TEST DE HIPOTESIS

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Análisis Estad́ıstico
Test de hipótesis
UTDT
November 17, 2020
Test de hipótesis
Introducción
Un parámetro puede ser estimado a partir de una muestra por
un solo número (estimación puntual)
un intervalo de valores posibles (intervalo de confianza).
Frecuentemente el objetivo de una investigación no es estimar el
parámetro sino decidir cuál de dos afirmaciones excluyentes sobre el
parámetro es verdadera.
¿Está cargada la moneda?
Ejemplo (moneda)
Queremos determinar si una moneda está cargada. Tiramos n = 24 veces
la moneda y obtenemos 15 caras.
1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1
Consideramos la variable aleatoria
X = ”cantidad de caras en n repeticiones” ∼ Bin(n, p)
¿Es suficiente evidencia para concluir que la moneda estaba cargada?
¿Está cargada la moneda?
Ejemplo (moneda)
¿Qué proporción de caras esperaŕıamos obtener si la moneda fuera justa?
¿obtendremos ese valor en cada experimento?
¿es 15 un valor posible si la moneda es justa?
¿es 15 un valor extraño de obtener si la moneda es justa?
Si hubiéramos obtenido 23 caras en las 24 tiradas, ¿tendŕıamos evidencia
más fuerte para apoyar nuestra sospecha?
Queremos decidir entre dos hipótesis excluyentes que compiten:
Hipótesis nula, H0: la moneda es justa,
Hipótesis alternativa, H1: la moneda favorece la cara.
Planteo de hipótesis
Hipótesis
Las hipótesis estad́ısticas son afirmaciones sobre el valor de un
parámetro, o valores de varios parámetros.
Planteo de hipótesis
La hipótesis nula muchas veces codifica el ‘status quo’:
1 La droga que estamos probando no tiene efecto sobre la presión
arterial.
2 La poĺıtica pública que se implementó no tuvo efecto sobre la tasa
de desempleo.
3 El nuevo proceso de producción no mejora la productividad.
4 La moneda que estamos testeando es una moneda normal,
balanceada.
En estos casos, hipótesis alternativa codifica un ‘descubrimiento’,
informalmente, que encontramos algo nuevo que no sabiamos antes.
Planteo de hipótesis
Por esta razón la carga de la prueba cae sobre la hipótesis alternativa H1.
Hablaremos de rechazar o no rechazar la hipótesis nula H0. Cuando no
podemos rechazar la nula, no es que aceptamos que vale la alternativa,
simplemente decimos que no hay evidencia para rechazar H0.
Planteo de hipótesis
Ejemplo (moneda)
Enunciamos las hipótesis en términos de parámetros poblacionales.
H0: p = 1/2
H1: p > 1/2
Planteo de hipótesis
Rechazaremos la hipótesis nula en favor de la alternativa cuando
observemos una muestra que es dif́ıcil de esperar si la hipótesis nula es
cierta y que apoya la hipótesis alternativa.
1 ¿Qué esperamos de una muestra cualquiera cuando H0 es cierta?
(anterior a tomar una muestra).
2 La muestra que observamos, ¿resulta muy extraña si H0 es cierta?
3 Si la muestra observada es poco esperable bajo H0, ¿favorece H1?
Hipótesis alternativa y región de rechazo
Un test está especificado por:
1 el estad́ıstico del test, una función de la muestra sobre la que
basaremos la decisión de rechazar o no H0.
2 una región de rechazo, el conjunto de aquellos valores del
estad́ıstico del test que nos llevan a rechazar H0.
La hipótesis nula es rechazada si y solo si el valor observado del
estad́ıstico del test cae en la región de rechazo.
Ejemplo (moneda)
¿Qué eventos consideraŕıamos como raros bajo H0?
Por ejemplo, si en 24 tiradas de una moneda salen más de 18 caras. En
este caso la región de rechazo R está definida por
R = {X ≥ 19}
Tipos de test
Tipos de hipótesis
Hipótesis simple: θ = θ0.
Hipótesis compuesta: θ < θ0, θ > θ0, θ 6= θ0.
Tipos de test
Test bilateral
H0: θ = θ0
H1: θ 6= θ0
Tests unilaterales
H0: θ = θ0
H1: θ > θ0
H0: θ = θ0
H1: θ < θ0
Tipos de test
Ejemplo (circuitos)
Una empresa que fabrica circuitos integrados propone una mejora en la
ĺınea de producción que disminuiŕıa la proporción de circuitos defectuosos
a menos de 0.1, que es el valor actual. Contamos con una muestra de
200 circuitos producidos despues de implementar la mejora.
