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Econometŕıa I – EAE-250A Fundamentos de Estad́ıstica Jaime Casassus Instituto de Econoḿıa Pontificia Universidad Católica de Chile Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 1 / 44 Tabla de Contenidos 1 Poblaciones, muestras y estimadores 2 Estimación 3 Estimaciones de intervalo 4 Tests de hipótesis Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 2 / 44 Muestreo aleatorio • La Estad́ıstica permite aprender acerca de la población a partir de muestras aleatorias sacadas de la población. • Si Y1, . . . ,Yn son variables aleatorias independientes con una FDP f (y ; θ), entonces {Y1, . . . ,Yn} es una muestra aleatoria de la población representada por f (y ; θ). • Si {Y1, . . . ,Yn} es una muestra aleatoria, entonces las variables Yi son i.i.d. • Antes de realizar la selección de la muestra, son muchas las muestras {Y1, . . . ,Yn} que se pueden realizar. Una vez que se realiza la selección, se cuenta con un conjunto de cifras y1, . . . , yn, que corresponden a los datos con los que se trabajará. • ¿Qué distribución se asume para la muestra aleatoria? Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 3 / 44 Métodos estad́ısticos en Econometŕıa • La Estad́ıstica usa tres métodos para aprender acerca de la población: ◦ Estimación ◦ Intervalos de confianza ◦ Tests de hipótesis • La estimación consiste en obtener el valor más razonable de una caracteŕıstica desconocida de una distribución poblacional, como por ejemplo, su media. • Los intervalos de confianza emplean los datos de la muestra para construir un intervalo o rango para una caracteŕıstica poblacional desconocida. • Los tests de hipótesis consisten en formular una hipótesis espećıfica acerca de la población y, empleando la evidencia de la muestra, decidir si es que no es cierta. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 4 / 44 Tabla de Contenidos 1 Poblaciones, muestras y estimadores 2 Estimación 3 Estimaciones de intervalo 4 Tests de hipótesis Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 5 / 44 Estimadores y estimaciones • Dada una muestra aleatoria {Y1, . . . ,Yn} seleccionada de una población con una FDP que depende de un parámetro desconocido θ, un estimador de θ es una regla que asigna a cada realización de una muestra un valor de θ. • Por ejemplo, sea {Y1, . . . ,Yn} una muestra aleatoria de una población con media µ. Un estimador natural de µ es el promedio de la muestra aleatoria o promedio muestral Ȳ ≡ 1 n n∑ i=1 Yi • Para cualquier resultado de las variables aleatorias Y1, . . . ,Yn se emplea la misma regla para estimar µ: el promedio de y1, . . . , yn. • Una estimación es el cálculo del estimador para una realización y1, . . . , yn de la muestra. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 6 / 44 Estimadores y estimaciones (cont.) • Generalizando, un estimador W de un parámetro θ es una función h de las variables aleatorias Y1, . . . ,Yn W ≡ h(Y1, . . . ,Yn) • Como una h(·) es función de variables aleatorias, W es una variable aleatoria. • Cuando se evalúan las cifras y1, . . . , yn en la función h, se obtiene una estimación de θ, denotada como w = h(y1, . . . , yn) • W es un estimador de θ. • w es una estimación puntual de θ. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 7 / 44 Propiedades de los estimadores • Algunas propiedades de los estimadores pueden depender del tamaño de la muestra. • Existen propiedades de muestra finita y propiedades asintóticas, que tienen que ver con el comportamiento de los estimadores cuando la muestra tiende a infinito. • Algunas propiedades de los estimadores independiente del tamaño son: ◦ Insesgamiento ◦ Eficiencia • Algunas propiedades válidas sólo asintóticamente son: ◦ Consistencia ◦ Normalidad asintótica Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 8 / 44 Insesgamiento • Un estimador W de θ es un estimador insesgado si y sólo si E (W ) = θ ∀θ • Si un estimador es insesgado, entonces su distribución de probabilidad tiene un valor esperado igual al parámetro que se está estimando. • Esto no quiere decir que para cualquier muestra la estimación de θ va a ser exactamente θ o cercanamente θ. • La idea es que al seleccionar infinitas muestras y calcular el valor de W para cada selección, en promedio se obtiene θ. