GuíadeEjerciciosN2

Vista previa del material en texto

Economı́a y Teorı́a de Juegos - EAE209E
Pontificia Universidad Católica de Chile
Guı́a de Ejercicios N°2
Profesor: Rodrigo Harrison
Ayudante: Sebastián Castillo
1. Juegos en forma extensiva con información completa
1.1. Equilibrio de Nash y racionalidad secuencial
Ejercicio 1.1 (Ejercicio 7.4, Tadelis, 2013)
Imagine un juego que procede de la siguiente manera. Se genera un pozo con $6, el jugador 1 mueve primero, luego el
jugador 2, luego repite el jugador 1 y luego repite el jugador 2. Cada jugador tiene dos posibles acciones en cada nodo de
decisión: tomar (T) o repartir (R). Si decide tomar, se lleva 2/3 del pozo de dinero, el otro jugador se lleva 1/3 y el juego
termina. Si un jugador decide repartir el pozo se multiplica por 3/2 y el siguiente jugador debe jugar. en el último nodo
de decisión, si el jugador 2 decide repartir el pozo se multiplica por 3/2 y el recibe 1/3 del monto total, mientras que el
jugador 1 recibe 2/3.
1. Describa el juego en forma extensiva.
2. ¿Cuántos nodos terminales tiene el juego?.
3. Encuentre el conjunto de equilibrios de Nash del juego. ¿Cuántos equilibrios contienen amenazas no creı́bles?
Considere el siguiente juego. El jugador 1 parte escogiendo un número del conjunto X = {1,2,3,4,5,6,7}, luego
el jugador 2 escoge un número del mismo conjunto X, luego el jugador 1 vuelve a escoger un número, luego el
jugador 2 vuelve a escoger un número y ası́ sucesivamente. El juego terminará cuando un jugador sume, entre
todas sus opciones escogidas, 48 o más. Encuentre qué jugador gana y cuál es su estrategia ganadora.
Ejercicio 1.2 (Ejercicio 2.10, Bonanno, 2015)
Considere el siguiente juego en forma extensiva, donde x ∈ [0,10].
1. Describa el conjunto de equilibrios perfectos en subjuegos como funció de x.
2. Escriba el juego en forma normal y encuentre el conjunto de equilibrios de Nash. ¿Existe alguna amenaza no creı́ble?.
1
1.2. Equilibrio Perfecto en Subjuegos
Ejercicio 1.3 (Ejercicio 8.4, Tadelis, 2013)
Tres oligopolistas operan en un mercado con una demanda inversa dada por P (Q) = a−Q, donde Q = q1 + q2 + q3, y
qi es la cantidad que produce la firma i. Cada firma tiene un costo marginal de producción c y no tiene costos fijos. Las
firmas escogen la cantidad que producirán de forma dinámica: (1) la firma 1, quien es lı́der en la industria, escoge q1 ≥ 0;
(2) la firma 2 y 3 observan q1 y luego simultáneamente escogen la cantidad que producen.
1. ¿Cuántos subjuegos propios se encuentran en este juego?.
2. ¿Cuál es el conjunto de equilibrios de Nash perfectos en subjuegos?. Muestre si es único.
3. Encuentre un equilibrio de Nash que no es perfecto en subjuegos.
Ejercicio 1.4 (Ejercicio 4.2, Hoelle, 2014)
Suponga que dos jugadores están ofertando por $1. El juego tiene lugar en rondas, partiendo en la ronda 1. El juego
termina cuando una oferta es aceptada. El jugador 1 hace ofertas en rondas impares, mientras que el jugador 2 lo hace en
rondas pares. Cuando el jugador no hace una oferta debe decidir si acepta o rechaza, por lo tanto estas son sus estrategias.
El término de cada ronda se remueve $0.2 del total ofertado. Encuentre el conjunto de equilibrios de Nash perfectos en
subjuegos.
Ejercicio 1.5 (Ejercicio 3.8, Bonanno, 2015)
Sea el siguiente juego en forma extensiva.
1. Encuentre el conjunto de equilibrios de Nash perfectos en subjuegos.
2. Encuentre el conjunto de equilibrios de Nash. ¿Existen amenazas no creı́bles?.
Ejercicio 1.6
Considere el siguiente juego de dos jugadores.
