Economía con Producción apuntes

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Notas de Clase Economía con Producción
C. Fosco
versión: 27 septiembre 2015
Resumen
Estas notas se basan en y complementan el capítulo 13 del libro de Vial y Zurita
sobre el modelo 2x2x2.
Este material supone que usted ya domina la parte de e�ciencia en la producción y, por
lo tanto, está orientado a entender, sobre todo, el equilibrio walrasiano en el modelo
general.
Si encuentra errores, por favor, avíseme!!
Índice
1. Economía con producción, descripción del modelo básico 2x2x2 2
2. E�ciencia 3
3. Equilibrio walrasiano: comportamiento de los agentes 7
3.1. Empresas o �rmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.1. Problema de maximización de bene�cios . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.2. Problema de minimización de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.3. Condición necesaria de optimización de las empresas en función del
precio del producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.4. Condición de segundo orden (necesaria y su�ciente) de optimización
de las empresas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.5. Tecnología con rendimientos a escala constantes . . . . . . . . . . . . 11
3.1.6. Tasa Marginal de Transformación y costos marginales (=unitarios con
rendimientos a escala constantes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.7. Asignación de factores en economía abierta: precios de los bienes exógenos 13
3.1.8. Asignación de factores en conomía cerrada: precios de los bienes endógenos 18
3.2. Consumidores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4. Equilibrio Walrasiano, Ejemplo 20
4.1. Descripción de la economía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2. Economía abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3. Economía cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
5. Estática comparativa 29
5.1. Economía abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1.1. Efecto del cambio en el precio de un bien . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1.2. Efecto del cambio en la dotación de un factor . . . . . . . . . . . . . 31
5.2. Economía cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.1. Efecto del cambio en el precio de un bien . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.2. Efecto del cambio en la dotación de un factor . . . . . . . . . . . . . 33
1. Economía con producción, descripción del modelo
básico 2x2x2
Supongamos la siguiente economía (2 � 2 � 2: 2 consumidores, 2 bienes o sectores de
producción, 2 factores de producción).
Dos consumidores (i = A;B). Cada consumidor está caracterizado por:
� Dotación inicial de factores de producción �Li; �Ki, que ofrecerá a las empresas para
que estas produzcan los bienes de esta economía.
� Preferencias sobre canastas de consumo Ui (x1i; x2i), donde (x1i; x2i) es el plan de
consumo del señor i = A;B.
� Participación sobre los bene�cios de la empresa j, �ij.
Dos sectores de producción (j = 1; 2). Cada sector está representado por una empre-
sa y cada empresa produce un bien. (Note que es un caso general que admite otras
variaciones. Por ejemplo, podríamos tener una empresa produciendo dos bienes. Lo
importante es que cuando de�nimos dos bienes (=dos sectores) hay un problema de
asignación de factores de producción entre sectores.)
� (q1; q2) (cantidades de bien 1 y de bien 2, respectivamente) es el plan de producción
de esta economía
� Las tecnologías de producción para producir(q1; q2) están dadas por F (L1; K1) y
G(L2; K2), respectivamente.
� (Lj; Kj) son las cantidades de trabajo L y capital K que utiliza la empresa (o
sector) j = 1; 2.
Dos factores de producción, K y L.
� La oferta total de factores en esta economía = dotación total (que hemos supuesto
propiedad de los consumidores)
�L = �LA + �LB
�K = �KA + �KB
2
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
� La demanda total por estos factores está dada por las cantidades de L y K que
demandan las dos empresas
L1 + L2
K1 +K2
� Existe perfecta movilidad de factores entre sectores.
En una economía de mercado, necesitamos adicionalmente de�nir los precios.
Mercado de bienes (donde consumidores compran las cantidades demandadas y las
empresas venden su producción): p1 y p2 precios de mercados de los bienes 1 y 2,
respectivamente.
Mercado de factores (donde consumidores ofertan sus cantidades �Li y �Ki (i = A;B)
y las �rmas demandan las cantidades Lj; Kj (j = 1; 2): wL y wK precios de trabajo y
capital, respectivamente.
De�nition 1 (Economía Abierta) Cuando esta economía es abierta, lo es con respecto
al mercado de bienes. Es decir, los bienes son transados internacionalmente y, por lo tan-
to, para esta economía los precios de los bienes, p1 y p2 están determinados exógenamente.
No dependen del mercado interno (es decir, no dependen de las demandas de los dos con-
sumidores de esta economía ni de la oferta de productos de las empresas). Esto implica que
las decisiones de consumo y las decisiones de producción se realizan en forma separada (no
requerimos que todo lo que se produce internamente se consuma internamente) y las difer-
encias entre consumo y producción es el comercio internacional. Los factores de producción,
sin embargo, no son transados internacionalmente. Por lo tanto, los precios de factores wL
y wK sí dependerán de la demanda de factores de las empresas y de la oferta (�ja, pues las
dotaciones totales �L y �K están �jas) de factores de sus propietarios, los consumidores.
De�nition 2 (Economía cerrada) Cuando esta economía es cerrada, los precios de los
bienes p1 y p2 dependen de las demandas de los dos consumidores de esta economía y de la
oferta de productos de las empresas. En la práctica, las decisiones óptimas de consumo y de
producción están muy relacionadas: todo lo que se produce se consume internamente.
2. E�ciencia
Una asignación e�ciente en esta economía es la asignación de bienes entre consumidores
y factores entre empresas (x1A; x2A; x1B; x2B; L1; L2; K1; K2) tal que es factible y satisface las
condiciones de e�ciencia en el consumo, e�ciencia en la producción y e�ciencia mixta.
La factibilidad está dada por:
3
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Es necesario que las cantidades de factores asignadas a cada sector productivo sean
factibles sin desperdicio.
L1 + L2 = �L
K1 +K2 = �K
Si la economía es cerrada, también es necesario que todo lo que se produce se consuma.
x1A + x1B = F (L1; K1)
x2A + x2B = G(L2; K2)
(Estrictamente, estas ecuaciones se escriben como desigualdades cuando planteamos el
problema, pero en los casos que estamos estudiando los supuestos sobre consumo (no
saciedad local) implicarán igualdad, por lo tanto, las condiciones a resolver se plantean
con las igualdades).
Las tres condiciones de e�ciencia mencionadas son:
1. E�ciencia en el consumo: no es posible mejorar la utilidad de un consumidor sin per-
judicar al otro (es decir, no es posible obtener mejoras paretianas en el consumo).
Si la asignación satisface esta condición de e�ciencia (y las funciones de utilidad son
estrictamente cuasi-cóncavas), entonces podemos escribir esta condición como:
TMSSAx2=x1 = TMSS
B
x2=x1
dx2A
dx1A
=
dx2B
dx1B
@uA
@x1A
@uA
@x2A
=
@uB
@x1B
@uB
@x2B
la tasa marginal a la cual cada consumidor está dispuesto (subjetivamente) a sustituir
unidades de bien 2 por cada unidad del bien 1 se iguala. Esta condición se satisface
en todas las asignaciones que forman parte de la curva de contrato con respecto al
consumo.
- Recuerde que TMSS es la pendiente de la curva de indiferencia. Bajo el supuesto
de que el bien 2 se ubica en el eje de las ordenadas - eje y - la TMSS = dx2
dx1
y esta
derivada resulta ser igual a �
@U
@x1
@U
@x2
.
- Recuerde que si la función de utilidad no es derivable (como por ejemplo el caso de
mínimos)o cuando hay soluciones esquinas, la condición de e�ciencia en el consumo
NO es la igualación de las TMSS. (En ese caso, aplique directamente la de�nición de
no admisión de mejora paretiana).