Sea X ∼ Bin(200, p) la cantidad de circuitos defectuosos en la muestra:
H0: p = 0.1
H1: p < 0.1
Si H0 es verdadera,
X ∼ Bin(200; 0.1),
esperamos 20 circuitos defectuosos mientras que si H1 fuera verdadera
esperaŕıamos menos. Luego es razonable rechazar H0 solo si xobs es
sustancialmente menor que 20.
Tipos de test
Ejemplo (circuitos)
Por ejemplo, podŕıamos rechazar H0 si xobs ≤ 15. En este caso
estad́ıstico del test: X =
∑n
i=1 Xi .
región de rechazo: R = {0, 1, . . . , 15}.
H0 no será rechazada si xobs es 16,17, . . . , o 200.
Región de rechazo y umbral de corte
¿Cómo determinamos la región de rechazo? Debemos decidir el umbral
que usaremos para recharazar H0.
Tipos de test
Ejemplo (circuitos)
Incluso si H0 : p = 0.1 fuera cierta, podŕıamos observar una muestra
inusual tal que xobs = 13 de manera que H0 es rechazada erróneamente.
Por otro lado, incluso cuando H1 : p < 0.1 es verdadera, una muestra
inusual con xobs = 20 también conduciŕıa al error de no rechazar H0.
En lugar de buscar procedimientos libres de error, debemos buscar
procedimientos donde cualquier tipo de error ocurra con baja
probabilidad.
Tipos de error
Tipos de error
Podŕıamos incurrir en dos tipos de error:
Rechazar H0 cuando es verdadera.
No rechazar H0 cuando es falsa.
Es decir,
Rechazamos H0 No rechazamos H0
H0 es cierta error Tipo I no hay error
H0 es falsa no hay error error Tipo II
Tipos de error
Tipos de error
Podŕıamos incurrir en dos tipos de error:
Rechazar H0 cuando es verdadera.
No rechazar H0 cuando es falsa.
Es decir,
Rechazamos H0 No rechazamos H0
H0 es cierta α -
H0 es falsa - β
En muchas aplicaciones se considera más grave cometer un error de tipo I
que un error de tipo II. Este es el caso, por ejemplo, cuando la hipótesis
nula es que un paciente está enfermo. Un error de tipo I en este caso es
decirle a una persona enferma que está sana.
Tipos de error
1 La elección de una región de rechazo en particular fija tanto la
probabilidad α de un error de tipo I como β, la probabilidad de un
error de tipo II.
2 Si H0 especifica un solo valor para el parámetro hay un solo valor
para α. Sin embargo hay un valor de β para cada valor del
parámetro en la hipótesis alternativa.
Tipos de error
Ejemplo (monedas)
Recordemos la variable
X = ”la cantidad de caras al lanzar 24 veces la moneda.”
Supongamos que nuestra región de rechazo es R = {X ≥ 19}
α = P(error de tipo I) = P(rechazar H0 cuando es verdadera)
Cuando H0 es verdadera, X ∼ Bin(24, 1/2), entonces
α = P1/2(X ≥ 19) = 0.003
alpha = pbinom(18, 24, 0.5, lower.tail = FALSE)
α se denomina nivel de significación del test.
Tipos de error
Ejemplo (moneda)
β es imposible de calcular a menos que tengamos una hipótesis
alternativa espećıfica. Por ejemplo, si probamos
H0: p = 1/2
H1: p = 3/4
entonces,
β = P(error de tipo II)
= P(no rechazar H0 cuando es falsa)
= P3/4(X < 19)
= 0.578,
porque bajo H1, X ∼ Bin(24, 3/4).
Tipos de error
Ejemplo (moneda)
En general, β = β(q), depende del valor q en la región alternativa que
evaluamos. Podŕıamos calcular para q > 1/2
β(q) = Pq(X < 19).
Por ejemplo, siguiendo con n = 24:
β(0.99) ≈ 10−7 β(0.51) ≈ 0.99.
Esta probabilidad:
Disminuye a medida que q aumenta (es más fácil detectar
diferencias grandes).
Disminuye a medidad que n aumenta (es más fácil detectar
diferencias con muchas observaciones).
Tipos de error
Tipos de error
¿Cómo podemos disminuir α y β?
Si el tamaño de muestra está fijo y el estad́ıstico del test ya fue
elegido, entonces aumentar el tamaño de la región de rechazo para
disminuir α resulta en un mayor valor de β para cualquier valor de
parámetro consistente con H1.
