Ayudantía 2 Trini Correa

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Trini Correa
Repaso
Demanda: función que asigna una cantidad deseada por el consumidor 
según determinantes. Los determinantes son los factores que afectan la 
cantidad deseada del consumidor, como por ejemplo el precio de un bien, 
ingresos, utilidad deseada. Hay dos tipos de demandas, que son 
equivalentes y que se distinguen porque se originan de problemas de 
desigualdad y sus determinantes son desiguales.
 Demanda Marshaliana: maximización de utilidad, sujeto a
 restricción presupuestaria. Determinantes: P1, P2, m.
 Demanda Hicksiana: minimización gastos sujeto a un nivel de
 utilidad. Determinantes: U, P1, P2.
Óptimo del consumidor: TMS = P1/P2 TMS = UMgX/UMgY
Descarte de casos:
 Por axioma de no sociedad, la restricción tiene que ser activa porque
 yo siempre quiero la mayor utilidad posible.
Si VMQ
00 cuando 0
,
entonces O
si VMG O cuando 0 , entonces O
Demanda 
Marshialiana
Demanda 
Hickseana
Función de gasto 
mínimo (g)
Función de utilidad 
indirecta (v)
Problema: maximizar 
utilidad
Problema: minimizar 
gastos
Reemplazo Demanda Marshialiana 
en función de utilidad
Reemplazo Demanda 
Hickseana en la RP
Identidad de Roy
Lema de Shepard
Determinantes: P1, P2 y M
Determinantes: P1, P2, U
V
P
,
,
Pz
,
g
=
Ü
g
P
,
,
Pa
,
V
=
M
÷
s
iiiii
á
ii
nos
E
-
6
/4
•
✗
=
,
X
^
.#
#
*
✗
¿
✗
S
>
Éa
-
E
i
o<
el
Í
e
-
E
Í
+
>
×
i
ú
Tema I
a) Paso 1: lagrangeano 
Paso 3: cpo y puntos críticos
Paso 2: casos y descarte de casos
{ = Pxx + Pyy - ✗ ✗ + y - V
UMGX
= I si admite solución esquina
VMGY = 1 y no admite solución esquina
2 Y
se descarta 7=0 por axioma de no saciedad. Quedan dos
casos posibles: ×, y , ✗ O
×
, y 0 ✗ =D
Por lo tanto
,
van a se demandas con 2 tramos
condiciones de holgura complementaría
-
: px - ✗ O 0
:
Py - X O O
2 Y
: - ✗ - U O O
Caso I : 0
En el caso de solución interior tengo que igualar
/ ,
a cero .
: px - ✗ =D A- Px
Px = ZPY y
y
"
= PI
: py - 7=0 ✗ = ZPY Y ypyz2
Reemplazo
:-X - + J -0
Px + ✗ = Ú
ZPY
✗ = J -
Px
ZPY
caso 2 : ×, y 0 , O
En este caso, por las condiciones de holgura complementarios
0
, tengo que
0
Entonces el ánalisis me queda :
:
px - ×> 0
:
py - ✗ = O
2
:-X - + J -0
Entonces ✗
"
=D
, por lo
tanto J =
Ü=y"
Paso 4: determinar cuál es la condición de cada tramo
Tengo que establecer una condición de precios que me distinga 
los tramos y para eso necesito los condiciones de primera orden.
b) Encuentra moción de gastos mínimos: se encuentra cuando reemplazo de las 
demandas Hickseanas en la restricción presupuestaria.
✗
"
=
{
°
°" " " ✗
"
=
{
" °" " "
Py Py
Px si Px ZÚ
Ú - PX si Px 2J ZPY Py
ZPY PY
: 7 O ? O
7 2 y
px Py . 2 y
Reemplazo
py
. 2
y
= ✗
PX 2 y con y=ú y
= J'
Py
Px 25 condición del tramo
.
PY tipl. si hay solo dos tramos
siempre son inversos.