2. E�ciencia en la producción: no es posible aumentar la producción en un sector sin
disminuir la producción en el otro (es decir, no es posible obtener mejoras paretianas
4
Constanza
Resaltado
Constanza
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Constanza
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Constanza
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Constanza
Resaltado
Constanza
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Constanza
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Constanza
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Resaltado
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Constanza
Resaltado
en la producción). Esta condición se escribe como (bajo el supuesto de que las funciones
de producción son derivables):
TMST 1K=L = TMST
2
K=L
dK1
dL1
=
dK2
dL2
FL
FK
=
GL
GK
la tasa marginal de sustitución técnica de capital por unidad de trabajo se iguala entre
ambos sectores (o empresas) cuando la asignación de factores es e�ciente. Recuerde
que
TMSTK=L =
Productividad Marginal de L
Productividad Marginal de K
Esta condición se satisface en todas las asignaciones de factores que forman parte de
la curva de contrato con respecto a los factores de producción.
- Recuerde que la TMST es la pendiente de la isocuanta. Bajo el supuesto de que
ubicamos K en el eje de las ordenadas - eje y - TMTSS = dK
dL
y esta derivada resulta
ser igual a �
@F
@L
@F
@K
).
- Recuerde que si la función de producción no es derivable o si hay alguna solución
esquina, la condición de e�ciencia de producción no es la igualación de las TMST.
3. E�ciencia mixta: Esta condición relaciona la disposición subjetiva que tienen los con-
sumidores a sustituir unidades de bien 2 por cada unidad del bien 1 (medida por la
TMSS) con las posibilidades que la tecnología disponible (usada e�cientemente) de
esta economía otorga (medidas a través de la TMT ). Es
TMSSix2=x1 = TMTx2=x1
dx2i
dx1i
=
dq2
dq1
TMSSix2=x1 =
GL
FL
Recuerde que la TMT es la pendiente de la frontera de posibilidades de producción
(FPP) o curva de transformación. La FPP es el lugar geométrico de todos los planes de
producción (q1; q2) que son producidos e�cientemente (es decir, respetando la condición
de e�ciencia en la producción) dadas las tecnologías disponibles.
¿Cuál es el origen de estas condiciones de e�ciencia?
Estas condiciones de e�ciencia provienen del problema de optimización que se resuelve
en un mecanismo de asignación centralizado (en el que NO hay precios). Es decir, el
típico problema a resolver para obtener asignaciones e�cientes en el sentido de Pareto, con
5
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
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Constanza
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Constanza
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Constanza
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Constanza
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Constanza
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Constanza
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Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
la inclusión del sector productivo (problema del Plani�cador Social). En nuestro contexto
sería (para una economía cerrada):
m�ax
x1A;x2A;x1B ;x2B ;L1;L2;K1;K2
UA (x1A; x2A)
s:a:
UB (x1B; x2B) � �U
x1A + x1B � F (K1; L1)
x2A + x2B � G(L2; K2)
L1 + L2 � �L
K1 +K2 � �K
+ condiciones de no negatividad
Si planteamos el lagrangeano y suponemos una solución interior (todas las cantidades de
bienes y de factores asignadas a consumidores y empresas, respectivamente, son estricta-
mente positivas), veremos que todas las condiciones de e�ciencia se obtienen a partir de las
condiciones de primer orden de este problema. Para resolver un ejercicio en donde se le pidan
estas condiciones, es su�ciente con que usted sepa plantear e interpretarlas.
Es decir, habrá situaciones en las cuales usted deba analizar simplemente si se satisface
la e�ciencia en producción. Para ello cuenta con dos instrumentos:
(i) La curva de contrato en la producción, que le indica si la asignación de factores entre
ambos sectores es e�ciente
(ii) La FPP que le indica (directamente) si el plan de producción es e�ciente.
Es necesario que usted sepa obtener ambos instrumentos de análisis y que relacione: grado
de homogeneidad de la función de producción e intensidad de uso de factores y la forma de
ambas curvas. Recuerde que:
- Si es e�ciente que K1
L1
= K2
L2
(intensidad de uso igual), tendremos curvas de contrato
que coinciden con la diagonal de la caja (recuerde que en esta caja estamos asignando �L
unidades - eje de las x - y �K unidades - eje de las y - entre las dos �rmas o sectores).
- Si es e�ciente que K1
L1
6= K2
L2
(intensidad de uso distinta), tendremos curvas de contrato
que NO coinciden con la diagonal (NO son lineales).
Luego, combinando estas características con el grado de homogeneidad de la función
de producción (es decir, si hay rendimientos a escala constantes, crecientes o decrecientes),
podemos anticipar la forma de la FPP.
Intensidad de uso relativa K1
L1
vs.K2
L2
K1
L1
= K2
L2
K1
L1
6= K2
L2
Grado Homogeneidad (Rendim.) CC FPP CC FPP
=1 (Rend. a escala constantes) lineal lineal no lineal cóncava
>1 (Rend. a escala crecientes) lineal convexa no lineal depende
<1 (Rend. a escala decrec.) lineal cóncava no lineal muy cóncava
(CC = curva contrato en caja de Edgeworth de factores, FPP = frontera de posibilidades
de producción).
6
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Recuerde que hemos visto en clase dos de los casos (cuando hay rendimientos a escala
constantes) y que, en general, trabajaremos con rendimientos a escala constantes o decre-
cientes.
3. Equilibrio walrasiano: comportamiento de los agentes
Cuando incorporamos a esta economía un mecanismo de asignación descentralizado (el
MERCADO), tendremos que considerar los precios y los procesos de optimización que llevan
adelante los distintos agentes (consumidores y empresas).
Recuerde que tanto para una economía abierta como para una economía cerrada, el
mercado de factores NO es internacional, por lo tanto, si bien la decisión de cuánto producir
dependerá de los precios de los bienes (que serán internacionales o internos), la decisión de
cómo asignar los factores dependerá de las condiciones internas (para niveles de producción
dados). Por lo tanto, comenzaremos con la decisión de las empresas sobre cuánto producir
y cuánto demandar de factores, para precios de bienes p1 y p2 que, por ahora, podrán ser
exógenos (economía abierta) o endógenos (economía cerrada).
3.1. Empresas o �rmas
A modo de recordatorio de Micro I, analizaremos el problema de UNA �rma para una
función general de producción F (L;K), sin hacer ningún supuesto a priori con respecto al
tipo de rendimientos a escala. En un mercado de bienes competitivo, el precio del bien que
produce la �rma, p está �dado� para la �rma. En mercados de factores competitivos, los
precios de los factores wL y wK también están �dados�para la �rma.
El objetivo de la �rma es, en de�nitiva, maximizar sus bene�cios, �, pero como ya sabe-
mos hay dos formas de plantear el problema: maximizar bene�cios directamente (primal) o
minimizar costos (dual).
3.1.1. Problema de maximización de bene�cios
m�ax
q;L;K
� = pq � wLL� wKK
s:a:
q = F (L;K)
()
m�ax
L;K
� = pF (L;K)� wLL� wKK
7
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
suponiendo una solución interior (K > 0; L > 0), las condiciones de primer orden son:
@�
@L
= pFL � wL = 0
@�
@K
= pFK � wK = 0
de donde:
pFL = wL (1)
pFK = wK (2)
FL
FK
=
wL
wK
(3)
Las dos primeras condiciones nos indican que el valor del producto marginal con respecto a
cada uno de los factores será igual al precio del factor. La tercera condición es TMSTK=L =
wL
wK
.
Recuerde que estas condiciones se satisfacen si la empresa produce una cantidad estric-
tamente positiva (solución interior).
3.1.2. Problema de minimización de costos
Alternativamente, la �rma puedeminimizar costos:
m��n
K;L
C = wLL+ wKK
s:a:
q � F (L;K)
Lagrangeano:
L = wLL+ wKK + � (q � F (L;K))
Suponiendo solución interior, las condiciones de primer orden son:
@L
@L
= wL � �FL = 0
@L
@K
= wK � �FK = 0
@L
@�
= q � F (L;K) = 0
de donde:
wL = �FL (4)
wK = �FK (5)
=) FL
FK
=
wL
wK
(6)
q = F (L;K) (7)
Note:
8
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Ambos problemas llevan a la misma condición TMST = wL
wK
(compare condiciones (3)
y (6)).