Potencia de un test
Definition
Se define la potencia de un test como la probabilidad de rechazar H0
cuando es falsa, es decir
π = P(rechazar H0 cuando es falsa)
= 1− P(no rechazar H0 cuando es falsa)
= 1− β
La potenciade un test mide la sensibilidad del test para detectar
diferencias entre la hipótesis nula y la alternativa.
Al igual que β, para hipótesis alternativas compuestas, la potencia es una
función de los valores del parámetro en el espacio descripto por la
hipótesis alternativa.
Potencia de un test
La teoŕıa de tests óptimos (que no vamos a desarrollar) busca, dado un
problema de testeo, entre todos los tests de nivel al menos α el que tiene
potencia más alta uniformemente en todos los valores del parámetro en el
espacio descripto por la hipótesis alternativa. A este test se lo llama
uniformemente más potente de nivel α.
Se prioriza fijar el nivel, el error de tipo I, y después minimizar el error de
tipo II (maximizar la potencia), porque, como mencionamos antes, en
muchos problemas se considera más grave cometer errores de tipo I.
Tipos de error
Ejemplo (moneda)
Bajo H1, X ∼ Bin(24, 3/4), entonces
β = P(error de tipo II)
= P(no rechazar H0 cuando es falsa)
= P(X ≤ 18 cuando n = 24 y p = 3/4)
= 0.578,
Luego,
π(3/4) = 1− β = 0.422.
Dos enfoques diferentes
Para llevar a cabo un test podemos:
Prefijar el nivel de significación α.
Calcular el p–valor.
Fijar el nivel de significación
Si queremos que la probabilidad de rechazar H0 cuando es verdadera sea
α, esto nos prefijará la región de rechazo.
Ejemplo (moneda)
Por ejemplo, fijemos α = 0.01 nos define la región de rechazo
R = {X ≥ 18}
porque P1/2(X ≥ 18) = 0.01 y en este caso:
Si xobs = 17 no rechazamos H0
Si xobs = 13 no rechazamos H0
Si xobs = 19 rechazamos H0
Fijar el nivel de significación
Si xobs = 19 rechazamos H0 a nivel 0.01. ¿Implica esto que tenemos una
probabilidad de 0.01 de haber cometido un error de tipo I?
No, la probabilidad de haber cometido un error de tipo I es siempre 1 o
0, pero no sabemos cuál porque no sabemos si H0 es verdadera o falsa.
Es algo similar a lo que pasa cuando se tratan de interpretar intervalos de
confianza.
Usar un test de nivel α nos garantiza que, si repetimos muchas veces el
experimento y para que experimento tomamos la decisión de rechazar o
no rechazar usando el test, en aproximadamente un α% de las
repeticiones vamos a cometer un error de tipo I.
p-valor
Si xobs = 19 rechazamos H0 a nivel 0.01. ¿Rechazamos también a nivel
0.007? ¿Cuál es el menor nivel al que rechazamos?
Cada nivel de significación nos define una región de rechazo.
En general esperamos que la región de rechazo se achique a medida que
disminuimos el nivel de significación.
Para una muestra dada, nos podemos preguntar cuál es el menor de nivel
de significación para el que se rechaza H0.
p-valor
Definition
Supongamos que tenemos una familia de tests indexados por nivel de
significación, con regiones de rechazo anidadas.
Dadas observaciones, el p-valor es el menor nivel de significación para el
que rechazamos H0. Si el estad́ıstico de los tests es X y las regiones de
rechazon son de la forma
R(c) = {X ≥ c}
o de la forma
R(c) = {X ≤ c}
el p-valor asociado a observar X = xobs se calcula como
PH0 (R(xobs)) .
p-valor
p-valor
p-valor
Informalmente, el p-valor es una medida de la evidencia en contra de H0.
Cuanto menor sea el p-valor, mayor será la evidencia en contra de H0.
Cuidado
Un p-valor grande no es evidencia fuerte en favor de H0.
El p-valor no es la probabilidad de que la hipótesis nula sea cierta.
El p-valor es la probabilidad, bajo H0, de observar un valor del
estad́ıstico del test igual o más extremo que el observado.
p-valor
p-valor
Informalmente, el p-valor es una medida de la evidencia en contra de H0.
Cuanto menor sea el p-valor, mayor será la evidencia en contra de H0.
Cuidado
Un p-valor grande no es evidencia fuerte en favor de H0.
El p-valor no es la probabilidad de que la hipótesis nula sea cierta.
El p-valor es la probabilidad, bajo H0, de observar un valor del
estad́ıstico del test igual o más extremo que el observado.
