02 EAA1520 Prueba 1 Teórica Pauta

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Código de Honor: Como miembro de la comunidad de la Pontificia Universidad Católica de Chile, me comprometo a respetar los prin-
cipios y normativas que la rigen. Asimismo, me comprometo a actuar con rectitud y honestidad en esta evaluación. Adicionalmente
declaro estar en condiciones de salud adecuadas para rendir esta evaluación y que me presento a ésta bajo mi responsabilidad. En caso
de sentirme mal o tener alguna complicación, deberé informarlo inmediatamente al ayudante o profesor en sala.
Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Economı́a y Administración
Segundo Semestre 2021
Curso : Inferencia Estad́ıstica
Sigla : EAA1520
Profesores : Cristian Vásquez (Sec 1), Ricardo Olea (Sec 2 - 3), Valeria Leiva (Sec 4)
Pauta Prueba 1
Problema 1
Este jueves 7 de octubre la selección chilena de fútbol visita a Perú por la fecha 11 de las Eliminatorias
Sudamericanas a la Copa del Mundo de Qatar 2022. El partido será a las 22:00 horas en el Estadio Nacional
de Lima. Para la selección chilena es fundamental obtener una victoria y sumar 3 puntos para lograr el
objetivo final que es clasificar a cita mundialera.
Las cifras oficiales de los partidos disputados en Perú por las eliminatorias desde el año 1974 son las siguientes:
Perú Chile Mundial Año Resultado Partido
2 0 1974 Triunfo para Perú
2 0 1978 Triunfo para Perú
0 1 1986 Triunfo para Chile
2 1 1998 Triunfo para Perú
3 1 2002 Triunfo para Perú
2 1 2006 Triunfo para Perú
1 3 2010 Triunfo para Chile
1 0 2014 Triunfo para Perú
3 4 2018 Triunfo para Chile
Usted está interesado en analizar si la selección chilena de fútbol obtendrá una victoria en su partido en
Lima, entonces defina la siguiente variable aleatoria:
X =
{
1, Si la selección de Chile gana su partido en Lima,
0, Si la selección de Chile pierde o empata su partido en Lima,
Se asume que la variable aleatoria X sigue la siguiente función de probabilidad Bernoulli(π) de la siguiente
forma:
Pr(X = k) = πk(1− π)1−k, k = 0, 1.
donde π ∈ (0, 1) es el parámetro desconocido. Suponga que trabajará con una muestra aleatoria {X1, X2, . . . , Xn}
i.i.d. Con los antecedentes anteriores realice lo siguiente:
EAA1520 -Inferencia Estad́ıstica 1 Segundo Semestre 2021
(a) [1.5 Ptos] Muestre que el estimador de máxima verosimilitud (EMV) de π está dado por π̂ = X y
que la varianza del EMV es:
Var(π̂) =
π(1− π)
n
.
(b) [1.5 Ptos] Utilice las cifras oficiales de partidos de fútbol de la selección Peruna con la Chilena desde
el año 1974 para entregar una estimación de π y de Var(π̂).
(c) [1.5 Ptos] Muestre que la cota de Crámer-Rao está dado por:
CCR(π) =
π(1− π)
n
,
¿Es el estimador de máxima verosomilitud de π el estimador óptimo? Justifique su respuesta.
(d) [1.5 Ptos] Utilizando las propiedades asintóticas de los estimadores de máxima verosimilitud y las
cifras oficiales de las eliminatorias desde el año 1974, entregue un intervalo de confianza aproximado
al 95 % para la probabilidad de que la selección chilena obtenga un triunfo en Lima.
Solución
(a) Se asume que se dispone de una muestra aleatoria i.i.d de tamaño n (podŕıa ser n = 9 según la
información de la muestra), por lo tanto la función de verosimiltud está dado por:
L(π) = Pr(X1, X2, . . . , Xn),
= Pr(X1) Pr(X2) · · ·Pr(Xn), por independencia,
= πX1(1− π)1−X1 · πX2(1− π)1−X2 · · ·πXn(1− π)1−Xn ,
= π
∑n
i=1 Xi(1− π)n−
∑n
i=1 Xi [0.3 Ptos.].
