EAA1520 Examen Pauta (1)

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Adicionalmente declaro estar en condiciones de salud adecuadas para rendir esta evaluación y que me presento a ésta
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ayudante o profesor en sala.
Rut: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Economía y Administración
Segundo Semestre 2021
Curso : Inferencia Estadística
Sigla : EAA1520
Profesores : Cristian Vásquez (Sec 1), Ricardo Olea (Sec 2 - 3), Valeria Leiva (Sec 4)
Pauta Examen
Problema 1
¿Odia usted los lunes? Investigadores en Alemania han dado otra razón para hacerlo: concluyeron que el
riesgo de ataque al corazón en un lunes, para una persona que trabaja, puede ser hasta 50% mayor que en
cualquier otro día. Los investigadores registraron ataques al corazón y paros cardiacos en un periodo de 5
años entre 330000 personas que vivían cerca de Augsberg, Alemania. En un intento por verificar lo dicho
por el investigador, se encuestaron 200 trabajadores que habían tenido ataques al corazón recientemente. El
día en el que ocurrieron sus ataques al corazón aparecen en la tabla siguiente.
Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
24 36 27 26 32 26 29
Con la información entregada responda lo siguiente:
(a) [1.5 Ptos] ¿Estos datos presentan suficiente evidencia para indicar que hay una diferencia en los
porcentajes de ataques al corazón que ocurren en diferentes días de la semana? Utilice un α = 0.05 de
nivel de riesgo.
(b) [1.5 Ptos] Reporte un rango de valores para el p-valor del test de hipótesis realizado en el item (a).
(c) [1.5 Ptos] Defina la siguiente variable aleatoria:
X =
{
1, Si la persona sufre un ataque al corazón el día lunes,
0, en otro caso.
Suponga que X ∼ Bernoulli(π). Utilizando la información de la tabla del enunciado sobre la ocurrencia
de ataques a corazón, realice un test de hipótesis aproximado con un nivel de riesgo α = 0.05 para
evaluar la conjetura que π > 1/7.
(d) [1.5 Ptos] Reporte el p-valor del test de hipótesis realizado en el item (c).
EAA1520 - Inferencia Estadística 1 Segundo Semestre 2021
Solución
(a) Se puede responder de al menos dos formas posibles:
• Test de Bondad de Ajuste χ2.
• Test de Proporciones.
Mediante test de bondad de ajuste χ2[Total 1.5 Ptos.]: Esta alternativa era más directa, aquí se
plantean las hipótesis:
H0 : πi =
1
7
vs H1 : al menos un πi ̸=
1
7
, [0.2 Ptos.]
donde πi es la probabilidad de tener un ataque al corazón el día i de la semana, donde i = 1, 2, . . . , 7 es
un correlativo desde domingo hasta sábado. Entonces lo que se plantea es una distribución Uniforme
Discreta.
El valor esperado bajo H0 para cualquier día de la semana es π0i = 200 ·
1
7
= 28.57[0.2 Ptos.], de esta
forma se tiene el siguiente comparativo entre observado y esperado:
Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
Observados 24 36 27 26 32 26 29
Esperados 28.57 28.57 28.57 28.57 28.57 28.5 28.57
[0.3 Ptos.]
El estadístico observado del test de bondad de ajuste es
d =
(24− 28.57)2
28.57
+
(36− 28.57)2
28.57
+
(27− 28.57)2
28.57
+
(26− 28.57)2
28.57
+
(32− 28.57)2
28.57
+
(26− 28.57)2
28.57
+
(29− 28.57)2
28.57
,
= 3.63.[0.4 Ptos.]
Dado que el nivel de riesgo es α = 0.05, se debe comparar contra χ26,0.95 = 12.591[0.2 Ptos.]. El test
de hipótesis rechaza H0 sí d > χ26,0.95, sin embargo d = 3.63 ̸> 12.591 = χ26,0.95[0.2 Ptos.], por lo
tanto, con un α = 0.05 de riesgo, no existe evidencia estadística para rechazar H0, es decir, se concluye
que los porcentajes de ataques al corazón son iguales para todos los días de la semana.
