I1 2019-01

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Primer Semestre 2019
Curso : Probabilidad y Estad́ıstica
Sigla : EAS200a
Profesores : Rafael Águila (Sec 1-2), M Ignacia Vicuña (Sec 3), Alonso Molina (Sec 4),
Ricardo Olea (Sec 5), Victor Correa (Sec 6)
Pauta Prueba 1
Problema 1
La salmonicultura en una de las actividades industriales más importantes de Chile, siendo además el segundo
mayor productor del mundo. Para esta industria es clave estimar con anticipación el comportamiento fre-
cuentista de los pesos, pero la ubicación de los centros de cultivos, como también el tipo de tratamiento hace
que una mezcla aleatoria de peces presente un comportamiento frecuentista con marcada asimétrias y en
alguna ocasiones comportamientos bimodales (dos modas). La siguiente figura muestra el comportamiento
frecuentista de una muestra aleatoria obtenida desde dos centros de cultivos que utilizaban además dos tipos
tratamientos 1 y 2.
Kilogramo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Dada la cercańıa de los centros, la distribución de los pesos solo depende del tipo de tratamiento. En el 1er
tratamiento, los pesos presentan una media de 8 kilos, con una desviación estándar de 1.2 kilos, mientras
que en el 2do, la media de los pesos es de 5 kilos y la desviación estándar igual a 1.1 kilos.
(a) [3.0 Puntos] Un investigador propone un modelo de probabilidad para los pesos cuya función de
probabilidad acumulada es:
F (x) =
exp
(
x−µ
σ
)
1 + exp
(
x−µ
σ
) ,
con µ ∈ R, σ > 0 y x ∈ N. El valor esperado y la varianza de este modelo son:
µY = µ y σ
2
Y =
σ2 π2
3
,
Calcule la probabilidad de que un salmón pese más de 7 kilos en cada uno de los tratamientos.
(b) [3.0 Puntos] El 70 % de los peces fue sometido al tratamiento 1, de los cuales un 30 % estaban en el
centro 1. Mientras que los sometidos al tratamiento 2, la mitad estaban en el centro 2. Si un salmón
pesa más de 7 kilos, ¿Cuál es la probabilidad que haya sido sometido al tratamiento 1?
EAS200A - Probabilidad y Estad́ıstica 1 Primer Semestre 2019
Solución
Definamos los siguientes eventos:
A: Tratamiento 1.
B: Centro 1.
(a) Si X representa el peso del pez, entonces
µ1 = 8 [0.3 Ptos]; σ1 = 1.2·
√
3
π2
[0.4 Ptos]; µ2 = 5; [0.3 Ptos] σ2 = 1.1·
√
3
π2
[0.4 Ptos]
Luego
P (X > 7 |A) = 1−
exp
(
7−µ1
σ1
)
1 + exp
(
7−µ1
σ1
) = 0.8192833 [0.8 Ptos]
y
P (X > 7 |A) = 1−
exp
(
7−µ2
σ2
)
1 + exp
(
7−µ2
σ2
) = 0.03564615 [0.8 Ptos]
(b) Del enunciado tenemos que
P (A) = 0.7, P (A) = 0.3, P (B |A) = 0.3, P (B |A) = 0.7, P (B |A) = P (B |A) = 0.5 [1.2 Ptos]
Se pide P (A |X > 7). [0.3 Ptos] Por Bayes y Teorema de probabilidades totales se tiene
P (A |X > 7) = P (X > 7 |A) · P (A)
P (X > 7 |A) · P (A) + P (X > 7 |A) · P (A)
[0.5 Ptos]
=
0.8192833 · 0.70
0.8192833 · 0.70 + 0.03564615 · 0.30
[0.5 Ptos]
= 0.9816946 [0.5 Ptos]
Nota: Como el peso no depende de los centros, debido a su cercańıa no se consideran en el cálculo
+ 1 Pto Base
EAS200A - Probabilidad y Estad́ıstica 2 Primer Semestre 2019
Problema 2
La distribución Lindley es utilizada usualmente para describir el comportamiento frecuentista de la vida útil
X (en meses), de ciertos dispositivos simples, como una bateŕıa. Se puede utilizar en una amplia variedad
de campos, incluyendo bioloǵıa, ingenieŕıa y medicina. El parámetro de forma, θ, es un número real positivo
y puede dar lugar a una distribución unimodal. La función de densidad y de probabilidad acumulada son:
f(x) =
θ2
(1 + θ)
(1 + x) e−θ x y FX(x) = 1−
[
1 + θ + θ x
1 + θ
]
e−θ x
con θ > 0 y x ≥ 0.
(a) [2.0 Puntos] Obtenga el tiempo de vida útil esperado.
(b) [2.0 Puntos] Sea Y el tiempo de vida truncado de X, es decir, se cumple la siguiente igualdad
pY (y) = P (y ≤ X < y + 1), con y ∈ N0.
Obtenga la función de probabilidad puntual de Y .
(c) [2.0 Puntos] Sea θ = 1/2. Determine la probabilidad de que una bateŕıa dure al menos 2.8 meses con-
siderando el tiempo continuo y luego calcule la misma probabilidad para el tiempo truncado. Compare
los resultados.