Jugador 1 escoge la acción l o r, donde con l termina el juego con pagos (2,0).
Jugador 2 observa la acción tomada por el jugador 1. Si el jugador 1 escoge r, el jugador 2 puede escoger entre l′ y
r ′ , donde si juega l′ el juego termina con pagos (1,1).
El jugador 1 observa lo que el jugador 2 jugó. Si se ha escogido r y r ′ entonces el jugador 1 puede escoger entre l′′ y
r ′′ , con ambas estrategias el juego termina. Si se el jugador 1 escoge l′′ los pagos serán (3,0), mientras que si escoge
r ′′ los pagos serán (0,2).
1. Escriba el juego en forma extensiva.
2. Escriba el juego en forma normal y encuentre el conjunto de equilibrios de Nash del juego.
3. Encuentre el conjunto de equilibrios de Nash perfectos en subjuegos.
2
2. Juegos en forma normal con información incompleta
2.1. Equilibrio Bayesiano de Nash
Ejercicio 2.1 (Ejercicio 5.3, De Feo, 2011)
Considere el siguiente juego estático con información incompleta. La naturaleza escoge el tipo c del jugador 1, tal que
se elije c = 2 con probabilidad 2/3 y c = 0 con probabilidad 1/3. El jugador 1 observa c, pero el jugador 2 no. Los jugadores
juegan simultáneamente y obtienen sus pagos, como se muestra en la siguiente matriz.
Jugador 2
X Y
Jugador 1 A 0,1 1,0B 1,0 c,1
1. Escriba el juego bayesiano en forma normal.
2. Encuentre el conjunto de equilibrios Bayesianos de Nash.
Ejercicio 2.2
Considere la siguiente situación. Hay dos firmas, el incumbente (jugador 1) y el potencial entrante (jugador 2). El
incumbente puede escoger entre construir una nueva fabrica (B) o no hacerlo (D), mientras el potencial entrante puede
escoger entre entrar (E) o mantenerse pasivo (P). El incumbente tiene un costo de construcción igual a c, el cual puede ser
alto, cH , o bajo, cL, con cH > cL. El potencial entrarte cree que la probabilidad de que el costo sea alto es p1.
Los pagos si los costos son altos son los siguientes.
Entrante
E D
Incumbente B 0,-1 2,0D 2,1 3,0
Los pagos si los costos son bajos son los siguientes.
Entrante
E D
Incumbente B 3,-1 5,0D 2,1 3,0
1. Formule el juego como uno Bayesiano.
2. Encuentre el conjunto de equilibrios Bayesianos de Nash para p1 <
1
2
.
3. Encuentre el conjunto de equilibrios Bayesianos de Nash para p1 >
1
2
.
Ejercicio 2.3 (Ejercicio 280.3, Osborne, 2004)
Dos individuos reciben, cada uno, un ticket en donde se especifica el tamaño del premio que pueden recibir. Este
premio puede ser cualquier entero ente 1 y m, con m > 1. Los tickets son asignados aleatoria e independientemente. Cada
individuo tiene la opción de cambiar su premio por el del otro jugador, esta opción la deben tomar simultáneamente. Si
ambos deciden intercambiar premios, estos serán intercambiados, en otro caso cada uno recibirá el premio que sale en su
ticket. Cada individuo desea maximizar su pago esperado.
1. Describa este juego como uno Bayesiano.
2. Encuentre el conjunto de equilibrios Bayesianos de Nash.
3. Muestre que en cualquier equilibrio Bayesiano de Nash el mayor premio que un jugador esta dispuesto a intercam-
biar es el menor premio posible.
3
Ejercicio 2.4 (Ejercicio 12.2, Tadelis, 2013)
Considere un modelo de Cournot en donde dos firmas, 1 y 2, escogen simultáneamente la cantidad que producirán, q1
y q2. El precio de producción es determinado por el mercado según la siguiente función inversa de Demanda p(q1,q2) =
a− b(q1 + q2). Cada firma tiene una probabilidad µ de tener un costo marginal bajo cL y 1−µ de tener un costo marginal
alto cH . Las probabilidades son conocidas por ambos, pero el tipo de costo marginal es información privada.