Calcular el p-valor
Informalmente, con el p-valor podemos cuantificar “cuán raro” es el valor
del estad́ıstico X obtenido con nuestra muestra, si H0 fuese cierta.
En general se lo compara con α = 0.01 o α = 0.05:
Si p-valor < α rechazamos H0.
Si p-valor ≥ α no rechazamos H0.
Calcular el p-valor
Ejemplo (moneda)
Supongamos que tiramos 24 veces la moneda y obtenemos xobs = 18
caras. Luego,
p-valor = P1/2(X ≥ 18) = 0.01133.
Luego,
A nivel 0.05 rechazamos H0 pues 0.01133 < 0.05
A nivel 0.01 no rechazamos H0 pues 0.01133 > 0.01
Pasos para realizar un test de hipótesis usando el p-valor
1 ¿Cuáles son las hipótesis a testear?
2 ¿Qué estad́ıstico podemos usar para el test?
3 ¿Qué valores del estad́ıstico podemos esperar si H0 es cierta?
4 ¿Cuáles seŕıan valores poco probables de obtener si H0 es cierta y
que apoyan la hipótesis alternativa?
5 ¿Qué valor del estad́ıstico nos da la muestra observada?
6 ¿Cuál es el p-valor para la muestra?
7 ¿Cuál es la conclusión del problema?
Test binomial
Test
Tenemos X1, . . . ,Xn una muestra aleatoria Ber(p).
Queremos testear las hipótesis:
H0: p = p0
H1: p > p0 (p < p0)
Estad́ıstico, X =
∑n
i=1 Xi .
Cuando H0 es cierta, X ∼ Bin(n, p0).
Las regiones de rechazo son
Alternativa Región de rechazo R
H1 : p > p0 {X ≥ c}
H1 : p < p0 {X ≤ c}
Test binomial
Ejemplo (dado)
Cierto juego de mesa depende del lanzamiento de un dado y en particular
de que salga el número seis. Se lanzó el dado 235 veces y se obtuvieron
51 seis. Si el dado fuera equilibrado esperaŕıamos 235/6 = 39.17 seis.
Queremos testear
H0: p = 1/6
H1: p > 1/6
La región de rechazo será de la forma R = {X ≥ c}. Bajo H0,
X ∼ Bin(235; 1/6).
El p-valor es
P1/6(X ≥ 51) =
235∑
j=51
(
235
j
)(
1
6
)j (
5
6
)235−j
= 0.02654
Test para la media de una población
Caso normal con varianza conocida
Problema
Dada una muestra aleatoria
X1, . . . ,Xn ∼ N (µ, σ2)
con σ conocida queremos testear
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0
Proponemos un test de la forma
rechazo H0 ⇔ |X − µ0| ≥ k
con k que verifica (hay un solo elemento en H0)
α = Pµ0
(
|X − µ0| ≥ k
)
Caso normal con varianza conocida
Busquemos k :
α = Pµ0 (|x − µ0| ≥ k) = Pµ0
(
|x − µ0|
σ/
√
n
≥ k
σ/
√
n
)
= Pµ0
(
|Z | ≥ k
σ/
√
n
)
= 1−
[
Φ
(
k
σ/
√
n
)
− Φ
(
− k
σ/
√
n
)]
Despejamos k
k = z1−α/2σ/
√
n
Caso normal con varianza conocida
Calculemos la potencia del test:
π(µ) = Pµ
(
|X − µ0| ≥ z1−α/2
σ√
n
)
= Pµ
(
X − µ0 ≥ z1−α/2
σ√
n
)
+ Pµ
(
X − µ0 ≤ −z1−α/2
σ√
n
)
= Pµ
(
X − µ
σ/
√
n
≥ µ0 − µ
σ/
√
n
+ z1−α/2
)
+ Pµ
(
X − µ
σ/
√
n
≤ µ0 − µ
σ/
√
n
− z1−α/2
)
= 1− Φ
(
µ0 − µ
σ/
√
n
+ z1−α/2
)
+ Φ
(
µ0 − µ
σ/
√
n
− z1−α/2
)
Caso normal con varianza conocida
Observemos que
aumenta cuando |µ0 − µ| aumenta
aumenta cuando σ disminuye
aumenta cuando n aumenta
aumenta cuando α aumenta
Caso normal con varianza conocida
−4 −2 0 2 4
0.
3
0.
4
0.
5
0.
6
0.
7
0.
8
0.
9
1.
0
Figure: Función de potencia π(µ) cuando µ0 = 0.
Caso normal con varianza conocida
Test
Queremos testear las hipótesis:
H0: µ = µ0
H1: µ 6= µ0
¿Qué estad́ıstico usamos?
