Examen Final de Microeconomia II

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Instituto de Econoḿıa
Segundo Semestre de 2013
Examen Final
Microeconomı́a II
Profesora: Alejandra Traferri
Puntaje total: 78 puntos (+12) ; Tiempo total: 120 minutos
ATENCIÓN: para contestar cada pregunta DEBE utilizar ÚNICAMENTE el
espacio asignado para ello, de lo contrario, su respuesta RECIBIRÁ una PE-
NALIZACIÓN del 25% del puntaje obtenido, por lo tanto utilice eficientemente
el espacio. Utilice solamente el anverso de cada hoja.
BONO: El ejercicio 6 sobre señalización competitiva es opcional. En caso de que usted
responda a dicha pregunta, obtendrá hasta un máximo de 12 puntos adicionales y su nota
se calculará sobre el mismo total de 78 puntos, pudiendo obtener, por lo tanto, una nota
superior a 7. PARA TENER DERECHO A LA CONTABILIZACIÓN DE LOS PUNTOS
OBTENIDNOS TENDRÁ QUE HACER CORRECTAMENTE AL MENOS EL 50% DE
LA PREGUNTA.
1. [14 puntos] Intercambio puro: equilibrio, eficiencia y equidad.
Considere una economı́a de intercambio con dos consumidores, A y B, cuyas preferencias
se representan mediante las siguientes funciones de utilidad:
A : u(x1, x2) =
1
2
x1 +
1
2
x2
B : u(x1, x2) =
√
x1
√
x2
Suponga que las dotaciones iniciales de ambos individuos son xA = (10, 0) y xB = (90, 100).
a. [6 puntos] Verifique que el precio relativo de equilibrio será p1p2 = 1, y que la asignación
de equilibrio pertenece al conjunto de asignaciones eficientes en el sentido de Pareto
de esta economı́a.
Respuesta:
Basta verificar que p1p2 = 1 es un precio de equilibrio.
Demandas de B:
x1B =
1
2
M
p1
= 45 + 50
p2
p1
x2B =
1
2
M
p2
= 45
p1
p2
+ 50
1
Demandas de A:
x1A ∈



0 si p1p2 > 1
[0, Mp1 = 10] si
p1
p2
= 1
M
p1
= 10 si p1p2 < 1
x2A ∈



M
p2
= p1p2 10 si
p1
p2
> 1
[0, Mp2 = 10] si
p1
p2
= 1
0 si p1p2 < 1
A ese precio relativo B escoge x1B = x2B = 95, mientras que A escoge cualquier nivel
de x1 y x2 en el intervalo [0, 10], tales que x1Ap1 + x2Ap2 = 10p1 (lo que se traduce
en x1A + x2A = 10 con este precio relativo). En particular, x1A = x2A = 5. Luego,
la asiganción x∗A = (95, 95) y x
∗
B = (5, 5).con el precio relativo
p1
p2
= 1 forman un
equilibrio. Alternativamente, podŕıan obtener demandas y mostrar que sólo p1p2 = 1
puede ser de equilibrio.
Respecto de la curva de contrato, basta explicar por qué en este caso ella será la
diagonal de la caja de Edgeworth, y mostrar que la asignación con x∗A = (95, 95) y
x∗B = (5, 5).pertenece a ella.
b. [8 puntos] Suponga que sólo es (técnica y legalmente) posible transferir parte de la
dotación inicial del bien 2 del individuo B al individuo A; ¿seŕıa posible alcanzar una
asignación igualitaria (que dejara a A y B con el mismo nivel de consumo de ambos
bienes) en equilibrio luego de hacer alguna transferencia? ¿de qué monto tendŕıa ser
la transferencia en caso afirmativo?
Respuesta:
Śı es posible: si se transfieren 90 unidades de la dotación inicial del bien 2 de B a
A (de modo que las nuevas dotaciones iniciales queden de la forma xA = (10, 90) y
xB = (90, 10)), se logrará un equilibrio con asignación igualitaria x
∗
A = (50, 50) y
x∗B = (50, 50).con el mismo precio relativo
p1
p2
= 1. Para concluir esto basta notar que
esta última asignación pertenece a la curva de contrato, por lo que el segundo teorema
del bienestar nos indica que es alcanzable como equilibrio si se hacen las trasferencias
adecuadas de dotaciones iniciales (y como la TMSS de ambos consumidores en dicha
asinación sigue siendo 1, el precio relativo de equilibrio debe ser el mismo).
