Ppt5 Microeconomía II - Equilibrio General - Producción

Vista previa del material en texto

Equilibrio General - Producción
Francisco Silva
PUC Chile, IE
April 22, 2019
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 1 / 37
¿Como modelar la producción?
Dotaciones son factores productivos�
L1,K 1
�
,
�
L2,K 2
�
.
Los factores productivos son asignados a la producción de X y de Y .
Por ejemplo, Lxn es la cantidad del factor L de consumidor n que es
asignado a la producción del bien X .
Notación:
Lx1 + L
x
2 = L
x es el total de L asignado para la producción de X .
Ly1 + L
y
2 = L
y es el total de L asignado para la producción de Y .
K x1 +K
x
2 = K
x es el total de K asignado para la producción de X .
K y1 +K
y
2 = K
y es el total de K asignado para la producción de Y .
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 2 / 37
¿Como modelar la producción?
Producción
El total producido del bien X está dado por F x (Lx ,K x ).
El total producido del bien Y está dado por F y (Lx ,K x ).
Consumo
Cada consumidor consume (xn , yn).
Mirar la �gura.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 3 / 37
De�niciones
Una asignación es un vector
(Lx1 ,K
x
1 , L
y
1 ,K
y
1 jLx2 ,K x2 , L
y
2 ,K
y
2 jx1, y1, x2, y2)
Una asignación es factible ssi
Lxn + L
y
n � Ln para n = 1, 2
K xn +K
y
n � K n para n = 1, 2
x1 + x2 � F x (Lx1 + Lx2 ,K x1 +K x2 )
y1 + y2 � F y (Ly1 + L
y
2 ,K
y
1 +K
y
2 )
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 4 / 37
De�niciones
Asignación
A = (Lx1 ,K
x
1 , L
y
1 ,K
y
1 jLx2 ,K x2 , L
y
2 ,K
y
2 jx1, y1, x2, y2)
pareto domina asignación
B =
�eLx1 , eK x1 ,eLy1 , eK y1 jeLx2 , eK x2 ,eLy2 , eK y2 jex1, ey1,ex2, ey2�
ssi
u1 (x1, y1) > u1 (ex1, ey1) y u2 (x2, y2) � u2 (ex2, ey2)
o
u1 (x1, y1) � u1 (ex1, ey1) y u2 (x2, y2) > u2 (ex2, ey2)
Una asignación es Pareto e�ciente ssi i) es factible y ii) no hay otra
asignación factible que la pareto domine.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 5 / 37
La pregunta fundamental
¿Es la asignación de equilibrio Pareto e�ciente?
Mas adelante de�niremos la asignación de equilibrio.
Spoiler: Si!
Solo lo demonstraremos bajo algunos supuestos.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 6 / 37
Supuestos
un es estrictamente creciente, diferenciable y cuasiconcava.
F x y F y son estrictamente crecientes, diferenciables y cuasiconcavas.
F x ser cuasiconcava signi�ca que las isocuantas son convexas.
De�ne la tasa marginal de substitución tecnica (TMST):
TMSTx = �
F xL (L
x ,K x )
F xK (L
x ,K x )
F x es cuasiconcava si TMSTx es creciente con Lx y decreciente con
K x .
Igual para F y .
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 7 / 37
E�ciencia - no desperdicio
Si una asignación es e�ciente, entonces
Lxn + L
y
n = Ln para n = 1, 2
K xn +K
y
n = K n para n = 1, 2
x1 + x2 = F x (Lx1 + L
x
2 ,K
x
1 +K
x
2 )
y1 + y2 = F y (L
y
1 + L
y
2 ,K
y
1 +K
y
2 )
¿Porqué?
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 8 / 37
E�ciencia - mini asignación
Imagina que la siguiente asignación es e�ciente
(Lx1 ,K
x
1 , L
y
1 ,K
y
1 jLx2 ,K x2 , L
y
2 ,K
y
2 jx1, y1, x2, y2)
= (2, 4, 3, 5j4, 2, 5, 3j4, 8, 6, 3)
Indica otra asignación e�ciente. Ejemplo:
(Lx1 ,K
x
1 , L
y
1 ,K
y
1 jLx2 ,K x2 , L
y
2 ,K
y
2 jx1, y1, x2, y2)
= (1, 4, 4, 5j5, 2, 4, 3j4, 8, 6, 3)
Por eso, utilizamos el concepto de "mini-asignación":
(Lx ,K x , Ly ,K y jx1, y1, x2, y2)
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 9 / 37
E�ciencia en el consumo
Imagina que se produció x cantidad del bien X y y cantidad del bien
Y . ¿Como distribuirlo por los consumidores?