Í RP : Pxx + Pyy - M
si PI > 25 si PXEZÚ
PY Py
px.otpy.LT =g Px f- Px + Py . Px
<
=
g
Py ZPY
2° Por dualidad de la demanda y de
estas funciones
puedo reemplazar Ú por
V
y g por
m .
Si P 2J : Py
. V7 M
7
2
si Px LV : Px Px + Py Px = M
PY ZPY ZPY
3° Despejo V en cada tramo y obtengo la función de utilidad
indirecta
.
Si Px 2J : Py V2 = M
Py v
'
= M
Py
m no se consume ✗
Py
2
25 : Px P Px = Msi Px
zp
+ PY
Py ZPY
M = V. Px - PE t Px
'
ZPY YPY
v. Px = mt PI - PI
ZPY YPY
I M Px
'
px
'
Px LPY YPY
✓ = m t l Zpx
'
- PE
Px Px YPY
V = m t l Px
'
Px Px 414
✓ = m t PX cuando si se
Px LIPY consume ✗
c)
4. Armo función de utilidad indirecta :
"=
}
" °" " "
py PY
m + Px si PX 2J
PX YPY py
Tengo que usar la identidad de Roy
* los tramos se mantienen, solo cambian la
condición de los tramos
Identidad de Roy
: ✗F- 2. ✓ } 0219
a } O2M
Tramo I
: ✓ = M
py
7° Encuentro ✗
M
= O
, por
lo tanto ✗
"
2 V = M
2
. |
2M 2 PY PY
2
= I Py
ZPY M
1
2 Py . M
y
"
= 2 V
2M
2V
2M
=-
-m
-
•
I
zpy
3/2
2 Py . M
y
"
= m
py
yo se que esto
es correcto
porque significa que la persona gasta
todo su ingreso en Y
Tramo 2 : ✓= M + Px
Px YPY
1° Encuentro XM
av m I
LPX PXZ 414
ZV = 1-
2M PX
✗
M
= zv = - m l Px
Prpx
Pxz YPY
2V
2M
c)
= - MPX
☒
A
YPY
✗
M
= M - Px
Px 414
2° Encuentro y
"
LV Px
LPY 4 Py
'
ZV = I
2M PX
M
-
- Px PX
4142
2
Y
"
PX demanda Hessianos
ZPY
a)
Tema II
Dependiendo de los casos posibles la cantidad de 
tramos que va a tener la función. Para dos tienes, 
siempre son estos mismos otros casos posibles.
Descartar casos:
Casos Posibles
✗ y ×
1
2 O
3 O
4 O
5 O O
6 O O
7 O O
8 O O O
VMQX = 1 ¥ Y porque cuando
2 × VMGLX) 00
VMGY =
1
y
o
porque cuando
2 Y 11=0 VMGLY) 00
Entonces solo me queda un caso posible,
que es cuando
: ×, -1 , ✗ 0 ( solución interior )
b)
Paso 1: lagrangeano 
Paso 3: cpo y puntos críticos
Paso 2: casos y descarte de casos
Problema de maximización : maximizar utilidad sujeto a una
restricción presupuestaria .
-
£
_ restricción ÍresupuesatrniaFunción de
utilidad
a
✗ : - ✗Px = O
2 ✗ 2 ✗ Px = 1
2 ✗ Px 2 y Py
Y : _ ✗Py = O
1 2 ✗ Px = 2 y Py
2 y 2 Y PY 4 ✗ TE = 4 y Py
'
✗ = YPYZ
Reemplazo PI
✗ : -✗ Px - ypytm
c) Paso 1: encuentro segundas derivadas 
Paso 3: analizo sus MPD para saber que tipo de matriz es
Paso 2: armo matriz Hessiana
Conclusión: como los MPD se alternan en signo empezando por un negativo, 
la matriz es definida negativa, lo que implica que la función es cóncava y 
que su óptimo es máximo.
