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Economı́a y Teorı́a de Juegos
Guı́a de Ejercicios N°1
Pontificia Universidad Católica de Chile
Prof. Rodrigo Harrison
Ay. Sebastián Castillo
Agosto 2017
1. Juegos en Forma Normal con Información Completa
1.1. Conocimiento Común, Racionalidad y Dominancia
Ejercicio 1.1 (Ejercicio 1, De Feo, 2011)
Raquel, la empleada, debe escoger si sigue su formación, a un costo de $1,000 para ella, o no hacerlo. Vera, la emplea-
dora, debe escoger entre pagar un salario fijo a Raquel de $10,000 o repartir las ganancias de la empresa en una fracción
50:50 con ella. El resultado de la empresa está directamente afectado por las decisiones de formación y pago que Raquel y
Vera toman. Si no hay formación y el pago es fijo, el producto de la empresa es de $20,000; mientras que si se implementa
la formación o la repartición de ganancias, el producto aumenta a $22,000. En el caso de darse la formación y repartición
de ganancias el producto de la empresa asciende a $25,000.
1. Defina el Juego Normal.
2. ¿Existe alguna estrategia estrictamente dominada o débilmente dominada? Defı́nalas.
3. ¿Puede encontrar un equilibrio mediante eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas?, de poder
encontrarlo defı́nalo y explique los pasos para lograrlo.
Ejercicio 1.2 (Ejercicio 5.12, Bonanno, 2015)
En el siguiente juego, para cada jugador, encuentre el conjunto de estrategias racionalizables.
Jugador 2
L M R
Jugador 1
A 3,5 2,0 2,2
B 5,2 1,2 2,1
C 9,0 1,5 3,2
1
Ejercicio 1.3 (Ejercicio 1.2, Gibbons, 1993)
Sea el siguiente juego en forma normal.
L C R
T 2,0 1,1 4,2
M 3,4 1,2 2,3
B 1,3 0,2 3,0
1. ¿Qué estrategias sobreviven a la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas?.
2. Verifique si existe un equilibrio en estrategias estrictamente dominantes.
Ejercicio 1.4 (Ejercicio 1.1, Bonnano, 2015)
Antonia y Bob no pueden decidir donde almorzar. Antonia propone el siguiente procedimiento: Ella escribirá en un
papel uno de los siguientes números: 2, 4 ó 6. Por otro lado, Bob escribirá en un papel uno de los siguientes números: 1, 3
ó 5. Ambos escribirán su alternativa de forma secreta e independiente. Cada uno mostrará su alternativa y se escogerá de
acuerdo a la suma de ambas opciones según la siguiente regla de decisión:
Si la suma es igual o menor a 5, ellos irán a un restorán Mexicano.
Si la suma es igual a 7, asistirán a un restorán Italiano.
Si la suma es igual o superior a 9, irán a un restorán Japonés.
Con esta información se pide lo siguiente:
1. Sea Antonia el jugador 1 y Bob el jugador 2. Describa el juego en forma normal.
2. Suponga que se tiene la siguiente preferencia por parte de cada jugador.
Las preferencias por restaurantes de Antonia son las siguientes:
Mexicana � Italiana � Japonesa
Las preferencias por restaurantes de Bob son las siguientes:
Italiana �Mexicana � Japonesa
Usando estas preferencias, describa la función de mejor respuesta para cada jugador. Indique si existe alguna(as)
estrategias débilmente dominadas o estrictamente dominadas para cada jugador.
Ejercicio 1.5 (Ejercicio 1.3, Bonnano, 2015)
Alicia (jugador 1), Bob (jugador 2) y Carlos (jugador 3) juegan el siguiente juego simultáneo. Cada jugador se encuen-
tra sólo en una habitación junto a un botón, cada uno debe decidir si apretar o no dicho botón. Alicia gana si el número
de jugadores que presiona el botón es impar, Bob gana si dos personas presionan el botón y Carlos gana si nadie presiona
el botón.
1. Represente esa situación como un juego en forma normal.
2. Encuentre el conjunto de equilibrios de Nash, ¿Existen estrategias que dominen a otras?
2
Ejercicio 1.6 (Ejercicio 15.8, Varian, 1992)
Considere el siguiente juego
L M R
T 1,0 1,2 2,-1
M 1,1 1,0 0,-1
B -3,-3 -3,-3 -3,-3
1. ¿Cuál de las estrategias en las filas es estrictamente dominada?
2. ¿Cuál de las estrategias en las filas es débilmente dominada?
3. ¿Cuál de las estrategias en las columnas esta estrictamente dominada?
4. Si eliminamos las estrategias estrictamente dominadas en las columnas, ¿Hay alguna estrategia de las filas débil-
mente dominada?
