Ayudantia 10 (E)

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS 
Primer Semestre 2018 
AYUDANTIA 10 
EAS200a: Probabilidad y Estadística 
Ayudante coordinador: Valentina Valdivieso 
Ayudantes docentes: Jorge Jadue, Pedro Correa, Carlos Fardella, M. José Valdivieso, Juan 
Cortés y Antonia Agüero 
1. Un almacén otorga una calificación a cada producto alimenticio que recibe. Aquellos que 
alcanzan una calificación de “excepcional” reciben una bonificación adicional. Las 
proporciones de tomates y lechugas clasificadas como excepcionales varían enormemente de 
un día a otro. Si X denota la variable aleatoria “proporción de tomates con una clasificación 
excepcional” e Y la variable aleatoria “proporción de lechugas con una clasificación 
excepcional”, donde su función densidad conjunta está dada por: 
𝑓𝑋,𝑌 = 3𝑥(1 − 𝑥𝑦), 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑥 < 1 𝑦 0 < 𝑦 < 1 
 
a) Encuentre la probabilidad de que menos de la mitad de los tomates, pero más de la mitad 
de las lechugas, reciban una clasificación excepcional. 
b) Encuentre la función densidad marginal de X e Y. 
c) Encuentre la probabilidad de que X sea menor que 1/2. Encuentre la probabilidad que Y 
sea mayor que 1/2. 
 
2. Un borrachito al salir de un Bar camina con dirección a su casa, pero después de un rato y 
dado su estado de ebriedad comienza a dar pasos hacia adelante, hacia atrás, hacia su derecha 
o hacia su izquierda de manera aleatoria (No da pasos en diagonal y siempre está en 
movimiento). Suponga que los pasos en las cuatro direcciones posibles son de largo un metro. 
 
Imagine un plano cartesiano en ℝ2 y ubique al borrachito en un instante cualquiera en la 
posición (0,0). Suponga que el movimiento hacia adelante o atrás se realiza en el eje X y el 
movimiento hacia la derecha o izquierda en el eje Y, es decir, las nuevas posiciones son: 
 
• Movimiento hacia adelante ⇒ Posición (1,0). 
• Movimiento hacia atrás ⇒ Posición (−1,0). 
• Movimiento hacia su derecha ⇒ Posición (0,−1). 
• Movimiento hacia su izquierda ⇒ Posición (0,1). 
 
Sea (X,Y) el vector aleatorio que denota la posición del borrachito tomando como punto de 
partida la posición (0,0). 
 
a) Obtenga la función de probabilidad conjunta de (X, Y). También obtenga las esperanzas 
y varianzas marginales de X y de Y. 
b) Calcule el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria X2 + Y2. 
Denotemos como (0,0) la posición del borrachito en un instante cualquiera y a continuación 
este realiza n pasos independientes entre sí. Defina el vector aleatoria (Xi,Yi) como el 
movimiento en el i-ésimo paso. La independencia de los n movimiento implican que las 
variables aleatorias X1, ..., Xn y las variables aleatorias Y1, ..., Yn son independientes. 
c) Obtenga el valor esperado de D2 = (X1 + ⋯ + Xn)2 + (Y1 + ⋯ + Yn)2. 
 
3. Sea X e Y variables aleatorias cuya función de densidad conjunta es uniforme (constante) 
sobre la región encerrada por las funciones 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥2 
 
a) Determine 𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) 
b) Obtenga 𝑓𝑋(𝑥) 
c) Obtenga 𝑓𝑌(𝑦) 
 
4. Suponga que se lanza un dado “honesto” dos veces y a usted le interesa analizar el 
comportamiento probabilístico conjunto del mínimo y máximo valor obtenido. 
 
a) Determine la función de probabilidad conjunta del mínimo y máximo valor obtenido. 
b) Determine las funciones de probabilidad marginal del mínimo y máximo valor obtenido.