Z =
X − µ
σ/
√
n
¿Qué distribución tiene el estad́ıstico cuando H0 es cierta?
Z =
X − µ0
σ/
√
n
∼ N(0, 1)
Rechazamos H0 si Z ≤ −z1−α/2 o si Z ≥ z1−α/2 o
equivalentemente si X ≤ µ0 − z1−α/2σ/
√
n o si
X ≥ µ0 + z1−α/2σ/
√
n
Caso normal con varianza conocida
Ejemplo (estudiantes)
Consideremos la hipótesis nula de que el peso medio de estudiantes
hombres de cierta universidad es 68 kilogramos, contra la alternativa de
que es diferente.
H0: µ = 68
H1: µ 6= 68
Supongamos α = 0.05, σ = 3.6 y n = 36. Luego,
R =
{
X ≤ 68− 1.96 ∗ 3.6/
√
36
}
∪
{
X ≥ 68 + 1.96 ∗ 3.6/
√
36
}
=
{
X ≤ 66.8
}
∪
{
X ≥ 69.2
}
.
Caso normal con varianza conocida
Ejemplo (estudiantes)
Supongamos que observamos xobs = 69.68. Luego,
p-valor = 2P(X ≥ xobs)
= 2P(X ≥ xobs cuando H0 es verdadera)
= 2P(X ≥ 69.68 cuando H0 es verdadera)
= 0.005.
¿Conclusión?
pvalor = 2 * (1 - pnorm(69.68, 68, 3.6 / 6))
Caso normal convarianza conocida
Problema
Dada una muestra aleatoria
X1, . . . ,Xn ∼ N (µ, σ2)
con σ conocida queremos testear
H0 : µ ≤ µ0 vs µ > µ0
Proponemos un test de la forma
rechazo H0 ⇔ X ≥ k
con k que verifica
α = max
µ≤µ0
Pµ(rechazar H0) = max
µ≤µ0
Pµ(X ≥ k)
Caso normal con varianza conocida
Busco k
Pµ(X ≥ k) = P
(
X − µ
σ/
√
n
≥ k − µ
σ/
√
n
)
= 1− Φ
(
k − µ
σ/
√
n
)
︸ ︷︷ ︸
función creciente en µ
Entonces
α = max
µ≤µ0
(
1− Φ
(
k − µ
σ/
√
n
))
= 1− Φ
(
k − µ0
σ/
√
n
)
Despejamos k
k = µ0 + z1−α
σ√
n
Entonces el test rechaza H0 cuando
X − µ0
σ/
√
n
≥ z1−α
Caso normal con varianza conocida
Calculemos la función de potencia del test
π(µ) = Pµ
(
X ≥ µ0 + z1−ασ/
√
n
)
= Pµ
(
X − µ
σ/
√
n
≥ µ0 − µ
σ/
√
n
+ z1−α
)
= 1− Φ
(
µ0 − µ
σ/
√
n
+ z1−α
)
Entonces
π(µ) = 1− Φ
(
µ0 − µ
σ/
√
n
+ z1−α
)
Caso normal con varianza conocida
Observemos que
Si aumenta α aumenta la potencia
Si aumenta µ aumenta la potencia
Si aumenta n aumenta la potencia
Si se reduce σ aumenta la potencia
Caso normal con varianza conocida
−4 −2 0 2 4
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
Figure: Función de potencia π(µ).
Caso normal con varianza conocida
Test
Queremos testear las hipótesis:
H0: µ ≤ µ0
H1: µ > µ0
¿Qué estad́ıstico usamos?
Z =
X − µ0
σ/
√
n
Rechazamos H0 si Z ≥ z1−α, es decir si
X ≥ µ0 + z1−ασ/
√
n .
Caso normal con varianza conocida
Ejemplo (pintura)
El tiempo de secado de un tipo de pintura bajo condiciones espećıficas se
distribuye normalmente con media 75 min y desv́ıo estándar 9 min.
Se diseño un aditivo qúımico para disminuir el tiempo de secado. Se cree
que el tiempo de secado con este aditivo también se distribuye de manera
normal con σ = 9.
Sea µ el tiempo de secado medio cuando el aditivo es usado. La hipótesis
son
H0 : µ = 75
H1 : µ < 75
Caso normal con varianza conocida
Ejemplo (pintura)
La región de rechazo debe ser de la forma
X ≤ k
Si fijamos de antemano α = 0.01 entonces rechazamos H0 si
Z < zα = −z1−α o equivalentemente si
X ≤ µ0 − z1−ασ/
√
n .
