Clase 2 RF

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Clase 2
Curvas de indiferencia
Elección bajo certidumbre
El óptimo del consumidor: (Condiciones KKT)
Soluciones de esquina
 
Curva de Indiferencia y sus propiedades
•Una curva de indiferencia está formada por todas 
las combinaciones de bienes que den un mismo 
nivel de utilidad.
•Suponga que más es preferido a menos:
• Las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa.
•Axioma de transitividad
• Las CI no se pueden cortar
•Axioma de continuidad
• Existe un mapa continuo de preferencias
•Si no se cumple el principio de saciedad
• Algunos bienes pueden transformarse en males
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Curvas de Indiferencia
Un Ejemplo
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•Se es
indiferente entre 
las canastas B, 
A y D
•E es preferido
a las canastas 
en U1
•Canastas en U1 
son preferidas a 
G y a H.
Comida
10
20
30
40
10 20 30 40
Ropa 50
U1G
D
A
E
H
B
U3
U2
Valor absoluto de la pendiente de la CI es la 
Tasa Marginal de Sustitución Subjetiva (TMSS)
• La TMSS entre !" y !# muestra el número de unidades del 
bien 2 que un consumidor estaría dispuesto a entregar por 
una unidad del bien 1, manteniendo el mismo nivel de 
utilidad 
• Es la valoración marginal relativa entre los bienes.
• La pendiente de la curva de indiferencia va disminuyendo 
en la medida que aumenta !": 
• Los individuos están cada vez menos dispuestos a renunciar a una 
unidad de y para obtener x. 
• Las CI son convexas respecto al origen
• Muestra preferencias por canastas más balanceadas
• Convexidad de la CI y concavidad de la función de utilidad
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Propiedad de la TMSS
• Pendiente
!" #$, #& =
("
(#$
!#$ +
("
(#&
!#& = 0
!#&
!#$
= −
("
(#$
("
(#&
= −"$"&
⟺ !#&!#$
≡ ./00
• Condición para que la TMSS es decreciente y convexidad de la CI
!./00
!#$
= 1"&2
"$$"&& − 2"$"&"$& + "&&"$& < 0
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Restricciones con desigualdad y las 
condiciones de KKT
• Imagine el siguiente problema
max$ = &(()
sujeto a: ( ≥ 0
•CPO: &, ( = 0 pero hay tres casos
( > 0, ( = 0, ( < 0
•Ejemplo gráfico
•Condiciones de KKT son condiciones necesaria que 
resumen los posibles casos como:
&, ( ≤ 0 ∧ (&, ( = 0
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Problema del consumidor
max{%&,%(} *(,-, ,.)
• Sujeto a
0 ≥ 2-,- + 2.,.
,-, ,. ≥ 0
• Escribimos el Lagrangeano
ℒ = * ,-, ,. + 7(0 − 2-,- − 2.,.)
• Derivamos las condiciones necesarias de KKT para este problema
• Existen 8 posibilidades (de las cuales solamente es posible graficar 7)
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Condición de segundo orden
• En maximización sin restricciones: matriz de segundas 
derivadas (Hessiano ) sea negativa definido
• En el caso de las restricciones la CSO es que el determinante 
del Hessiano Orlado sea positivo
!" =
0 %& %'
%& (&& (&'
%' ('& (''
• Esto implica que:
%&('&%' + %'(&'%& − %'(&&%' − (''%&%& > 0
⟹ − 1.' (&&('
' − 2(&('(&' + (''(&' > 0
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El óptimo del consumidor
• La condición de tangencia
!"