2
2. [15 puntos] Equilibrio general con producción: economı́a cerrada.
Suponga que en una economı́a cerrada viven solo dos individuos, Ana y Beto. En
esta economı́a se producen dos bienes, alimentos (bien 1) y ropa (bien 2) mediante la
utilización de los dos factores de producción, trabajo (L) y capital (K). Las tecnoloǵıas de
producción están representadas por las funciones de producción F (L1,K1) = min{L1,K1} y
G(L2,K2) = L
1
2
2K
1
2
2 , para alimentos y ropa, respectivamente. Ana y Beto tienen preferencias
por ambos bienes representadas por las funciones de utilidad UA(x1A, x2A) = x1Ax2A y
UB(x1B, x2B) = x1Bx2B, respectivamente. Asimismo, Ana posee todo el capital disponible,
K̄A = 100 y Beto ofrece todo el trabajo, L̄B = 100.
Obtenga el equilibrio walrasiano de esta economı́a. Explique claramente su respuesta.
Respuesta:
Sector productivo: dado K̄ = L̄ = 100, la curva de contrato con respecto a los factores
de producción es K1 = L1 (y por lo tanto, K2 = L2). Esto por la función min{L1,K1}
implica que en L1 = K1...(etc.).
Por Primer Teorema del Bienestar: en cualquier asignación walrasiana (de equilibrio),
L∗1 = K
∗
1 y L
∗
2 = K
∗
2 .
La condición de minimización de costos del sector 2 es:
TMST 2 =
wL
wK
K2
L2
=
wL
wK
Esto implica que, dado que en equilibrio L∗2 = K
∗
2 , entonces en equilibrio wL = wK = w
∗
(los salarios son iguales).
Obtenemos los costos unitarios para relacionar salarios con precios.
Sector 1: L1 = K1 implica que q1 = K1 = L1 y que la función de costos totales es
CT = wLq1 + wKq1 y la de costos unitarios:
c1(wL, wK) = wL + wK
Utilizando wL = wK = w
∗ e igualando a p1:
c1(wL, wK) = p1
2w = p1
Sector 2: L2 = K2 implica que q2 = K2 = L2 y que la función de costos unitarios es
c2(wL, wK) = wL + wK , de donde:
c2(wL, wK) = p2
2w = p2
De las dos ecuaciones anteriores, concluimos que p∗1 = p
∗
2. Si normalizamos p
∗
2 = 1, entonces
p∗1 = 1 y w
∗ = 12 .
Por el lado del consumo (para determinar las cantidades demandadas):
Dados los precios ya obtenidos, el problema es sencillo, pues podemos calcular directa-
mente las cantidades demandadas por cada consumidor de ambos bienes:
3
Sr. A:
{ TMSS
A = p1p2
p1x1A + p2x2A = wK̄
=⇒
{
x2A
x1A
= 1
x1A + x2A =
1
2 ∗ 100
=⇒
x∗1A = 25, x
∗
2A = 25
Sr. B:
{ TMSS
B = p1p2
p1x1B + p2x2B = wL̄
=⇒
{
x2B
x1B
= 1
x1B + x2B =
1
2 ∗ 100
=⇒
x∗1B = 25, x
∗
2B = 25
Finalmente, dadas las cantidades demandadas, las cantidades producidas serán q∗1 = 50 y
q∗2 = 50, de donde obtenemos las asignaciones walrasianas de factores.
L∗1 = K
∗
1 = L
∗
2 = K
∗
2 = 50
Equilibrio walrasiano:
{(p∗1, p∗2, w∗L, w∗K); (L∗1,K∗1 , L∗2,K∗2 , x∗1A, x∗2A, x∗1B, x∗2B)}
= {(1, 1, 1
2
,
1
2
); (50, 50, 50, 50, 25, 25, 25, 25)}
4
3. [16 puntos] Riesgo moral.
Un empleador no observa el esfuerzo del trabajador, pero podŕıa hacer un contrato en
que condicione su pago al resultado x, para inducirlo a hacer esfuerzo alto.