Para una muestra de tamaño n = 25 nos queda
R =
{
X ≤ 70.8
}
Observemos que α se calcula usando la distribución bajo H0 mientras que
para el cálculo de β necesitamos conocer la distribución del estad́ıstico
del test cuando H0 es falsa.
Caso normal con varianza conocida
Ejemplo (pintura)
Para este test, solo el 1% de todas las muestras llevarán a rechazar H0
cuando sea efectivamente cierta.
β(72) = Pµ=72(error de tipo II)
= Pµ=72(H0 no se rechaza)
= Pµ=72(X > 70.8) = 0.7486
Porque, cuando µ = 72, X ∼ N (72; 9/
√
25)).
β(70) = 1− Φ((70.8− 70)/1.8) = 0.33
β(67) = 1− Φ((70.8− 70)/1.8) = 0.0174
Sin embargo, la probabilidad de un error de tipo II es grande cuando
µ = 72 (un pequeño alejamiento de H0), un poco menor cuando µ = 70
y bastante menor cuando µ = 67 (un desv́ıo sustancial respecto de H0).
Caso normal con varianza conocida
Ejemplo (pintura)
Caso normal con varianza conocida
Ejemplo (pintura)
Si hubiéramos considerado la hipótesis nula
H0 : µ ≥ 75
tenemos un valor de α para cada valor de µ ≥ 75:
α(75), α(75.8), α(76.5), . . .
Es fácil ver que α(75) es el mayor de los errores de tipo I.
En general el peor escenario ocurre en el borde.
Tamaño de muestra
¿Cuánto debeŕıa ser el tamaño de muestra para lograr una buena
potencia del test para α fijo y una alternativa espećıfica fija?
Supongamos que queremos testear:
H0: µ = µ0
H1: µ > µ0
con un nivel de significación α cuando conocemos σ.
Tamaño de muestra
Para una alternativa espećıfica µ = µ0 + δ,10.6 Elección del tamaño de la muestra para la prueba de medias 351
Bajo la hipótesis alternativa μ = μ
0
 + δ, el estadístico 
X̄ − (μ0 + δ)
σ/
√
n
es la variable normal estándar Z. Por lo tanto,
β = P Z <
a − μ0
σ/√n
−
δ
σ/√n
= P Z < zα −
δ
σ/√n
,
de donde concluimos que
−zβ = zα −
δ √n
σ
,
y, en consecuencia,
Elección del tamaño de la muestra: n =
(zα + zβ )2σ 2
δ 2
,
un resultado que también es verdadero cuando la hipótesis alternativa es μ < μ
0
.
En el caso de una prueba de dos colas obtenemos la potencia 1 – β para una alter-
nativa específica cuando
n ≈
(zα/ 2 + zβ )2σ2
δ 2
.
 Ejemplo 10.7: Suponga que deseamos probar la hipótesis 
H
0
: μ = 68 kilogramos,
H
1
: μ > 68 kilogramos,
para los pesos de estudiantes hombres en cierta universidad usando un nivel de signifi-
cancia α = 0.05 cuando se sabe que σ = 5. Calcule el tamaño muestral que se requiere 
si la potencia de nuestra prueba debe ser 0.95 cuando la media real es 69 kilogramos.
x
a +μ0 0 δ
αβ
Figura 10.14: Prueba de μ = μ
0
 contra μ = μ
0
 + δ.
la potencia del test es
π(µ0+δ) = Pµ=µ0+δ
(
X ≥ µ0 + z1−ασ/
√
n
)
= Pµ=µ0+δ(Z ≥ −δ
√
n/σ+z1−α)
Tamaño de muestra
¿De qué tamaño debeŕıa ser la muestra para que nuestro test tenga
una potencia 1− β?
1− β = π(µ0 + δ) = Pµ=µ0+δ(Z ≥ −δ
√
n/σ + z1−α)
Entonces,
β = Pµ=µ0+δ(Z ≤ −δ
√
n/σ + z1−α)
y por lo tanto
−δ
√
n/σ + z1−α = zβ ⇒ n =
(z1−β + z1−α)
2σ2
δ2
Test de hipótesis para muestras grandes
(niveles de significación asintóticos)
Nivel de significación asintótico
Definition
Una sucesión de tests de nivel αn tiene nivel de significación asintótico
α si αn → α cuando n→∞.
Vamos a ver como construir tests de nivel aśıntotico para una media, sin
asumir normalidad ni varianzas conocidas, o para una proporción,
basandonos en el Teorema Central del Ĺımite.