Aplicando logaritmo natural se tiene la función de log-verosimilitud,
`(π) = ln(L(π)),
= ln
(
π
∑n
i=1 Xi(1− π)n−
∑n
i=1 Xi
)
,
= ln
(
π
∑n
i=1 Xi
)
+ ln
(
(1− π)n−
∑n
i=1 Xi
)
,
=
(
n∑
i=1
Xi
)
ln(π) +
(
n−
n∑
i=1
Xi
)
ln(1− π)[0.3 Ptos.].
Para determinar el EMV de π se debe determinar el argumento π que maximiza `(π), es equivalente a
resolver el siguiente sistema de ecuación y despejar π̂:
∂`(π)
∂π
∣∣∣∣∣
π=π̂
= 0[0.3 Ptos.],
EAA1520 -Inferencia Estad́ıstica 2 Segundo Semestre 2021
Entonces
∑n
i=1Xi
π̂
−
n−
∑n
i=1Xi
1− π̂
= 0 =⇒ (1− π̂)
n∑
i=1
Xi − π̂
(
n−
n∑
i=1
Xi
)
= 0
=⇒ nπ̂ =
n∑
i=1
Xi,
=⇒ π̂ =
∑n
i=1Xi
n
[0.3 Ptos.].
Finalmente el EMV de π es π̂ = X. La varianza del estimador es:
Var(π̂) = Var
( ∑n
i=1Xi
n
)
,
=
1
n2
Var
(
n∑
i=1
Xi
)
,
=
∑n
i=1 Var(Xi)
n2
, por independencia
=
nπ(1− π)
n2
,
=
π(1− π)
n
[0.3 Ptos.].
(b) Note que Xi es 1, para aquellos partido donde la selección chilena ganó en Lima y 0 en otro caso, por
lo tanto la muestra observada de 9 partidos es {0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1}[0.3 Ptos.], entonces
π̂ = x =
3
9
=
1
3
[0.6 Ptos.],
V̂ar(π̂) =
π̂(1− π̂)
n
=
1
3 ·
2
3
9
=
2
81
[0.6 Ptos.].
(c) Para determinar el CCR(π) primero se debe calcular la información de Fisher, CCR(π) =
1
I(π)
. Para
calcular la información de Fisher se necesita la función de log verosimilitud `(π) = ln(L(π)), pero esta
ya fue determinada en el item (a);
EAA1520 -Inferencia Estad́ıstica 3 Segundo Semestre 2021
I(π) = E
[∂ ln (L(π))
∂π
]2 [0.2 Ptos.],
= E
[ ∂
∂π
{(
n∑
i=1
Xi
)
ln(π) +
(
n−
n∑
i=1
Xi
)
ln(1− π)
}]2 ,
= E
[ ∑ni=1Xi
π
+
n−
∑n
i=1Xi
1− π
]2 [0.3 Ptos.],
= E
[ ∑ni=1Xi − π∑ni=1Xi + nπ − π∑ni=1Xi
π(1− π)
]2 ,
= E
[ ∑ni=1Xi − nπ
π(1− π)
]2 ,
=
1
π2(1− π)2
E
[ n∑
i=1
Xi − nπ
]2 , Note que n∑
i=1
Xi ∼ Binomial(n, π) y E
(
n∑
i=1
Xi
)
= nπ
=
1
π2(1− π)2
Var
(
n∑
i=1
Xi
)
, Recuerde que Var(U) = E([U − E(U)]2)
=
nπ(1− π)
π2(1− π)2
, Recuerde que la varianza de una Binomial(n, π) es nπ(1− π)
=
n
π(1− π)
[0.5 Ptos.].
Por lo tanto, la Cota de Crámer-Rao está dada por CCR(π) =
π(1− π)
n
[0.2 Ptos.]. Note que Var(π̂) =
CCR(π) =
π(1− π)
n
, por lo tanto el EMV de π es el estimador óptimo para π[0.3 Ptos.].
(d) El intervalo aproximado al 95 % está dado por
IC(π, 95 %) =
[
π̂ − z0.975
√
CCR(π̂), π̂ + z0.975
√
CCR(π̂)
]
[0.5 Ptos.]
donde CCR(π̂) =
π̂(1− π̂)
n
[0.2 Ptos.]. Reemplazando con n = 9 y π̂ =
1
3
se tiene
IC(π, 95 %) =
[
1
3
− 1.96 ·
√
2
9
,
1
3
+ 1.96 ·
√
2
9
]
,
= [0.025, 0.641] [0.8 Ptos.].
