Clase 6 - Inferencia sobre un parámetro

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Econometrı́a I
EAE2510
Clase 6
Inferencia sobre un parámetro
Miriam Artiles
Instituto de Economı́a
Pontificia Universidad Católica de Chile
Segundo Semestre 2021
En la clase de hoy1
• Test de hipótesis sobre un parámetro individual
◦ Estadı́stico - t
◦ Intervalo de confianza
◦ Valor-p
——–
1 Wooldridge, capı́tulo 4
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Test de hipótesis sobre un parámetro individual
Estadı́stico-t
• Considera el modelo de regresión lineal múltiple
y = β0 + β1x1 + β2x2 + . . .+ βkxk + u
• Recuerda que β0, . . . , βk son parámetros poblacionales (desconocidos)
• Suponga que quiere testear si el parámetro βj es distinto al valor aj
H0 : βj = aj
H1 : βj 6= aj
• Asumimos que se cumplen todos los supuestos (1-6) estudiados en clase, por
lo que podemos usar el resultado
tβ̂j =
β̂j − aj
s.e.(β̂j)
∼ tn−k−1
Donde tβ̂j es el estadı́stico t evaluado bajo la hipótesis nula H0 : βj = aj
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Test de hipótesis sobre un parámetro individual
Ejemplo
• En la mayorı́a de aplicaciones empı́ricas, el interés principal reside en testear
H0 : βj = 0
H1 : βj 6= 0
• Decimos que el test busca determinar si la variable xj es estadı́sticamente
significativa o relevante para el modelo
• Si se rechaza H0, entonces xj es estadı́sticamente significativa
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Test de hipótesis sobre un parámetro individual
Valores crı́ticos
• Suponga que se fija la probabilidad de cometer error tipo I en α
• Sea tα/2 el percentil 1− α2 de la distribución t-Student de n− k − 1 grados de
libertad
• Si
∣∣∣ β̂j−aj
s.e.(β̂j)
∣∣∣ ≥ tα/2, se rechaza H0
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Test de hipótesis sobre un parámetro individual
• El anterior corresponde a un test de dos colas
• Un nivel de significancia del α = 5% es el valor más común
• Esto significa que de todas las muestras aleatorias que se pueden tomar, en
un 5% de ellas se rechaza equivocadamente la hipótesis nula en favor de la
hipótesis alternativa
• Si se rechaza H0 a un nivel de significancia de α, entonces inmediatamente se
rechaza para niveles de significancia más altos. Por ejemplo, si una variable es
significativa al 1%, entonces también lo es al 5%, al 10%, 20%, etc.
• Recuerde que tn → N(0, 1) cuando n→∞. En la práctica, cuando los grados
de libertad del estadı́stico t son más de 120 se suele aproximar la distribución
t-Student con la Normal y usar los valores crı́ticos de esta distribución
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Test de hipótesis sobre un parámetro individual
Intervalo de confianza
•
∣∣∣ β̂j−βj
s.e.(β̂j)
∣∣∣ ≥ tα/2 es equivalente a decir que
P
(
−tα/2 ≤
β̂j − βj
s.e.(β̂j)
≤ tα/2
)
= 1− α
• Esto implica que el intervalo de confianza para βj es
β̂j − tα/2s.e.(β̂j) ≤ βj ≤ β̂j + tα/2s.e.(β̂j)
• Si βj no está en el intervalo, entonces se rechaza la hipótesis nula
• Nuevamente, βj estarı́a fuera del intervalo en α (%) de todas las muestras
aleatorias que se pueden tomar
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Test de hipótesis sobre un parámetro individual
Valor-p
• El valor-p se define como
p = P (|T | > |tβ̂j |)
donde, para el caso anterior, T es una variable t-Student de n− k − 1 grados
de libertad y tβ̂j es el valor del estadı́stico obtenido de la regresión
• En otras palabras, el valor-p es el mı́nimo nivel de significancia α a partir del
cuál la hipótesis nula es rechazada
p < 0.1 → Se rechaza H0 al 10%
p < 0.05 → Se rechaza H0 al 5%
p < 0.01 → Se rechaza H0 al 1%
• Nota que si p < 0.05, entonces se rechaza H0 también al 10%. Si p < 0.01,
se rechaza H0 también al 5% y al 10%
• Ejemplo: si se testea la hipótesis nula H0 : βj = 0 y se obtiene un valor-p igual
a 0.064, se concluye que βj es significativo a un nivel de significancia del 10%,
pero no es significativamente distinto de cero a un nivel de significancia del 5%
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Ejemplo
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https://scholar.harvard.edu/shleifer/publications?page=2
Ejemplo
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Ejemplo: segunda etapa de Fama-MacBeth
• Usted extiende el modelo de Fama-MacBeth a 2 factores de riesgo accionario:
el mercado y el precio del cobre. La siguiente tabla muestra las rentabilidades
mensuales promedio de 4 portafolios de industrias nacionales entre 2004 y
2011, y las sensibilidades de cada industria con respecto a las rentabilidades
de mercado y a los cambios en el precio del cobre (es decir, el resultado de
la primera etapa de Fama-MacBeth). Por simplicidad, suponga que los esti-
madores de xM y xC son los estimadores poblacionales.