1. [8 puntos] Suponga que x puede tomar dos valores, con x1 < x2. Comente la validez
de las siguientes afirmaciones, fundamentando claramente:
a. una condición necesaria, pero no suficiente, para que el empleador quiera inducir
esfuerzo alto, es que el mayor esfuerzo aumente la probabilidad de conseguir el
resultado más alto.
Respuesta:
Verdadero. Se comprueba del análisis y comparación de la utilidad que percibeŕıa
el principal en caso de inducir esfuerzo alto con la que obtendŕıa en caso de inducir
esfuerzo bajo.
b. una condición necesaria, pero no suficiente, para que el trabajador quiera hacer
esfuerzo alto, es que el mayor esfuerzo permita aumentar la probabilidad de
conseguir el resultado que tiene asociado un mayor pago w.
Respuesta:
Verdadero. Se comprueba del análisis y comparación de la utilidad que percibeŕıa
el delegado en caso de hacer esfuerzo alto con la que obtendŕıa en caso de hacer
esfuerzo bajo.
c. de lo anterior se desprende que si el trabajador hace esfuerzo alto, lo hará con
un contrato que entrega un pago más alto mientras mayor sea el resultado.
Respuesta:
Verdadero. Se comprueba principalmente del análisis y comparación de la utili-
dad que percibeŕıa el delegado en caso de hacer esfuerzo alto con la que obtendŕıa
en caso de hacer esfuerzo bajo.
2. [8 puntos] Suponga ahora que x puede tomar tres valores, con x1 < x2 < x3. ¿Cómo
cambian sus respuestas anteriores? Construya un ejemplo en que el trabajador podŕıa
haceresfuerzo alto, pero en que la afirmación c) anterior no sea válida.
Respuesta:
Por empezar, ahora no basta con comparar P (xs|e = A) versus P (xs|e = B), sino que
hay que comparar los ratios de probabilidades entre estados (P (xs|e=B)P (xs|e=A) ).
Comparando dichos ratios, si se cumple la propiedad de la razón de verosimilitud
monótona decreciente (es decir, si el ratio de probabilidades P (xs|e=B)P (xs|e=A) cae a medida
que aumenta s, un mejor resultado implicaŕıa un mayor salario.
Pero si dicha propiedad no se cumple los mayores pagos estarán asociados a los es-
tados más indicativos de esfuerzo alto y no necesariamente a los que tienen mayores
resultados. Los pagos se vinculan a los resultados para proveer incentivos, no para
inferir resultados.
Realizar ejemplo numérico.
5
4. [15 puntos] Señalización.
En el mes de marzo, un estudiante recién egresado se postula como candidato para
una pasant́ıa. El estudiante candidato puede ser mediocre (M) o excepcional (E), pero el
empleador desconoce esta caracteŕıstica. Sabe, sin embargo, que la probabilidad de que
cualquier candidato sea excepcional es 0.5. Durante el verano anterior, nuestro candidato
elige entre asistir a un curso corto de relaciones públicas (R) o ir a la playa (P ) de vacaciones.
Este curso no afecta su productividad, pero podŕıa servir de señal para el empleador. El
costo de capacitarse depende de su tipo, si es excepcional, el costo es cE = 1, si es mediocre,
cM = 3. Su productividad también depende de su tipo: yE = 4 si es excepcional, yM = 1
si es mediocre. Suponga que el empleador observa esta acción y decide si lo contrata (C) o
no (N). Si lo contrata, le pagará un salario igual a 2.
La utilidad del candidato es igual al salario menos el costo de capacitarse (si es que lo hace)
y la utilidad del empleador, si lo contrata, es igual a la productividad del candidato menos
el salario.
a. [4 puntos] Describa el espacio de estrategias de cada jugador y presente el juego
descrito en su forma extensiva.
Respuesta:
Espacios de estrategias:
Candidato, SC = {PP, PR,RP,RR} donde cada elemento está compuesto por la
acción que realiza si es E y la acción que realiza si es M .
Empleador, SE = {CC,CN,NC,NN} donde cada elemento está compuesto por la
acción que realiza si observa P y la acción que realiza si observa R.