Si una asignación interior es e�ciente, entonces
TMS1 (x1, y1) = TMS2 (x2, y2)
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 10 / 37
E�ciencia en la producción
¿Cuál es la mejor manera de producir?
Caja de Edgeworth pero con producción.
Si una asignación interior es e�ciente, entonces
TMSTx (Lx ,K x ) = TMSTy (Ly ,K y )
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 11 / 37
E�ciencia - qué producir?
¿Qué producir? ¿Más de X o más de Y ?
Considera una asignación interior e�ciente. Considera el siguiente
cambio:
Lx1 " ) x1 " (todo el aumento de X es asignado al consumidor 1)
Para compensar: Ly1 # ) y1 # (todo la disminución de Y es asignado
al consumidor 1)
Si una asignación interior es e�ciente, entonces
F xL (L
x ,K x ) u1x (x1, y1) = F
y
L (L
y ,K y ) u1y (x1, y1),
TMS1 (x1, y1) = TMTL (L
x , Ly ,K x ,K y )
donde
TMTL (L
x , Ly ,K x ,K y ) = �F
y
L (L
y ,K y )
F xL (L
x ,K x )
¿Porqué?
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 12 / 37
E�ciencia
¿Como encontrar el conjunto de Pareto?
Lx + Ly = L
K x +K y = K
x1 + x2 = F x (Lx ,K x )
y1 + y2 = F y (Ly ,K y )
TMS1 (x1, y1) = TMS2 (x2, y2)
TMSTx (Lx ,K x ) = TMSTy (Ly ,K y )
TMS1 (x1, y1) = TMTL (L
x , Ly ,K x ,K y )
7 ecuaciones y 8 incognitas.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 13 / 37
Tarea
Asume que
un = xnyn para n = 1, 2
L = 10 (no hay capital).
F x (Lx ) =
p
Lx y F y (Ly ) = 2
p
Ly
1 Muestra que Lx = Ly = 5 en cualquier asignación e�ciente interior.
2 Calcula la asignación e�ciente que tiene la propriedad que u2 = 0.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 14 / 37
Equilibrio
Consumidores venden L y K y compran x e y tomando los precios
como dados.
Precios de los bienes - px y py .
Precios de los factores - wL y wK .
Empresas compran L y K y venden x e y tomando los precios como
dados.
Hay una empresa que produce x y una empresa que produce y .
Las ganancias de las empresas se reparten por los dos consumidores.
αxn y α
y
n son las percentages de la empresa x e y respectivamente
asignadas al consumidor n.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 15 / 37
Problema del consumidor
El consumidor n escoge (xn, yn) 2 R2+ que
max un (xn, yn) s.a. pxxn + py yn � wLLn + wKK n + αxnΠx + αynΠy
Las demandas de los productos �nales:
xdn (px , py ,wL,wK ,Πx ,Πy )
y
ydn (px , py ,wL,wK ,Πx ,Πy )
Las ofertas de los factores:
Lsn = Ln y K
s
n = K n
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 16 / 37
Problema de las empresas
La empresa x escoge (Lx ,Kx ) 2 R2+ que maximiza
max pxF x (Lx ,K x )� wLLx � wKK x
Igual para empresa y .
Las demandas de los factores:
Ldx (px ,wL,wK ) y K
d
x (px ,wL,wK )
y
Ldy (py ,wL,wK ) y K
d
y (py ,wL,wK )
Las ofertas de los productos:
x s (px ,wL,wK ) = F
x
�
Ldx (px ,wL,wK ) ,K
d
x (px ,wL,wK )
�
y
y s (py ,wL,wK ) = F
y
�
Ldy (py ,wL,wK ) ,K
d
y (py ,wL,wK )
�
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 17 / 37
Equilibrio
Un equilibrio es una asignación�bLx1 , bK x1 ,bLy1 , bK y1 jbLx2 , bK x2 ,bLy2 , bK y2 jbx1, by1,bx2, by2�
y precios (bpx ,bpy , bwL, bwK ) con las siguientes propriedades:
Vaciado en el mercado del factor L:
bLx1 + bLx2 = Ldx (bpx , bwL, bwK )bLy1 + bLy2 = Ldy (bpy , bwL, bwK )
y
Ldx (bpx , bwL, bwK ) + Ldy (bpy , bwL, bwK ) = Ls1 + Ls2 = L
con bLx1 + bLy1 = L1 y bLx2 + bLy2 = L2
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 18 / 37
Equilibrio
Un equilibrio es una asignación�bLx1 , bK x1 ,bLy1 , bK y1 jbLx2 , bK x2 ,bLy2 , bK y2 jbx1, by1,bx2, by2�
