Clase 03 (Estadistica) - Zaida Moreno Páez

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Econometŕıa I – EAE-250A
Fundamentos de Estad́ıstica
Jaime Casassus
Instituto de Econoḿıa
Pontificia Universidad Católica de Chile
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 1 / 44
Tabla de Contenidos
1 Poblaciones, muestras y estimadores
2 Estimación
3 Estimaciones de intervalo
4 Tests de hipótesis
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Muestreo aleatorio
• La Estad́ıstica permite aprender acerca de la población a partir de
muestras aleatorias sacadas de la población.
• Si Y1, . . . ,Yn son variables aleatorias independientes con una FDP
f (y ; θ), entonces {Y1, . . . ,Yn} es una muestra aleatoria de la
población representada por f (y ; θ).
• Si {Y1, . . . ,Yn} es una muestra aleatoria, entonces las variables Yi
son i.i.d.
• Antes de realizar la selección de la muestra, son muchas las muestras
{Y1, . . . ,Yn} que se pueden realizar. Una vez que se realiza la
selección, se cuenta con un conjunto de cifras y1, . . . , yn, que
corresponden a los datos con los que se trabajará.
• ¿Qué distribución se asume para la muestra aleatoria?
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Métodos estad́ısticos en Econometŕıa
• La Estad́ıstica usa tres métodos para aprender acerca de la población:
◦ Estimación
◦ Intervalos de confianza
◦ Tests de hipótesis
• La estimación consiste en obtener el valor más razonable de una
caracteŕıstica desconocida de una distribución poblacional, como por
ejemplo, su media.
• Los intervalos de confianza emplean los datos de la muestra para
construir un intervalo o rango para una caracteŕıstica poblacional
desconocida.
• Los tests de hipótesis consisten en formular una hipótesis espećıfica
acerca de la población y, empleando la evidencia de la muestra,
decidir si es que no es cierta.
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Tabla de Contenidos
1 Poblaciones, muestras y estimadores
2 Estimación
3 Estimaciones de intervalo
4 Tests de hipótesis
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Estimadores y estimaciones
• Dada una muestra aleatoria {Y1, . . . ,Yn} seleccionada de una
población con una FDP que depende de un parámetro desconocido θ,
un estimador de θ es una regla que asigna a cada realización de una
muestra un valor de θ.
• Por ejemplo, sea {Y1, . . . ,Yn} una muestra aleatoria de una
población con media µ. Un estimador natural de µ es el promedio de
la muestra aleatoria o promedio muestral
Ȳ ≡ 1
n
n∑
i=1
Yi
• Para cualquier resultado de las variables aleatorias Y1, . . . ,Yn se
emplea la misma regla para estimar µ: el promedio de y1, . . . , yn.
• Una estimación es el cálculo del estimador para una realización
y1, . . . , yn de la muestra.
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Estimadores y estimaciones (cont.)
• Generalizando, un estimador W de un parámetro θ es una función h
de las variables aleatorias Y1, . . . ,Yn
W ≡ h(Y1, . . . ,Yn)
• Como una h(·) es función de variables aleatorias, W es una variable
aleatoria.
• Cuando se evalúan las cifras y1, . . . , yn en la función h, se obtiene una
estimación de θ, denotada como
w = h(y1, . . . , yn)
• W es un estimador de θ.
• w es una estimación puntual de θ.
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Propiedades de los estimadores
• Algunas propiedades de los estimadores pueden depender del tamaño
de la muestra.
• Existen propiedades de muestra finita y propiedades asintóticas, que
tienen que ver con el comportamiento de los estimadores cuando la
muestra tiende a infinito.
• Algunas propiedades de los estimadores independiente del tamaño
son:
◦ Insesgamiento
◦ Eficiencia
• Algunas propiedades válidas sólo asintóticamente son:
◦ Consistencia
◦ Normalidad asintótica
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Insesgamiento
• Un estimador W de θ es un estimador insesgado si y sólo si
E (W ) = θ ∀θ
• Si un estimador es insesgado, entonces su distribución de probabilidad
tiene un valor esperado igual al parámetro que se está estimando.