Si obtuviéramos la condición correspondiente a la otra �rma, tendríamos que TMST 1 =
wL
wK
y TMST 2 = wL
wK
, por lo tanto, en equilibrio:
TMST 1 = TMST 2| {z }
E�ciencia en la producción
=
wL
wK
la e�ciencia en la producción es una condición necesaria (no su�ciente) y esta es la
prueba de que el Primer Teorema del Bienestar se cumple (con respecto a la produc-
ción).
Del problema de minimización de costos, a partir de las condiciones (6) y (7) obtenemos
las demandas condicionadas de factores, es decir L(q; wL; wK) y K(q; wL; wK).
3.1.3. Condición necesaria de optimización de las empresas en función del precio
del producto
A continuación, demostraremos que la condición necesaria de optimización de las em-
presas también se puede expresar como:
Precio producto = Costo Marginal
Demostración: La demostración tiene dos partes.
1. El multiplicador de lagrange � del problema de minimización de costos es igual al Costo
Marginal.
Consideremos la variación en la producción cuando varían los factores (diferenciamos
totalmente):
q = F (L;K)
dq = FLdL+ FKdK
según las condiciones de primer orden del problema de minimización de costos: FL = wL�
y FK = wK� , luego:
dq =
wL
�
dL+
wK
�
dK
dq =
1
�
(wLdL+ wKdK)
Por otra parte, consideremos la variación del costo total (diferenciamos totalmente):
C = wLL+ wKK
dC = wLdL+ wKdK
9
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Note que la última expresión es igual a la que quedó entre paréntesis al diferenciar q,
luego:
dq =
1
�
dC
dC
dq|{z}
Costo Marginal
= �
2. Ahora, consideremos las condiciones de primer orden de ambos problemas: De (1) y
(2):
p =
wL
FL
p =
wK
FK
de (4) y (5):
� =
wL
FL
� =
wK
FK
Luego, considerando que � = CMg, la condición de optimización también puede es-
cribirse como:
p = CMg
Lo anterior signi�ca que, si tenemos DOS �rmas, la condición necesaria de optimización
será:
CMg1 = p1
CMg2 = p2
(el precio del producto igualado al costo marginal en cada sector).
3.1.4. Condición de segundo orden (necesaria y su�ciente) de optimización de
las empresas
Ahora bien, la condición de primer orden es solo necesaria pero no siempre su�ciente.
Esto SI dependerá del tipo de rendimientos que presente la tecnología. De hecho, si usted
revisa lo aprendido en Micro I, y resumiendo:1
Si la función tiene rendimientos a escala crecientes, las condiciones de segundo orden
fallan.
1Revise si lo desea el capítulo correspondiente a producción.
10
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Si la función tiene rendimientos a escala decrecientes, se veri�can.
Si la función tiene rendimientos a escala constantes, la condición de segundo orden es
insu�ciente para determinar la oferta (pues será in�nitamente elástica). Por ello, en
esta parte de equilibrio general trabajamos con demandas condicionadas.
Remark 3 Asumiremos en todos los ejercicios rendimientos a escala constantes o decre-
cientes.
3.1.5. Tecnología con rendimientos a escala constantes
Cuando la tecnología tiene rendimientos a escala constantes (función de producción ho-
mogénea de grado 1), siempre trabajaremos con las demandas condicionadas de factores (es
decir, las que se obtienen a partir de la minimización de costos). La razón es porque con
rendimientos a escala constantes las demandas no condicionadas no están de�nidas (pues la
oferta del bien producido es in�nitamente elástica).
Pero hay además otra característica interesante: cuando la tecnología tiene rendimientos
a escala constantes, se veri�ca que el Costo Marginal = Costo Unitario.
El costo unitario es siempre el costo mínimo para producir q = 1. Es decir:
A partir de las demandas condicionadas, obtenemos el Costo total mínimo para pro-
ducir q unidades:
C(q; wL; wK) = wL � L(q; wL; wK) + wK �K(q; wL; wK)
El costo unitario es el costo mínimo para producir q = 1:
c(wL; wK) = C(1; wL; wK) = wL � L(1; wL; wK) + wK �K(1; wL; wK)
Las demandas condicionadas de factores para producir UNA unidad de q, tienen una
notación distinta (pero no hay que olvidar lo que son):
aL
�
wL
wK
�
= L(1; wL; wK)
aK
�
wL
wK
�
= K(1; wL; wK)
por lo tanto, podemos expresar el costo unitario como:
c(wL; wK) = wL � aL
�
wL
wK
�
+ wK � aK
�
wL
wK
�
Esto se cumple para todo tipo de función de producción, PERO en el caso de rendimientos
a escala constantes, este costo unitario es igual al costo marginal. Por lo tanto, podemos
escribir, para cada sector, la condición de equilibrio como:
c1(wL; wK) = p1
c2(wL; wK) = p2
11
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Las cantidades aL
�
wL
wK
�
y aK
�
wL
wK
�
(para todo tipo de tecnologías) nos permiten hablar de
la intensidad de uso de factores para precios de factores dados. En efecto, la razón
aLj
�
wL
wK
�
aKj
�
wL
wK
�
para el sector j = 1; 2 mide la intensidad de uso de L con respecto a K para los precios de
factores dados y podemos comparar entre ambos sectores. Por ejemplo, si
aL1
�
wL
wK
�
aK1
�
wL
wK
� > aL2
�
wL
wK
�
aK2
�
wL
wK
�
para todo precio relativo de factores, wL
wK
, sabemos que el sector 1 es más mano de obra (o
trabajo) intensivo que el sector 2.
3.1.6. Tasa Marginal de Transformación y costos marginales (=unitarios con
rendimientos a escala constantes)
Supongamos que ambas empresas tienen rendimientos a escala constantes. La TMT se
de�ne como:
TMT = (�1) dq2
dq1
(El (�1) se antepone porque en realidad siempre trabajamos con el valor absoluto y la
TMT siempre es negativa para los casos que trabajamos). Por el desarrollo que hicimos
anteriormente para la demostración, sabemos que:
dq2 =
1
�2
(wLdL2 + wKdK2)
dq1 =
1
�1
(wLdL1 + wKdK1)
donde hemos denotado con �j, j = 1; 2 el multiplicador de Lagrange del problema de mini-
mización de costos de cada empresa.
También sabemos que, dadas las dotaciones totales �jas de factores:
dL1 = �dL2
dK1 = �dK2
es decir, los aumentos (diminuciones) en L1 tienen que ser iguales a las diminuciones (au-
mentos) en L2 y lo mismo para K1 con respecto a K2 pues las dotaciones totales están �jas
�K y �L.
Reemplazando:
TMT = (�1)
1
�2
(wLdL2 + wKdK2)
� 1
�1
(wLdL2 + wKdK2)
TMT =
�1
�2
12
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Teniendo en cuenta que �1 = CMg1 y �2 = CMg2:
TMT =
CMg1
CMg2
Esto es válido para cualquier tecnología (ATENCION: tenga en cuenta el apartado sobre
condición de segundo orden). PERO si es de rendimientos a escala constantes:
TMT =
c1 (wL; wK)
c2 (wL; wK)
Es decir, que la Tasa Marginal de Transformación iguala el ratio de costos marginales que,
cuando las tecnologías son de rendimientos a escala constantes, es igual al ratio de costos uni-
tarios. Finalmente, dado que las �rmas maximizan sus bene�cios igualando costos marginales
( = costos unitarios si hay rendimientos a escala constantes):
TMT =
c1 (wL; wK)
c2 (wL; wK)
=
p1
p2
(o bien, para rendimientos a escala genéricos) TMT = CMg
1
CMg2
= p1
p2
.
IMPORTANTE: ESTA IGUALDAD SE CUMPLE SI SE PRODUCEN AMBOS BI-
ENES EN EQUILIBRIO.