Sector Rentabilidad Beta de mercado Beta de cobre
mensual (r) (xM ) (xC )
Commodities 0,89% 1,15 0,19
Retail 0,79% 1,22 0,12
Industrial 0,55% 1,01 0,04
Consumo 0,49% 0,92 0,12
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Ejemplo: segunda etapa de Fama-MacBeth
• Para la segunda etapa de Fama-MacBeth usted busca estimar:
r = θ0 + θMxM + θCxC + u
• Además, usted sabe que:
θ̂0 = −0, 57; θ̂M = 1, 02; θ̂C = 1, 28
(X>X)−1 =
 22, 12 −21, 37 9, 38−21, 37 22, 12 −20, 5
9, 38 −20, 5 107, 69

donde X> = (1 xM xC).
• Verifique la hipótesis nula H0 : θM = 0.8 usando α = 5%. Suponga primero
que σ2 = 0, 005 y luego repita el ejercicio usando el estimador σ̂2
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Test de hipótesis sobre un parámetro individual
Test de una cola
• Estos tests consideran una hipótesis alternativa del tipo
H1 : βj > aj o H1 : βj < aj
• Sin perder generalidad, suponga un test cuya hipótesis alternativa es
H1 : βj > aj
• Esto significa que no preocupan otras alternativas a H0 como βj < aj , por
ejemplo, porque la teorı́a asegura βj ≥ aj
• Alternativamente, equivale a pensar que se considera la siguiente hipótesis
nula
H0 : βj ≤ aj
• Valores negativos del estadı́stico tβ̂j no representan evidencia en contra de la
hipótesis nula
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Test de hipótesis sobre un parámetro individual
Test de una cola
• Ejemplo: el valor crı́tico para la distribución t-Student con n− k − 1 = 28
grados de libertad considerando un nivel de significancia del α = 5%, es
tα = 1.701
• Esto significa que si el valor del estadı́stico obtenido para una muestra en
particular es mayor a 1.701, se rechaza la hipótesis nula en favor de la
hipótesis alternativa a un nivel de significancia del 5%
• En el caso en que la hipótesis alternativa sea
H1 : βj < aj
se rechaza H0 en favor de H1 cuando tβ̂j < −tα, donde tα es el mismo valor
crı́tico usado anteriormente. ¿Por qué?
• Para tests de una cola el valor-p correspondiente es la mitad del valor-p del
test de dos colas
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Ejemplo: ecuación de salarios
• Considere el modelo
log(wage) = β0 + β1educ+ β2exper + β3tenure+ u
donde educ son años de educación, exper son años de experiencia y tenure
son años de permanencia en la firma
Table: reg lwage const educ exper tenure
Variable Coefficient (Std. Err.)
educ 0.0920∗∗ (0.0073)
exper 0.0041∗ (0.0017)
tenure 0.0221∗∗ (0.0031)
Intercept 0.2844∗∗ (0.1042)
N 526
R2 0.316
F (3,522) 80.3909
Significance levels : † : 10% ∗ : 5% ∗∗ : 1%
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Ejemplo: ecuación de salarios
• Se busca testear si hay retornos positivos a la experiencia
• ¿Cuáles son H0 y H1?
• ¿Es consistente con H1 la significancia de β2 en la tabla anterior? ¿Por qué?
• En este caso hay n−k−1 = 522 grados de libertad. Se puede usar los valores
crı́ticos de una Normal estándar. El valor crı́tico a un nivel de significancia del
5% es 1.645, y al 1% es 2.326
• El estadı́stico t es tβ̂2 =
0.0041
0.0017 ≈ 2.41 y por lo tanto se concluye que β2 es
estadı́sticamente significativo a un nivel de significancia del 1%
• Sin embargo, el retorno estimado por un año más de experiencia, manteniendo
constante años de educación y de permanencia, no es muy grande. Por ejem-
plo, tres años más de experiencia incrementan log(salario) en 3(0.0041)=0.0123,
es decir, el salario se ve incrementado en un 1.2%
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Hoy
• Hemos visto cómo hacer tests de hipótesis sobre un parámetro del modelo de
regresión lineal
• Usamos una distribución t que en muestras grandes se acerca a una
distribución normal
• La próxima clase veremos tests sobre un conjunto de parámetros
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