Encuentre el conjunto de equilibrios Bayesianos de Nash
Ejercicio 2.5 (Ejercicio 3.3, Gibbons, 1992)
Considere un duopolio de Bertrand con productos diferenciados. La demanda por la firma i es qi(pi ,pj ) = a−pi−bi ·pj .
Los costos son cero para ambas firmas. La sensibilidad de la firma i a los precios de la firma j puede ser alta o baja, bH o
bL. Con probabilidad θ la firma i tendrá sensibilidad alta, bH , esto será independiente de la realización de bj . Cada firma
conoce su sensibilidad pero no la de la otra firma.
1. Describa el juego como uno Bayesiano.
2. Encuentre el conjunto de equilibrios Bayesianos de Nash.
3. Juegos en forma extensiva con información incompleta
3.1. Equilibrio Bayesiano Perfecto
Ejercicio 3.1 (Ejercicio 4.10, Gibbons, 1992)
Dos socios deciden disolver su sociedad. El socio 1 es dueño de un porcentaje s del total de acciones, el socio dos es
dueñodel resto. Ambos acceden a jugar el siguiente juego. El socio 1 dice un precio por el total de la sociedad, luego el
socio 2 debe decidir si compra la parte del socio 1 a ps o vende su parte a p(1− s). Suponga que es de conocimiento común
que la valoración de la sociedad esta uniformemente distribuida entre [0,1], pero la valoración de cada uno es información
privada.
Encuentre el conjunto de equilibrios Bayesianos Perfectos.
Ejercicio 3.2 (Ejercicio 15.6, Tadelis, 2013)
Considere el siguiente juego de tres personas.
1. Encuentre el conjunto de equilibrios Bayesianos de Nash del juego.
2. ¿Cuál de los equilibrios Bayesianos de Nash son equilibrios Bayesianos Perfectos?
Ejercicio 3.3 (Ejercicio 15.1, Tadelis, 2013)
Considere el siguiente juego de dos personas.
4
1. Encuentre el conjunto de equilibrios Bayesianos de Nash del juego.
2. ¿Cuál de los equilibrios Bayesianos de Nash son equilibrios Bayesianos Perfectos?
Ejercicio 3.4 (Ejercicio 4.14, Gibbons, 1992)
Nelebuff (1987) analiza el siguiente modelo entre un defensor y un demandante. Si el caso va a juicio el defensor estará
forzado a pagarle al demandante un monto d por daños. Es de conocimiento común que d se distribuye uniforme entre
[0,1] y solamente el defensor conoce el valor de d. Ir a juicio tiene un costo de c < 1/2 para el demandante y el defensor
no tiene costos.
El esquema del juego es el siguiente. (1) El demandante hace una oferta término de s. (2) El defensor puede aceptar o
rechazar la oferta, si acepta los pagos serán s para el demandante y −s para el defensor. (3) Si el defensor rechaza la oferta
el defensor decide si ir o no a juicio, de ir a juicio los pagos serán d − c para el demandante y −d para el defensor, en caso
de no ir los pagos serán cero para ambos.
En la etapa (3) el demandante cree que existe un monto d′ < d tal que puede llegar a un arreglo. ¿Cuál es el espacio en
donde puede ubicarse d′?.
En la etapa (2) dada una oferta de s, si el defensor cree que la probabilidad de que el demandante vaya a juicio si el
rechaza es p. ¿Cuál es la decisión óptima de arreglo para un defensor de tipo d?.
Dada una oferta s > 2c. ¿Cuál es el conjunto de equilibrios Bayesianos Perfectos del juego que parte en la etapa (2)?.
Dada una oferta s < 2c. ¿Cuál es el conjunto de equilibrios Bayesianos Perfectos del juego entero si c < 1/3 ? ¿y si
1/3 < c < 1/2?.
Ejercicio 3.5 (Ejercicio 4.11, Gibbons, 1992)
Un comprador y un vendedor tienen valoraciones de vc y vv respectivamente. Es de conocimiento común que existen
ganancias por comerciar, vale decir vc > vc, pero el valor de la ganancia es información privada. La valoración del vendedor
se distribuye uniforme entre [0,1], la valoración del comprador es vc = k · vv donde k > 1 es de conocimiento común. El
vendedor conoce vv y por lo tanto conoce vc, pero el comprador no conoce esta información. Suponga que el comprador
hace una oferta p, que el vendedor puede aceptar o rechazar.
