Capitulo1

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EAS200a - Probabilidad y Estad́ıstica
R. Aguila - M. I Vicuña - O. Ferreiro
2o Semestre 2017
Caṕıtulo 1
: , 1
Contenido I
� Eventos y Probabilidad
Introducción
Caracteŕısticas de Problemas Relacionados con Probabilidades
Estimación de Probabilidades
� Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Definiciones Importantes
Operaciones Matemáticas de Conjuntos
� Matemática de la Probabilidad
Ley Aditiva
Cálculo de Probabilidades: Métodos de Conteo
Probabilidad Condicional
Ley Multiplicativa
Teorema de Probabilidades Totales
Teorema de Bayes
:
Eventos y Probabilidad
Eventos y Probabilidad
Introducción
I La inquietud por querer entender o interpretar un cierto fenómeno
está siempre presente.
I Los fenómenos pueden ser determińısticos o aleatorios
I Los fenómenos aleatorios son el objeto de la Estad́ıstica, que una
vez realizado el fenómeno se obtienen las observaciones, pero antes
de su realización conlleva un nivel de incertidumbre
:
Eventos y Probabilidad
Eventos y Probabilidad
Introducción
I Para reducir el nivel de incertidumbre, se puede establecer todos los
posibles resultados en el que se puede presentar el fenómeno,
llamados eventos o sucesos aleatorios
I Una medida para cuantificar el grado de incertidumbre es la
probabilidad, la cual asigna un valor numérico a cada evento como
un indicador de las posibilidades que tiene de acontecer
:
Eventos y Probabilidad
Eventos y Probabilidad
Caracteŕısticas de Problemas Relacionados con Probabilidades
Para todo fenómeno (o experimento) se define un conjunto especifico de
resultados llamado:
“Espacio de Resultados Posibles”
Un evento de interés esta compuesto por uno o más resultados de este
espacio.
La probabilidad de un evento es una medida numérica de la ocurrencia de
éste, con respecto a los otros resultados posibles
:
Eventos y Probabilidad
Eventos y Probabilidad
Caracteŕısticas de Problemas Relacionados con Probabilidades
Ejemplos de fenómenos o experimentos aleatorios
I Se lanza una moneda al aire y el resultado puede ser cara o cruz.
I Un cliente entre a una tienda entra y realiza o no una compra.
I Se observa la evolución diaria de un ı́ndice bursátil.
I Se selecciona una caja de cereal y se pesa para averiguar si el peso
que aparece en el envase es inferior o superior al registrado por la
pesa.
I Lanzamiento de un dado de seis caras al aire.
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Eventos y Probabilidad
Eventos y Probabilidad
Caracteŕısticas de Problemas Relacionados con Probabilidades
Ejemplo 1: Lanzamiento de un dado al aire
¿Cuál es el espacio de resultados posibles muestral del lanzamiento al aire
de una dado de seis caras?
Ejemplo 2: Resultado de una inversión
Un inversor sigue el ı́ndice bursátil Dow-Jones. ¿Cuáles son los resultados
básicos posibles al cierre de la sesión?
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Eventos y Probabilidad
Eventos y Probabilidad
Estimación de Probabilidades
El cálculo de probabilidad de un evento, esta basado en la asignación de
medidas de probabilidad de todos los resultados posibles.
La asignación puede estar basado en condiciones dadas, en evidencia
emṕırica o en juicios subjetivos.
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Eventos y Probabilidad
Eventos y Probabilidad
Estimación de Probabilidades
Probabilidad Clásica
La probabilidad clásica es la proporción de veces que ocurrirá un suceso,
suponiendo que todos los resultados contenidos en el espacio de
resultados posibles tiene la misma probabilidad de ocurrir.
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Eventos y Probabilidad
Eventos y Probabilidad
Estimación de Probabilidades
Probabilidad Frecuentista
La probabilidad de un suceso A se aproxima por el ĺımite de la frecuencia
relativa de ocurrencias de un suceso A a partir de un gran número de
pruebas n.
P(A) = lim
n→∞
nA
n
,
donde nA es el número de veces que se obtiene el suceso A y n el número
total de pruebas.
:
Eventos y Probabilidad
Eventos y Probabilidad
Estimación de Probabilidades
Probabilidad Subjetiva
La probabilidad subjetiva expresa el grado en que una persona cree que
ocurrirá un suceso. Estas probabilidades subjetivas se utilizan en algunos
procedimientos empresariales de toma de decisiones.