Conclusión: Por el lado de la producción, SI SE PRODUCEN AMBOS BIENES,
las condiciones necesarias de equilibrio son, básicamente:
TMST 1 = TMST 2 =
wL
wK
TMT =
p1
p2
3.1.7. Asignación de factores en economíaabierta: precios de los bienes exógenos
Recuerde que si la economía es abierta:
Los bienes son transados internacionalmente y, tanto para las empresas como para los
consumidores, los precios p1 y p2 son exógenos. Es decir, p1 y p2 no son determinados
endógenamente por el modelo.
Los factores de producción K y L tienen perfecta movilidad entre sectores (pueden
moverse sin restricciones entre el sector 1 y el sector 2), pero no son transables inter-
nacionalmente. Por lo tanto, los precios de los factores wL, wK sí son endógenos (se
determinan internamente).
Supuestos importantes para esta parte:
13
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Ambas tecnologías tienen rendimientos a escala constantes (ambas funciones de
producción son homogéneas de grado 1)
Las intensidades de uso de factores son diferentes. Es decir: tendríamos una
curva de contrato con respecto a la asignación de factores que NO es lineal y una FPP
que es cóncava con respecto al origen.
Recuerde que hemos establecido condiciones necesarias que deben cumplirse para que se
produzca una cantidad positiva de un bien: precio del bien = costo unitario (pues al tener
rendimientos a escala constantes, el costo unitario es igual al costo marginal!).
La clave del razonamiento que sigue es tener en cuenta que, dados los precios de mercado
(exógenos o endógenos), NO siempre será bene�cioso producir. Ahora bien, en el caso de una
economía cerrada (como veremos adelante) será bene�cioso producir ambos bienes cuando
los consumidores tengan preferencias estrictamente cuasi-cóncavas (y, por lo tanto, siempre
pre�eran consumir algo de ambos bienes). Sin embargo, en el caso que nos ocupa ahora
(economía abierta), aún cuando los consumidores pre�eran consumir algo de ambos bienes,
como existe la posibilidad de importar bienes, es posible que, a los precios internacionales,
la economía interna solo produzca un bien.
Por lo tanto, en una economía abierta, INDEPENDIENTEMENTE de las preferencias de
los consumidores, necesitamos veri�car SIEMPRE si se producirán ambos bienes en equilibrio
o no.
Remark 4 En el caso en que concluyamos que NO se producirían los dos bienes en equilib-
rio, NO analizaremos el proceso de especialización de la economía. Es decir, nos limitaremos
a demostrar que no se producirían los dos. Asegúrese de saber perfectamente cómo probar y
cómo explicar el razonamiento.
El razonamiento es el siguiente:
1. Conjeturamos (suponemos) que existe un equilibrio en el que se producen los dos bienes
(equilibrio interior). La condición necesaria para que los precios (w�L; w
�
K) formen parte
de un equilibrio walrasiano interior es que, dados los precios internacionales de los
bienes p1, p2:
c1 (w
�
L; w
�
K) = p1
c2 (w
�
L; w
�
K) = p2
Grá�camente, si dibujamos en el plano wL � wK las curvas de nivel de cada costo
unitario correspondientes al nivel p1 y p2, respectivamente, obtendremos los precios
w�L; w
�
K a partir de la intersección de ambas curvas de nivel. Como hemos supuesto que
las intensidades de uso son distintas, estas curvas se cortarán una vez.
La curva de nivel correspondiente a c1 (w�L; w
�
K) = p1 está dada por
wLa
L
1 + wKa
K
1 = p1 =)
wK =
p1
aK1
� wL
aL1
aK1
14
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
similarmente, para el sector 2:
wK =
p2
aK2
� wL
aL2
aK2
En equilibrio, es necesario que wK sea el mismo en ambos sectores (intersección de
ambas curvas de nivel)
p1
aK1
� wL
aL1
aK1
=
p2
aK2
� wL
aL2
aK2
y de allí se procede a obtener w�L; w
�
K , candidatos para ser precios de equilibrio (recuerde
que hemos conjeturado que se producen ambos bienes). Los precios de factores que se
obtienen a partir de esta condición son únicos pues las curvas de nivel no se pueden
cruzar más de una vez.
Analíticamente resolvemos el sistema:�
c1 (w
�
L; w
�
K) = p1
c2 (w
�
L; w
�
K) = p2
=) (w�L; w�K)
2. Para que estos precios de factores sean efectivamente de equilibrio, debe ser cierto
que exista el equilibrio interior. Debe ser cierto que la intensidad de uso de factores
(evaluada a dichos precios candidatos w�L; w
�
K) satisfaga la siguiente desigualdad (si es
que el sector 1 es más trabajo intensivo que el sector 2):
aL1
�
w�L
w�K
�
aK1
�
w�L
w�K
� > �L�K > a
L
2
�
w�L
w�K
�
aK2
�
w�L
w�K
�
Si ambas razones fueran mayores que la razón total existente en la economía,
aL1
�
w�L
w�
K
�
aK1
�
w�
L
w�
K
� >
aL2
�
w�L
w�
K
�
aK2
�
w�
L
w�
K
� > �L�K , existiría un exceso de demanda por L, o si �L�K >
aL1
�
w�L
w�
K
�
aK1
�
w�
L
w�
K
� > aL2
�
w�L
w�
K
�
aK2
�
w�
L
w�
K
�
existiría un exceso de demanda por K. Y en estos dos últimos casos, solo se pro-
duciría un bien. Note que si el sector 2 es el que es más intensivo en el uso de trabajo,
la desigualdad necesaria que indica que se producen ambos bienes en equilibrio es
aL2
�
w�L
w�
K
�
aK2
�
w�
L
w�
K
� > �L�K >
aL1
�
w�L
w�
K
�
aK1
�
w�
L
w�
K
� .
3. Una vez que comprobamos que existe el equilibrio interior (veri�cando que la razón de
la economía quede entre medio de las razones de los sectores), procedemos a obtener
las cantidades producidas y la asignación de factores. La cantidad producida q1 y q2 se
puede obtener encontrando el único punto de la curva de contrato en el que se observa
15
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
que:
L1
K1
=
aL1
�
w�L
w�K
�
aK1
�
w�L
w�K
�
L2
K2
=
aL2
�
w�L
w�K
�
aK2
�
w�L
w�K
�
Estos niveles de producción son los mismos que se obtienen cuando se iguala la TMT
a la razón de precios p1
p2
.
Algebraicamente: Note que
aL1
�
w�L
w�
K
�
aK1
�
w�
L
w�
K
� y aL2
�
w�L
w�
K
�
aK2
�
w�
L
w�
K
� son funciones evaluadas, por lo tanto
son números. Luego, resolvemos el siguiente sistema para encontrar las cantidades L1,
L2, K1, y K2 de equilibrio: 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:
L1
K1
=
aL1
�
w�L
w�
K
�
aK1
�
w�
L
w�
K
�
L2
K2
=
aL2
�
w�L
w�
K
�
aK2
�
w�
L
w�
K
�
L1 + L2 = �L
K1 +K2 = �K
Grá�camente, en la caja de Edgeworth de factores, podemos representar la solución
de este sistema como la intersección de dos rectas (donde en el caso del sector 2 re-
expresamos convenientemente usando las restricciones de factibilidad para poder dibu-
jar a partir del origen de la empresa 1):
L1
K1
=
aL1
�
w�L
w�K
�
aK1
�
w�L
w�K
� =)
K1 =
aK1
�
w�L
w�K
�
aL1
�
w�L
w�K
�L1
16
L2
K2
=
aL2
�
w�L
w�K
�
aK2
�
w�L
w�K
�
�L� L1
�K �K1
=
aL2
�
w�L
w�K
�
aK2
�
w�L
w�K
� =)
K1 = �K �
aK2
�
w�L
w�K
�
aL2
�
w�L
w�K
� �L+ aK2
�
w�L
w�K
�
aL2
�
w�L
w�K
�L1
Luego, con estas cantidades de factores podemos obtener la producción de equilibrio
q�1 y q
�
2. (Razone: en el ejemplo del grá�co, ¿cuál es el sector más intensivo en el uso
del trabajo con respecto al capital?).