¿Cuál es el conjunto de equilibrios Bayesianos Perfectos cuando k < 2? ¿y cuando k > 2?.
Ejercicio 3.6 (Ejercicio 4.1, Gibbons, 1992)
En los siguientes juegos en forma extensiva.
5
1. Derive la forma normal del juego y encuentre todos los equilibrios de Nash.
2. Encuentre el conjunto de equilibrios de Nash perfectos en subjuegos.
3. Encuentre el conjunto de equilibrios Bayesianos Perfectos.
4. Juegos repetidos
4.1. Juegos finitos
Ejercicio 4.1 (Ejercicio 3.3, De Feo, 2011)
Un mercado está caracterizado por una función de demandaQ = 1−P y por una firma con un costo marginal constante
c. El monopolista esta enfrentando una potencial entrada al mercado por una nueva firma que tiene el mismo costo
marginal, pero debe costear un costo fijo por entrar F = 0,1. Si el incumbente acepta la entrada pasivamente, ambos
compiten a la Cournot. Sin embargo el monopolista puede producir la cantidad de equilibrio competitivo, con lo que el
potencial entrarte tendrı́a pérdidas si ingresa al mercado. Si el incumbente no entra, la firma sigue siendo un monopolista.
1. Suponga que c = 0 y compute los pagos en los casos de : Monopolio, competencia a la Cournot y comportamiento
agresivo.
2. Describa el juego en forma extensiva, donde en la primera etapa el entrante decide si entra o no, y en la segunda
etapa el incumbente decide si responde agresivamente o pasivamente, en caso de entrada, y es monopolio en caso de
no entrada.
3. Encuentre el conjunto de equilibrios perfectos en subjuegos. ¿Es creı́ble la estrategia de respuesta agresiva?.
4. Describa el juego en forma normal y encuentre el conjunto de equilibrios de Nash. ¿Hay algún equilibrio que sea
una amenaza no creı́ble?.
Asuma que el incumbente es un monopolista en 10 diferentes mercados nacionales y el decide el trato de entrada de
manera secuencial (i.e en la primera etapa el monopolista juega el juego de entrada en el mercado 1, en la segunda
etapa lo juega en el mercado 2 y ası́ sucesivamente).
5. Encuentre el conjunto de equilibrios de Nash perfecto en subjuegos por inducción hacia atrás.
Ejercicio 4.2 (Ejercicio 10.6, Tadelis, 2013)
Considere una firma (jugador 1) que produce una única droga que puede usar un consumidor (jugador 2). Esta droga
es regulada por el gobierno, quien impone un precio de p = 6. El precio es fijo pero la cantidad del medicamento depende de
6
cómo se controle la producción. El costo de producción ”bueno” es de 4 para la firma y un valor de 9 para el consumidor,
el costo de producción ”malo” es de 0 para la firma y tiene un valor de 4 para el consumidor. El consumidor puede escoger
si comprar o no a un precio p, lo que se escoge antes de que se produzca la droga. Sin embargo, luego de consumir, la
verdadera calidad de la droga es revelada para el consumidor. La decisión sobre el costo de producción es tomada antes
que la firma sepa si el consumidor comprará o no la droga.
1. Escriba el juego en forma extensiva y encuentre el conjunto de equilibrios de Nash.
2. Ahora asuma que el juego se repite 2 veces, esto implica que el consumidor aprende la calidad de la droga en cada
periodo. Asuma que ambos jugadores intentan maximizar la suma de los pagos (no descontado) de los dos periodos.
Encuentre el conjunto de equilibrios de Nash perfectos en subjuegos.
4.2. Juegos infinitos
Ejercicio 4.3
Considere que el Ejercicio 4.2 se repite infinitamente.
1. Suponga que cada jugador intenta maximizar la suma de sus pagos en cada periodo descontado a una tasa δ ∈ (0,1).
En qué rango de δ el costo de producción ”bueno” será usado como un equilibrio perfecto en subjuegos.
2. Los consumidores luchas por bajar el precio de la droga a 5. La firma se presenta ante el regulador diciendo que si el
precio de la droga baja a 5 tendrı́a directas consecuencias para ellos y para el consumidor.
Argumente, usando los parámetros y lo realizado anteriormente, a favor de la firma. ¿Qué sucede con los consumi-
dores?.