Test asintótico para la media
Test
Queremos testear las hipótesis:
H0: µ = µ0
H1: µ 6= µ0
¿Qué estad́ıstico usamos? Z = (X − µ)/(S/
√
n).
¿Qué distribución tiene el estad́ıstico cuando H0 es cierta? Por el
TCL y Slutzky,
Z = (X − µ0)/(S/
√
n)
a∼ N (0, 1)
Rechazamos H0 si
Z ≤ −z1−α/2 o si Z ≥ z1−α/2
o equivalentemente si
X ≤ µ0 − z1−α/2S/
√
n o si X ≥ µ0 + z1−α/2S/
√
n
Test asintótico para la media
Ejemplo (máquina de café
El volumen de café producido con cada uso de cierta máquina de café es
una variable aleatoria con media µ ∈ R. La máquina se considera bien
calibrada si el volumen esperado es de 260 mL, es decir si µ = 260.
Para determinar si la máquina necesita recalibrarse, se plantea el
contraste de hipótesis
H0 : µ = 260
H1 : µ 6= 260
Los resultados de una muestra aleatoria de los volúmenes (mL) de café
producido en 1200 usos de la máquina son x = 257.19, s2 = 442.36.
Realizar un test con un nivel de significación asintótico de α = 0.05.
Test asintótico para la media
Ejemplo (máquina de café
Para contruir el test asintótico, nos basamos en el estad́ıstico
Z =
X n − 260
S/
√
n
Definimos la región de rechazo como
R =
{
Z ≤ −z1−α/2
}
∪
{
Z ≥ z1−α/2
}
Como vimos, este test tiene el nivel de significación asintótico deseado
porque, suponiendo que H0 es verdadera, µ = 260. Luego, por TCL y
Slutzky
Z
d→ N (0, 1)
Lo que implica que P(Z ∈ R)→ α si H0 es cierta.
Test asintótico para la media
Ejemplo (máquina de café
A partir de los datos de la muestra:
z =
257.19− 260√
442.36/1200
≈ −4.63
−z1−α/2 = −z0.975 ≈ −1.96. Como −4.63 ≤ −1.96, el estad́ıstico está
en la región de rechazo: rechazamos H0. Es decir, hay suficiente
evidencia de que la máquina de café necesita recalibrarse.
Test asintótico para una proporción
Proporción
Queremos testear las hipótesis:
H0: p = p0
H1: p 6= p0 (p < p0, p > p0)
¿Qué estad́ıstico usamos? Z =
(
X − p
)
/
√
p0(1− p0)/n.
¿Qué distribución tiene el estad́ıstico cuando H0 es cierta? Por el
TCL,
Z = (X − p0)/
√
p0(1− p0)/n
a∼ N (0, 1)
Rechazamos H0 si
Alternativa Región de rechazo
H1 : p > p0 z ≥ z1−α
H1 : p < p0 z ≤ −z1−α
H1 : p 6= p0 z ≥ z1−α/2 o z ≤ −z1−α/2
Test asintótico para una proporción
Ejemplo (hamburguesas veganas)
En un cierto mercado, estudios mostraron que la proporción de
consumidores de hamburguesas que consideran a la hamburguesa vegana
como parte de su dieta se mantuvo estable en los últimos años, en 17%.
Para intentar aumentar esta poporción, una firma llevó a cabo una
campaña publicitaria por unos meses.
Tras lacampaña, se realizó un nuevo estudio con una muestra aleatoria
representativa del mercado de consumidores de hamburguesas y 843
encuestados. De estos, 153 respondieron que consideran a la
hamburguesa vegana como parte de su dieta.
¿Sugieren los resultados que la proporción de consumidores de este
mercado que incorporan a la hamburguesa vegana en su dieta es ahora
mayor a 17%? Para responder, realizar un test de hipótesis asintótico de
nivel α = 0.1.
Test asintótico para una proporción
Ejemplo (hamburguesas veganas)
Si llamamos p a la proporción poblacional de consumidores de
hamburguesas veganas, las hipótesis a contrastar son:
H0 : p = 0.17
H1 : p > 0.17
Sea X n la proporción de consumidores de hamburguesas veganas en la
muestra. Armamos el test a partir del estad́ıstico
Z =
X n − 0.17√
0.17(1− 0.17)/n
Suponiendo que la muestra es iid y que H0 es verdadera, Z converge en
distribución a N (0, 1) (TCL), por lo que la región de rechazo
R = {Z ≥ z1−α}
define un test de nivel de significación asintótico α.