4. Finalmente, es importante recalcar que si conocemos (o podemos obtener) la curva de
transformación o frontera de posibilidades de producción FPP, esta asignación será la
que corresponde para producir las cantidades que surgen de igualar la pendiente de la
FPP (la TMT ) a la razón de precios p1
p2
.
Ahora bien, cabe preguntarse qué ocurre cuando la intensidad de uso de factores en
ambos sectores es la misma. En este caso, tendríamos una curva de contrato lineal y con
rendimientos a escala constantes, una FPP lineal. Luego, el razonamiento es el siguiente: si la
razón de precios internacionales p1
p2
coincide (por casualidad, pues los precios son exógenos)
con la TMT , entonces se producirán ambos bienes. Pero tendríamos el problema de que no
podríamos determinar exactamente cuál es la cantidad. Esto es así pues en una economía
abierta, las demandas de los consumidores no se igualan las cantidadesque se producirán
17
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
pues podría haber exportaciones o importaciones. Los precios de los factores determinan
los ingresos de los consumidores, y sus cantidades demandadas, pero no podremos usar
estas demandas para determinar exactamente la cantidad de cada bien que se producirá
internamente. En el caso de la economía cerrada, y bajo las condiciones que se mencionan
más abajo para que se produzcan ambos bienes, sí.
Es importante notar que si p1
p2
= TMT en una economía abierta, si bien se producen
ambos bienes en equilibrio, los precios de los factores (wL; wK) podrían cambiar según el
valor de cada precio p1 y p2 por separado, aunque, por supuesto, la relación de precios wLwK
sería siempre la misma.
Remark 5 En la práctica, cuando se presente un problema en el que las funciones de pro-
ducción sean homogéneas de grado 1 y las intensidades de uso sean iguales en una economía
abierta, les daré algún supuesto adicional que permita �cerrar�el modelo. Sin embargo, debe
quedar en claro que, en estrictamente, se produciría cualquier par de cantidades (q1; q2)
que satisfaga la curva FPP. RECUERDE: esto ocurre solo si tenemos una FPP lineal y la
relación de precios internacionales es igual a la pendiente de la FPP.
3.1.8. Asignación de factores en conomía cerrada: precios de los bienes endógenos
Estrictamente, el caso de la economía cerrada desde el punto de vista de la producción
es lo mismo que en el caso de la economía abierta, solo que los precios de los bienes serán
determinados endógenamente a partir de la igualación de la demanda de los consumidores y
la oferta de los productores. Sin embargo, en el caso en que cada empresa produzca un bien
(como el que estamos analizando), se producirán ambos bienes en equilibrio en la medida en
que haya demanda para ambos bienes. Esto ocurrirá si las preferencias de los consumidores
son tales que siempre pre�eren consumir algo de ambos bienes (curvas de indiferencia que
sean estrictamente convexas).
3.2. Consumidores
Habiendo descrito lo que ocurre con las decisiones de las empresas, nos concentramos
ahora en la decisión de los consumidores. Recuerde que los consumidores son dueños de los
factores de producción y participan de las ganancias de las empresas. Es posible también
que los consumidores tengan (por herencia, por ejemplo) alguna dotación de bienes inicial,
pero hemos supuesto en todo este análisis que NO tienen bienes distintos a los factores de
producción.
En esta economía, cada consumidor i = A;B resuelve el siguiente problema de opti-
mización:
m�ax
x1i;x2i
Ui(x1i; x2i)
s:a:
p1x1i + p2x2i � wL �Li + wK �Ki + �i1�1 + �i2�2
18
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Donde:
�A1 + �B1 = 1
�A2 + �B2 = 1
Cuando las tecnologías de las empresas tienen rendimientos a escala CONSTANTES, la
condición de optimización de las �rmas implica que �j = 0. Esto se puede demostrar aplican-
do el Teorema de Euler. Este Teorema indica que, para funciones f(x1; x2; ::; xn) homogéneas
de grado r:
r � f(x1; x2; ::; xn) =
nX
s=1
@f(x1; x2; ::; xn)
@xs
� xs
Luego, para nuestras funciones de producción con rendimientos a escala constantes (ho-
mogéneas de grado 1), se veri�caría (para cada empresa):
1� F (L1; K1) = FLL1 + FKK1 =)
q1 = FLL1 + FKK1 =)
p1q1 = p1FLL1 + p1FKK1
1�G(L2; K2) = GLL2 +GKK2 =)
q2 = GLL2 +GKK2 =)
p2q2 = p2GLL2 + p2GKK2
usando las condiciones de primer orden del problema de maximización de bene�cios, p1FL =
wL, p1FK = wK , p2GL = wL, y p2GK = wK y nos quedaría:
p1q1 = wLL1 + wKK1 =) �1 = 0
p2q2 = wLL2 + wKK2 =) �2 = 0
Entonces, si trabajamos con funciones de producción homogéneas de grado 1, el problema
del consumidor i = A;B se reduce a:
m�ax
x1i;x2i
Ui(x1i; x2i)
s:a:
p1x1i + p2x2i � wL �Li + wK �Ki
L = Ui(x1i; x2i) + �i
�
wL �Li + wK �Ki � p1x1i � p2x2i
�
Suponiendo que a los precios dados ambos consumidores consumen cantidades positivas de
cada bien, tendríamos las siguientes condiciones de primer orden:
@L
@x1i
=
@Ui
@x1i
� �ip1 = 0
@L
@x2i
=
@Ui
@x2i
� �ip2 = 0
@L
@�i
= wL �Li + wK �Ki � p1x1i � p2x2i = 0
19
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
de donde, si consideramos a ambos consumidores obtenemos las siguientes condiciones:
@UA
@x1A
= �Ap1
@UA
@x2A
= �Ap2
@UB
@x1B
= �Bp1
@UB
@x2B
= �Bp2
=) TMSSA = p1
p2
=) TMSSB = p1
p2
=) TMSSA = TMSSB| {z }
E�ciencia en el consumo
=
p1
p2
Finalmente, note que dado que anteriormente llegamos a la conclusión:
TMT =
p1
p2
se veri�ca que también se satisface la condición de e�ciencia mixta:
TMT = TMSS =
p1
p2
4. Equilibrio Walrasiano, Ejemplo
Antes de pasar a la parte de estática comparativa (es decir, cuando analizamos el efec-
to que produce el cambio en distintos parámetros del modelo), desarrollaremos un ejemplo
completo para cada situación (economía abierta y economía cerrada). En ambos casos supon-
dremos funciones de producción homogéneas de grado 1 e intensidades de uso de factores
distintas.
Asegúrese que es capaz de obtener cada uno de los resultados.
4.1. Descripción de la economía
Consumidores, preferencias (las suponemos idénticas)
Ui (x1i; x2i) = x1ix2i, i = A;B
Empresas, tecnologías
F (L1; K1) = L
1
4
1K
3
4
1
G(L2; K2) =
p
L2K2
20
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Dotaciones iniciales
�LA = 10; �KA = 0
�LB = 0; �KB = 10
4.2. Economía abierta
1. Muestre que a los precios internacionales p1 = 2 y p2 = 1 no se producirán ambos
bienes en equilibrio. Interprete los resultados.