Solución
(a)
E(X) =
∫ ∞
0
x · θ
2
(1 + θ)
(1 + x) e−θ xdx =
θ2
(1 + θ)
[∫ ∞
0
xe−θ xdx+
∫ ∞
0
x2e−θ xdx
]
[0.5 Ptos]
Haciendo el cambio de variable u = θx, y utilizando la función Gamma que se encuentra en el formulario,
E(X) =
θ2
(1 + θ)
[
1
θ2
∫ ∞
0
ue−udu+
1
θ3
∫ ∞
0
u2e−udu
]
[0.5 Ptos]
[0.5 Ptos]
=
θ2
(1 + θ)
[
Γ(2)
θ2
+
Γ(3)
θ3
]
[0.5 Ptos]
=
θ + 2
θ(1 + θ)
(b)
pY (y)
[1.0 Ptos]
= FX(y + 1)− FX(y) =
[
1 + θ + θ y
1 + θ
]
e−θ y −
[
1 + θ + θ (y + 1)
1 + θ
]
e−θ (y+1) [1.0 Ptos]
=
e−θ y
1 + θ
[
1 + θ + θy − e−θ(1 + 2θ + θy)
]
(c)
P (X > 2.8)
[0.4 Ptos]
= 1− FX(2.8)
[0.3 Ptos]
=
[
1 + 12 +
1
2 2.8
1 + 12
]
e−
1
2 2.8
[0.3 Ptos]
= 0.4767
P (Y > 2.8)
[0.4 Ptos]
= 1− FY (2.8)
[0.2 Ptos]
= 1− [P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2)]
=1−
[
e−θ 0
1 + θ
[
1 + θ + θ · 0− e−θ(1 + 2θ + θ · 0)
]
+
e−θ·1
1 + θ
[
1 + θ + θ · 1− e−θ(1 + 2θ + θ · 1)
]
+
e−θ·2
1 + θ
[
1 + θ + θ · 2− e−θ(1 + 2θ + θ · 2)
]]
[0.2 Ptos] reemplazando en θ = 0.5
=1− (0.1912 + 0.1955 + 0.1668)
=0.4467 [0.2 Ptos]
+ 1 Pto Base
EAS200A - Probabilidad y Estad́ıstica 3 Primer Semestre 2019
Problema 3
En una cierta compañ́ıa de retail la distribución de los salarios mensuales X (en miles de pesos) de sus
empleados se puede modelar por la siguiente función de densidad:
fX(x) =
βαβ
(x+ α)β+1
, x ≥ 0
donde α > 0 y β > 1.
(a) [1.5 Puntos] Encuentre la proporción de salarios que supera el medio millón de pesos.
(b) [1.5 Puntos] Calcule el monto de salario tal que el 30 % de los salarios de los empledados sea inferior
a él.
(c) [1.5 Puntos] Un nuevo gerente de recursos humanos de la compañ́ıa propone como método de incentivo
a sus empleados aumentarles el sueldo en x0 (en miles de pesos). Encuentre la nueva distribución de
los salarios de la compañ́ıa.
(d) [1.5 Puntos] Encuentre el salario esperado de la nueva distribución de salarios.
Solución:
(a) Piden calcular P (X > 500) = 1− FX(500). [0.3 Ptos] Para ello calcularemos primero FX(x).
FX(x) =
∫ x
0
βαβ
(t+ α)β+1
dt [0.5 Ptos] sea u = t+ α
=
∫ x+α
α
βαβu−β−1 du [0.2 Ptos]
= βαβ
u−β
−β
∣∣∣∣∣
x+α
α
= 1− αβ(x+ α)−β [0.2 Ptos]
De esta manera, P (X > 500) = 1− FX(500) = αβ(500 + α)−β . [0.3 Ptos]
(b) Sea x0.3 el salario tal que el 30 % de los salarios son inferiores a él. [0.3 Ptos] Luego
FX(x0.3) = 0.3 [0.5 Ptos]⇒ 1− αβ(x0.3 + α)−β = 0.3 [0.3 Ptos]
Despejando, se obtiene que x0.3 =
α−0.71/βα
0.71/β
. [0.4 Ptos]
(c) Sea Y = g(X) = X + x0. [0.2 Ptos] Aśı g
−1(y) = y − x0, [0.2 Ptos] de donde se tiene que
g−1(y)
dy = 1. [0.2 Ptos] Luego utilizando el teorema de transformación que se encuentra en el formulario,
se tiene que la densidad de Y está dada por
fY (y)
[0.3 Ptos]
= fX(g
−1(y))
∣∣∣∣∣g−1(y)dy
∣∣∣∣∣ [0.3 Ptos]= βαβ(y − x0 + α)β+1 , y ≥ x0 [0.3 Ptos]
(d)
E(Y ) =
∫ ∞
x0
y
βαβ
(y − x0 + α)β+1
dy [0.5 Ptos] sea u = y − x0 + α
= βαβ
∫ ∞
α
(u+ x0 − α)u−β−1 du [0.3 Ptos]
= βαβ
[∫ ∞
α
u−β du+ (x0 − α)
∫ ∞
α
u−β−1 du
]
[0.2 Ptos]
= βαβ
[
u−β+1
−β + 1
∣∣∣∣∣
∞
α
+(x0 − α)
u−β
−β
∣∣∣∣∣
∞
α
]
[0.2 Ptos]
=
βα
β − 1
+ (x0 − α) [0.3 Ptos] + 1 Pto Base
EAS200A - Probabilidad y Estad́ıstica 4 Primer Semestre 2019