Mediante test de proporciones[Total 1.5 Ptos.]: Aquí se podía realizar un test de proporción para
cada uno de los días y comparar con 1/7, es decir, para todos los días (realizar 7 test de hipótesis):
H0 : πi = 1/7 vs H1 : πi ̸= 1/7, [0.2 Ptos.]
donde i es un correlativo de los días de la semana desde domingo hasta sabádo i = 1, 2, . . . , 7. Los 7
pivotes se calculan:
zi =
π̂i − πi√
πi(1− πi)
200
bajo H0
=
π̂i − 1/7√
1
7
6
7
200
∼ Normal(0, 1), [0.2 Ptos.]
EAA1520 - Inferencia Estadística 2 Segundo Semestre 2021
donde π̂i es la proporción de personas (de la muestra de tamaño 200) que sufrió ataques al corazón el
día i. Considerando un nivel de riesgo de α = 0.05, se rechaza H0 si algún zi > z0.95 = 1.645.[0.2 Ptos.]
A partir de los datos, se tiene los siguientes pivotes observados:
z1 =
24
200 −
1
7√
1
7
6
7
200
= −0.92[0.1 Ptos.]
z2 =
36
200 −
1
7√
1
7
6
7
200
= 1.50[0.1 Ptos.]
z3 =
27
200 −
1
7√
1
7
6
7
200
= −0.32[0.1 Ptos.]
z4 =
26
200 −
1
7√
1
7
6
7
200
= −0.52[0.1 Ptos.]
z5 =
32
200 −
1
7√
1
7
6
7
200
= 0.69[0.1 Ptos.]
z6 =
26
200 −
1
7√
1
7
6
7
200
= −0.51[0.1 Ptos.]
z6 =
29
200 −
1
7√
1
7
6
7
200
= 0.09[0.1 Ptos.]
Note que zi ̸> 1.645 = z0.95 i = 1, 2, . . . , 7, es decir, con un nivel de riesgo de α = 0.05, no existe
evidencia estadística para rechazar ninguna de las hipótesis nulas, por lo tanto se concluye que el %
de personas que sufren ataques al corazón es igual para todos los días de la semana y es 14,28%.[0.2
Ptos.]
(b) Mediante test de bondad de ajuste χ2: Aquí el p-valor se calcula como Pr(χ26 ≥ d = 3.63)[0.4 Ptos.],
dado que el valor d = 3.63 no se encuentra exactamente en la tabla, se debe entregar un rango de valores.
Note a partir de la tabla el estadístico d = 3.63 se encuentra 3.07 < d = 3.63 < 3.82[0.3 Ptos.], donde
Pr(χ26 ≥ 3.07) = 0.2 y Pr(χ26 ≥ 3.82) = 0.3[0.4 Ptos.], por lo tanto 0.7 < Pr(χ26 ≥ d = 3.63) < 0.8[0.4
Ptos.].
Mediante test de proporciones: En este escenario se pueden calcular de manera exacta todos los p-
valores de la siguiente forma p-valor = 2Pr(Z > |zi|) = 2 [1 − Φ(|zi|)][0.1 Ptos.] para todo i =
1, 2, . . . , 7.
p-valor1 = 0.36, p-valor2 = 0.13, p-valor3 = 0.75,
p-valor4 = 0.60, p-valor5 = 0.49, p-valor6 = 0.60,
p-valor7 = 0.93, [cada uno 0.2 Ptos.]
EAA1520 - Inferencia Estadística 3 Segundo Semestre 2021
(c) Las hipótesis que se pleatean son:
H0 : π2 ≤ 1/7 vs H1 : π2 > 1/7, [0.2 Ptos.]
donde π2 representa la probabilidad de tener un ataque al corazón los días lunes. Aquí se debe aplicar
directamente el test de proporciones.
z =
π̂2 − π2√
π(1− π)
200
bajo H0
=
π̂2 − 1/7√
1
7 ·
6
7
200
aprox∼ Normal(0, 1).[0.3 Ptos.]
Con un α = 0.05 de riesgo, se rehaza H0 si z > z0.95. Note que π̂2 = 36/200[0.3 Ptos.]. Reemplazando
en z se tiene
z =
36
200
−
1
7√
1
7 ·
6
7
200
= 1.501[0.4 Ptos.]