:
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Definiciones Importantes
Consideremos un fenómeno aleatorio
I Espacio muestral: Conjunto de todos los resultados posibles.
I Punto muestral: Un resultado particular.
I Evento: Subconjunto de resultados posibles.
El espacio muestral puede ser discreto o continuo. El caso discreto
corresponde a un espacio muestral compuesto por un conjunto contable
(numerable) de puntos muestrales, mientras que el caso continuo
corresponde a un espacio muestral compuesto de un continuo de puntos
muestrales.
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Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Definiciones Importantes
Evento Imposible: Denotado por φ es un evento sin puntos muestrales.
Evento Certeza: Denotado por S u Ω, es un evento que contiene a
todos los puntos muestrales.
Evento Complemento: Denotado por E , contiene todos los puntos
muestrales de S que no están contenidos en un evento E .
Unión de Eventos: Para dos eventos E1 y E2, su union forma un nuevo
evento que contiene los puntos muestrales de E1 y los contenidos en E2
que no se encuentran en E1.
Intersección de Eventos: Para dos eventos E1 y E2, su intersección
forma un nuevo evento que contiene los puntos muestrales contenidos en
E1 y en E2 a la vez.
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Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Definiciones Importantes
Eventos Mutuamente Excluyentes (Disjuntos): Son eventos que no
tienen puntos muestrales en común, es decir, su intersección es vaćıa.
Eventos Colectivamente Exhaustivos: Son eventos que unidos
conforman el espacio muestral.
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Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Definiciones Importantes
Ejemplo 3: Lanzamiento de un dado al aire
Se lanza un dado al aire. Sea A el suceso “el número resultante es par” y
B el suceso “el número resultante es como ḿınimo un 4”.
Halle el complemento de cada suceso, la intersección y la unión de A y
B, y la intersección entre A y B.
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Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Definiciones Importantes
Ejemplo 4: Índice bursátil Dow-Jones
Estos son cuatro resultados básicos del ı́ndice bursátil en dos d́ıas
consecutivos:
O1 : El ı́ndice sube los dos d́ıas.
O2 : El ı́ndice sube el primer d́ıa, pero no sube el segundo.
O3 : El ı́ndice no sube el primer d́ıa, pero sube el segundo.
O4 : El ı́ndice no sube ninguno de los dos d́ıas.
Considere ahora los siguientes eventos
I A: El ı́ndice sube el primer d́ıa.
I B: El ı́ndice sube el segundo d́ıa.
Halle la intersección, la unión y el complemento de A y B.
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Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Operaciones Matemáticas de Conjuntos
Hemos visto que dos o más conjuntos (eventos) pueden combinarse
solamente de dos maneras: Unión o Intersección. Estas dos operaciones,
más el proceso de complemento de un evento constituyen las operaciones
básicas que involucran a eventos.
La notación que adoptaremos para designar conjuntos y sus operaciones
básicas son las siguientes:
∪: Unión.
∩: Intersección.
⊃: Contiene.
⊂: Contenido o Subconjunto.
E : Complemento de E .
:
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Operaciones Matemáticas de Conjuntos
Las reglas matemáticas que rigen sobre las operaciones de conjuntos son
las siguientes:
I Igualdad de Conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y sólo si
ambos conjuntos contienen exactamente los mismos puntos
muestrales. Un caso básico es el siguiente
A ∪ φ = A
donde φ representa un conjunto vaćıo.