EAA1520 -Inferencia Estad́ıstica 4 Segundo Semestre 2021
Problema 2
En sus primeras doce horas, el Cyberday generó ingresos por US$90 millones con más de 800 mil transacciones
registradas. La siguiente figura presenta el comportamiento de una muestra aleatoria de dos mil ventas en
US$ (dólares).
US$
F
re
qu
en
cy
0 100 200 300 400 500 600 700
0
200
400
600
800
Se pide a usted ajustar un modelo Log-Normal(λ, ζ2) para las ventas en dólares. Recuerde que la función
de densidad Log-Normal(λ, ζ2) es de la siguiente forma:
fX(x) =
1√
2π (ζ x)
exp
[
−1
2
(
ln x− λ
ζ
)2]
, x ≥ 0,
donde λ ∈ R y ζ > 0 son los parámetros desconocidos de interés. Para estimar el parámetro λ se propone
λ̂ =
1
n
n∑
i=1
ln(Xi), sin embargo, para el parámetro ζ
2 se proponen los siguientes dos estimadores:
ζ̂2 =
1
n
n∑
i=1
(ln(Xi)− λ̂)2 ó ζ̃2 =
1
n− 1
n∑
i=1
(ln(Xi)− λ̂)2,
Con la información entregada realice lo siguiente:
(a) [1.5 Ptos] Obtenga el ECM exacto de ζ̂2.
(b) [1.5 Ptos] Obtenga el ECM exacto de ζ̃2.
(c) [1.5 Ptos] Teóricamente, ¿Cuál estimador es más eficiente?
(d) [1.5 Ptos] Con la siguiente información emṕırica evalúe el estimador más eficiente para ζ:
-----------------------------------------------------------------
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
-----------------------------------------------------------------
X 13.983 62.031 93.995 113.445 140.485 696.036
X^2 195.514 3847.879 8835.072 18869.908 19735.932 484466.194
log(X) 2.638 4.128 4.543 4.539 4.945 6.545
log(X)^2 6.958 17.037 20.641 20.988 24.454 42.842
-----------------------------------------------------------------
Hint: Se recomienda antes de partir, obtener o reconocer la distribución exacta del logaritmo natural de una
variable aleatoria Log-Normal.
EAA1520 -Inferencia Estad́ıstica 5 Segundo Semestre 2021
Solución
Uitlizando el Hint se deb́ıa recordar que X ∼ log-Normal(λ, ζ2) =⇒ Y = ln(X) ∼ Normal(λ, ζ2). Entonces
es directo trabajarcon la transformación Y = ln(X) de la siguiente forma
λ̂ =
1
n
n∑
i=1
ln(Xi) =
1
n
n∑
i=1
Yi,
ζ̂2 =
1
n
n∑
i=1
(ln(Xi)− λ̂)2 =
1
n
n∑
i=1
(Yi − Y )2,
ζ̃2 =
1
n− 1
n−1∑
i=1
(ln(Xi)− λ̂)2 =
1
n− 1
n∑
i=1
(Yi − Y )2.
donde Yi ∼ Normal(λ, ζ2). Además, recuerde que (n− 1)
S2
Var(Y )2
∼ χ2n−1, y aplicado a este ejercicio:
=
(n− 1)
ζ2
1
(n− 1)
n∑
i=1
(Yi − Y )2 =
n∑
i=1
(
Yi − Y
ζ
)2
=
n∑
i=1
(
ln(Xi)− λ̂
ζ
)2
∼ χ2n−1
(a) Como ζ̂2 =
ζ2
n
·
n∑
i=1
(
ln(Xi)− λ̂
ζ
)2
entonces
E
(
ζ̂2
)
= E
(
ζ2
n
χ2n−1
)
=
ζ2
n
E
(
χ2n−1
)
=
ζ2 (n− 1)
n
[0.5 Ptos.],
Var(ζ̂2) = Var
(
ζ2
n
χ2n−1
)
=
ζ4
n2
Var
(
χ2n−1
)
=
2 ζ4 (n− 1)
n2
[0.5 Ptos.].