!#
= %"%#
• Combinando esta condición con la restricción presupuestaria 
se obtiene:
&'∗ = &'(%", %#,+)
-∗ = λ(%", %#,+)
• &'∗ corresponde a la demanda ordinaria o Marshalliana
• -∗ representa la utilidad marginal del ingreso (Teorema de la 
Envolvente)
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Se cumple simultáneamente que las 
pendientes de la RP y de la CI son iguales y 
que se gasta todo el ingreso
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U3
D
U2
C
40 8020
20
30
40
0
U1
A
B
•A, B, C están sobre la 
línea de restricción
•D genera mayor utilidad 
pero no es asequible
•C genera la mayor 
utilidad y es asequible
•El consumidor escoge C
Ejemplo de preferencias
• Prefectos sustitutos: TMSS es constante
! "#, "% = '"# + )"%
• Perfectos complementos 
! "#, "% = min{'"#, )"%}
• Preferencias cuasi lineales 
! "#, "% = "# + "%
• Preferencias lexicográficas
! "#, "% > ! "′#, "′% ⟺ "# > "2# ∨ {"# = "2# ∧ "% > "2%}
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La decisión de trabajar y no trabajar como 
ejemplo de solución de esquina
•El individuo deriva utilidad del consumo de bienes (x) 
y del consumo de tiempo libre (ocio, h)
max$ = $(', ℎ) , $+, $, > 0
• La resticción presupuestaria se compone de:
• Ingresos provenientes del trabajo /0, más otros ingresos 
que no provienen del trabajo M.
• Tiempo disponible (T)para consumir ocio versus dedicarlo 
al mercado del trabajo.
• El ingreso es determinado exógenamente!
1' ≤ 3 +/0 (1)
0 + ℎ = 6 (2)
', 6 − ℎ , ℎ ≥ 0 (3)
•Combinando (1) y (2) se obtiene la restriición de 
ingreso completo
1' + /ℎ ≤ 3 +/6
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INGRESO
TOTAL
PREGOBIEN
PREGOSOMBRA SALAM
La solución del problema entrega la oferta 
de trabajo y la demanda por bienes y ocio
max$ = $(', ℎ)
Sujeto a: +' + -ℎ ≤ / +-0
', 0 − ℎ , ℎ ≥ 0
ℒ = $ ', ℎ + 5 6 / + -0 − +' − -ℎ + 5 7(0 − ℎ)
Condiciones de KKT
8ℒ
89 = $9 − 5 6+ ≤ 0
8ℒ
89 ' = 0
8ℒ
8: = $: − 5 6- − 5 7 ≤ 0
8ℒ
89 ℎ = 0
8ℒ
8; <
= / +-0 − +' − -ℎ ≥ 0 8ℒ8; < 5 6 = 0
8ℒ
8; <
= 0 − ℎ ≥ 0 8ℒ8; = 5 7 = 0 13
TIEMPO
INGRESO COMPLETO
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Dos casos interesantes
•Caso 1: ℎ > # ⟹ % & = 0 la restricción de tiempo se 
satisface con holgura
⟹ )* − % ,- = 0 ∧ )/ − % ,0 = 0
•Solución interior: decide cuantas horas trabajar)/
)*
= 0-
• La TMSS debe ser igual a la relación de precios
•Caso 2: ℎ = # ⟹ % & > 0 , la restricción de tiempo es 
limitante
•Solución de esquina: individuo no trabaja)/
)*
= 0-
• Salario de reserva (w = 02, ℎ = #, 4 = 5/-)
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Base
Solución INTERNA
II
I w.ktp XMtw.tn1
T j Mg T h
1 1 oh
Tiraos 1 htt
Trasero funciónDELARECTA
x Solución
Ef
a
1 Uhe q f t Xi P
l
I l steT T
DECIDETRABAJARYAQUEELSAVO AUMENTA Y
SUPERAELDERESERVA
Otro Ejemplo de Solución de Esquina: 
Línea de Presupuesto
• Dos bienes: Educación y Otros bienes
• Estado da a los padres “dinero” que puede ser usado sólo 
en Educación (voucher)
• La curva de presupuesto aumenta en ese monto siempre 
que se use en Educación.
• Se puede aumentar la utilidad moviéndose a una curva de 
indiferencia más alta, pero puede no ser el óptimo
• Puede ser que consumidor aún desea intercambiar 
educación por otros bienes. Se es forzado a consumir 
educación en “exceso”. 
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