FX = I Ex = l - i É
'
- 1
2 ✗ 2 2 4×3/2
O
I - I por teorema de Young
2 4 y
3/2
H = Fxx Fxy En este caso : # = -1 O
Fyx Fyy
4×312
_ ,
O
y y
3/2
MPD : Fxx y H
MPP
,
= Fxx LO
2
H = MPP, = HI O
a)
Tema III
Paso 2: encuentro TMS
Paso 1: casos y descarte de casos
Paso 3: condición de óptimo para solución interior
Intuición: tengo que el precio de ambos bienes es el 
mismo y que la utilidad que me reporta cada uno 
también es la misma. Entonces como la persona no 
reporta más preferencias por un bien, va a consumir la 
misma cantidad de ambos.
Otra forma de encontrar las Demandas Marshialianas
U sustitutos perfectos
si 0, umglx) -1-00✗ puede{umgx =ser o 2
Si 0, UMG A) =/
O
si O Umgly 1=00
ser 0
y puede {umgy =
si o umglyt °
2
• Entonces
,
tanto ×
, y pueden ser = o
• se descarta 7=0 por axioma de no saciedad
TMS = UMGX
UMGY
Como UMGX = Umgy la TMS es constante igual al
TMS = Px
Py
I =
Py
Py = PX Solo en este caso se da una solución interior
Paso 4: construyó la demanda por tramos
De que dependen los tramos ?
• De la relación de precios con la TMS .
• En este caso
,
la TMS =\
,
entonces los tramos dependen
solo de la relación de precios entre ellos .
•
Tengo tres posibles casos :
1) p P : en este caso consumo solo y
2) Px = Py : en este caso consumo ambos bienes en la
misma proporción
3) Px < Py : en este caso consumo solo ✗
Finalmente :
✗
M
=
O si P Py Consumo solo y
M Si Px PY consumo solo ✗
PX
m si Px -_Py consumo mitad y mitad
py
ym=
O si Py Px Consumo solo ✗
M si Py Px consumo solo y{ Pym si Px -_Py consumo mitad y mitad
Pxtpy
b) Función de utilidad indirecta: reemplazo las demandas Marshialianas en 
la función de utilidad. (Si las demandas son por tramos la función de 
utilidad indirecta también lo será)
Caso / : Px Py
V O T M = M
Py PY
Si Px >Py ,
" V
"
no depende de Px porque no se consume este bien .
En este caso
, a medida que aumenta Py , áisminuye
" V
"
.
Con límite en que Py no puede pasar a ser mayor que
px porque sino cambio de tramo.
Caso 2 : Px = Py
V = M M = 2M - M
Pxtpy Pxtpy Pxtpy PX
* Py
-
-Px
Si A- Py , si aumenta Px o Py disminuye V.
Caso 3: PXLPY
✓ = M + o = M
PX Px
si Px < Py ,
" V
"
no depende de py porque no se consume este bien .
En este caso
,
a medida que aumenta Px disminuye
"
V
"
.
Con límite
en que Px no puede pasar a ser mayor que Py porque sino cambio de tramo.
c)
Función de utilidad indirecta: reemplazo de las demandas Marshialianas 
en la función de utilidad. La demandas Marshialianas son iguales,pero la 
función de utilidad es distinta, entonces la función de utilidad indirecta 
va a ser distinta.
La utilidad indirecta cambia porque la forma de la función de utilidad cambio. 
Independiente del cambio de forma, la nueva función de utilidad representa a 
las mismas preferencias que la función de utilidad anterior. Por ende la 
demanda se mantienen. Es importante destacar que las funciones de utilidad 
son originales, es decir, no importa el orden de las preferencias y no cardinales.
es una transformación monótona creciente de ✗ ty .
Esto significa que las preferencias no cambian, por lo tanto
no cambian las demandas .
Función de utilidad indirecta para vlx, -1 ) = xty
m si p p
V =
Px
m si p pi.
2m si Px = Py
Pxtpy