6
b. [6 puntos] ¿Es posible que en algún equilibrio bayesiano perfecto el estudiante can-
didato se vaya de vacaciones a la playa cualquiera sea tu tipo? Justifique rigurosa-
mente su respuesta.
Respuesta:
Conjetura: señal PP es parte de un EBP.
Luego: P (E|P ) = P (E) = 0.5 (la señal no es informativa); y q = P (E|R) es arbitraria.
Dadas las creencias, si el empleador observa P , compara las utilidades esperadas:
U(C|P ) = 0.5 ∗ 2 + 0.5 ∗ (−1) = 0.5
U(N |P ) = 0
y elige C.
Si observara R :
U(C|R) = q2 + (1− q)(−1)
U(N |R) = 0
U(C|R) ! U(N |R) ⇐⇒
3q − 1 ! 0
q ! 1
3
Por lo tanto, si q > 13 elegirá C; si q <
1
3 elegirá N y si es igual, estará indiferente
entre contratarlo o no.
- Supongamos que q > 13 , luego la estrategia del empleador es CC.
Verificamos si el candidato tiene incentivos para desviarse:
Si fuera E, dada la señal que eligió obtiene 2, si se desviara, obtendŕıa 1, luego no se
desviará.
Si fuera M , dada la señal que eligió obtiene 2, si se desviara, obtendŕıa −1, por lo
tanto tampoco se desviará.
El siguiente es un EBP
EBP1 = {PP,CC, P ∗(E|P ) = 0.5, q∗ >
1
3
}
- Ahora supongamos que q < 13 , luego la estrategia del empleador es CN .
Verificamos si el candidato tiene incentivos para desviarse:
Si fuera E, dada la señal que eligió obtiene 2, si se desviara, obtendŕıa −1, luego no
se desviará.
Si fuera M , dada la señal que eligió obtiene 2, si se desviara, obtendŕıa −3, por lo
tanto tampoco se desviará.
Es también un EBP
EBP2 = {PP,CN,P ∗(E|P ) = 0.5, q∗ <
1
3
}
7
Por lo tanto, śı es posible.
NO ERA NECESARIO HACER AMBOS CASOS.
c. [5 puntos] ¿Es posible que hacer el curso de relaciones públicas le sirva a un candidato
excepcional para distinguirse del candidato mediocre? Justifique rigurosamente
su respuesta.
Respuesta:
Conjetura: señal RP es parte de un EBP.
Dada la señal informativa, P (E|R) = 1, P (M |P ) = 1.
Luego, si el empleador observa P , elige N , si observa R, elige C. Su estrategia es NC.
Verificamos si el candidato tiene incentivos para desviarse:
Si fuera E, dada la señal que eligió obtiene 1, si se desviara, obtendŕıa 0, luego no se
desviará.
Si fuera M , dada la señal que eligió obtiene 0, si se desviara, obtendŕıa −1, por lo
tanto tampoco se desviará.
Es también un EBP
EBP3 = {RP,NC, P ∗(E|R) = 1, P ∗(M |P ) = 1}
Śı es posible.
8
5. [18 puntos] Autoselección competitiva.
Considere un mercado de seguros contra accidentes de automóviles en el que muchas
aseguradoras, neutrales al riesgo, compiten. Las aseguradoras ofrecen contratos que incluyen
una prima p y una cobertura z en caso de accidente. Hay dos tipos de individuos idénticos en
todo, excepto en su prudencia al manejar: individuos imprudentes (I) e individuos prudentes
(P ). Un conductor imprudente sufre un accidente con probabilidad πI = 34 , mientras que
uno prudente sufre un accidente con probabilidad πP = 12 . La función Bernoulli de los
individuos es u (w) =
√
w donde w es la riqueza. La riqueza inicial de cualquiera de ellos
es w0 =
131
8 y, si sufren un accidente, pierden L =
31
4 . Suponga que las aseguradoras no
pueden saber si un individuo particular es un conductor imprudente o prudente, pero śı
conocen que hay una proporción α = 0.95 de conductores prudentes.
1. Suponga que existe un equilibrio separador:
a. [5 puntos] Sin realizar cálculos, explique qué tipo de contrato/s ofreceŕıa/n
óptimamente las aseguradoras y caracteŕıcelo/s.