• Esto no quiere decir que para cualquier muestra la estimación de θ va
a ser exactamente θ o cercanamente θ.
• La idea es que al seleccionar infinitas muestras y calcular el valor de
W para cada selección, en promedio se obtiene θ.
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Insesgamiento (cont.)
• Si W es un estimador de θ, su sesgo se define como
Sesgo(W ) ≡ E (W )− θ
� = E(T1) t
f(t)
E(T2)
Sesgo(T2)
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Insesgamiento (cont.)
• Se puede demostrar que el promedio muestral Ȳ es un estimador
insesgado de la media poblacional µ.
• También que la varianza muestral, denotada por
S2 ≡
n∑
i=1
(Yi − Ȳ )2
n − 1
(1)
es un estimador insesgado de la varianza poblacional σ2.
• ¿Por qué en la expresión anterior se divide por n − 1 y no por n?
• Sea W = Y1 un estimador de µ. ¿Es insesgado? ¿Qué problemas
tiene?
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Varianza de los estimadores
• ¿Cómo se concentra la distribución de W alrededor de θ?
� t
f(t)
• Compare la varianza del promedio muestral Ȳ con la varianza de Y1.
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Eficiencia
• El ejemplo anterior motiva el concepto de eficiencia relativa.
• Si W1 y W2 son dos estimadores insesgados de θ, W1 es eficiente en
relación a W2 si Var(W1) ≤ Var(W2) ∀θ, con desigualdad estricta al
menos para un valor de θ.
• En el caso anterior, Ȳ es eficiente en relación a Y1 para estimar µ.
• Tarea: sean Y1, . . . ,Yn, variables aleatorias i.i.d. con media µ y
varianza σ2. Demuestre que de todos los estimadores lineales
insesgados de µ, Ȳ es el de varianza ḿınima.
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Error cuadrático medio
• Una manera de comparar estimadores que no son insesgados es
mediante el error cuadrático medio (ECM).
• Para un estimador W de θ su ECM se define como
ECM(W ) ≡ E [(W − θ)2]
• El ECM mide qué tan alejado está W , en promedio, de θ.
• Tarea: demuestre que ECM(W ) = Var(W ) + Sesgo(W )2.
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Propiedades asintóticas de los estimadores
• Resulta razonable pedirle a los estimadores que sus propiedades
mejoren a medida que el tamaño de la muestra n aumenta.
• ¿Cómo cambian las propiedades de los estimadores Ȳ y Y1 a medida
que n→∞?
• Es posible descartar ciertos estimadores con sólo estudiar sus
propiedades asintóticas o de muestra grande.
• En la práctica, es dif́ıcil definir exactamente qué se entiende por
muestra grande, pero se ha demostrado que las propiedades de
muestra grande funcionan bien para tamaños tan pequeños como
n = 20.
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Consistencia
• Es importante saber qué tan probable es que el estimador del
parámetro se encuentre lejos del parámetro cuando n→∞.
• Matemáticamente, sea Wn un estimador de θ basado en la muestra
{Y1, . . . ,Yn}. Wn es un estimador consistente de θ si ∀� > 0
P(|Wn − θ| > �)→ 0 cuando n→∞
• La definición de consistencia expresa que a medida que n crece la
FDP de Wn se concentra alrededor de θ.
• Cuando Wn es consistente se dice también que es el ĺımite de
probabilidad de θ, y se denota por
plim(Wn) = θ
• Si Wn no es un estimador consistente de θ, entonces se dice que es
inconsistente.
• La consistencia es una condición necesaria de los estimadores.
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Algunas propiedades
• Ley de los grandes números: sean Y1, . . . ,Yn variables aleatorias i.i.d.
con media µ y varianza σ2. Entonces,
plim(Ȳn) = µ
Es decir, el estimador Ȳ se acerca indefinidamente a µ a medida que
n crece.
• Si plim(Wn) = α y plim(Un) = β, entonces
plim(Wn + Un) = α + β
plim(Wn · Un) = α · β
plim
(
Wn
Un
)
=
α
β
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Normalidad asintótica
• Ninguno delas propiedades anteriores dice qué forma tiene la FDP
del estimador, lo que es necesario para construir estimadores de
intervalo y realizar tests de hipótesis.
