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Clases 2 y 3 Teoría de optimización Las Decisiones de Consumo • Objetivo: escoger la combinación (canasta) de ropa y comida tal que se “maximice la utilidad”. • → La canasta debe satisfacer 2 condiciones: 1. Debe estar sobre la restricción presupuestaria Los consumidores usan todo su el ingreso disponible (más es mejor que menos) 2. Debe generar la mayor satisfacción (utilidad) posible 2 La Decisión de Consumo 3 U3 D C 40 8020 20 30 40 0 U1 A B •A, B, C están sobre la línea de presupuesto •D genera mayor utilidad pero no es asequible •C genera la mayor utilidad y es asequible •El consumidor escoge C Ropa (unidades por semana) Comida (Unidades por semana) Por Qué es Óptimo Consumir C? 4 40 8020 20 30 40 0 U1 Esta zona es de canastas asequibles que generan mayor utilidad En este punto, la tasa a la cual se quiere intercambiar ropa por comida (TMSS) es mayor que la razón de precios En este punto, la tasa a la cual se quiere intercambiar ropa por comida (TMSS) es menor que la razón de precios Ropa (unidades Por semana) Comida (Unidades por semana) ¿Qué Caracteriza al Punto C? • La pendiente de la restricción presupuestaria es igual a la pendiente de la curva de indiferencia: 5 R C P P TMSM −==oPresupuest Línea Pendiente TMSS=iaIndiferenc Curva Pendiente TMSMMSS =T Maximización • Asumamos por el momento que las preferencias permiten que se pueda medir la felicidad del individuo usando la función de utilidad, U • El individuo elegirá la acción con la que alcance el mayor U (la acción que maximiza U), sujeto a las restricciones que enfrente • Maximización: herramientas del cálculo para predecir comportamiento 6 Condiciones de primer orden (CPO) • En general, ¿cuándo decimos que un valor x maximiza una función f? Cuando f(x) es el valor más alto que f puede alcanzar • Maximización sin restricciones: Condición necesaria (CPO): pendiente nula en x Pero… que la pendiente sea 0 no asegura que estemos en un máximo (no es condición suficiente; chequear CSO). 7 Condiciones de primer orden (CPO) • La misma idea si x es un vector CPO: gradiente (vector de derivadas) nulo Intuición: si nos movemos en cualquier dirección, f no está creciendo ni decreciendo • Maximización con restricciones: el óptimo puede estar en el interior del conjunto (la restricción es irrelevante), o en el borde (la pendiente de f puede no ser nula en ese punto) Lagrange Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 8 Una derivación mas formal: método de Lagrange • El lagrangiano se escribe como la función de utilidad, más el producto entre la variable λ y la restricción presupuestaria (en general, la función a maximizar o minimizar más λ por la restricción). max L=f x1,x2 +λ b − g x1,x2 9 El Lagrangiano • Se encuentra el máximo hallando las derivadas de la función L con respecto a cada una de las variables x1, x2, λ e igualándolas a 0. • Las condiciones de segundo orden se cumplen con una función de utilidad que sea cuasi-cóncava. 10 Las condiciones de primer orden (CPO) del Lagrangiano • En general, si tenemos un Lagrangiano del tipo: Max L = f x1,x2, … +𝜆 b − g x1,x2, … • Las CPO son: ∂L ∂xi =0 para i = 1, 2, … ∂L ∂λ =0 • Por el teorema de la envolvente: ∂L ∂b =λ • Lo mismo con más restricciones… 11 Ejemplo • El precio de la comida es 2 y el de la ropa es 8. El ingreso (m) del consumidor es igual a 30 pesos. • La canasta óptima es C=7 y R=2 12 )1(),( CRRCU += El Lagrangiano • Si la solución es interior, las condiciones de primer orden son: ∂L ∂C = ∂U ∂C − λ∙PC = 0 ∂L ∂R = ∂U ∂R − λ∙PR = 0 ∂L ∂λ = m − PRR − PCC = 0 13 El Lagrangiano • La tercera condición es igual a la restricción presupuestaria. • Si se resuelve para λ en las 2 primeras ecuaciones y se igualan se obtiene: • Reorganizando esta condición se obtiene: 14 CR P C U P R U == C R P P C U R U = El método de Kuhn-Tucker • No sólo debemos elegir una canasta que podemos pagar pero también, tenemos la restricción que las cantidades de cada bien no pueden ser negativas. • Kuhn-Tucker nos da una manera sistemática de verificar si estamos mirando una solución de esquina o no. 15 Kuhn-Tucker • Escribimos el Lagrangiano de la misma manera que arriba, pero cambiamos las condiciones de primer orden: ∂L ∂C ≤ 0 y C ∙ ∂L ∂C = 0 ∂L ∂R ≤ 0 y R ∙ ∂L ∂R = 0 ∂L ∂𝜆 ≥ 0 y 𝜆 ∙ ∂L ∂𝜆 = 0 16 • Una Solución Esquina ocurre cuando el consumidor consume solo uno de los bienes TMS es siempre > o < a Px/Py. • En las esquinas, la TMS es mayor o menor que la razón de precios. Si pudiera, el consumidor daría más del otro bien con tal de consumir más de ese bien (pero ya no tiene nada para dar). 