Note que z = 1.501 ̸> 1.645 = z0.95, por lo tanto, con un nivel de riesgo de α = 0.05 no existe evidencia
estadística para rechazar H0[0.3 Ptos.].
(d) El p-valor del test de hipótesis del item (c) se calcula Pr(Z > z = 1.501), donde Z ∼ Normal(0, 1)[0.4
Ptos.].
Pr(Z > 1.501) = 1− Pr(Z ≤ 1.501), [0.5 Ptos.]
= 1− Φ(1.501),
≈ 1− 0.9332,
≈ 0.067 [0.6 Ptos.]
EAA1520 - Inferencia Estadística 4 Segundo Semestre 2021
Problema 2
El Statistical Abstract of the United States fue una publicación de datos y estadísticas perteneciente a la
oficina del CENSO de los Estados Unidos, que presenta censos e indicadores económicos que abarca las
estadística sociales, las políticas, así como la organización económica principalmente de los Estados Unidos
y de otras regiones. Estos datos fueron publicados anualmente desde 1878 hasta 2011.
Durante los primeros años de la década del 2000 fue el auge de la adquisición de equipos celulares a nivel
global y la subscripción a planes de telefonía móvil. Para analizar este fenómeno, el Statistical Abstract of
the United States publicó el año 2006 datos sobre el número de suscriptores de teléfonos celulares por cada
100 personas y el ingreso per cápita (ajustadopor el poder adquisitivo) en dólares para una muestra de 34
países, esto con el fin de evaluar la hipótesis de si el ingreso per cápita era un factor influyente en el uso de
teléfonos celulares. A continuación un gráfico de los datos publicados:
Defina Y = “Número de suscriptores de teléfonos celulares” y X = “ingreso per cápita corregido por poder
adquisitivo”, y ajuste un modelo de regresión lineal simple de la siguiente forma:
Yi = β0 + β1Xi + εi, i = 1, 2 . . . , 34,
donde el subíndice i es un correlativo para los 34 países en la muestra y, εi
iid∼ Normal(0, σ2). Para el ajuste
considere las siguientes estadísticas:
34∑
i=1
yi = 1685.51,
34∑
i=1
(xi − x)yi = 9229802,
34∑
i=1
(xi − x)2 = 4159175829,
34∑
i=1
xi = 537875.4,
34∑
i=1
(yi − y)2 = 34003.08,
34∑
i=1
lnxi = 314.4754.
Con los antecedentes entregados realice lo siguiente:
a) [1.5 Ptos] Calcule los estimadores de mínimos cuadrados de los parámetros desconocidos del modelo
de regresión lineal simple. Interprete el valor del intecerpto y de la pendiente estimada.
b) [1.5 Ptos] A través de un test de hipótesis evalúe la conjetura de β1 > 0, utilice un nivel de riesgo de
5 %.
c) [1.5 Ptos] Reporte la tabla ANOVA del modelo ajustado.
d) [1.5 Ptos] ¿Cuál es el porcentaje de la variabilidad del número de suscriptores de teléfono celular
explicado por ingreso per cápita?.
EAA1520 - Inferencia Estadística 5 Segundo Semestre 2021
Percentiles tν útiles
t32(0.90) = 1.31, t34(0.80) = 0.85,
t32(0.95) = 1.69, t34(0.975) = 2.03,
t32(0.975) = 2.04, t34(0.99) = 2.44.
Hint: Puede ser útil la siguiente identidad:
n∑
i=1
(yi − β̂0 − β̂1xi)2 =
n∑
i=1
(yi − y)2 −
(
β̂1
)2 n∑
i=1
(xi − x)2,
Solución
(a) Los estimadores se pueden calcular de manera directa:
β̂0 = y − β̂1x =
1685.51
34
− 0.0022 ·
537875.4
34
= 14.77[0.4 Ptos.],
β̂1 =
∑n
i=1(xi − x)(yi − y)∑n
i=1(xi − x)2
=
∑n
i=1(xi − x)yi∑n
i=1(xi − x)2
=
9229802
4159175829
= 0.0022[0.4 Ptos.],
S2 =
1
n− 2
n∑
i=1
(yi − β̂0 − β̂1xi)2 =
1
n− 2
[
n∑
i=1
(yi − y)2 −
(
β̂1
)2 n∑
i=1
(xi − x)2
]
=
1
32
[
34003.08− (0.0022)2 · 4159175829
]
= 433.5209.[0.4 Ptos.]
