,
(a) ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativas adecuadas?
(b) Considere el procedimiento de prueba utilizando el estad́ıstico X y la
región de rechazo X � 1331.26. ¿Cuál es la distribución del
estad́ıstico de prueba cuando H0 es verdadera? ¿Cuál es la
probabilidad de un error de tipo I? ¿Cuál es el nivel de significancia
del test?
: , 20
Test de Hipótesis
Ejercicio 3
(c) ¿Cuál es la distribución del estad́ıstico de prueba cuando µ = 1.350?
Mediante el procedimiento de prueba usado en la parte b),¿cuál es
la probabilidad de que la mezcla se considere no satisfactoria cuando
µ = 1350?
(d) ¿Cómo cambiaŕıa el procedimiento de prueba de la parte b) para
obtener una prueba con nivel de significancia 0.05?
: , 21
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
(a) Sea µ la media poblacional de resistencia. Se quiere testear si
H0 : µ  1300
H1 : µ > 1300
(b) Sea X1, ...,X20 la m.a de resistencias que distribuye Normal(µ, 602).
Sea X el estad́ıstico de prueba del test, el cual distribuye
Normal(µ, 60
2
20 ).
Luego, Bajo H0, µ  1300, se tiene que X ⇠ N(µ,60
2
20 )
: , 22
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
La probabilidad de Error de Tipo I, está dada por
↵(µ) = P( Rechazar H0|µ  1300)
= P(X � 1331.26|µ = 1300)
= P
✓
X � µ
60/
p
20
� 1331.26� µ
60/
p
20
◆
= 1� �
✓
1331.26� µ
60/
p
20
◆
: , 23
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
El nivel de significancia del test es
↵ = max
µ1300
↵(µ)
= max
µ1300
1� �
✓
1331.26� µ
60/
p
20
◆
La cual es máxima para µ = 1300 (Ver el gráfico en la siguiente slide).
Luego ↵ está dado por
↵ = 1� �
✓
1331.26� 1300
60/
p
20
◆
= 1� �(2.329) = 0.0099
: , 24
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
1200 1220 1240 1260 1280 1300
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
µ
α
(µ
)
: , 25
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
(c) Bajo H1, µ > 1300 el estad́ıstico tiene distribución
X ⇠ N
✓
µ,
60
2
20
◆
Luego en el caso particular que nos preguntan cuando µ = 1350
X ⇠ N
✓
1350,
60
2
20
◆
: , 26
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
Ahora nos piden la probabilidad de Error de Tipo II,
�(µ) = P(No Rechazar H0|µ > 1300)
= P(X < 1331.26|µ > 1300)
Como X Bajo H1 distribuye N
⇣
µ, 60
2
20
⌘
, con µ > 1300, se tiene que
�(µ) = P
✓
X � µ
60/
p
20
<
1331.26� µ
60
p
20
���µ > 1300
◆
= �
✓
1331.26� µ
60
p
20
◆
: , 27
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
En el caso particular que nos preguntan para µ = 1350, se tiene
�(1350) = �
✓
1331.26� 1350
60
p
20
◆
= �(�1.39)
= 1� �(1.39)
= 1� 0.9177
= 0.0823
: , 28
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
(d) Queremos que la prueba tenga un nivel de significancia ↵ = 0.05.
Luego debemos modificar la región de rechazo del test, modificando
el punto de corte. Sea c el punto de corte, entonces se rechaza H0 si
X � c . Para determinar c , fijamos el nivel de significancia del test
↵ = 0.05, aśı
↵ = max
µ1300
↵(µ)
Como vimos anteriormente ↵(µ) es una función creciente en µ,
luego su máximo valor lo alcanza en µ = 1300, luego
: , 29
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
↵ = P(X � c |µ = 1300)
0.05 = P
✓
X � 1300
60/
p
20
� c � 1300
60/
p
20
����µ  1300
◆
0.05 = 1� �
✓
c � 1300
60/
p
20
����µ  1300
◆
0.95 = �
✓
c � 1300
60/
p
20
����µ  1300
◆
: , 30
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
�
�1
(0.95) =
c � 1300
60/
p
20
z0.95 =
c � 1300
60/
p
20
c = 1300 + z0.95
60p
20
= 1300 + 1.64
60p
20
= 1322.003
Por lo tanto, para un nivel de significancia del test de ↵ = 0.05 se rechaza
H0 si
X � 1322.003
: , 31
Test de Hipótesis
Ejercicio 4
Suponga que X1, ...,Xn constituye una m.a de una distribución U(0, ✓) y
se desea contrastar las siguientes hipótesis
H0 : ✓ � 2
H1 : ✓ < 2
Sea T = max{X1, ...,Xn}. Considere un procedimiento de prueba tal que
se rechaza H0 si T  1.5. Determine el nivel de significancia del test
: , 32
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 4
El nivel de significancia del test corresponde a
↵ = max
✓2⇥0
↵(✓)
En este caso ⇥0 = {✓, ✓ � 2}
↵(✓) = P(Rechazar H0|✓ 2 ⇥0)
= P(T  1.5|✓ � 2)
Para calcular dicha probabilidad debemos conocer la distribución del es-
tad́ıstico T bajo H0.
: , 33
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 4
Recuerde que la densidad de T está dada por
fT (t) = nFX (t)
n�1
fX (t), 0  t  ✓
Luego como X ⇠ U(0, ✓) se tiene que
fT (t) = n
⇣
t
✓
⌘n�1 1
✓
= n
t
n�1
✓n
Aśı para ✓ � 2,
↵(✓) = P(T  1.5|✓ � 2)
=
Z 1.5
0
n
t
n�1
✓n
dt =
✓
1.5
✓
◆n
: , 34
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 4
Luego el nivel de significancia del test está dado por
↵ = max
✓2⇥0
↵(✓) = max
✓�2
✓
1.5
✓
◆n
=
✓
1.5
2
◆n
Pues es una función decreciente en ✓.
: , 35