Ejercicio 1.7 (Ejercicio 4.6, Tadelis, 2013)
Dos compañeros de departamento necesitan escoger quién limpia el departamento, cada i, con i = {1,2} escoge una
unidad de tiempo ti ≥ 0 para limpiar. Si sus elecciones son ti y tj , la utilidad para el jugador i será (10 − tj )ti − t2i . Esta
función implica que mientras más limpia un compañero el departamento, menos valiosa es la limpieza para el otro.
1. ¿Cuál es la correspondencia de mejor respuesta de cada jugador i?
2. Determinar el conjunto de estrategias que sobreviven a la eliminación iterativa de estrategias estrictamente domi-
nadas.
Ejercicio 1.8 (Ejercicio 4.10, Tadelis, 2013)
Hay torres de salvavidas en una playa, donde la torre más a la izquierda es la número 1 y la más a la derecha es la
número 5. Dos vendedores, el jugador 1 y el jugador 2, tienen un puesto de helado cada uno, que pueden localizar cerca de
una de las torres. Hay 25 personas localizadas cerca de cada torre y cada una va a comprar al puesto que esté más cercano
a ella. Esto implica que si el jugador 1 se localiza cerca de la torre 2 y el jugador 2 cerca de la torre 3, 50 personas irán a
comprar al puesto del jugador 1 y 75 personas al puesto del jugador 2. Por cada compra se obtienen beneficios de $1.
1. Especifique la estrategia de cada jugador. ¿Existe alguna estrategia estrictamente dominada?
2. Encuentre el conjunto de estrategias racionalizables.
Ejercicio 1.9 (Ejercicio 7.4, Jehle y Reny, 2011)
Considere el siguiente juego.
L M R
U 3,0 0,-3 0,-4
D 2,4 4,5 -1,8
1. Muestre que, para el jugador 2 (columna), las estrategias puras L y R dominan estrictamente a la estrategia pura
M.
2. Muestre que la estrategia pura M es estrictamente dominada por la estrategia mixta donde el jugador 2 escoge L con
probabilidad 1/2 y R con probabilidad 1/2.
3
Ejercicio 1.10 (Ejercicio 5.14, Bonanno, 2015)
Considere el siguiente juego de tres jugadores donde en este caso solo se muestran los pagos para el jugador 1.
Jug 2 Jug 2
E F E F
Jug 1
A 3 0
Jug 1
A 0 0
B 0 3 B 3 0
C 0 0 C 0 3
D 2 0 D 0 2
Jug 3: G Jug 3: H
1. Tome cada matriz por separado, ¿Existe alguna estrategia estrictamente dominada?
2. Mire el juego completo, ¿Existe alguna estrategia estrictamente dominada?
1.2. Equilibrio de Nash en Estrategias Puras
Ejercicio 1.11 (Ejercicio 1.3, Gibbons, 1993)
El jugador 1 y el jugador 2 están inmersos en una discusión sobre cómo repartir un dolar. Ambos jugadores dicen
simultáneamente que parte del dolar quisieran tener, s1 y s2, donde 0 ≤ s1, s2 ≤ 1. Si s1 + s2 ≤ 1, los jugadores reciben los
montos que dijeron; si s1 + s2 > 1, ambos jugadores reciben 0. Determine las estrategias de equilibrio.
Ejercicio 1.12 (Ejercicio 2, De Feo, 2011)
Construya la función de mejor respuesta y encuentre el equilibrio de Nash de los siguientes juegos.
1. Juego 1
Left Right
Up 9,20 90,0
Middle 12,14 40,13
Down 14,0 17,-2
2. Juego 2
Left Center Right
Up 2,8 0,9 4,3
Down 3,7 -2,10 2,15
3. Juego 3
Left Right
Up 9,86 7,5
Middle 6,5 10,6
Down 15,75 4,90
4
Ejercicio 1.13 (Ejercicio 5.18, Tadelis, 2015)
Dos candidatos están compitiendo por un puesto en el Senado. Cada candidato i puede gastar si ≥ 0 para llegar a nue-
vos votantes, lo que incrementa la probabilidad de i de ganar la elección. Dado un par de gasto (s1, s2), la probabilidad de
que el candidato i gane la elección esta dada por si /(si +sj ). Si ninguno realiza un gasto, cada uno tendrá una probabilidad
de 1/2 de ganar. Cada candidato valora ganar en v > 0, y el costo de gastar un monto si será si .
1. Dado dos niveles de gasto (s1, s2), escriba la función de pagos esperado para el candidato i.
2. Encuentre la función de mejor respuesta para el jugador i.
3. Encuentre el conjunto de equilibrios de Nash.
Ejercicio 1.14 (Ejercicio 5, De Feo, 2011)
Las firmas Alpha y Beta sirven en el mismo mercado. Ambastienen costos marginales constantes de $2 por unidad.