También se tiene que
A ∩ φ = φ
Por lo tanto
A ∪ A = A y A ∩ A = A
Con respecto al espacio muestral S
A ∪ S = S y A ∩ S = A
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Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Operaciones Matemáticas de Conjuntos
I Conjunto complemento: Con respecto a un evento E y su
complementoE , se observa que
E ∪ E = S y E ∩ E = φ
Finalmente
E = E
I Ley Conmutativa: La unión e intersección de conjuntos son
conmutativas, es decir, para dos conjuntos A y B se cumple que
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
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Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Operaciones Matemáticas de Conjuntos
I Ley Asociativa: La unión e intersección de conjuntos es asociativa,
es decir, para tres conjuntos A, B y C se cumple que
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
I Ley Distributiva: La unión e intersección de conjuntos es
distributiva, es decir, para tres conjuntos A, B y C se cumple que
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C ) ∩ (B ∪ C )
:
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Operaciones Matemáticas de Conjuntos
I Ley de De Morgan: Esta ley relaciona conjuntos y sus
complementos. Para dos conjuntos (eventos), E1 y E2, la ley de De
Morgan dice que
(E1 ∪ E2) = E 1 ∩ E 2
Por inducción se puede generalizar para n eventos
(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En) = E 1 ∩ E 2 ∩ · · · ∩ E n (1)
Aplicando (1) a los complementos E 1, E 2,. . . , E n se tiene que
(E 1 ∪ E 2 ∪ · · · ∪ E n) = E 1 ∩ E 2 ∩ · · · ∩ E n
= E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ En (2)
Aplicando complemento a ambos lados de la igualdad (2) se tiene
que la ley de De Morgan también nos indica que
(E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ En) = E 1 ∪ E 2 ∪ · · · ∪ E n
:
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Elementos de Teoŕıa de Conjuntos
Operaciones Matemáticas de Conjuntos
Ejemplo 5
Muestre las siguientes igualdades utilizando las leyes enunciadas
anteriormente:
1. A ∪ (B ∩ C ) = A ∩ (B ∪ C ).
2. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ B) ∪ C .
3.
[
(A ∩ B) ∪ C
]
∩ (A ∪ C ) = (A ∩ B ∩ C ) ∩ (A ∩ C ).
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Hasta el momento hemos supuesto que una medida no negativo, llamada
probabilidad, está asociado a cada evento en particular del espacio
muestral.
Impĺıcitamente, hemos asumido que dicha medida de probabilidad poseen
ciertas propiedades y sigue ciertas normas de operación.
Formalmente estas propiedades y reglas son desarrolladas en la teoŕıa
matemática de probabilidad, la cual tiene como base de ciertos supuestos
(axiomas) que no están sujetos a demostración.
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Los axiomas de Kolmogorov son los siguientes:
I Axioma 1: Para cada evento E contenido en un espacio muestral S
se tiene que
P(E ) ≥ 0
I Axioma 2: La probabilidad del evento certeza S es
P(S) = 1
I Axioma 3: Para dos eventos E1 y E2 mutuamente excluyentes
(disjuntos),
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Ley Aditiva
Sea un evento E y su complemento E . Por ser eventos disjuntos se tiene
que
P(E ∪ E ) = P(E ) + P(E )
Además como (E ∪ E ) = S , se tiene que
P(E ) = 1− P(E )
Para dos eventos cualquiera E1 y E2 la ley aditiva dice que
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)− P(E1 ∩ E2) (3)
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Ley Aditiva
La ecuación (3) aplicada a la unión de tres eventos E1, E2 y E3 es la
siguiente:
P(E1 ∪ E2 ∪ E3) = P[(E1 ∪ E2) ∪ E3]
= P(E1 ∪ E2) + P(E3)− P[(E1 ∪ E2) ∩ E3]
= P(E1) + P(E2)− P(E1 ∩ E2) + P(E3)− P[(E1 ∩ E3) ∪ (E2 ∩ E3)]
= P(E1) + P(E2) + P(E3)− P(E1 ∩ E2)− P(E1 ∩ E3)− P(E2 ∩ E3)
+ P(E1 ∩ E2 ∩ E3)
Para n eventos cualquiera, por De Morgan se tiene lo siguiente:
P(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En) = 1− P(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En)
= 1− P(E 1 ∩ E 2 ∩ · · · ∩ E n)
En el caso de E1,. . . , En sean eventos mutuamente excluyentes
P(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En) =
n∑
i=1
P(Ei )
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Cálculo de Probabilidades: Métodos de Conteo
Cuando los espacios muestrales son finitos, basta con asignar
probabilidades a cada uno de los resultados posibles para luego obtener
las probabilidad de un suceso simplemente sumando las probabilidades de
ocurrencia de cada resultado básico que lo componen.
S = {ω1, . . . , ωN}
con pi = P({ωi}), i = 1, . . . ,N.
Para el caso de Probabilidad Clásica se tiene que para un suceso A:
P(A) =
#A
#S
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Cálculo de Probabilidades: Métodos de Conteo
Principio de la Multiplicación
Si un experimento está compuesto de k experimentos con tamaños
muestrales n1,. . . ,nk , entonces
#S = n1 × n2 × · · · × nk
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Cálculo de Probabilidades: Métodos de Conteo
Permutación
Consideremos un conjunto de objetos
C = {c1, . . . , cn}
y queremos seleccionar una muestra de r objetos. ¿De cuantas maneras
lo podemos hacer?