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 9 / 44 Insesgamiento (cont.) • Si W es un estimador de θ, su sesgo se define como Sesgo(W ) ≡ E (W )− θ � = E(T1) t f(t) E(T2) Sesgo(T2) Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 10 / 44 Insesgamiento (cont.) • Se puede demostrar que el promedio muestral Ȳ es un estimador insesgado de la media poblacional µ. • También que la varianza muestral, denotada por S2 ≡ n∑ i=1 (Yi − Ȳ )2 n − 1 (1) es un estimador insesgado de la varianza poblacional σ2. • ¿Por qué en la expresión anterior se divide por n − 1 y no por n? • Sea W = Y1 un estimador de µ. ¿Es insesgado? ¿Qué problemas tiene? Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 11 / 44 Varianza de los estimadores • ¿Cómo se concentra la distribución de W alrededor de θ? � t f(t) • Compare la varianza del promedio muestral Ȳ con la varianza de Y1. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 12 / 44 Eficiencia • El ejemplo anterior motiva el concepto de eficiencia relativa. • Si W1 y W2 son dos estimadores insesgados de θ, W1 es eficiente en relación a W2 si Var(W1) ≤ Var(W2) ∀θ, con desigualdad estricta al menos para un valor de θ. • En el caso anterior, Ȳ es eficiente en relación a Y1 para estimar µ. • Tarea: sean Y1, . . . ,Yn, variables aleatorias i.i.d. con media µ y varianza σ2. Demuestre que de todos los estimadores lineales insesgados de µ, Ȳ es el de varianza ḿınima. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 13 / 44 Error cuadrático medio • Una manera de comparar estimadores que no son insesgados es mediante el error cuadrático medio (ECM). • Para un estimador W de θ su ECM se define como ECM(W ) ≡ E [(W − θ)2] • El ECM mide qué tan alejado está W , en promedio, de θ. • Tarea: demuestre que ECM(W ) = Var(W ) + Sesgo(W )2. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 14 / 44 Propiedades asintóticas de los estimadores • Resulta razonable pedirle a los estimadores que sus propiedades mejoren a medida que el tamaño de la muestra n aumenta. • ¿Cómo cambian las propiedades de los estimadores Ȳ y Y1 a medida que n→∞? • Es posible descartar ciertos estimadores con sólo estudiar sus propiedades asintóticas o de muestra grande. • En la práctica, es dif́ıcil definir exactamente qué se entiende por muestra grande, pero se ha demostrado que las propiedades de muestra grande funcionan bien para tamaños tan pequeños como n = 20. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 15 / 44 Consistencia • Es importante saber qué tan probable es que el estimador del parámetro se encuentre lejos del parámetro cuando n→∞. • Matemáticamente, sea Wn un estimador de θ basado en la muestra {Y1, . . . ,Yn}. Wn es un estimador consistente de θ si ∀� > 0 P(|Wn − θ| > �)→ 0 cuando n→∞ • La definición de consistencia expresa que a medida que n crece la FDP de Wn se concentra alrededor de θ. • Cuando Wn es consistente se dice también que es el ĺımite de probabilidad de θ, y se denota por plim(Wn) = θ • Si Wn no es un estimador consistente de θ, entonces se dice que es inconsistente. • La consistencia es una condición necesaria de los estimadores. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 16 / 44 Algunas propiedades • Ley de los grandes números: sean Y1, . . . ,Yn variables aleatorias i.i.d. con media µ y varianza σ2. Entonces, plim(Ȳn) = µ Es decir, el estimador Ȳ se acerca indefinidamente a µ a medida que n crece. • Si plim(Wn) = α y plim(Un) = β, entonces plim(Wn + Un) = α + β plim(Wn · Un) = α · β plim ( Wn Un ) = α β Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 17 / 44 Normalidad asintótica• Ninguno de las propiedades anteriores dice qué forma tiene la FDP del estimador, lo que es necesario para construir estimadores de intervalo y realizar tests de hipótesis. • La mayor parte de los estimadores en Econometŕıa tienen una FDP que se aproxima a la distribución normal a medida que n→∞. • Esto motiva la definición de normalidad asintótica. Sea {Z1, . . . ,Zn} una sucesión de variables aleatorias tal que ∀z P(Zn < z)→ Φ(z) cuando n→∞ donde Φ(z) es la función de distribución normal estándar acumulada. • Se dice que Zn tiene una distribución asintótica normal estándar, y la notación es Zn a→ N(0, 1). Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 18 / 44 Teorema Central del Ĺımite • Teorema: si {Y1, . . . ,Yn} es una muestra de variables aleatorias i.i.d. con media µ y varianza σ2. Entonces Zn = Ȳn − µ σ/ √ n tiene una distribución asintótica normal estándar. • En muestras grandes la distribución muestral de la mayoŕıa de los estimadores es aproximadamente normal. • Ejemplo de lo anterior es que Ȳn−µ Sn/ √ n , donde Sn es el estimador de la desviación estándar derivado en la ecuación (1), también tiene una distribución asintótica igual a la normal estándar. • En lo que sigue se eliminará el sub́ındice n para simplificar la notación. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 19 / 44 Métodos de derivación de los estimadores • A continuación se verán algunos métodos de estimación que, en general, entregan estimadores con las propiedades deseables de insesgamiento, consistencia y eficiencia. • Estos métodos son: ◦ Método de momentos ◦ Máxima verosimilitud ◦ Mı́nimos cuadrados Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 20 / 44 Método de momentos • Sea f (y ; θ) la distribución poblacional de una variable aleatoria Y . • El método consiste, primero, en probar que θ guarda una cierta relación con E (Y ), E (Y 2) u otras formas similares –los llamados momentos poblacionales. • Luego se encuentra un buen estimador para E (Y ), E (Y 2) –el momento muestral. • Se estima θ a partir de la relación probada con el momento muestral. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 21 / 44 Máxima verosimilitud • Sean Y1, . . . ,Yn variables aleatorias independientes correspondientes a una muestra aleatoria de la FDP poblacional f (y ; θ). • Por el supuesto de muestreo aleatorio, la probabilidad conjunta es f (y1; θ) · f (y2; θ) · . . . · f (yn; θ). • Sea la función de verosimilitud L(Y ; θ) = f (Y1; θ) · f (Y2; θ) · . . . · f (Yn; θ), (2) que también es una variable aleatoria. • El estimador de máxima verosimilitud de θ es el valor que maximiza la ecuación (2) para una selección y (también maximiza log(L(y ; θ))). • Intuitivamente, este método escoge el valor de θ que hace que la probabilidad de observar los datos sea la mayor posible. • Por lo general, el estimador de máxima verosimilitud es el más eficiente asintóticamente cuando f (y ; θ) se especifica correctamente. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 22 / 44 Ḿınimos cuadrados • El estimador de ḿınimos cuadrados es el valor de m que minimiza la suma de las desviaciones al cuadrado i=1∑ n (yi −m)2 • Se puede demostrar que este valor corresponde a m = Ȳ . • ¿Por qué minimizar la suma de las desviaciones al cuadrado y no el valor absoluto de las desviaciones? • Muchas veces el método de momentos, el de máxima verosimilitud y el de ḿınimos cuadrados entregan los mismos estimadores. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 23 / 44 Tabla de Contenidos 1 Poblaciones, muestras y estimadores 2 Estimación 3 Estimaciones de intervalo 4 Tests de hipótesis Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 24 / 44 Construcción de los intervalos de confianza • Sea {Y1, . . . ,Yn} una muestra aleatoria de la población representada por la distribución N(µ, 1). • Se sabe que Ȳ ∼ N(µ, 1/n), por lo tanto, P ( −1, 96 ≤ Ȳ − µ 1/ √ n ≤ 1, 96 ) = 0, 95. • Despejando µ de la expresión anterior se obtiene el intervalo de confianza para µ de [ Ȳ − 1, 96√ n , Ȳ + 1, 96√ n ] • Antes de seleccionar la muestra, el intervalo [ Ȳ − 1,96√ n , Ȳ + 1,96√ n ] contiene a µ con un 95% de probabilidad. • La interpretación correcta del intervalo es que ‘en el largo plazo, al sacar infinitas muestras y computar en cada una de éstas intervalos de confianza semejantes, un 95% de estos intervalos contendrá al parámetro poblacional’. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 25 / 44 Los intervalos de confianza cuando no se conoce σ • Si no se conoce el valor de σ, se usa el estimador S ≡ √∑n i=1(yi−ȳ)2 n−1 . • Se puede demostrar que para n finito, Ȳ−µ S/ √ n distribuye t con n − 1 grados de libertad. • Si c es el percentil 97,5% de la distribución t, entonces[ Ȳ − c S√ n , Ȳ + c S√ n ] contiene a µ con un 95% de probabilidad. • De manera más general, el intervalo de confianza[ Ȳ − cα/2 S√ n , Ȳ + cα/2 S√ n ] contiene a µ con probabilidad 1− α. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 26 / 44 Error estándar • La variable aleatoria s/ √ n, que es una estimación puntual de σ, se conoce como error estándar de ȳ , ee(ȳ). • Esta definición permite expresar de manera más abreviada un intervalo de confianza [ȳ − cα/2 · ee, ȳ + cα/2 · ee]. • Todo intervalo de confianza se construye a partir del estimador del parámetro en cuestión, una medida del poder estad́ıstico del intervalo, y el error estándar o desviación estándar muestral de la variable aleatoria. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 27 / 44 Ejemplo 1 • Suponga que una muestra aleatoria es obtenida de una distribución normal que tiene media (µ) y varianza (σ2) desconocidas. Las observaciones son 78, 83, 68, 72 y 88. Determine el intervalo de confianza para µ con nivel de confianza de 95%. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 28 / 44 Tabla de Contenidos 1 Poblaciones, muestras y estimadores 2 Estimación 3 Estimaciones de intervalo 4 Tests de hipótesis Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 29 / 44 Tests de hipótesis • ¿Cómo concluir a partir del resultado de un intervalo de confianza? • ¿Los centros de capacitación aumentan la productividad de los trabajadores? • ¿Hay discriminación en contra de la mujer en el mercado laboral? • ¿Leyes más severas en contra de la conducción en estado de ebriedad reducen el número de accidentes? Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 30 / 44 Ideas básicas de los tests • Suponga que en unas elecciones el candidato A obtiene un 60% de los votos, mientras que el candidato B obtiene el 40% restante (no hay blancos ni nulos). • El candidato B piensa que hubo fraude en la contabilidad de los votos y que él tiene más que el 40% de los votos. • B llama a una empresa independiente a realizar una rápida encuesta de 100 casos y esta arroja que 55 personas votaron por él. • ¿Con esta evidencia se puede asegurar que se contaron mal los votos? • ¿Esta diferencia se encuentra dentro de la variación muestral esperada? • ¿Qué tan potente es la evidencia de la muestra en comparación a las de las elecciones? Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 31 / 44 Ideas básicas de los tests (cont.) • Se debe proceder mediante un test de hipótesis. • Sea θ la proporción de personas que votaron por el candidato B. Interesa probar que H0 : θ = 0, 4. • Este es un ejemplo de hipótesis nula. • La hipótesis alternativa seŕıa en este caso H1 : θ > 0, 4. • Después de un análisis estad́ıstico, B debiera ser capaz de rechazar o no la hipótesis nula. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 32 / 44 Tipos de errores y nivel de significancia • En los tests de hipótesis se puede cometer dos tipos de errores. • Error de tipo I: rechazar H0 cuando es verdadera. • Error de tipo II: “no rechazar” H0 cuando en realidad es falsa. • Es más grave cometer un errorde tipo I que uno de tipo II. Bajo un error de tipo II simplemente no se ha encontrado evidencia para rechazar H0, pero tampoco para aceptarla. El error de tipo I es concluyente, mientras que el de tipo II, no. • La tolerancia a cometer un error de tipo I es el nivel de significancia α. • Matemáticamente α ≡ P(rechazar H0|H0). • En general, se usa uno de los siguientes valores: 0,1, 0,05 ó 0,01. • Si α = 0, 05, quiere decir que se está dispuesto a rechazar equivocadamente H0 un 5% de las veces. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 33 / 44 Tests para la media de una población normal • Dada una muestra aleatoria, usted quiere testear la media de una población N(µ, σ2): • La hipótesis nula es H0 : µ = µ0, donde µ0 es un valor que especificamos. • Y tres posibles hipótesis alternativas son H1 : µ > µ0, (3) H1 : µ < µ0, (4) H1 : µ 6= µ0. (5) • Las expresiones (3) y (4) corresponden a tests de una cola, mientras que (5) corresponde a un test de dos colas. • Intuitivamente, con (3) se rechaza H0 en favor de H1 cuando el promedio muestral ȳ es “suficientemente” mayor que µ0. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 34 / 44 Tests para la media de una población normal (cont.) • Primero, se estandariza el estad́ıstico ȳ para µ t = ȳ − µ0 ee(ȳ) , donde ee(ȳ) es el error estándar de ȳ . • Este estad́ıstico mide la distancia de ȳ a µ0 en relación al ee(ȳ). • Si la hipótesis alternativa es (3), la regla de rechazo es t > c . • c es el percentil 1− α de la distribución tn−1. • Si la hipótesis alternativa es (5), la regla de rechazo es |t| > c . (6) Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 35 / 44 Test de una cola: H1 : µ > µ0 0 Zona de rechazo Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 36 / 44 Test de una cola: H1 : µ < µ0 0 Zona de rechazo Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 37 / 44 Test de dos colas: H1 : µ 6= µ0 0 Zona de rechazoZona de rechazo Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 38 / 44 La concesión de zonas empresariales y la inversión • Sea Y el cambio porcentual en la inversión en una comuna del páıs entre un año y otro. • Suponga que en el segundo año la comuna paso a ser una zona empresarial y que se quiere saber si este cambio se tradujo en una mayor inversión. • La hipótesis nula es que la concesión no tuvo efecto en la inversión, mientras que la alternativa es que tuvo un efecto positivo: H0 : µ = 0, (7) H1 : µ > 0. (8) • Suponga que quiere distinguir diferencias a un nivel del 5%, y que se tiene una muestra aleatoria de tamaño 30 en que ȳ = 10 y s = 20. • ¿Existe un efecto significativo? ¿Y a niveles de 1% y 10%? • ¿Es posible concluir que hay un efecto causal de la concesión en la inversión? Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 39 / 44 ¿Qué nos permiten decir los resultados de los tests? • Se tiende a pensar que si no se rechaza H0, se acepta H0 al nivel de significancia que se está trabajando. • Por ejemplo, se tiende a decir: “según los datos, aceptamos H0 a un nivel de significancia del 5%”. • Esta interpretación es incorrecta, ya que hay muchas hipótesis que pueden aceptarse con una misma muestra aleatoria. En el ejemplo anterior, con la misma muestra se podŕıa aceptar H0 : µ = 1 y H0 : µ = 2, lo que no es congruente ya que una sola de ellas es cierta. • La forma correcta es decir: “No podemos rechazar H0 a un nivel de significancia del 5%”. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 40 / 44 Tests asintóticos para poblaciones no normales • De acuerdo al Teorema Central del Ĺımite, si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande T = Ȳ − µ0 S/ √ n a∼ N(0, 1). (9) • Es decir, si n es lo suficientemente grande, se puede comparar el estad́ıstico t con los valores cŕıticos de una distribución normal estándar. • Recuerde que la distribución tn−1 converge a una normal estándar a medida que n crece. • Para muestra de tamaño entre 30 y 60 se acostumbra utilizar la distribución t, mientras que para n > 120 la elección entre la distribución t y la normal estándar es irrelevante. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 41 / 44 El valor-p • Dependiendo del nivel de significancia con que se trabaje, distintos investigadores con un mismo conjunto de datos pueden llegar a conclusiones distintas. • Para sortear este problema se puede plantear la pregunta ¿cuál es el nivel de significancia más grande con el que se puede trabajar sin rechazar la hipótesis nula? Este nivel es el valor-p de un test. • El valor-p es la probabilidad de obtener un estad́ıstico al menos tan adverso como el ya obtenido en la dirección de H1, bajo el supuesto de que H0 es cierta. • El valor-p es un percentil de corte y no provee un criterio para aceptar o rechazar H0 por śı sola. • Matemáticamente, dependiendo de la hipótesis alternativa, se define valor-p = P(Tn−1 > t), valor-p = P(Tn−1 < t), valor-p = P(|Tn−1| > |t|) • Note que el valor-p depende de la hipótesis alternativa! Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 42 / 44 El valor-p (cont.) • Considere el siguiente ejemplo: µ = 12, σ = 3; n = 36, ȳ = 12, 95. H0 : µ0 = 12. • El estad́ıstico del test es Z = ȳ−µ σ/ √ n , que bajo H0 distribuye N(0, 1). Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 43 / 44 El valor-p (cont.) • El valor-p del estad́ıstico depende de la hipótesis alternativa H1: ◦ Para H1 : µ0 > 12, el valor-p es la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 36 arroje una media muestral de 12, 95 o más, si la media verdadera es 12; es decir, P(Z ≥ 1, 9) = 0, 029. En otras palabras, la posibilidad de que ȳ > 12, 95 si µ = 12 es cercana a 3 en 100. ◦ Para H1 : µ0 < 12, el valor-p es la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 36 arroje una media muestral de 12, 95 o menos, si la media verdadera es 12; es decir, P(Z ≤ 1, 9) = 0, 971. En otras palabras, la posibilidad de que ȳ < 12, 95 si µ = 12 es cercana a 97 en 100. ◦ Para H1 : µ0 6= 12, el valor-p es la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 36 arroje una media muestral 0, 95 unidades menos o mayor que 12; es decir, ȳ < 11, 05 o ȳ > 12, 95. Aqúı el valor-p es P(Z ≤ −1, 9) + P(Z ≥ 1, 9) = 0, 057, lo que dice que la posibilidad de que |ȳ − 12| > 0, 95 son aproximadamente a 6 en 100 si µ = 12. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 12-Mar-15 44 / 44 Poblaciones, muestras y estimadores Muestreo aleatorio Métodos estadísticos en Econometría Estimación Estimadores y estimaciones Propiedades de los estimadores Insesgamiento Varianza de los estimadores Eficiencia Error cuadrático medio Propiedades asintóticas de los estimadores Consistencia Algunas propiedades Normalidad asintótica Teorema Central del Límite Métodos de derivación de los estimadores Método de momentos Máxima verosimilitud Mínimos cuadrados Estimaciones de intervalo Construcción de los intervalos de confianza Los intervalos de confianza cuando no se conoce Error estándar Ejemplo 1 Tests de hipótesis Tests de hipótesis Ideas básicas de los tests Tipos de errores y nivel de significancia Tests para la media de una población normal Test de una cola: H1: > 0 Test de una cola: H1: < 0 Test de dos colas: H1: =0 La concesión de zonas empresariales y la inversión ¿Qué nos permiten decir los resultados de los tests? Tests asintóticos para poblaciones no normales El valor-p
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