Por lo tanto
ECM
(
ζ̂2
)
= Var
(
ζ̂
)
+
(
ζ2 (n− 1)
n
− ζ2
)2
=
ζ4(2n− 1)
n2
[0.5 Ptos.]
(b) Como ζ̃2 =
ζ2
n− 1
·
n−1∑
i=1
(
ln(Xi)− λ̂
ζ
)2
, entonces
E
(
ζ̃2
)
= E
(
ζ2
n− 1
χ2n−1
)
=
ζ2
(n− 1)
E
(
χ2n−1
)
=
ζ2 (n− 1)
(n− 1)
= ζ2[0.5 Ptos.],
Var(ζ̃2) = Var
(
ζ2
n− 1
χ2n−1
)
=
ζ4
(n− 1)2
Var
(
χ2n−1
)
=
2 ζ4 (n− 1)
(n− 1)2
=
2 ζ4
n− 1
[0.5 Ptos.].
Por lo tanto
ECM
(
ζ̃2
)
=
2 ζ4
n− 1
. [0.5 Ptos.]
EAA1520 -Inferencia Estad́ıstica 6 Segundo Semestre 2021
(c) Dividiendo ambos errores cuadráticos se tiene que
ECM
(
ζ̂2
)
ECM
(
ζ̃2
) = ζ
4(2n− 1)
n2
2ζ4
n− 1
=
2n2 − 3n+ 1
2n2
< 1, [1.0 Ptos.]
es decir, ζ̂2 es más eficiente. [0.5 Ptos.]
(d) Nos piden evaluar ζ̂ en base a la información emṕırica:
ζ̂ =
√√√√ 1
n
n∑
i=1
(ln(Xi)− λ̂)2 =
√√√√ 1
n
n∑
i=1
ln(Xi)2 − λ̂2 [1.0 Ptos.]
=
√
20.988− 4.5392 = 0.6208696 [0.5 Ptos.]
EAA1520 -Inferencia Estad́ıstica 7 Segundo Semestre 2021
EAA1520 -Inferencia Estad́ıstica 8 Segundo Semestre 2021
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
Probabilidad Acumulada Distribición Normal Estándar
EAA1520 -Inferencia Estad́ıstica 9 Segundo Semestre 2021
EAA1520 -Inferencia Estad́ıstica 10 Segundo Semestre 2021
IC
y
T
es
t
h
ip
ót
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is
p
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u
n
a
M
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(µ
,σ
2
),
σ
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∓
z 1
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2
σ √
n
)
H
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:
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=
µ
0
,
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EAA1520 -Inferencia Estad́ıstica 11 Segundo Semestre 2021
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EAA1520 -Inferencia Estad́ıstica 13 Segundo Semestre 2021
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n
d
ie
n
te
Z
F
is
h
e
r:
F
ν
1
,ν
2
Γ
(
(
ν
1
+
ν
2
)
/
2
)
Γ
(
ν
1
/
2
)
Γ
(
ν
2
/
2
)
(
ν
1
ν
2
) ν
1
/
2
x
ν
1
/
2
−
1
( 1
+
ν
1
ν
2
x
) −
(
ν
1
+
ν
2
)
2
x
>
0
ν
1
,
ν
2
µ
X
=
ν
2
ν
2
−
2
ν
2
>
2
σ
2 X
=
2
(
ν
2
ν
2
−
2
) 2
ν
1
+
ν
2
−
2
ν
1
(
ν
2
−
4
)
,
ν
2
>
4
F
ν
1
,ν
2
=
χ
2
(
ν
1
)
/
ν
1
χ
2
(
ν
2
)
/
ν
2
E
(X
k
)
=
Γ
(
ν
1
+
2
k
2
)
Γ
(
ν
2
−
2
k
2
)
Γ
(
ν
1 2
)
Γ
(
ν
2 2
)
(
ν
2
ν
1
) k
,
k
<
ν
2 2
χ
2
(ν
1
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in
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p
e
n
d
ie
n
te
χ
2
(ν
2
)
F
1
,ν
=
t2 ν
EAA1520 -Inferencia Estad́ıstica 14 Segundo Semestre 2021