Tarea1-pauta

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EAE 210B Primer Semestre 2019
Profesoras Jeanne Lafortune, Claudia Mart́ınez A. y Bernardita Vial
Tarea 1-Pauta
Pregunta 1
Un individuo tiene preferencias sobre canastas x, y según lo definido abajo. Discuta
si estas preferencias satisfacen los axiomas de completitud (con reflexividad, ya sea
como axioma separado o incluido en este), transitividad y continuidad, que permiten
representar las preferencias mediante una función de utilidad. Si existen, dibuje el
mapa de curvas de indiferencia que corresponde en cada caso.
(a) (x1, y1) � (x2, y2) ssi x1 + y1 ≥ x2 + y2
Satisface todos los axiomas, las curvas de indiferencias son rectas con pendientes
igual a -1.
(b) (x1, y1) � (x2, y2) ssi x1 ≥ x2 ∀y1, y2 o x1 = x2, y1 ≥ y2
Satisface completitud, transitividad pero no continuidad. No hay curvas de in-
diferencias sino un punto para cada nivel de utilidad.
(c) (x1, y1) � (x2, y2) ssi min{x1, y1} ≥ min{x2, y2}
Satisface todos los axiomas, las curvas de indiferencias son “L” con esquinas en
x = y.
(d) (x1, y1) � (x2, y2) ssi x21 + y21 ≥ x22 + y22
Satisface todos los axiomas, las curvas de indiferencias son cuartos de circulos
centrados en el origen.
(e) (x1, y1) � (x2, y2) ssi x1 ≥ x2 y y1 ≥ y2
No satisface completitud y no hay curvas de indiferencias.
Pregunta 2
Un individuo tiene preferencias representadas por una función de utilidad de la forma
U(x, y) = ln(x) + ln(y), donde x e y son las cantidades consumidas (no negativas)
de cada bien. Sean los precios de los bienes px y py respectivamente y el ingreso del
individuo m.
(a) Encuentre las demandas marshallianas por los bienes x e y.
xM = m/2px, y
M = m/2py
(b) ¿Son los bienes x e y normales? Calcule la elasticidad ingreso del bien x y obtenga
la del bien y sin calcularla.
Son normales y ambas elasticidades son 1.
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(c) ¿Es la demanda por el bien x elástica? Calcule la elasticidad precio de la demanda
por el bien x. Determine si x e y son complementos o sustitutos brutos.
La elasticidad precio es 1, los bienes no son ni sustitutos, ni complementos.
(d) Derive la función de utilidad indirecta y a partir de ella, las demandas hicksianas
por los 2 bienes. V = ln
(
m2
4pxpy
)
, xH = exp(u/2)
√
py/px, y
H = exp(u/2)
√
px/py
(e) Sin calcularla, argumente si la elasticidad precio de la demanda hicksiana por x
será mayor o menor a la de la demanda marshalliana. ¿Se puede decir lo mismo
de la elasticidad cruzada? El bien x es normal entonces, la elasticidad precio de
la demanda hicksiana es menor en valor absoluto. La elasticidad cruzada de la
hicksiana es negativa mientras que la de la marshalliana es 0.
Pregunta 3
Considere la siguientes funciones de utilidad:
u(x1, x2) = x
1/4
1 · x
1/2
2 (1)
w(x1, x2) = x1 · x22. (2)
(a) Verifique si u y w son funciones cóncavas, usando la matriz hesiana de segundas
derivadas Hu y Hw en los casos (1) y (2) respectivamente.
u es cóncava pero w no lo es.
(b) Verifique si u y w son funciones cuasicóncavas, usando la matriz orlada de segun-
das derivadas Hu y Hw en los casos (1) y (2) respectivamente.
Ambas son cuasicóncavas.
(c) Dibuje la curva de indiferencia para u = 10 y la curva de indiferencia para w =
10000 en los casos (1) y (2) respectivamente (encuentre al menos 5 puntos de la
curva y grafique). Compare y explique su resultado. ¿Cómo demostraŕıa que en
ambos casos la curva de indiferencia es convexa?
Las dos curvas de indiferencia son las mismas. Para demostrar que la curva de
indiferencia es convexa, hay que aislar la x2 y calcular su segunda derivada con
respeto a x1.
(d) Suponga que estas funciones de utilidad representan las preferencias de dos indi-
viduos, A y B respectivamente, que enfrentan precios (p1, p2) y tienen ingreso m.
Obtenga las demandas marshallianas de A y B. ¿Son distintas estas funciones?
¿por qué?
Las demandas de ambos grupos es xM1 = m/3p1 y x
M
2 = 2m/3p2 porque las 2
funciones representan el mismo ranqueo de canastas.
(e) A partir de la demanda marshalliana encontrada en (d) obtenga las funciones de
utilidad indirecta de A y B. ¿Son distintas estas funciones? ¿por qué?
VA =
√
2m3/4
33/4p
1/4
1
√
p2
y VB =
4m3
27p1p22
.
Pregunta 4
La nueva normativa obliga al uso de un sistema de retención infantil cuando los niños
andan en automóvil. En la práctica esto impone una restricción: por ejemplo, una
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familia con dos hijos pequeños debe usar al menos dos unidades de x (implementos de
seguridad, como sillas de auto, alzadores, u otros). La familia A responde que lo hará
con gusto, mientras que una familia B con idénticas preferencias dice que preferiŕıa no
hacerlo. Ambas familias tienen dos hijos pequeños.
Suponga que las preferencias de las familias A y B por los bienes x e y se pueden
representar mediante la misma función de utilidad
u(x, y) = ln x + 3 ln y,
donde y son las unidades consumidas de otros bienes distintos de x. Los precios que
enfrentan son px = 100 y py = 200.
(a) Obtenga las demandas marshallianas de A y B antes de agregar la restricción
impuesta por la nueva normativa.
Las demandas son XM = m/4px y y
M = 3m/4py.
(b) Suponga que el ingreso de A es mA = 2400 y el ingreso de B es mB = 400.
Utilizando el método de KKT obtenga las cantidades demandadas de x e y y la
utilidad obtenida antes y después de la restricción impuesta por la nueva norma-
tiva para A y B. ¿Cómo explicaŕıa por qué las respuestas de A y B son distintas
entonces?
Antes de la restricción, xA = 6, yA = 9, VA = 8.38; xB = 1, yB = 1.5,
VB = 1.22. Después de la normativa, xA = 6, yA = 9, VA = 8.38; xB = 2,
yB = 1, VB = 0.693.
(c) Suponga que se establece un subsidio para compensar a las familias afectadas por
los gastos extraodinarios en que deben incurrir producto de esta nueva normativa.
Si la poĺıtica busca entregar un monto ∆i (de modo que el ingreso será mi + ∆i)
tal que la utilidad después de la normativa sea la misma que antes para cada
individuo i, ¿cuál debeŕıa ser el monto de ∆A y ∆B? Compare y justifique.
∆A = 0, ∆B = 38
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