I Muestreo Con Reemplazo: nr .
I Muestreo Sin Reemplazo: n × (n − 1)× (n − 2)× · · · × (n − r + 1).
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Cálculo de Probabilidades: Métodos de Conteo
Combinación
Consideremos un Muestreo Sin Reemplazo. Si nos interesa una muestra
sin importar el orden de ingreso, la cantidad de muestras distintas de
tamaño n son (
n
r
)
=
n!
r !× (n − r)!
Estos “números” se conocen como coeficientes binomiales y tienen la
siguiente propiedad
(a + b)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
ak bn−k
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Cálculo de Probabilidades: Métodos de Conteo
Ordenamiento Multinomial
Queremos asignar n objetos a k grupos distintos de tamaños n1,. . . , nk ,
con
k∑
i=1
ni = n. El número de grupos distintos con las caracteŕısticas
dadas son (
n
n1 n2 · · · nk
)
=
n!
n1!× · · · × nk !
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Cálculo de Probabilidades: Métodos de Conteo
Ordenamiento Multinomial
Estos “números” se conocen como ordenamientos multinomiales y tienen
la siguiente propiedad
(x1 + · · ·+ xk)n =
n∑
n1=0
n−n1∑
n=2 0
· · ·
n−n1−···−nk∑
nk=0
n!
n1!× · · · × nk !
xn11 × · · · × x
nk
k
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Cálculo de Probabilidades: Métodos de Conteo
Ejemplo 6
¿Cuál es la probabilidad que al menos dos alumnos celebren su
cumpleaños el mismo d́ıa?
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Cálculo de Probabilidades: Métodos de Conteo
Ejemplo 6
n Probabilidad
0 0.00
5 0.03
10 0.12
15 0.25
20 0.41
23 0.51
30 0.71
40 0.89
50 0.97
60 0.99
70 1.00
80 1.00
90 1.00
100 1.00
0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Número de alumnos
P
ro
b
a
b
ili
d
a
d
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Cálculo de Probabilidades: Métodos de Conteo
Ejemplo 7
Actualmente es muy común que los bancos y otras entidades comerciales
clasifiquen a sus clientes según ciertos perfiles, que hacen más eficiente la venta
de distintos productos a sus ejecutivos. Suponga que a una sucursal de un
banco acaba de llegar un listado con 30 nuevos clientes que se agregarán a la
cartera ya existente, los cuales ya vienen clasificados desde la mesa central
como perfil A (12 clientes) o perfil B (18 clientes). Si usted es el agente
responsable de la sucursal y tiene a cargo solo dos ejecutivos:
(a) ¿De cuantas maneras podŕıa asignar a estos 30 nuevos clientes a los
ejecutivos siendo justo según perfil? Notar que no hay información si es
mejor un cliente de perfil A o B para un ejecutivo.
(b) Si solo cuatro de los clientes con perfil A y ocho del B están dispuesto a
adquirir un producto si se lo ofrecen. ¿Cuál es la probabilidad que la
repartición hecha por usted en (a) realmente haya sido justa?
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Probabilidad Condicional
Cuando la ocurrencia de un evento (o no ocurrencia) depende de otro
evento, es relevante ver la probabilidad como una probabilidad
condicional.
Se define la probabilidad que un evento E1 ocurra bajo el supuesto que
otro evento E2 ocurre con certeza a
P(E1 |E2) =
P(E1 ∩ E2)
P(E2)
(4)
En general, la probabilidad de un evento E ya está condicionada se
condicionaa la ocurrencia del evento certeza S :
P(E |S) = P(E ∩ S)
P(S)
= P(E )
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Probabilidad Condicional
Consideremos las probabilidades de un evento E1 y su complemento E 1
condicionados a la ocurrencia previa de un evento E2.
P(E1 |E2) =
P(E1 ∩ E2)
P(E2)
y P(E 1 |E2) =
P(E 1 ∩ E2)
P(E2)
Si las sumamos tenemos que
P(E1 |E2) + P(E 1 |E2) =
1
P(E2)
{
P(E1 ∩ E2) + P(E 1 ∩ E2)
}
=
1
P(E2)
{
P[(E1 ∩ E2) ∪ (E 1 ∩ E2)]
}
=
1
P(E2)
{
P[(E1 ∪ E 1) ∩ E2]
}
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Probabilidad Condicional
P(E1 |E2) + P(E 1 |E2) =
1
P(E2)
{P(S ∩ E2)}
=
1
P(E2)
· P(E2)
= 1
Por lo tanto,
P(E 1 |E2) = 1− P(E1 |E2)
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Probabilidad Condicional
Independencia estad́ıstica
Dos eventos E1 y E2 se dice que son estad́ısticamente independientes si la
ocurrencia de un evento no depende de la ocurrencia o no ocurrencia del
otro.