y precios (bpx ,bpy , bwL, bwK ) con las siguientes propriedades:
Vaciado en el mercado del factor K :
bK x1 + bK x2 = Kdx (bpx , bwL, bwK )bK y1 + bK y2 = Kdy (bpy , bwL, bwK )
y
Kdx (bpx , bwL, bwK ) +Kdy (bpy , bwL, bwK ) = K s1 +K s2 = K
con bK x1 + bK y1 = K 1 y bK x2 + bK y2 = K 2
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 19 / 37
EquilibrioUn equilibrio es una asignación�bLx1 , bK x1 ,bLy1 , bK y1 jbLx2 , bK x2 ,bLy2 , bK y2 jbx1, by1,bx2, by2�
y precios (bpx ,bpy , bwL, bwK ) con las siguientes propriedades:
Auxiliar: bΠx = bpx (bx1 + bx2)� bwLbLx � bwK bK x
y bΠy = bpy (by1 + by2)� bwLbLy � bwK bK y
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 20 / 37
Equilibrio
Un equilibrio es una asignación�bLx1 , bK x1 ,bLy1 , bK y1 jbLx2 , bK x2 ,bLy2 , bK y2 jbx1, by1,bx2, by2�
y precios (bpx ,bpy , bwL, bwK ) con las siguientes propriedades:
Vaciado del mercado del producto X :
bx1 = xd1 �bpx ,bpy , bwL, bwK , bΠx , bΠy� ,
bx2 = xd2 �bpx ,bpy , bwL, bwK , bΠx , bΠy� ,
y
xd1
�bpx ,bpy , bwL, bwK , bΠx , bΠy�+ xd2 �bpx ,bpy , bwL, bwK , bΠx , bΠy�
= xs (bpx , bwL, bwK )
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 21 / 37
Equilibrio
Un equilibrio es una asignación�bLx1 , bK x1 ,bLy1 , bK y1 jbLx2 , bK x2 ,bLy2 , bK y2 jbx1, by1,bx2, by2�
y precios (bpx ,bpy , bwL, bwK ) con las siguientes propriedades:
Vaciado del mercado del producto Y :
by1 = yd1 �bpx ,bpy , bwL, bwK , bΠx , bΠy� ,
by2 = yd2 �bpx ,bpy , bwL, bwK , bΠx , bΠy� ,
y
yd1
�bpx ,bpy , bwL, bwK , bΠx , bΠy�+ yd2 �bpx ,bpy , bwL, bwK , bΠx , bΠy�
= y s (bpy , bwL, bwK )
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 22 / 37
1er teorema del bienestar
Cualquier asignación de equilibrio interior es e�ciente.
Demonstración:
Revisar el slide 13.
Lx + Ly = L
K x +K y = K
Verdaderas por vaciado del mercado de factores.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 23 / 37
1er teorema del bienestar
Cualquier asignación de equilibrio interior es e�ciente.
Demonstración:
Revisar el slide 13.
x1 + x2 = F
x (Lx ,K x )
y1 + y2 = F
y (Ly ,K y )
Verdaderas por vaciado del mercado de productos.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 24 / 37
1er teorema del bienestar
Cualquier asignación de equilibrio interior es e�ciente.
Demonstración:
Revisar el slide 13.
TMS1 (x1, y1) = TMS2 (x2, y2)
Revisar el problema del consumidor:
TMSn (x1, y1) = �
px
py
para n = 1, 2
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 25 / 37
1er teorema del bienestar
Cualquier asignación de equilibrio interior es e�ciente.
Demonstración:
Revisar el slide 13.
TMSTx (Lx ,K x ) = TMSTy (Ly ,K y )
Revisar el problema de las empresas:�
pxF xL (L
x ,K x ) = wL
pxF xK (L
x ,K x ) = wK
y
�
pyF
y
L (L
y ,K y ) = wL
pyF
y
K (L
y ,K y ) = wK
que implica
� F
x
L (L
x ,K x )
F xK (L
x ,K x )
= �
F yL (L
y ,K y )
F yK (L
y ,K y )
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 26 / 37
1er teorema del bienestar
Cualquier asignación de equilibrio interior es e�ciente.
Demonstración:
Revisar el slide 13.
TMS1 (x1, y1) = TMTL (L
x , Ly ,K x ,K y )
Revisar el problema del consumidor 1:
TMS1 (x1, y1) = �
px
py
Revisar el problema de las empresas:
pxF xL (L
x ,K x ) = wL y pyF
y
L (L
y ,K y ) = wL
que implica
�px
py
= �
F yL (L
y ,K y )
F xL (L
x ,K x )
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 27 / 37
Rendimientos constantes a escala
Una función de producción F tiene rendimientos constantes a escala si
F (λL,λK ) = λF (L,K )
para todo el (L,K ) y λ > 0.
