EAS201aControl2_Pauta_

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Primer Semestre 2018
Curso : Inferencia Estad́ıstica
Sigla : EAS201a
Profesores : Rafael Águila (Sec 1) M Ignacia Vicuña (Sec 2), Cristian Vásquez (Sec 3)
Pauta Control 2
Pregunta 1
Alrededor de 8 millones de toneladas de plásticos se lanzan anualmente a los océanos y se proyecta que para el
2050, los océanos contendrán más plásticos que peces, y aproximadamente el 99 % de las aves marinas habrá
ingerido plástico. Aśı de tajante es el informe entregado por la ONU sobre la cantidad de plástico presente en
el mar. Es por esto, que el Ministerio de Medio Ambiente anunció el env́ıo de una nueva ley al Congreso para
prohibir las bolsas plásticas en todo el comercio del páıs. Defensores del medio ambiente avalan la medida
decretada por el estado, ya que ellos aseguran que actualmente menos del 5 % de la población chilena recicla,
y ellos piensan que con la nueva Ley hará aumentar la consciencia de reciclaje en el páıs.
Para evaluar si están en lo correcto, se analiza una muestra de 850 chilenos y se les pregunta si en sus hogares
realizan algún tipo de reciclaje, obteniéndose que sólo 32 de ellos lo haćıan.
(a) [2.0 puntos] Especifique la distribución de la muestra y el parámetro de interés. Proponga y justifique
un Pivote apropiado para el parámetro, especificando cuál es su distribución.
(b) [2.0 puntos] A partir de la función pivote encontrada en (a) construya paso a paso un intervalo
bilateral aproximado de (1− α) % de confianza para el parámetro de interés.
(c) [2.0 puntos] Con un nivel de significancia del 5 %, ¿Hay evidencia suficiente que respalde la aseveración
de los defensores del medio ambiente?
Solución:
(a) Denote por X1, ..., X850 los individuos de la muestra, y sea π la propoción de chilenos que recicla. [0.3
Ptos] Se tiene que Xi ∼ Bernoulli(π), [0.4 Ptos] por lo tanto el EMV de π es π̂ =
∑
Xi
n . [0.4 Ptos]
Una función pivote para el parámetro π está dada por
Q =
π̂ − π√
π̂(1−π̂)
n
[0.5 Ptos]
cuya distribución asintótica es Normal Estándar. [0.4 Ptos]
(b) A partir de la función pivote Q, un intervalo bilateral aproximado para π se construye a partir de
P
−z1−α/2 < π̂ − π√
π̂(1−π̂)
n
< z1−α/2
 = 1− α [0.5 Ptos]
P
(
−z1−α/2
√
π̂(1− π̂)
n
< π̂ − π < z1−α/2
√
π̂(1− π̂)
n
)
= 1− α [0.4 Ptos]
P
(
−π̂ − z1−α/2
√
π̂(1− π̂)
n
< −π < −π̂ + z1−α/2
√
π̂(1− π̂)
n
)
= 1− α [0.4 Ptos]
P
(
π̂ − z1−α/2
√
π̂(1− π̂)
n
< π < π̂ + z1−α/2
√
π̂(1− π̂)
n
)
= 1− α [0.4 Ptos]
EAS201A - Inferencia Estad́ıstica 1 Primer Semestre 2018
Por lo tanto,
(
π̂ − z1−α/2
√
π̂(1−π̂)
n , π̂ + z1−α/2
√
π̂(1−π̂)
n
)
es un intervalo aproximado de (1−α) % para
π. [0.3 Ptos]
(c) Se quiere evaluar si π < 0.05, [0.3 Ptos] para ello se utiliza un intervalo unilateral de cota superior
para π, (
−∞, π̂ + z1−α
√
π̂(1− π̂)
n
)
[0.5 Ptos]
A partir de los datos de la muestra, se obtiene que π̂ = 32850 , [0.3 Ptos] y para α = 0.05 se tiene que
z0.95 = 1.64, [0.3 Ptos] reemplazando en el intervalo se obtiene−∞, 32
850
+ 1.64
√
32
850 (1−
32
850 )
850
 = (−∞, 0.048) [0.3 Ptos]
Por lo tanto, como el 0.05 no está contenido en el intervalo, se concluye con un 5 % de significancia
que los defensores del medio ambiente están en lo correcto, actualmente menos del 5 % de la población
chilena recicla. [0.3 Ptos]
EAS201A - Inferencia Estad́ıstica 2 Primer Semestre 2018
Problema 2
Sea {Y1, Y2, . . . , Yn} una muestra aleatoria simple de una población Y ∼ Normal(µ, 4) y suponga que se
dispone de dos intervalos de confianza para estimar el parámetro µ:
IC1(µ) =
(
Y − 0.67
2
√
n
, Y + 0.67
2
√
n
)
IC2(µ) =
(
Y ,∞
)
(a) [4.0 puntos] ¿Cuál de los dos intervalos de confianza contiene al parámetro µ con mayor probabilidad?