Respuesta:
Conjeturamos que se producen ambos bienes en equilibrio.
a) Obtenemos las demandas condicionadas de factores de cada empresa
Empresa 1. Las demandas condicionadas se obtienen a partir de resolver el sigu-
iente sistema: �
TMST 1 = wL
wK
q1 = F (L1; K1)
=)(
K1
3L1
= wL
wK
q1 = L
1
4
1K
3
4
1
=)
L1 (q1; wL; wK) =
�
wK
3wL
� 3
4
q1
K1(q1; wL; wK) =
�
3wL
wK
� 1
4
q1
Empresa 2. Similarmente:�
TMST 2 = wL
wK
q2 = G(L2; K2)
=)�
K2
L2
= wL
wK
q2 =
p
L2K2
=)
L2 (q2; wL; wK) =
r
wK
wL
q2
K2(q2; wL; wK) =
r
wL
wK
q2
b) Obtenemos las cantidades demandadas condicionadas a q1 = 1; q2 = 1 y el costo
unitario para cada empresa.
21
Empresa 1:
aL1 =
�
wK
3wL
� 3
4
aK1 =
�
3wL
wK
� 1
4
c1 (wL; wK) =
4
3
3
4
w
1
4
Lw
3
4
K
Empresa 2:
aL2 =
r
wK
wL
aK2 =
r
wL
wK
c2 (wL; wK) = 2
p
wLwK
c) Obtenemos los precios de factores que son candidatos (pues todavía no sabemos
si ambos producirán). Resolvemos el sistema:�
c1 (wL; wK) = p1
c2 (wL; wK) = p2(
4
3
3
4
w
1
4
Lw
3
4
K = 2
2
p
wLwK = 1
w�L =
1
18
p
3; w�K =
3
2
p
3
d) Obtenemos las intensidades de uso de cada sector (o empresa) y comparamos con
la intensidad de uso posible de la economía
aL1
�
w�L
w�K
�
aK1
�
w�L
w�K
� = 9
aL2
�
w�L
w�K
�
aK2
�
w�L
w�K
� = 27
aL2
�
w�L
w�K
�
aK2
�
w�L
w�K
� > aL1
�
w�L
w�K
�
aK1
�
w�L
w�K
� > �L�K
Dado que �L�K =
10
10
= 1, NO se producirán ambos bienes en equilibrio pues ambos
sectores demandarían más trabajo del que hay disponible en la economía.
22
2. Muestre que a los precios p1 = p2 = 1 se producirán ambos bienes. Obtenga los precios
de factores de equilibrio, las cantidades de factores demandandadas en equilibrio y lo
que producirá cada �rma en equilibrio.
Respuesta:
a) Para probar que se producirán ambos bienes, repetimos los pasos (c) y (d) ante-
riores con los nuevos precios internacionales.(
4
3
3
4
w
1
4
Lw
3
4
K = 1
2
p
wLwK = 1
w�L =
2
9
p
3; w�K =
3
8
p
3
aL1
�
w�L
w�K
�
aK1
�
w�L
w�K
� = 9
16
= 0;562 5
aL2
�
w�L
w�K
�
aK2
�
w�L
w�K
� = 27
16
= 1: 687 5
aL2
�
w�L
w�K
�
aK2
�
w�L
w�K
� > �L�K > a
L
1
�
w�L
w�K
�
aK1
�
w�L
w�K
�
Se producen ambos bienes.
b) Cantidades de factores que se demandarán. Resolvemos el siguiente sistema:8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:
L1
K1
=
aL1
�
w�L
w�
K
�
aK1
�
w�
L
w�
K
�
L2
K2
=
aL2
�
w�L
w�
K
�
aK2
�
w�
L
w�
K
�
L1 + L2 = �L
K1 +K2 = �K8>><>>:L1
K1
= 9
16
L2
K2
= 27
16
L1 + L2 = 10
K1 +K2 = 10
L�1 =
55
16
; K�1 =
55
9
; L�2 =
105
16
; K�2 =
35
9
Y las cantidades que se producirán en equilibrio son:
q�1 =
55
18
p
3; q�2 =
35
12
p
3
23
3. Considere los precios internacionales p1 = p2 = 1. Obtenga las cantidades demandadas
por los consumidores por cada bien. Obtenga la demanda agregada de cada bien y
determine si, en equilibrio, habrá comercio exterior o no. En el caso de que lo haya,
especi�que si se importará o se exportará (para cada bien).
Respuesta:
a) Demandas individuales. En una economía abierta, la vinculación entre produc-
ción y consumo se establece únicamente a través del precio de los factores que
determinarán el ingreso disponible de los consumidores.
Consumidor A: Las cantidades demandadas de cada bien por el Sr. A se ob-
tendrán a partir de resolver el siguiente sistema (primera ecuación, condición de
optimización y segunda ecuación, restricción presupuestaria. Recuerde que los
bene�cios de las empresas son cero, pues las funciones de producción son ho-
mogéneas de grado 1): �
TMSSA = p1
p2
p1x1A + p2x2A = wL �LA + wK �KA� x2A
x1A
= 1
1x1A + 1x2A =
2
9
p
3 � 10 + 3
8
p
3 � 0
x�1A =
10
9
p
3; x�2A =
10
9
p
3
Consumidor B: Similarmente� x2B
x1B
= 1
1x1B + 1x2B =
2
9
p
3 � 0 + 3
8
p
3 � 10
x�1B =
15
8
p
3; x�2B =
15
8
p
3
b) Demandas agregadas
x�1A + x
�
1B =
10
9
p
3 +
15
8
p
3 =
215
72
p
3
x�2A + x
�
2B =
10
9
p
3 +
15
8
p
3 =
215
72
p
3
Para saber si habrá comercio con el exterior, comparamos estas cantidades con
las producidas internamente:
x�1A + x
�
1B � q�1 =
215
72
p
3� 55
18
p
3 = � 5
72
p
3
x�2A + x
�
2B � q�2 =
215
72
p
3� 35
12
p
3 =
5
72
p
3
Sí habrá comercio con el exterior. Especí�camente, se exportará bien 1 (pues la
demanda interna es inferior a lo que se produce internamente) y se importará bien
2 (pues la demanda interna es superior a lo que se produce).
24
4. De�na el equilibrio walrasiano de esta economía (para precios internacionales p1 =
p2 = 1) y sintetice los resultados obtenidos.
Respuesta:
A los precios internacionales p1; p2 (y asumiendo mercados internacionales competi-
tivos), el equilibrio walrasiano de esta economía es un sistema de precios de factores
(w�L; w
�
K) y una asignación (x
�
1A; x
�
2A; x
�
1B; x
�
2B; L
�
1; L
�
2; K
�
1 ; K
�
2) tal que (i) L
�
1 + L
�
2 =
�L,
K�1 +K
�
2 =
�K; (ii) ambos consumidores consumen la cantidad que desean a los precios
internacionales dados los precios de los factores que poseen; y (iii) ambas �rmas pro-
ducen la cantidad que desean a los precios internacionales y dados los precios de los
factores que demandan.
Para el caso p1 = p2 = 1, hemos obtenido:
(w�L; w
�
K) =
�
2
9
p
3;
3
8
p
3
�
(x�1A; x
�
2A; x
�
1B; x
�
2B; L
�
1; L
�
2; K
�
1 ; K
�
2)
=
�
10
p
3
9
; 10
p
3
9
; 15
p
3
8
; 15
p
3
8
;
55
16
; 105
16
; 55
9
; 35
9
�
4.3. Economía cerrada
Suponga ahora, para el mismo ejemplo, que la economía es cerrada y obtenga el equilibrio
walrasiano.
ATENCION: hay varias formas de obtener el equilibrio, pues en de�nitiva se trata de
resolver un sistema de ecuaciones.
Por el tipo de funciones de utilidad, sabemos que se producirán ambos bienes. También
sabemos que el equilibrio será e�ciente, por lo que satisface las tres condiciones de e�ciencia.