Test asintótico para una proporción
Ejemplo (hamburguesas veganas)
A partir de los datos de la muestra:
z =
153/843− 0.17√
0.17(1− 0.17)/843
≈ 0.89
z1−α = z0.9 ≈ 1.28. Como 0.89 < 1.28, el estad́ıstico está fuera de la
región de rechazo: no rechazamos H0. Es decir, no hay suficiente
evidencia para afirmar que la proporción de consumidores de
hamburguesas veganas aumentó.
Test de Wald
Vamos una forma general de construir un test asintótico, el Test de
Wald.
Problema
Dada una muestra aleatoria
X1, . . . ,Xn ∼ F (x ; θ)
con
F ∈ F = {F (x ; θ) : θ ∈ Θ ⊂ R}
Queremos contrastar
H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0 (θ > θ0, θ < θ0)
Test de Wald
Test de Wald
Queremos testear
H0: θ = θ0.
H1: θ 6= θ0.
Si θ̂ es asintóticamente normal y tenemos una estimación consistente de
la varianza asintótica V (θ). Por ejemplo, supongamos que V (θ̂n) es
consistente para V (θ).
√
n
θ̂ − θ0√
V (θ̂)
d−→ N (0, 1)
Dado α > 0 el test de Wald rechaza H0 cuando |W | > z1−α/2 donde
W =
√
n(θ̂ − θ0)√
V (θ̂)
Test de Wald
Test de Wald
Más generalmente, rechazamos H0 si
Alternativa Región de rechazo
H1 : θ > θ0 w ≥ z1−α
H1 : θ < θ0 w ≤ −z1−α
H1 : θ 6= θ0 w ≥ z1−α/2 o w ≤ −z1−α/2
También se llama Test de Wald al test basado en
Ŵ =
√
n(θ̂ − θ0)√
V (θ0)
,
es decir, que no estima la varianza asintótica, sino que usa el valor de la
misma bajo la nula. Las dos alternativas son igualmente válidas
Test de Wald
Theorem
Asintóticamente, el test de Wald para H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0 tiene
nivel α, esto es,
P(|W | ≥ z1−α/2)→ α.
Un resultado análogo vale para las otras alternativas.
Proof.
Bajo H0 sabemos que
√
n
(
θ̂ − θ0
)
√
V (θ̂)
d−→ N (0, 1)
Luego, si llamamos Z ∼ N (0, 1) tenemos que
P(|W | ≥ z1−α/2) = P
(√
n|θ̂ − θ0|/
√
V (θ̂)
)
d−→ P(|Z | ≥ z1−α/2) = α
Test de Wald
Theorem
La potencia del test de Wald para H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0 que tiene
nivel α, es aproximadamente
1− Φ
(
θ0 − θ
V (θ)/
√
n
+ z1−α/2
)
+ Φ
(
θ0 − θ
V (θ)/
√
n
− z1−α/2
)
para tamaños de muestra grandes.
Observación
Qué implica este resultado sobre los tests de Wald basados en el
estimador de máxima verosimilitud?
Test de Wald
Example
Consideremos el problema 13 del TP5. Dar la región de rechazo del test
de Wald de nivel 1% para la hipótesis
H0 : β(θ) = 1/2 vs H1 : β(θ) 6= 1/2.
Qué decisión se toma para los datos que se observan según el item 5?
Repetir el análisis para la hipótesis H0 : β(θ) = 1/2 vs H1 : β(θ) > 1/2.
Se podŕıa haber analizado este problema sin suponer el modelo
exponencial para los datos?
Relación con intervalos de confianza (Wald)
Theorem (Intervalo de confianza)
El test de Wald de nivel α rechaza H0 : θ = θ0 en favor de H1 : θ 6= θ0 si
y solo si θ0 /∈ C donde
Cn =
(
θ̂ − z1−α/2V
(
θ̂
)
; θ̂ + z1−α/2V
(
θ̂
))
Testear la hipótesis es equivalente a ver si el valor del parámetro en la
hipótesis nula pertenece al intervalo de confianza.
Relación con intervalos de confianza
Dado un test de nivel α para las hipótesis
H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0
y una muestra X, llamemos C (X) a aquellos valores poblacionales θ0 para
lo cuales el test evaluado en la muestra X rechazaŕıa H0. Es decir,
C (X) = {θ̃ : no rechazo H0 : θ = θ̃ para la muestra X}
(es un conjunto aleatorio porque depende de la muestra).
Vemos que
Pθ0 (θ0 ∈ C (X)) = Pθ0 (no rechazo H0) = 1− Pθ0 (rechazo H0) = 1− α
Entonces C (X) es una región de confianza de nivel 1− α obtenida a
partir de invertir el test.
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