Es decir,
P(E1 |E2) = P(E1) o P(E2 |E1) = P(E2)
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Ley Multiplicativa
A partir de la ecuación (4) se deduce que si E1 y E2 con eventos posibles
entonces
P(E1 ∩ E2) = P(E1 |E2) · P(E2)
o
P(E1 ∩ E2) = P(E2 |E1) · P(E1)
Si E1 y E2 fuesen eventos estad́ısticamente independientes entonces
P(E1 ∩ E2) = P(E1) · P(E2)
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Ley Multiplicativa
Para tres eventos E1, E2 y E3 la ley multiplicativa implica las siguientes
igualdades
P(E1 ∩ E2 ∩ E3) = P(E3 |E1 ∩ E2) · P(E2 |E1) · P(E1)
= P(E3 |E1 ∩ E2) · P(E1 |E2) · P(E2)
= P(E2 |E1 ∩ E3) · P(E3 |E1) · P(E1)
= P(E2 |E1 ∩ E3) · P(E1 |E3) · P(E3)
= P(E1 |E2 ∩ E3) · P(E3 |E2) · P(E2)
= P(E1 |E2 ∩ E3) · P(E2 |E3) · P(E3)
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Ley Multiplicativa
Consideremos ahora los eventos E1, E2, . . . , En.
Estos eventos se dicen mutuamente independientes si y solo si, cualquier
sub-colección de eventos de ellos Ei 1, Ei 2, . . . , Ei m cumple con la
siguiente condición
P(Ei 1 ∩ Ei 2 ∩ · · · ∩ Ei m) = P(Ei 1)× P(Ei 2)× · · · × P(Ei m)
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Ley Multiplicativa
Ejemplo 8
Considere el lanzamiento de una moneda honesta dos veces y defina los
siguientes eventos:
A: Obtener cara en el primer lanzamiento
B: Obtener cara en el segundo lanzamiento
C : Obtener solamente una cara.
Muestre que los eventos A, B y C son independientes a pares, pero no
mutuamente independientes.
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Ley Multiplicativa
Ejemplo 9
Mostrar que si E1 y E2 son eventos estad́ısticamente independientes,
entonces E 1 y E 2 también lo son.
Ejemplo 10
Mostrar que si E1 y E2 son eventos estad́ısticamente independientes dado
un evento A, entonces
P(E1 ∩ E2 |A) = P(E1 |A) · P(E2 |A)
Ejemplo 11
Mostrar que para dos eventos cualquiera E1 y E2 se tiene que
P(E1 ∪ E2 |A) = P(E1 |A) + P(E2 |A)− P(E1 ∩ E2 |A)
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Teorema de Probabilidades Totales
Considere n eventos posibles E1, E2, . . . , En colectivamente exhaustivos y
mutuamente excluyentes, es decir,
n⋃
i=1
Ei = S
y
Ei ∩ Ej = φ ∀ i 6= j
Entonces
A = A ∩ S = A ∩
[
n⋃
i=1
Ei
]
=
n⋃
i=1
(A ∩ Ei ),
con (A ∩ E1),. . . , (A ∩ En) eventos mutuamente excluyentes .
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Teorema de Probabilidades Totales
Por lo tanto,
P(A) =
n∑
i=1
P(A ∩ Ei ), por Axima 3
=
n∑
i=1
P(A |Ei ) · P(Ei ), por ley multiplicativa
:
Matemática de la Probabilidad
Matemática de la Probabilidad
Teorema de Bayes
Si cada evento Ej de la partición de S y el evento A son posibles,
entonces por la ley multiplicativa se tiene que
P(A |Ej) · P(Ej) = P(Ej |A) · P(A)
Es decir,
P(Ej |A) =
P(A |Ej) · P(Ej)
P(A)
Aplicando el teorema de probabilidades totales se tiene que
P(Ej |A) =
P(A |Ej) · P(Ej)
n∑
i=1
P(A |Ei ) · P(Ei )
:
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