Las firmas pueden elegir entre imponer un precio alto ($10) o bajo ($5) para su producto. cuando ambas firmas eligen un
precio alto, la demanda total sera igual a 10,000 unidades que se reparte en partes iguales entre las firmas. Cuando ambas
firmas escogen un precio bajo, la demanda total es de 18,000 unidades, que se reparte en partes iguales entre las firmas.
Si alguna firma escoge precio bajo, mientras la otra escoge precio alto, la primera venderá 15,000 unidades y la segunda
2,000 unidades.
1. Construya la matriz de pagos del juego.
2. Encuentre el equilibrio de Nash.
3. Explique por qué esta representación puede ser vista como un dilema del prisionero.
Ejercicio 1.15 (Ejercicio 1.6, Gibbons, 1992)
Considere un duopolio de Cournot donde la inversa de la demanda es P (Q) = a−Q. Las firmas tienen costos marginales
asimétricos: c1 para la firma 1 y c2 para la firma 2.
1. ¿Cuál es el conjunto de equilibrios de Nash si 0 < ci < a2 para cada firma?
2. ¿Cuál es el conjunto de equilibrios de Nash si c1 < c2 < a pero 2c2 > a+ c1?
Ejercicio 1.16 (Ejercicio 1.8, Gibbons, 1992)
Considere una población de votantes uniformemente distribuidos sobre un espectro ideológico desde la izquierda
(x = 0) a la derecha (x = 1). Cada candidato de un partido elige simultáneamente una plataforma de campaña (i.e,
un punto entre x = 0 y x = 1). Los votantes observan la elección de los candidatos y luego votan por aquel que se en-
cuentra más cerca de su posición en el espectro. Si hay dos candidatos que eligen las plataformas x1 = 0,3 y x2 = 0,6, por
ejemplo, los votantes a la izquierda de x = 0,45 eligen al candidato 1 y los otros al candidato 2, con esto el candidato 2
gana la elección con el 55% de los votos. Suponga que los candidatos sólo se preocupan de ser electos, realmente no se
preocupan de su plataforma en lo absoluto.
1. Si hay dos candidatos, ¿Cuál es el equilibrio de Nash en estrategias puras?
2. Si hay tres candidatos, ¿Cuál es el equilibrio de Nash en estrategias puras?
Asuma que en caso de elegir la misma plataforma, se tirará una moneda al aire que resolverá qué candidato se queda
con ella.
5
Ejercicio 1.17 (Ejercicio 10.5, Tadelis, 2015)
Dos gerentes de división pueden invertir en tiempo y esfuerzo para generar un mejor ambiente laboral. Cada uno
invierte ei ≥ 0, si ambos invierten más entonces ambos están mejor. Invertir es costoso, en particular, la función de pago
para el jugador i para los niveles de esfuerzo (ei , ej ) es: vi(ei , ej ) = (a+ ej )ei − e2i .
1. ¿Cuál es la función de mejor respuesta para de cada jugador?
2. En qué sentido esta función de mejor respuesta es diferente a la de un juego de Cournot, ¿Por qué?
3. Encuentre el conjunto de equilibrios de Nash del juego, especifique si es único y por qué.
Ejercicio 1.18 (Ejercicio 5.6, Tadelis, 2015)
Existen recursos por ser obtenidos (i.e. comida, territorio, etc.) denotado por v. Cada uno de los dos jugadores pueden
escoger entre ser agresivos, halcones (H), o pueden ser comprometidos, palomas (D). Si ambos jugadores escogen H, enton-
ces obtienen los recursos (se reparte el recurso entre ambos) pero tienen una desutilidad por los daños de la competencia,
denotado k. Asuma que k > v/2. Si ambos escogen D consiguen el recurso (se reparte el recurso entre ambos) pero incurren
en un costo de d, con d < v/2. Finalmente si algún jugador escoge H y el otro escoge D, el primero se queda con todo el
recurso y el segundo obtiene un pago de 0.
1. Describa la matriz de pagos del juego.
2. Asuma que v = 10, k = 6 y d = 4. Encuentre el equilibrio de Nash del juego.
1.3. Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas
Ejercicio 1.19 (Ejercicio 4, De Feo, 2011)
Las compañı́as A y B pueden competir en publicidad o en innovación y desarrollo (I&D). La tabla que sigue resume
los pagos del juego simultáneo que ambas compañı́as juegan.
Compañı́a B
Publicidad I&D
Compañı́a A Publicidad 50,25 10,70I&D 20,40 60,35
1. Encuentre el equilibrio en estrategias mixtas.
2. ¿Cuáles son los pagos esperados de ambos jugadores?