Respuesta:
Las aseguradoras ofreceŕıan unmenú de contratos {CI , CP } = {(zI , pI), (zP , pP )},
donde cada individuo se supone que elige como mucho un contrato y estos con-
tratos están diseñados de tal manera que cada individuo elige el contrato diseñado
para su tipo.
Las caracteŕısticas de este par de contratos son:
(i) en cada caso, la prima es actuarialmente justa, es decir, pθ = πθzθ, θ ∈ {I, P}.
(ii) el contrato diseñado para los conductores imprudentes (I) es el mismo que
en el caso observable, es decir, con cobertura completa: zI = L. Luego, CI =
(zI , pI) = (L,πIL).
(iii) el contrato diseñado para los conductores prudentes (P ) NO tiene cobertura
completa, sino parcial. Es decir, zP < L. En particular, zP es tal que los
individuos imprudentes estén exactamente indiferentes entre CP y el contrato
diseñado para ellos, CI . Es decir:
(1− πI)
√
w0 − pI + πI
√
w0 − L− pI + zI︸ ︷︷ ︸
Utilidad esperada de tipo I con seguro CI
= (1− πI)
√
w0 − pP + πI
√
w0 − L− pP + zP︸ ︷︷ ︸
Utilidad esperada de tipo I con seguro CP
Esta condición garantiza que los imprudentes no elegirán el contrato CP .
b. [6 puntos] Obtenga (numéricamente) el/los contratos óptimos, obtenga la utilidad
esperada para cada tipo de individuo e ilustre con un gráfico. (Ayuda: en esta
situación, en caso de que sufra un accidente, un conductor prudente tendŕıa una
riqueza disponible igual a w2 = 9).
* Plantee bien el problema y utilice la ayuda para obtener los valores numéricos
rápidamente.
9
* Asegúrese de indicar claramente todos los elementos del gráfico.
Respuesta:
Reemplazando por los valores numéricos:
Tipo I :
zI = L =
31
4
= 7.75
pI = πIL =
3
4
∗ 31
4
=
93
16
= 5.8125
CI = (z
I , pI) = (7.75, 5.8125)
Con este contrato, un individuo tipo I obtiene una utilidad esperada igual a:
EUI = (1−
3
4
)×
√
131
8
− 93
16
+
3
4
×
√
131
8
− 31
4
− 93
16
+
31
4
=
13
4
= 3.25
Tipo P : Los valores numéricos de las riquezas que obtendrá el tipo P con este
seguro se pueden obtener resolviendo el siguiente sistema:
{ p
P = πP zP
(1− 34)
√
w1 +
3
4
√
w2 =
13
4
donde la primera ecuación (prima actuarialmente justa) es la condición de ben-eficios ceros para la compañ́ıa de seguros respecto a los prudentes, la segunda,
es la curva de indiferencia del individuo tipo I que pasa por el contrato CI , y
w1 = w0 − pP y w2 = w0 − L− pP + zP .
Con la segunda ecuación del sistema, sabiendo que w2 = 9, obtenemos
el valor correspondiente a w1:
1
4
√
w1 +
3
4
√
9 = 134√
w1 = (
13
4 −
9
4)4 = 4
w1 = 16
Entonces, tenemos que,
w1 = 16, w2 = 9
Luego, podemos calcular:
pP = w0 − w1 =
131
8
− 16 = 3
8
= 0.375
y
zP =
pP
πP
=
3
8
(12)
=
3
4
= 0.75
Con este contrato, los prudentes obtendŕıan una utilidad esperada igual a:
EUP =
1
2
√
w1 +
1
2
√
w2 =
1
2
√
16 +
1
2
√
9 =
7
2
= 3.5
10
En conclusión el menú de contratos será:
{CI , CP } = {(zI , pI), (zP , pP )} = {(7.75, 5.8125), (0.75, 0.375)}
Gráficamente, hay que dibujar la curva de indiferencia del tipo I que pasa por
su contrato CI y las coordenadas del otro contrato CP estarán en la intersección
de dicha curva de indiferencia y la isobeneficio para los prudentes (se pide un
gráfico ilustrativo, por lo tanto, será aproximado...eso śı, debe indicar todos los
elementos).