El coefieciente de pendiente indica que si el ingreso per cápita aumenta, por ejemplo, 1000 dólares en
promedio, el número de suscriptores de teléfonos celulares aumentará alrededor de 2.2 por cada 100
personas. El valor del intercepto de 14.47 indica que, aunque el ingreso per cápita sea cero, el número
promedio de suscriptores de teléfonos celulares es de alrededor de 14 por cada 100 personas.[0.3 Ptos.]
(b) El test de hipótesis solicitado es:
H0 : β1 ≤ 0 vs H1 : β1 > 0, [0.2 Ptos.]
Dado que los error tienen distribución normal y se desconoce el valor de σ2 se debe utilizar el siguiente
pivote,
T =
β̂1 − β1√
S2∑n
i=1(xi − x)2
bajo H0
=
β̂1√
S2∑n
i=1(xi − x)2
∼ tn−2=32, [0.3 Ptos.]
Con un nivel de riesgo de α = 0.05, se rechaza H0 si t > t32,0.95 = 1.69[0.2 Ptos.]. Reemplazando se
tiene:
EAA1520 - Inferencia Estadística 6 Segundo Semestre 2021
t =
0.0022√
433.5209
4159175829
= 6.81[0.4 Ptos.]
De esta forma, se tiene que t = 6.81 > 1.69 = t32,0.95[0.2 Ptos.], por lo tanto, con un nivel de riesgo
del α = 0.05 existe evidencia estadística para rechazar H0, se concluye que β1 > 0[0.2 Ptos.].
(c) Para construir la tabla ANOVA se necesitan las sumas de cuadrado,
SCE =
n∑
i=1
(yi − β̂0 − β̂1xi)2 =
n∑
i=1
(yi − y)2 −
(
β̂1
)2 n∑
i=1
(xi − x)2 = 13872.67[0.3 Ptos.]
SCT =
n∑
i=1
(yi − y)2 = 34003.08[0.1 Ptos.]
El estadístico SCR se puede obtener por diferencia SCR = SCT − SCE = 34003.08 − 13872.67 =
20130.41[0.3 Ptos.]. Finalmente
Fuente gl SC CM F
Regresión 1 SCR = 20130.41 CMR =20130.41 F = 20130.41433.5209 = 46.435
Error 32 SCE = 13872.6 CME =433.5209
Total 33 SCT = 34003.08
[0.8 Ptos.]
(d) El % de la variabilidad explicada corresponde al coefiente R2, entonces
R2 =
SCR
SCT
=
20130.4
34003.08
= 0.592[1.0 Ptos.]
La variable ingreso per cápita explica aproximadamente el 59% de la variabilidad de la variabilidad
del número de suscriptores de teléfono celular[0.5 Ptos.].
EAA1520 - Inferencia Estadística 7 Segundo Semestre 2021
EAA1520 - Inferencia Estadística 8 Segundo Semestre 2021
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
Probabilidad Acumulada Distribición Normal Estándar
EAA1520 - Inferencia Estadística 9 Segundo Semestre 2021
EAA1520 - Inferencia Estadística 10 Segundo Semestre 2021
IC
y
T
es
t
h
ip
ót
es
is
p
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u
n
a
M
u
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tr
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EAA1520 - Inferencia Estadística 11 Segundo Semestre 2021
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EAA1520 - Inferencia Estadística 12 Segundo Semestre 2021
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EAA1520 - Inferencia Estadística 13 Segundo Semestre 2021
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1
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ν
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2
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ν
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ν
1
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2
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Γ
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ν
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/
2
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ν
1
ν
2
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1
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1
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1
ν
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ν
1
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2
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2
x
>
0
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1
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ν
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2
ν
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2
ν
2
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2
σ
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2
ν
2
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2
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2
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2
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1
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ν
2
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ν
2
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4
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2
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2
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1
χ
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1
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Γ
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Γ
(
ν
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ν
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k
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ν
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F
1
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=
t2 ν
EAA1520 - Inferencia Estadística 14 Segundo Semestre 2021