Ejercicio 1.20 (Ejercicio 5.3, Bonanno, 2015)
Considere el siguiente juego en forma reducida
Jugador 2
D E
Jugador 1 A 0,1 6,3B 4,4 2,0
C 3,0 4,2
1. Calcule los pagos esperados para la siguiente estrategia mixta:((
A =
1
4
;B =
3
4
;C = 0
)
,
(
D =
1
2
;E =
1
2
))
2. Compruebe si la estrategia anterior es un equilibrio de Nash.
6
Ejercicio 1.21 (Ejercicio 6.4, Tadelis, 2015)
Un empleado (jugador 1) puede decidir entre trabajar (W) o eludir (S), mientras su empleador (jugador 2) puede
escoger entre monitorear (M) o ignorar (I). Si el empleado trabaja, el jefe prefiere no monitorearlo, pero si el jefe no
monitorea, el empleado prefiere eludir. El juego esta representado en la siguiente matriz de pagos.
Jugador 2
M I
Jugador 1 W 1,1 1,2S 0,2 2,1
1. Escriba la función de mejor respuesta de cada jugador.
2. Encuentre el equilibrio de Nash del juego. ¿A qué tipo de juego le recuerda?
Ejercicio 1.22 (Ejercicio 5.4, Bonanno, 2015)
Considere el siguiente juego en forma reducida.
Jugador 2
D E
Jugador 1 A 2,3 8,5B 6,6 4,2
Pruebe que la siguiente estrategia es un equilibrio de Nash.((
A =
2
3
;B =
1
3
)
,
(
D =
1
2
;E =
1
2
))
Ejercicio 1.23 (Ejercicio 6.6, Tadelis, 2015)
Considere dos firmas competitivas en una industria que no puede soportar la existencia de ambas a la vez (no entrega
beneficios positivos si ambas están a la vez). Cada firma tiene tres posibles elecciones, debe decidir si sale o no de la
industria inmediatamente, al final del semestre o al final del próximo semestre. Si una firma elige salir, entonces su
beneficio será 0 desde ahı́ en adelante. Cada semestre donde ambas firmas cohabitan genera una pérdida igual a −1, y cada
semestre donde una firma se encuentra sola en el mercada gana 2.
1. Escriba el juego en forma normal.
2. ¿Existe alguna estrategia que sea estrictamente o débilmente dominante?
3. Encuentre el equilibrio de Nash en estrategias puras.
4. Encuentre el equilibrio de Nash en estrategias mixtas. (HINT: puede usar su respuesta en 2 para hacer más sencillo
el cálculo)
Ejercicio 1.24 (Ejercicio 5.8, Bonanno, 2015)
Encuentre el equilibrio de Nash en estrategias mixtas del siguiente juego en forma normal.
Jugador 2
L R
Jugador 1 T 1,4 4,3C 2,0 1,2
B 1,5 0,6
7
Ejercicio 1.25 (Ejercicio 6.8, Tadelis, 2015)
Existen tres firmas que están considerando ingresar a un mercado nuevo. El beneficio de cada firma por entrar es
150/n donde n es el número de firmas que entra al mercado. El costo de entrada es de $62.
1. Encuentre los equilibrios de Nash en estrategias puras.
2. Encuentre el equilibrio de Nash simétrico en estrategias mixtas, en este equilibrio las tres firmas entran con la misma
probabilidad.
Ejercicio 1.26 (Ejercicio 5.10, Bonanno, 2015)
Considere el siguiente juego.
Jugador 2
C D
Jugador 1 A x,y 3,0B 6,2 0,4
1. Suponga que x = 2 y y = 2. Encuentre el equilibrio de Nash en estrategias mixtas y calcule los pagos esperados de
ambos jugadores en equilibrio.
2. Encuentre los valores de x e y para los que la siguiente estrategia es un equilibrio de Nash.((
A =
1
5
,B =
4
5
)
,
(
C =
3
4
,D =
1
4
))
Referencias
[1] G. Bonanno, Game Theory: An open access textbook with 165 solved excercises. University of California, Davis,
2015.
[2] G. De Feo, Game Theory: Solutions & Answers to Exercise Set 1, 2011.
[3] R. Gibbons, Game Theory for Applied Economist. Princeton University Press, 1992.
[4] M. Hoelle, Game Theory. Spring 2014.
[5] S. Tadelis, Game Theory: An Introduction. Princeton University Press, 2013.
[6] H. Varian, Microeconomic Analysis. Norton, 3 ed., 1992.
[7] G. A. Jehle and P. J. Reny, Advanced Microeconomic Theory. Pearson Education Limited, 3 ed., 2011.
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