Una función de producción F tiene rendimientos crecientes
(decrecientes) a escala si
F (λL,λK ) > (<) λF (L,K )
para todo el (L,K ) 6= (0, 0) y λ > 1.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 28 / 37
Rendimientos constantes a escala
Observaciones:
Si F x tiene rendimientos constantes a escala, en cualquier equilibrio de
mercadobΠx = 0 en cualquier equilibrio de mercado (¿porqué?).
Si �
L0x ,K
0
x
�
2 arg max
(Lx ,Kx )
pxF x (Lx ,Kx )� wLLx � wKKx
entonces (λL0x ,λK
0
x ) también. (¿Porqué?)
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 29 / 37
(Otro) algoritmo para calcular equilibrios interiores
Equilibrio: �bLx , bKx ,bLy , bKy ,bx1, by1,bx2, by2� , (bpx ,bpy , bwL, bwK )
Consumidor n = 1, 2. 4 ecuaciones.
TMSn (bxn , byn) = � bpxbpy ,
R.P..
Empresa i = X ,Y . 4 ecuaciones.bwL = bpiF iL �bLi , bKi�,bwK = bpiF iK �bLi , bKi�.
Vacio de mercado. 4 ecuaciones.bLx + bLy = L,bKx + bKy = L,bx1 + bx2 = F x �bLx , bKx�,by1 + by2 = F y �bLy , bKy�.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 30 / 37
Tarea
1 Demonstra (sin usar derivadas) que cuando F x y F y tienen
rendimientos crecientes a escala, no existe ningún equilibrio interior.
2 Encontra el equilibrio de mercado del ejemplo de la tarea anterior
bajo el supuesto que L1 = 10 y que el dueno de las dos empresas es el
consumidor 2.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 31 / 37
Economia Abierta
En una economia abierta, hay un mercado internacional de productos.
No tiene que haber equilibrio en el mercado de productos.
Los precios px y py son exógenos.
Importante: El mercado de factores sigue cerrado.
Los precios wL y wK se determinan a traves de la condición de vacio
del mercado de los factores:�
pxF xL (L
x ,K x ) = wL
pxF xK (L
x ,K x ) = wK
y
�
pyF
y
L (L
y ,K y ) = wL
pyF xK (L
y ,K y ) = wK
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 32 / 37
Economia Abierta
Ejercicio:
Asume que F i (Li ,Ki ) = Ai
p
LiKi con λi > 0 para i = 1, 2.
Muestra que para que exista un equilibrio, tiene que ser que pxpy =
Ay
Ax
.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 33 / 37
Economia Abierta
Ejercicio: 8>>>>>><>>>>>>:
pxAx
2
q
Kx
Lx
= wL
pxAx
2
q
Lx
Kx
= wK
pyAy
2
q
Ky
Ly
= wL
pyAy
2
q
Ly
Ky
= wK
+
�
Lx + Ly = L
Kx +Ky = L
O sea,
Kx
Lx
=
wL
wK
=
Ky
Ly
) pxAx = pyAy � k
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 34 / 37
Economia Abierta
Ejercicio: 8>>>>>><>>>>>>:
k
2
q
Kx
Lx
= wL
k
2
q
Lx
Kx
= wK
k
2
q
Ky
Ly
= wL
k
2
q
Ly
Ky
= wK
+
�
Lx + Ly = L
Kx +Ky = L
Calcula el equilibrio:
Kx
Lx
=
Ky
Ly
= K
L
.
wL =
k
2
q
K
L
.
wK =
k
2
q
L
K
.
Continuo de equilibrios.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 35 / 37
Economia Abierta
Teorema de Stolper-Samuelson:
Asume que las funciones de producción tienen rendimientos constantes
a escala.
Considera un equilibrio en una economia abierta:��bLx , bK x ,bLy , bK y� , (bwL, bwK )�
Imagina que px aumenta en un valor in�nitesimal.
Si bLxbK x > bLybK y ) wL " y wK #.
Si bLxbK x < bLybK y ) wL # y wK ".
Demonstración: Página 334-338 de Vial y Zurita.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 36 / 37
Economia Abierta
Teorema de Rybcszynski:
Asume que las funciones de producción tienen rendimientos constantes
a escala.
Considera un equilibrio en una economia abierta:��bLx , bK x ,bLy , bK y� , (bwL, bwK )�
Imagina que L aumenta en un valor in�nitesimal.
Si bLxbK x > bLybK y ) F x (Lx ,K x ) " y F y (Ly ,K y ) #.
Si bLxbK x < bLybK y ) F x (Lx ,K x ) # y F y (Ly ,K y ) ".
Demonstración: Página 338-339 de Vial y Zurita.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Equilibrio General - Producción April 22, 2019 37 / 37
	¿Como modelar la producción?
	Eficiencia
	Equilibrio
	1er Teorema del Bienestar
	Economia Abierta