• La mayor parte de los estimadores en Econometŕıa tienen una FDP
que se aproxima a la distribución normal a medida que n→∞.
• Esto motiva la definición de normalidad asintótica. Sea {Z1, . . . ,Zn}
una sucesión de variables aleatorias tal que ∀z
P(Zn < z)→ Φ(z) cuando n→∞
donde Φ(z) es la función de distribución normal estándar acumulada.
• Se dice que Zn tiene una distribución asintótica normal estándar, y la
notación es Zn
a→ N(0, 1).
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Teorema Central del Ĺımite
• Teorema: si {Y1, . . . ,Yn} es una muestra de variables aleatorias i.i.d.
con media µ y varianza σ2. Entonces
Zn =
Ȳn − µ
σ/
√
n
tiene una distribución asintótica normal estándar.
• En muestras grandes la distribución muestral de la mayoŕıa de los
estimadores es aproximadamente normal.
• Ejemplo de lo anterior es que Ȳn−µ
Sn/
√
n
, donde Sn es el estimador de la
desviación estándar derivado en la ecuación (1), también tiene una
distribución asintótica igual a la normal estándar.
• En lo que sigue se eliminará el sub́ındice n para simplificar la notación.
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Métodos de derivación de los estimadores
• A continuación se verán algunos métodos de estimación que, en
general, entregan estimadores con las propiedades deseables de
insesgamiento, consistencia y eficiencia.
• Estos métodos son:
◦ Método de momentos
◦ Máxima verosimilitud
◦ Mı́nimos cuadrados
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Método de momentos
• Sea f (y ; θ) la distribución poblacional de una variable aleatoria Y .
• El método consiste, primero, en probar que θ guarda una cierta
relación con E (Y ), E (Y 2) u otras formas similares –los llamados
momentos poblacionales.
• Luego se encuentra un buen estimador para E (Y ), E (Y 2) –el
momento muestral.
• Se estima θ a partir de la relación probada con el momento muestral.
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Máxima verosimilitud
• Sean Y1, . . . ,Yn variables aleatorias independientes correspondientes
a una muestra aleatoria de la FDP poblacional f (y ; θ).
• Por el supuesto de muestreo aleatorio, la probabilidad conjunta es
f (y1; θ) · f (y2; θ) · . . . · f (yn; θ).
• Sea la función de verosimilitud
L(Y ; θ) = f (Y1; θ) · f (Y2; θ) · . . . · f (Yn; θ), (2)
que también es una variable aleatoria.
• El estimador de máxima verosimilitud de θ es el valor que maximiza la
ecuación (2) para una selección y (también maximiza log(L(y ; θ))).
• Intuitivamente, este método escoge el valor de θ que hace que la
probabilidad de observar los datos sea la mayor posible.
• Por lo general, el estimador de máxima verosimilitud es el más
eficiente asintóticamente cuando f (y ; θ) se especifica correctamente.
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Ḿınimos cuadrados
• El estimador de ḿınimos cuadrados es el valor de m que minimiza la
suma de las desviaciones al cuadrado
i=1∑
n
(yi −m)2
• Se puede demostrar que este valor corresponde a m = Ȳ .
• ¿Por qué minimizar la suma de las desviaciones al cuadrado y no el
valor absoluto de las desviaciones?
• Muchas veces el método de momentos, el de máxima verosimilitud y
el de ḿınimos cuadrados entregan los mismos estimadores.
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Tabla de Contenidos
1 Poblaciones, muestras y estimadores
2 Estimación
3 Estimaciones de intervalo
4 Tests de hipótesis
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Construcción de los intervalos de confianza
• Sea {Y1, . . . ,Yn} una muestra aleatoria de la población representada por la
distribución N(µ, 1).
• Se sabe que Ȳ ∼ N(µ, 1/n), por lo tanto,
P
(
−1, 96 ≤ Ȳ − µ
1/
√
n
≤ 1, 96
)
= 0, 95.