25
Luego, el sistema que habría que resolver es el siguiente:
TMSSA =
p1
p2
(8)
TMSSB =
p1
p2
(9)
p1x1A + p2x2A = wL �LA + wK �KA (10)
p1x1B + p2x2B = wL �LB + wK �KB (11)
TMST 1 =
wL
wK
(12)
TMST 2 =
wL
wK
(13)
q1 = F (L1; K1) (14)
q2 = G(L2; K2) (15)
TMT =
p1
p2
(16)
L1 + L2 = �LA + �LB (17)
K1 +K2 = �KA + �KB (18)
x1A + x1B = q1 (19)
x2A + x2B = q2 (20)
Note:
Las ecuaciones (8) y (9) son las condiciones de optimización de cada consumidor y
juntas implican e�ciencia en el consumo, pues TMSSA = TMSSB
Las ecuaciones (10) y (11) son las dos restricciones presupuestarias de los consumidores.
Las ecuaciones (12) y (13) son las condiciones de optimización de las empresas y juntas
implican e�ciencia en la producción, pues TMST 1 = TMST 2
Las ecuaciones (14) y (15) son las condiciones con respecto a la producción.
La ecuación (16) es la condición de producción e�ciente (sobre la FPP) y junto con las
dos primeras implican e�ciencia mixta pues se igualará TMT = TMSS
Hay en total cuatro mercados (dos de bienes y dos de factores). Por Ley de Walras,
solo podremos determinar 3 precios relativos. Lo que implica que habrá que normalizar
un precio. Otra forma de ver esto es que hay 13 ecuaciones y 14 variables
(p1; p2; wL; wK ; q1; q2; L1; K1; L2; K2; x1A; x2A; x1B; x2B). Por lo tanto, podemos normalizar,
por ejemplo, p2 = 1.
Reemplazando por las correspondientes expresiones para este ejemplo y recordando que
TMT = c1(wL:wK)
c2(wL:wK)
= 2
3
3
4
�
wK
wL
� 1
4
(simpli�cando) cuando las funciones de producción son
26
homogéneas de grado 1, el sistema a resolver sería:8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
x2A
x1A
= p1
p2
x2B
x1B
= p1
p2
p1x1A + p2x2A = wL10
p1x1B + p2x2B = wK10
K1
3L1
= wL
wK
K2
L2
= wL
wK
q1 = L
1
4
1K
3
4
1
q2 =
p
L2K2
L1 + L2 = 10
K1 +K2 = 10
2
3
3
4
�
wK
wL
� 1
4
= p1
p2
x1A + x1B = q1
x2A + x2B = q2
p2 = 1
La solución de este sistema (resuelto con un software) es: w�L =
p
15
10
, w�K =
p
15
6
, p�1 =
2
3
4
p
5,
p�2 = 1, L
�
1 =
10
3
, L�2 =
20
3
, K�1 = 6, K
�
2 = 4, q
�
1 = 2
p
3 4
p
5, q�2 =
4
3
p
15, x�1A =
3
4
p
3 4
p
5,
x�1B =
5
4
p
3 4
p
5, x�2A =
p
15
2
, x�2B =
5
6
p
15.
Si no contamos con un software, resolvemos por partes.
Por ejemplo:
1. Con el mismo mecanismo que en el caso de la economía abierta, obtenemos los costos
unitarios y obtenemos las cantidades que se producirán en equilibrio, pero como función
ahora de los precios p1 y p2. (
4
3
3
4
w
1
4
Lw
3
4
K = p1
2
p
wLwK = p2
wL =
2
9
p
3
p32
p21
; wK =
3
8p2
p
3p21
2. A estos precios de factores, las cantidades de factores y los outputs (como función de
p1 y p2) son (igual procedimiento que en el caso anterior):
aL1
aK1
=
�
wK
3wL
� 3
4
�
3wL
wK
� 1
4
=
9
16p42
p41
aL2
aK2
=
q
wK
wLq
wL
wK
=
27
16p42
p41
27
8>>><>>>:
L1
K1
= 9
16p42
p41
L2
K2
= 27
16p42
p41
L1 + L2 = 10
K1 +K2 = 10
=)
L1 =
135
16p42
p41 � 5; K1 = 15�
80
9
p42
p41
;
L2 = 15�
135
16p42
p41; K2 =
80
9
p42
p41
� 5
=)
q1 =
15
2
p
3
p2
p1 �
40
9
p
3
p32
p31
q2 =
5
12
p
3
16p42 � 9p41
p21p
2
2
3. Obtenemos las demandas de los consumidores como función de los precios. Las deman-
das serían:
x1A = 5
wL
p1
x2A = 5
wL
p2
x1B = 5
wK
p1
x2B = 5
wK
p2
Evaluadas a los precios de los factores en función de los precios de bienes:
x1A =
10
9
p
3
p32
p31
x2A =
10
9
p
3
p22
p21
x1B =
15
8
p
3
p2
p1
x2B =
15
8p22
p
3p21
4. Condiciones de vaciado de mercado de bienes:(
10
9
p
3
p32
p31
+ 15
8
p
3
p2
p1 =
15
2
p
3
p2
p1 � 409
p
3
p32
p31
10
9
p
3
p22
p21
+ 15
8p22
p
3p21 =
5
12
p
3
16p42�9p41
p21p
2
2
p2 = p2; p1 =
2
3
4
p
5p2
La última solución implica justamente que hay un precio absoluto que no podemos
determinar.
5. Por último, podemos sin pérdida de generalidad normalizar p2 = 1 y obtendremos los
resultados ya presentados.
28
IMPORTANTE: La de�nición del equilibrio walrasiano en una economía cerrada como
esta sería:
El equilibrio walrasiano de esta economía es un sistema de precios de bienes y factores
(p�1; p
�
2; w
�
L; w
�
K) y una asignación (x
�
1A; x
�
2A; x
�
1B; x
�
2B; L
�
1; L
�
2; K
�
1 ; K
�
2) tal que (i) L
�
1+L
�
2 =
�L,
K�1 + K
�
2 =
�K; (ii) x�1A + x
�
1B = q1, x
�
2A + x
�
2B = q2 (iii) ambos consumidores consumen la
cantidad que desean dados los precios de los factores que poseen y los precios de los bienes;
y (iv) ambas �rmas producen la cantidad que desean dados los precios de los factores que
demandan y los precios de bienes que producen.
Remark 6 Recuerde que hay otras maneras de obtener el equilibrio, en la medida en que
vayamos resolviendoel sistema mencionado. Asimismo, la normalización que se propone no
es la única, puesto que podríamos haber simplemente de�nido p = p1
p2
.
Remark 7 Además de saber cómo se calcula un equilibrio, asegúrese de saber ver�car que
un sistema de precios dados y/o una asignación formen parte de un equilibrio. Esto signi�ca
veri�car que se satisfacen las condiciones (y, por ejemplo, si no se satisfacen las condiciones
de e�ciencia, que son necesarias, podríamos descartar que sea un equilibrio, o si no se cumple
alguna condición de optimización en relación a los precios, etc., etc.)
5. Estática comparativa
Es preciso recordar que en toda esta parte se supone rendimientos a escala constantes (y,
en el libro de Vial & Zurita, se supone además que el sector 1 es más intensivo en el uso del
trabajo con respecto al capital que el sector 2).
El objetivo es analizar cambios en los precios o cambios en la dotación de factores, tanto
en una economía abierta (precios de bienes exógenos) como en una economía cerrada (precios
de bienes endógenos).
Cada cambio tiene efectos sobre precios y asignaciones y, por lo tanto, es necesario de-
scribir todos los cambios en la medida de lo posible.
Remark 8 Asegúrese de comprender bien los mecanismos de ajustes que siguen a los cam-
bios propuestos y ensaye distintos cambios, para distintos casos. No se limite a los casos
presentados en el libro.
5.1. Economía abierta
5.1.1. Efecto del cambio en el precio de un bien
Cuando varía un precio pj, los efectos sobre los precios de los factores wL y wK de
equilibrio están descritos por el Teorema de Stolper-Samuelson. De acuerdo con este Teorema,
cuando el precio de un bien pj aumenta, el precio de equilibrio del factor que se utiliza más
intensamente en el sector j aumenta y el precio del otro factor disminuye. Esto ocurrirá
siempre y cuando antes y después del cambio se produzcan ambos bienes en equilibrio.