Gráfico:
2. [7 puntos] ¿Es el candidato a equilibrio separador encontrado en (a) robusto a la
desviación unilateral de una aseguradora que ofrezca un contrato agrupador con cober-
tura total? ¿Por qué śı o por qué no? ¿Qué implica su respuesta? Justifique rig-
urosamente su respuesta y explique la intuición detrás de su resultado.
Respuesta:
La intuición primero: si α es relativamente muy alto (hay una relativamente alta pro-
porción de conductores prudentes), entonces puede ser una alternativa rentable que
una aseguradora se desv́ıe y ofrezca un único contrato para todos (con una prima ac-
tuarialmente justa para el individuo promedio, es decir con p = π̄z y z = L (cobertura
completa). Si este contrato es más deseable a los del menú para ambos tipos (espe-
cialmente para los prudentes), entonces el menú no puede ser parte de un equilibrio.
Recuerde que π̄ = απP + (1− α)πI . Luego, en este ejercicio:
π̄ = απP + (1− α)πI = 95
100
∗ 1
2
+ (1− 95
100
) ∗ 3
4
=
41
80
11
Luego, la prima de este contrato agrupador seŕıa: p = 4180 ∗
31
4 =
1271
320 y z =
31
4 .
Con este contrato, la riqueza de ambos estados seŕıa la misma para ambos tipos:
w1 = w2 = w0−p = 1318 −
1271
320 =
3969
320 . Y la utilidad esperada para cualquier individuo
seŕıa
√
3969
320 =
63
40
√
5 = 3.521 807. Esta utilidad es mayor para los imprudentes (pues
con el menú obtendŕıan 3.25) y también mayor para los prudentes, pues con el menú
estos últimos obtendŕıan 3.5. Luego, śı existen incentivos para que una aseguradora
se desv́ıe y ofrezca el contrato C = (z, p) = (314 ,
1271
320 ), por lo tanto, el menú NO es
robusto a esta desviación.
Esto implica que el menú de contratos que encontramos en (a) NO es un equilibrio
separador y, como en este juego, tampoco existe un equilibrio agrupador, la conclusión
es que en este juego NO hay ningún equilibrio.
Básicamente, el equilibrio no existe porque al haber tantos conductores prudentes, el
menú separador les impone un costo demasiado alto (porque no pueden asegurarse
completamente), que puede ser rentable para alguna aseguradora ofrecer un contrato
agrupador. Este contrato seŕıa preferido por todos los individuos, aún los prudentes,
puesto que si bien estos pagaŕıan una prima mayor, tendŕıan cobertura total.
12
6. [12 puntos] BONO: señalización competitiva.
Muchas tiendas quisieran remodelar su tienda para Navidad. Para hacerlo, tendŕıan
que contratar el servicio de la única empresa de diseño existente, por lo que compiten entre
ellas por contratarla. Las tiendas no saben si esta empresa es suficientemente responsable
para terminar a tiempo o no la remodelación (y asignan sólo un 20% de probabilidad a que
sea cumplidora). Si la empresa termina la remodelación a tiempo, la tienda que la contrata
aumentaŕıa su utilidad (bruta) a 100, pero si no alcanza a terminar antes de Navidad, su
utilidad seŕıa sólo de 50 (la misma que teńıa de partida).
A la empresa le cuesta 20 hacer la remodelación, de modo que su ganancia es p−20 si la
contratan, donde p es el pago que recibe por el servicio. La empresa puede comprometerse
a pagar una multa m = 10 en caso de no terminar a tiempo. Una empresa del tipo θ1
(cumplidora) sabe con certeza que terminará a tiempo; mientras que una empresa del tipo
θ2 (no cumplidora) sólo termina a tiempo con probabilidad 0.5.
a. [7 puntos] ¿Existe un equilibrio bayesiano perfecto agrupador en que ambos tipos
de empresa se comprometan a pagar la multa en caso de atraso? Si su respuesta
es afirmativa, explique y caracterice completamente el equilibrio; si es negativa,
justifique.
b. [5 puntos] ¿Existe un equilibrio bayesiano perfecto separador en que sólo una em-
presa cumplidora se comprometeŕıa a pagar multa en caso de atraso? Si su respuesta
es afirmativa, explique y caracterice completamente el equilibrio; si es negativa,
justifique. Explique la intuición de su resultado.
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