Aproxime al segundo decimal.
(b) [2.0 puntos] ¿Cuál de los dos intervalos de confianza para µ escogeŕıa? Justifique su respuesta.
Respuesta:
(a) Para ambos intervalos se debe utilizar le pivote. En el primer intervalo
P
(
Y − 0.67
2
√
n
≤ µ ≤ Y + 0.67
2
√
n
)
= P
(
−0.67
2
√
n
≤ µ− Y ≤ 0.67
2
√
n
)
[0.3 Ptos]
= P
(
−0.67 ≤
√
n
µ− Y
2
≤ 0.67
)
[0.3 Ptos]
= P
(
0.67 ≥
√
n
Y − µ
2
≥ −0.67
)
[0.3 Ptos]
= P (−0.67 ≤ Z ≤ 0.67)
= Φ(0.67)− Φ(−0.67) [0.3 Ptos]
= 2Φ(0.67)− 1 [0.3 Ptos]
= 2 · 0.7486− 1 [0.3 Ptos]
= 0.4972 ' 0.5 [0.2 Ptos]
La probabilidad para el segundo intervalo aleatorio es
P
(
µ > Y
)
= P
(
µ− Y > 0
)
= P
(
Y − µ < 0
)
= P
(
√
n
Y − µ
2
< 0
)
[1.0 Ptos]
= P (Z < 0) =
1
2
[0.5 Ptos]
Ambos intervalos tienen la misma probabilidad. [0.5 Ptos]
(b) Alternativa 1:
Si se construye el intervalo de confianza con la finalidad de estimar el parámetro µ y no pretende resolver
ninguna interrogante, como ambos intervalos tienen la misma confianza, la elección del intervalo es
mediante el largo [0.8 Ptos] .
EAS201A - Inferencia Estad́ıstica 3 Primer Semestre 2018
Dado que la opción
(
Y ,∞
)
tiene largo ∞ [0.4 Ptos] y la opción
[
Y − 0.67
2
√
n
, Y + 0.67
2
√
n
]
tiene
largo 0.67
4
√
n
que es finito, [0.4 Ptos] se elige este útimo. [0.4 Ptos]
Alternativa 2:
Si se construye el intervalo de confianza con la finalidad de resolver alguna interrogante, la elección
dependerá de que pregunta se quiere resolver. Por ejemplo, si se pretende evaluar si µ0 < µ, se debe
escoger el intervalo 2, en cambio si se quiere evaluar si µ 6= µ0, se debe escoger el intervalo 1.