• Despejando µ de la expresión anterior se obtiene el intervalo de confianza
para µ de [
Ȳ − 1, 96√
n
, Ȳ +
1, 96√
n
]
• Antes de seleccionar la muestra, el intervalo
[
Ȳ − 1,96√
n
, Ȳ + 1,96√
n
]
contiene a
µ con un 95% de probabilidad.
• La interpretación correcta del intervalo es que ‘en el largo plazo, al sacar
infinitas muestras y computar en cada una de éstas intervalos de confianza
semejantes, un 95% de estos intervalos contendrá al parámetro poblacional’.
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Los intervalos de confianza cuando no se conoce σ
• Si no se conoce el valor de σ, se usa el estimador S ≡
√∑n
i=1(yi−ȳ)2
n−1 .
• Se puede demostrar que para n finito, Ȳ−µ
S/
√
n
distribuye t con n − 1
grados de libertad.
• Si c es el percentil 97,5% de la distribución t, entonces[
Ȳ − c S√
n
, Ȳ + c
S√
n
]
contiene a µ con un 95% de probabilidad.
• De manera más general, el intervalo de confianza[
Ȳ − cα/2
S√
n
, Ȳ + cα/2
S√
n
]
contiene a µ con probabilidad 1− α.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 26 / 44
Error estándar
• La variable aleatoria s/
√
n, que es una estimación puntual de σ, se
conoce como error estándar de ȳ , ee(ȳ).
• Esta definición permite expresar de manera más abreviada un
intervalo de confianza
[ȳ − cα/2 · ee, ȳ + cα/2 · ee].
• Todo intervalo de confianza se construye a partir del estimador del
parámetro en cuestión, una medida del poder estad́ıstico del intervalo,
y el error estándar o desviación estándar muestral de la variable
aleatoria.
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Ejemplo 1
• Suponga que una muestra aleatoria es obtenida de una distribución
normal que tiene media (µ) y varianza (σ2) desconocidas. Las
observaciones son 78, 83, 68, 72 y 88. Determine el intervalo de
confianza para µ con nivel de confianza de 95%.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 28 / 44
Tabla de Contenidos
1 Poblaciones, muestras y estimadores
2 Estimación
3 Estimaciones de intervalo
4 Tests de hipótesis
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Tests de hipótesis
• ¿Cómo concluir a partir del resultado de un intervalo de confianza?
• ¿Los centros de capacitación aumentan la productividad de los
trabajadores?
• ¿Hay discriminación en contra de la mujer en el mercado laboral?
• ¿Leyes más severas en contra de la conducción en estado de ebriedad
reducen el número de accidentes?
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 30 / 44
Ideas básicas de los tests
• Suponga que en unas elecciones el candidato A obtiene un 60% de los
votos, mientras que el candidato B obtiene el 40% restante (no hay
blancos ni nulos).
• El candidato B piensa que hubo fraude en la contabilidad de los votos
y que él tiene más que el 40% de los votos.
• B llama a una empresa independiente a realizar una rápida encuesta
de 100 casos y esta arroja que 55 personas votaron por él.
• ¿Con esta evidencia se puede asegurar que se contaron mal los votos?
• ¿Esta diferencia se encuentra dentro de la variación muestral
esperada?
• ¿Qué tan potente es la evidencia de la muestra en comparación a las
de las elecciones?
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 31 / 44
Ideas básicas de los tests (cont.)
• Se debe proceder mediante un test de hipótesis.
• Sea θ la proporción de personas que votaron por el candidato B.
Interesa probar que
H0 : θ = 0, 4.
• Este es un ejemplo de hipótesis nula.
• La hipótesis alternativa seŕıa en este caso
H1 : θ > 0, 4.
• Después de un análisis estad́ıstico, B debiera ser capaz de rechazar o
no la hipótesis nula.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 32 / 44
Tipos de errores y nivel de significancia
• En los tests de hipótesis se puede cometer dos tipos de errores.
• Error de tipo I: rechazar H0 cuando es verdadera.
• Error de tipo II: “no rechazar” H0 cuando en realidad es falsa.