Ejercicio 4.4 (Ejercicio 3.1, De Feo, 2011)
Dos granjeros, José y Guillermo, sacan a pastar sus animales en un espacio común. Ellos pueden elegir si usar el espacio
común de manera intensiva o delicada, la interacción estratégica del juego se resumen en el siguiente cuadro.
Guillermo
delicado intenso
José delicado 40,40 20,55intenso 55,20 30,30
1. Encuentre el conjunto de equilibrios de Nash del juego y muestre que es un ejemplo del ”Dilema del Prisionero”.
2. Suponga que el juego se repite infinitamente. Es la estrategia {delicado, delicado} un equilibrio de Nash si ambos
jugadores juegan estrategias de gatillo y el factor de descuento es 0.7.
Ejercicio 4.5 (Ejercicio 10.2, Tadelis, 2013)
Considere el siguiente juego, que se repite infinitamente con un factor de descuento δ < 1.
Jugador 2
L C R
Jugador
1
T 6,6 -1,7 -2,8
M 7,-1 4,4 -1,5
B 8,-2 5,-1 0,0
1. Para que valores de la tasa de descuento, δ, los jugadores pueden soportar el equilibrio (M,C) jugado en cada
periodo.
2. Para que valores de la tasa de descuento, δ, los jugadores pueden soportar el equilibrio(T ,L) jugado en cada periodo.
¿Por qué es diferente la respuesta a lo encontrado anteriormente?
7
5. Diseño de Mercados
Ejercicio 5.1 (Ejercicio 7.1, Hoelle, 2014)
Considere una subasta por un bien con tres oferentes. Cada agente tendrá una valoración vi con i = {1,2,3}, por el
bien. Considere una subasta de tercer precio, esto es, gana el jugador con la oferta más alta y paga la tercera oferta más
alta (En este caso serı́a la oferta más baja). Cada oferta se realiza de forma aleatoria. ¿Es una estrategia dominante para
el oferente ofertar su valoración por el bien, vi? ¿Por qué?.
Ejercicio 5.2 (Ejercicio 7.2, Hoelle, 2014)
Suponga que usted es uno de dos posibles oferentes en una subasta por entradas para el Super Bowl. Cada oferente,
incluyéndolo, conoce su propio valor por la entrada, pero no el de los demás. Todos los oferentes conocen que la valoración
de la entrada se distribuye uniformemente entre $200 y $300. Su valor por la entrada es de $280.
Encuentre la estrategia de equilibrio.
Ejercicio 5.3 (Ejercicio 13.2, Tadelis, 2013)
Considere un conjunto de N jugadores que participan en una subasta a segundo precio. Sin embargo, existe informa-
ción completa, todos conocen la valoración que tiene el otro por el bien.
1. ¿Se mantiene el hecho de que ofertar la valoración es una estrategia estrictamente dominante?.
2. ¿Existe otro equilibrio de Nash?
Ejercicio 5.4 (Ejercicio 13.6, Tadelis, 2013)
Considere una subasta a tercer precio en donde el ofertante con la mayor oferta se queda con el objeto y paga la
tercera oferta más alta. Suponga que la valoración de los n jugadores es privada, son i.i.d y provienen de una distribución
uniforme [0,1].
1. Escriba la función de pago esperado para el ofertante.
2. Muestre que si cada jugador sigue una estrategia de oferta entonces se jugará un equilibrio Bayesiano en que la
estrategia de equilibrio del jugador i es:
si(θi) =
n− 1
n− 2
θi
Referencias
[1] G. Bonanno, Game Theory: An open access textbook with 165 solved excercises. University of California, Davis,
2015.
[2] G. De Feo, Game Theory: Solutions & Answers to Exercise Set 1, 2011.
[3] R. Gibbons, Game Theory for Applied Economist. Princeton University Press, 1992.
[4] M. Hoelle, Game Theory. Spring 2014.
[5] S. Tadelis, Game Theory: An Introduction. Princeton University Press, 2013.
[6] H. Varian, Microeconomic Analysis. Norton, 3 ed., 1992.
[7] G. A. Jehle and P. J. Reny, Advanced Microeconomic Theory. Pearson Education Limited, 3 ed., 2011.
[8] M. J. Osborne, An introduction to game theory, vol. 3. Oxford university press New York, 2004.
8