[2.0 Ptos]
Pregunta 3
Sea X1, X2, X3, ..., Xn una muestra aleatoria de una población X ∼ Poisson(λ), y sea Y1, Y2, Y3, ..., Ym
una muestra aleatoria de una población Y ∼ Poisson(λθ), independiente a la anterior. Asumiendo que
n = 100,m = 50, x = 4.5, y = 2.3 y utilizando las propiedades asintóticas de los estimadores máximos
verośımiles, construya un intervalo de confianza apropiado que le permita decidir con un 5 % de riesgo si
λ 6= θ.
Solución:
Se quiere evaluar si λ 6= θ, lo que es equivalente a evaluar si λ− θ 6= 0, para ello se construye un IC para el
parámetro λ− θ. [0.2 Ptos]
Sean λ̂ y θ̂ los EMV de los parámetros λ y θ respectivamente. Entonces un intervalo aproximado de (1−α) %
de confianza para el parámetro λ− θ está dado por(
λ̂− θ̂ ∓ z1−α/2
√
CCR(λ̂) + CCR(θ̂)
)
[0.3 Ptos]
Cálculo de los EMV:
L(λ, θ) =
n∏
i=1
λXie−λ
Xi!
m∏
j=1
(λθ)Yje−λθ
Yj !
[0.3 Ptos]
ln(L(λ, θ)) =
n∑
i=1
Xi ln(λ)− nλ−
n∑
i=1
ln(Xi!) +
m∑
j=1
Yj ln(λθ)−mλθ −
m∑
i=1
ln(Yj !) [0.3 Ptos]
∂ ln(L(λ, θ))
∂λ
=
∑n
i=1Xi
λ
− n+
∑m
j=1 Yj
λ
−mθ [0.4 Ptos]
∂ ln(L(λ, θ))
∂θ
=
∑m
j=1 Yj
θ
−mλ [0.4 Ptos]
Igualando a cero ambas derivadas, obtenemos el sistema de ecuaciones:
∑n
i=1Xi
λ − n+
∑m
j=1 Yj
λ −mθ = 0∑m
j=1 Yj
θ −mλ = 0
⇒ λ̂ = Y , [0.3 Ptos] θ̂ = Y
X
[0.3 Ptos]
EAS201A - Inferencia Estad́ıstica 4 Primer Semestre 2018
Cálculo de CCR:
∂2 ln(L(λ, θ))
∂λ2
= −
∑n
i=1Xi +
∑m
j=1 Yj
λ2
[0.3 Ptos]
I(λ) = −E
(
∂2 ln(L(λ, θ))
∂λ2
)
=
1
λ2
(
n∑
i=1
E(Xi) +
m∑
j=1
E(Yj)) [0.3 Ptos]
=
1
λ2
(nλ+mλθ) =
1
λ
(n+mθ) [0.2 Ptos]
CCR(λ) =
1
I(λ)
=
λ
n+mθ
[0.2 Ptos]
∂2 ln(L(λ, θ))
∂θ2
= −
∑m
j=1 Yj
θ2
[0.3 Ptos]
I(θ) = −E
(
∂2 ln(L(λ, θ))
∂θ2
)
=
1
θ2
m∑
j=1
E(Yj) [0.3 Ptos]
=
1
θ2
mλθ =
mλ
θ
[0.2 Ptos]
CCR(θ) =
1
I(θ)
=
θ
mλ
[0.2 Ptos]
Por lo tanto, un intervalo aproximado de (1− α) % de confianza para el parámetro λ− θ está dado porλ̂− θ̂ ∓ z1−α/2
√
λ̂
n+mθ̂
+
θ̂
mλ̂
 [0.5 Ptos]
Reemplazando con los datos, n = 100,m = 50, x = 4.5, y = 2.3 y α = 0.05 ⇒ z0.975 = 1.96, [0.2 Ptos] se
obtiene (1.495, 2.095). [0.4 Ptos] Como el cero no está contenido en el intervalo, se concluye con un 5 % de
significancia que ambos parámetros son distintos, esto es λ 6= θ. [0.4 Ptos]
EAS201A - Inferencia Estad́ıstica 5 Primer Semestre 2018