• Es más grave cometer un error de tipo I que uno de tipoII. Bajo un
error de tipo II simplemente no se ha encontrado evidencia para
rechazar H0, pero tampoco para aceptarla. El error de tipo I es
concluyente, mientras que el de tipo II, no.
• La tolerancia a cometer un error de tipo I es el nivel de significancia α.
• Matemáticamente α ≡ P(rechazar H0|H0).
• En general, se usa uno de los siguientes valores: 0,1, 0,05 ó 0,01.
• Si α = 0, 05, quiere decir que se está dispuesto a rechazar
equivocadamente H0 un 5% de las veces.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 33 / 44
Tests para la media de una población normal
• Dada una muestra aleatoria, usted quiere testear la media de una
población N(µ, σ2):
• La hipótesis nula es
H0 : µ = µ0,
donde µ0 es un valor que especificamos.
• Y tres posibles hipótesis alternativas son
H1 : µ > µ0, (3)
H1 : µ < µ0, (4)
H1 : µ 6= µ0. (5)
• Las expresiones (3) y (4) corresponden a tests de una cola, mientras
que (5) corresponde a un test de dos colas.
• Intuitivamente, con (3) se rechaza H0 en favor de H1 cuando el
promedio muestral ȳ es “suficientemente” mayor que µ0.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 34 / 44
Tests para la media de una población normal (cont.)
• Primero, se estandariza el estad́ıstico ȳ para µ
t =
ȳ − µ0
ee(ȳ)
,
donde ee(ȳ) es el error estándar de ȳ .
• Este estad́ıstico mide la distancia de ȳ a µ0 en relación al ee(ȳ).
• Si la hipótesis alternativa es (3), la regla de rechazo es
t > c .
• c es el percentil 1− α de la distribución tn−1.
• Si la hipótesis alternativa es (5), la regla de rechazo es
|t| > c . (6)
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 35 / 44
Test de una cola: H1 : µ > µ0
0
Zona de rechazo
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 36 / 44
Test de una cola: H1 : µ < µ0
0
Zona de rechazo
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 37 / 44
Test de dos colas: H1 : µ 6= µ0
0
Zona de rechazoZona de rechazo
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 38 / 44
La concesión de zonas empresariales y la inversión
• Sea Y el cambio porcentual en la inversión en una comuna del páıs
entre un año y otro.
• Suponga que en el segundo año la comuna paso a ser una zona
empresarial y que se quiere saber si este cambio se tradujo en una
mayor inversión.
• La hipótesis nula es que la concesión no tuvo efecto en la inversión,
mientras que la alternativa es que tuvo un efecto positivo:
H0 : µ = 0, (7)
H1 : µ > 0. (8)
• Suponga que quiere distinguir diferencias a un nivel del 5%, y que se
tiene una muestra aleatoria de tamaño 30 en que ȳ = 10 y s = 20.
• ¿Existe un efecto significativo? ¿Y a niveles de 1% y 10%?
• ¿Es posible concluir que hay un efecto causal de la concesión en la
inversión?
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 39 / 44
¿Qué nos permiten decir los resultados de los tests?
• Se tiende a pensar que si no se rechaza H0, se acepta H0 al nivel de
significancia que se está trabajando.
• Por ejemplo, se tiende a decir: “según los datos, aceptamos H0 a un
nivel de significancia del 5%”.
• Esta interpretación es incorrecta, ya que hay muchas hipótesis que
pueden aceptarse con una misma muestra aleatoria. En el ejemplo
anterior, con la misma muestra se podŕıa aceptar H0 : µ = 1 y
H0 : µ = 2, lo que no es congruente ya que una sola de ellas es cierta.
• La forma correcta es decir: “No podemos rechazar H0 a un nivel de
significancia del 5%”.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 40 / 44
Tests asintóticos para poblaciones no normales
• De acuerdo al Teorema Central del Ĺımite, si el tamaño de la muestra
es lo suficientemente grande
T =
Ȳ − µ0
S/
√
n
a∼ N(0, 1). (9)
• Es decir, si n es lo suficientemente grande, se puede comparar el
estad́ıstico t con los valores cŕıticos de una distribución normal
estándar.
• Recuerde que la distribución tn−1 converge a una normal estándar a
medida que n crece.
