Ayudantía 05 Geometría Vectorial

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN
Segundo Semestre 2017
Ayudantía 5– Geometría Vectorial
EAA251A Métodos de Optimización
4 y 5 de Octubre de 2017
Profesores: Marcos Singer
Antonio Aninat
Christian Villalobos
Ayudante: Leonor Castro
Mail Ayudante: mlcastro1@uc.cl
	Ayudante Jefe Cátedra: Miguel Pérez
Ejercicio 1
Considere los siguientes vectores: 
	a= (10, 20, 5)
b = (5, 7, 2)
c = (15, 40, 20)
d = (10, 1, 9)
Con los cuales se forman dos rectas: (a + b) y (c + d)
a) Encuentre la intersección de estas dos rectas.
b) Detalle cuál es la condición que debe cumplirse para que las rectas sean paralelas, y dé un ejemplo.
c) En base a la respuesta en a) ¿De qué maneras se podría encontrar una solución a la intersección de las rectas?
d) ¿Qué tiene que ocurrir para que las rectas sean la misma? Dé un ejemplo.
e) En base a la respuesta en a) ¿Cuáles son los componentes del vector d y los valores de  para que las rectas se intersecten en el punto (40,62,17)?
f) En base a la respuesta en a) ¿Qué debe ocurrir para que las rectas se intercepten en forma perpendicular? Resuelva.
Considerando los vectores y rectas dados anteriormente:
g) ¿Se intercepta la recta a + b con el plano 2x+10y+5z=25?
h) ¿Qué tendría que ocurrir para que ambas rectas estuviesen en el plano 2x+10y+5z=25?
Ejercicio 2 (Propuesto)
De acuerdo al modelo geocéntrico planteado por el astrónomo greco-egipcio Ptolomeo (100-170), la tierra es el centro del universo. Cada cuerpo celeste gira alrededor de la tierra en una órbita circular de radio R que está en un plano orbital que pasa por el centro de la tierra, y cuyo vector normal (del plano) es p.
a) Asumiendo conocidos R y p, exprese las dos ecuaciones vectoriales que determinan la posición xi del cuerpo i; la primera ecuación hace que i pertenezca al plano orbital y la segunda hace que la órbita sea circular.
b) Dada la baja precisión de los instrumentos de observación de esa época, la mayoría de los astros cumplían con el modelo geocéntrico de Ptolomeo. Sin embargo, unos pocos cuerpos celestes llamados “planetas” tenían un comportamiento extraño: en vez de describir órbitas circulares, parecían detenerse y retroceder en el firmamento.
Para resolver este enigma, se planteó que los planetas describían dos órbitas circulares, tal como se muestra en la ilustración. Una pequeña de radio E llamada epiciclo, alrededor de un eje ei. A su vez el eje ei gira alrededor de la Tierra en una órbita grande de radio F llamada deferente.
Exprese las tres ecuaciones que determinan la posición ci del planeta i de acuerdo al modelo de Ptolomeo. Suponga que el epiciclo y el deferente están en el mismo plano orbital.
	Ejercicio 3 (Propuesto)
Un cuerpo celeste i es cualquier objeto que tiene una localización dada por el vector xi respecto del origen, el cual supondremos que está en el centro del planeta Tierra. A modo de simplificación, supongamos que xi está en el octante positivo, es decir, que sus componentes poseen valores no-negativos, como por ejemplo un asteroide que muestra la ilustración. Cada observatorio j tiene una localización oj y apunta al cuerpo i con un vector de observación aj,i
Las preguntas a continuación suponen que los cuerpos celestes tienen una posición estática con respecto al sistema de ejes de la figura.
a) Muestre la manera en que se puede estimar xi conociendo oj y aj,i de dos observatorios. Asumiendo que la información oj y aj,i es muy precisa, pero no perfecta, ¿es seguro que con esa información se pueda encontrar xi?
b) Como alternativa, plantee una técnica que, con los mismos tipos de datos, siempre se pueda obtener obtenga una ubicación xi. Para ello, recuerde que tres planos “oblicuos” (linealmente independientes) siempre se intersectan. ¿Cuál es la mínima cantidad de observatorios que se necesita para esta técnica de ubicación? ¿Qué utilidad podría tener disponer de varios observatorios?
MarteTierraDeferenteEpicicloTierraDeferentee
o
1
o
2
o
3
zyxx
1
a
3,1