29
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Esto ocurre porque al cambiar solo un precio, cambia el precio relativo de bienes p1
p2
y por
lo tanto, cambiarán las cantidades producidas y, consecuentemente las demandas de factores.
Para mostrar este resultado, consideremos las condiciones necesarias para el equilibrio:
c1 (wL; wK) = p1
c2 (wL; wK) = p2
diferenciando y aplicando lema de Shephard:
aL1 dwL + a
K
1 dwK = dp1
aL2 dwL + a
K
2 dwK = dp2
de donde podemos obtener las variaciones de precios de factores con respecto al precio que
varía, teniendo en cuenta que, para el precio que no varía, dpj = 0. Si se supone que varía
el precio p1, entonces dp1 6= 0 y dp2 = 0, luego (lo expreso ligeramente distinto para poder
trabajar con aumentos y disminuciones de p1 y distintas relaciones entre intensidades de uso
que siempre se supondrán distintas, pero las expresiones son equivalentes a las del libro):�
aL1 dwL + a
K
1 dwK = dp1
aL2 dwL + a
K
2 dwK = 0
dwL =
1
aK1
�
aL1
aK1
� a
L
2
aK2
�dp1
dwK = �
aL2
aK2
1
aK1
�
aL1
aK1
� a
L
2
aK2
�dp1
Así, podemos analizar distintos casos:
dp1
aL1
aK1
vs. a
L
2
aK2
dp1 > 0 dp1 < 0
aL1
aK1
>
aL2
aK2
dwL > 0; dwK < 0 dwL < 0; dwK > 0
aL1
aK1
<
aL2
aK2
dwL < 0; dwK > 0 dwL > 0; dwK < 0
Remark 9 Obtenga las expresiones análogas para el caso en que varía el precio del bien 2.
Realice, asimismo, una representación grá�ca como la que presenta el libro para cada uno de
los casos (los de la tabla presentada aquí y los que usted obtendrá para dp2 6= 0 y dp1 = 0).
Intuición: Supongamos que el precio del bien 1 aumenta. Luego, a los precios de los
factores wL y wK actuales, la empresa 1 deseará aumentar su producción y por lo tanto,
demandará más cantidad de L y K (es decir, dL1 > 0 y dK1 > 0). Esto implicará, dadas
las dotaciones de factores �jas, que el sector 2 deba liberar recursos (es decir, dL2 < 0 y
dK2 < 0). Supongamos que el sector 1 esmenos intensivo en el uso del trabajo con respecto
30
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
al capital (por lo tanto, es más intensivo en el uso del capital) que el sector 2. En ese caso,
para aumentar la producción del bien 1, será necesario que el sector 2 libere relativamente
más capital. Luego, en el nuevo equilibrio, los precios de los factores deberán ajustarse de
tal manera que en ambas industrias se utilice menos capital relativo al trabajo. Es decir, el
precio del capital aumentará y el precio del trabajo disminuirá en el nuevo equilibrio.
Es posible, asimismo, analizar el efecto sobre el bienestar de los consumidores. Si las
preferencias satisfacen el supuesto de no saciedad, entonces todo dependerá de si aumenta
o disminuye las posibilidades de consumo. Para esta parte, analice casos para cerciorarse
que sabe analizarlo. Por ejemplo, en el ejemplo planteado más arriba, el consumidor A es el
dueño del trabajo y el consumidor B el dueño del capital, por lo tanto, es relativamente fácil
analizar qué ocurre analizando las restricciones presupuestarias.
5.1.2. Efecto del cambio en la dotación de un factor
En una economía abierta, los precios de los bienes están �jos. Por lo tanto, la variación
en la dotación de un factor no afecta la relación de precios relativos y tampoco la relación
de precios relativos de los factores. Luego, lo que ocurrirá es que los sectores aumentarán
o disminuirán su producción dependiendo del tipo de variación (aumento o disminución de
la dotación) y la relación entre las intensidades de uso. El Teorema de Rybcszynski resume
este resultado.
Este Teorema señala que un aumento de en la dotación de un factor lleva a que aumente
la producción en el sector que lo usa más intensivamente y una disminución en la producción
en el sector que lo usa menos intensivamente. Esto ocurrirá siempre y cuando antes y después
del cambio se produzcan ambos bienes en equilibrio.
Es importante recordar que NO varían los precios de los bienes (pues son precios �jos
internacionales) y, dado que hemos supuesto rendimientos a escala constantes, tampoco
varían los precios relativos de los factores. Esto signi�ca que no cambian las intensidades de
uso. Luego, para absorber el aumento en el factor y mantener al mismo tiempo la misma
intensidad de uso en cada industria, el ajuste vendrá por el aumento en la producción en el
sector que lo utiliza más intensamente a costa de una reducción en la producción en el sector
que lo utiliza menos intensamente.
Para ver esto, consideremos las siguientes relaciones donde estamos diferenciando total-
mente las restricciones de factibilidad y la intensidad de uso de cada sector:
dL1 + dL2 = d�L
dK1 + dK2 = d �K
d
�
L1
K1
�
=
1
K1
dL1 �
L1
K21
dK1
d
�
L2
K2
�
=
1
K2
dL2 �
L2
K22
dK2
31
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Constanza
Resaltado
Dado que la intensidad de uso no varía: d
�
L1
K1
�
= 0 y d
�
L2
K2
�
= 0, de donde:
dL1 =
L1
K1
dK1
dL2 =
L2
K2
dK2
Luego, supongamos que varía la dotación de mano de obra, es decir: d�L 6= 0 y d �K = 0.
Operando llegamos a las siguientes ecuaciones para evaluar los cambios en capital y trabajo
en cada sector:
dK1 =
1�
L1
K1
� L2
K2
�d�L
dL1 =
L1
K1
1�
L1
K1
� L2
K2
�d�L
dK2 = �
1�
L1
K1
� L2
K2
�d�L
| {z }
dK1
dL2 = �
L2
K2
1�
L1
K1
� L2
K2
�d�L
Supongamos que aumenta la dotación de trabajo d�L > 0. Si el sector 1 es más intensivo en
el uso del trabajo L1
K1
� L2
K2
> 0 y por lo tanto dK1 > 0, dL1 > 0 y dL2 < 0 y dK2 < 0. Ambos
cambios se realizan respetando la relación Lj
Kj
. Aumenta el uso del trabajo y del capital en
el sector que es más intensivo en el uso del factor que aumenta (y por lo tanto, aumenta la
producción de dicho bien). Lo contrario ocurre con el otro sector.
5.2. Economía cerrada
5.2.1. Efecto del cambio en el precio de un bien
En el caso de una economía cerrada, los preciosno son exógenos, varían endógenamente.
Sin embargo, el Teorema de Stolper-Samuelson se cumple si, por alguna razón, varía (endó-
genamente) el precio de un bien.
Pero en este caso podemos también analizar qué ocurre si varía (por alguna razón) el
precio relativo de los factores. Es decir, analizar qué ocurre con los precios de los bienes de
equilibrio.
En este caso se puede mostrar que el aumento del precio relativo de un factor llevará a un
aumento del precio del producto cuya tecnología es más intensiva en el uso de dicho factor
y viceversa.
32
5.2.2. Efecto del cambio en la dotación de un factor
Si bien el Teorema de Rybcszynski nos sirve para anticipar los primeros cambios, estos son
solo los efectos inmediatos, pues es necesario indagar si los precios se mantendrán constantes
o no. Esto dependerá de las preferencias. Dependerá, básicamente, si la se produce un exceso
de oferta del bien que más se produce y un exceso de demanda del bien cuya producción
disminuye. Esto modi�cará el precio relativo de los bienes y, por lo tanto, el de los factores.
Remark 10 En el caso de economía cerrada, trabajaremos con casos particulares para poder
a�nar las intuiciones. Por favor, lean el libro!!! Gracias
33
Constanza
Resaltado