17 Decisión de Consumo Ejemplo de una Solución de Esquina 18 Helado (Tazas/mes) Yogurt (Tazas/mes) B A U2 U3U1 Hay una solución esquina en B: El consumidor prefiere mucho más helado que yogurt Distintos casos 19 x1 x2 λ > 0 > 0 > 0 = 0 > 0 > 0 > 0 = 0 > 0 = 0 = 0 > 0 > 0 > 0 = 0 > 0 = 0 = 0 = 0 > 0 = 0 = 0 = 0 = 0 ¿Cuándo se puede eliminar un caso? • Si la función que se quiere maximizar tiene una derivada infinita cuando se elige x1 = 0, el óptimo nunca será x1 = 0 • Si en la función que se quiere maximizar, la derivada respecto de x2 es = 0 cuando x1 = 0, el óptimo nunca será x1 = 0 • Si la función crece en x1 y x2; si al relajar la restricción aumentarían x1 y x2; y hay solamente una restricción, el óptimo nunca será λ = 0 20 KKT en el problema del consumidor • Si hay una solución interior, ésta será: ∂U ∂R ∂U ∂C = PR PC • Si hay una solución esquina, entonces (por ejemplo) R=0, C= m PC , y ∂U ∂R ∂U ∂C < PR PC Es decir, la utilidad marginal de consumir R en vez de C es menor a la razón de precios 21 Condiciones de segundo orden (CSO) – caso sin restricciones •Que la primera derivada sea cero es solo condición necesaria Si f’(x) = 0, pero al aumentar x aumenta la pendiente, conviene aumentar x (lo mismo si al disminuir x cae la pendiente) CSO: f’’(x) < 0. • Si x es un vector: verificar en todas las direcciones posibles CSO: hessiano (matriz de segundas derivadas) de L definida negativa (en x) 22 Matrices •Una matriz An×n es definida negativa si −1 kDk>0 para k = 1, …, n, donde Dk es el menor principal líder de orden k. •Un menor principal líder de orden k es el determinante de la matriz que se forma al eliminar las últimas (n-k) filas y columnas de A. 23 Condiciones de segundo orden (CSO) – con restricciones de igualdad • Ya no es posible moverse en todas las direcciones, solo en algunas. • Si hay n variables y m restricciones, la CSO es: Los últimos (n-m) menores principales líderes del hessiano orlado alternan signo, empezando con el signo de (−1)m+1, donde el hessiano orlado es: 24 ഥHL x = 0m×m ∇g x m×n T ∇g x n×m HL x n×n CSO con restricciones de desigualdad • Distintos casos: Todos positivos: CSO de maximización con restricción de igualdad λ = 0, otros dos positivos: CSO de maximización sin restricciones λ > 0, uno 0 y otro positivo: no hay hacia dónde moverse (no hay CSO) λ = 0, uno 0 y otro positivo: CSO de maximización sin restricciones con una variable Todos 0: nada que calcular… 25 El caso de la elección del consumidor • La función a maximizar está dada por la función de utilidad, que depende del nivel de consumo de distintos bienes: U(x,y) • La restricción principal es la restricción presupuestaria: x∙Px + y∙Py ≤ m 26 CSO – el caso de la elección del consumidor • El hessiano orlado es: 0 PR PC PR URR URC PC UCR UCC •Necesitamos que el último menor líder principal sea positivo. 27 CSO – el caso de la elección del consumidor • Esto significa que el determinante de la matriz debe ser positivo, o que − PC 2URR − PR 2UCC + 2PCPRURC > 0 •Dadas las condiciones de primer orden,eso es lo mismo que − UC 2URR − UR 2UCC + 2UCURURC > 0 28 Concavidad y cuasi-concavidad •Una función es cóncava si su matriz hessiana es negativa definida •Una función es cuasi-cóncava si su matriz hessiana orlada es negativa definida (puede también ser igual a 0). •Todas las funciones cóncavas son cuasi- cóncavas. 29 CSO y cuasi-concavidad • La función de utilidad es cuasi-cóncava si la TMSS es decreciente; es decir, si es negativo. • Este requisito es idéntico a la condición de segundo orden del Lagrangiano. 30 3 22 2 y xyyyxxyyxx U UUUUUUU x TMSS +− = ¡Una nota precautoria! • Recuerde que hay soluciones de esquina. • Si las curvas de indiferencia tienen quiebres o si la restricción de presupuesto tiene quiebres es posible que no se pueda usar cálculo o que deba ser cuidadoso. • Así, si bien las herramientas matemáticas son importantes, ¡pensar en el tipo de problema también lo es! 31 Utilidad no diferenciable 32 Ejemplo: U(C,F)=min{C,4F} C=4F Ropa (unidades por semana) 20 30 40 0 Comida (unidades por semana) 40 8020 Otro Ejemplo de Solución de Esquina: Línea de Presupuesto • Curva de presupuesto inicial, PQ, para una canasta de Educación y Otros bienes • Padres dan un dinero PB que puede ser usado sólo en Educación. • La curva de presupuesto aumenta en PB siempre que se use en Educación. • Se puede aumentar la utilidad moviéndose a la curva de indiferencia U2 • Pero en el punto B, el consumidor aún desea intercambiar educación por otros bienes. Se es forzado a consumir educación en “exceso”. 33 34 P Q Educación ($) Otros Bienes ($) U2 A U1 B •Se está mejor en U2 •B es solución de esquina •TMSS < PE/POB Ejemplo de una Solución de Esquina 35 P Q Educación ($) Otros Bienes ($) U2 A U1 B •Si el ingreso adicional no estuviera restringido a ser usado en educación, se estaría mejor en C sobre U3 que en B sobre U2 Ejemplo de una Solución de Esquina Soluciones de esquina y política social • En muchas ocasiones, el gobierno, como los padres en el ejemplo de la educación, quiere restringir lo que hace la gente con el dinero que el gobierno les entrega • En EEUU, un gran parte de la ayuda a la gente pobre viene en forma de “food stamps”, dinero que se puede solamente usar para comprar comida. • ¿Es equivalente a ofrecer dinero? 36
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