• Para muestra de tamaño entre 30 y 60 se acostumbra utilizar la
distribución t, mientras que para n > 120 la elección entre la
distribución t y la normal estándar es irrelevante.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 41 / 44
El valor-p
• Dependiendo del nivel de significancia con que se trabaje, distintos
investigadores con un mismo conjunto de datos pueden llegar a conclusiones
distintas.
• Para sortear este problema se puede plantear la pregunta ¿cuál es el nivel de
significancia más grande con el que se puede trabajar sin rechazar la
hipótesis nula? Este nivel es el valor-p de un test.
• El valor-p es la probabilidad de obtener un estad́ıstico al menos tan adverso
como el ya obtenido en la dirección de H1, bajo el supuesto de que H0 es
cierta.
• El valor-p es un percentil de corte y no provee un criterio para aceptar o
rechazar H0 por śı sola.
• Matemáticamente, dependiendo de la hipótesis alternativa, se define
valor-p = P(Tn−1 > t),
valor-p = P(Tn−1 < t),
valor-p = P(|Tn−1| > |t|)
• Note que el valor-p depende de la hipótesis alternativa!
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 42 / 44
El valor-p (cont.)
• Considere el siguiente ejemplo: µ = 12, σ = 3; n = 36, ȳ = 12, 95.
H0 : µ0 = 12.
• El estad́ıstico del test es Z = ȳ−µ
σ/
√
n
, que bajo H0 distribuye N(0, 1).
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 43 / 44
El valor-p (cont.)
• El valor-p del estad́ıstico depende de la hipótesis alternativa H1:
◦ Para H1 : µ0 > 12, el valor-p es la probabilidad de que una muestra
aleatoria de tamaño 36 arroje una media muestral de 12, 95 o más, si la
media verdadera es 12; es decir, P(Z ≥ 1, 9) = 0, 029. En otras
palabras, la posibilidad de que ȳ > 12, 95 si µ = 12 es cercana a 3 en
100.
◦ Para H1 : µ0 < 12, el valor-p es la probabilidad de que una muestra
aleatoria de tamaño 36 arroje una media muestral de 12, 95 o menos, si
la media verdadera es 12; es decir, P(Z ≤ 1, 9) = 0, 971. En otras
palabras, la posibilidad de que ȳ < 12, 95 si µ = 12 es cercana a 97 en
100.
◦ Para H1 : µ0 6= 12, el valor-p es la probabilidad de que una muestra
aleatoria de tamaño 36 arroje una media muestral 0, 95 unidades menos
o mayor que 12; es decir, ȳ < 11, 05 o ȳ > 12, 95. Aqúı el valor-p es
P(Z ≤ −1, 9) + P(Z ≥ 1, 9) = 0, 057, lo que dice que la posibilidad de
que |ȳ − 12| > 0, 95 son aproximadamente a 6 en 100 si µ = 12.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 7-Mar-16 44 / 44
	Poblaciones, muestras y estimadores
	Muestreo aleatorio
	Métodos estadísticos en Econometría
	Estimación
	Estimadores y estimaciones
	Propiedades de los estimadores
	Insesgamiento
	Varianza de los estimadores
	Eficiencia
	Error cuadrático medio
	Propiedades asintóticas de los estimadores
	Consistencia
	Algunas propiedades
	Normalidad asintótica
	Teorema Central del Límite
	Métodos de derivación de los estimadores
	Método de momentos
	Máxima verosimilitud
	Mínimos cuadrados
	Estimaciones de intervalo
	Construcción de los intervalos de confianza
	Los intervalos de confianza cuando no se conoce 
	Error estándar
	Ejemplo 1
	Tests de hipótesis
	Tests de hipótesis
	Ideas básicas de los tests
	Tipos de errores y nivel de significancia
	Tests para la media de una población normal
	Test de una cola: H1: > 0
	Test de una cola: H1: < 0
	Test de dos colas: H1: =0
	La concesión de zonas empresariales y la inversión
	¿Qué nos permiten decir los resultados de los tests?
	Tests asintóticos para poblaciones no normales
	El valor-p