Guia 05

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Primer Semestre 2015
EAS200a - Probabilidad y Estad́ıstica
Gúıa 5
VARIABLES ALEATORIAS
1. Obtenga la distribución de probabilidad de las siguientes variables aleatorias:
(a) X: sumatoria de puntos al lanzar dos dados.
(b) Y : No de lanzamientos de un dado necesarios hasta obtener un 1.
(c) Z: No de fichas blancas en una muestra aleatoria de tamaño 3, de una caja que contiene
3 fichas rojas y 2 blancas.
(d) Igual al anterior pero si las fichas se toman con sustitución.
2. Sea X una variable aleatoria con función densidad igual a
fX(x) =
{
c (1− x2), −1 < x < 1
0, en otro caso
Calcule
(a) El valor de c.
(b) La función distribución FX(x).
3. La función de distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria X está dada
por:
FX(x) =

0, x < 0
1/4, 0 ≤ x < 1
3/4, 1 ≤ x < 2
1, x ≥ 2
Calcule
(a) La función probabilidad de X.
(b) P (X = 1), P (X ≥ 1) y P (X < 1).
4. Sea X una variable aleatoria discreta con función probabilidad
pX(x) =
{
(1− π)x−1 π, x = 1, 2, 3, . . .
0, en otro caso
con 0 < π < 1. Muestre que:
P (X = x+ y |X > y) = P (X = x)
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5. Sea X una variable aleatoria con función densidad
fX(x) = 10 e
−10x, x ≥ 0
Se define el percentil α, a aquél valor xα, tal que P (x ≤ xα) = α. Calcule los percentiles 0.10,
0.20 y 0.95 en la distribución de la variable aleatoria X.
6. Se lanzan cinco monedas regulares y de define la variable aleatoria X como el número de
caras que aparecen. Obtenga la Función de Probabilidad y la Función de Distribución de
Probabilidad Acumulada.
7. El porcentaje de alcohol de cierto compuesto se puede considerar como una variable aleatoria
con función distribución de probabilidad acumulada
FX(x) =

0, x < 0
x4(5− x4), 0 ≤ x < 1
1, x ≥ 1
(a) Encuentre la función de densidad.
(b) Calcule P (0,2 ≤ X ≤ 0,5).
8. Se sabe que en una moneda la cara sale tres veces más a menudo que el sello. Si se lanza esta
moneda tres veces y se define la variable aleatoria X como el número de cara que aparecen.
Obtenga su función probabilidad y función de distribución de probabilidad acumulada.
9. De un lote de 25 art́ıculos, 5 son defectuosos. Se eligen 4 al azar y se define la variable aleatoria
X como el número de art́ıculos defectuosos encontrados. Obtenga la función de probabilidad
de X si
(a) Los art́ıculos se escogen con sustitución.
(b) Los art́ıculos se escogen sin sustitución.
10. La compañ́ıa de Electricidad de Santiago sabe que la demanda semanal de enerǵıa eléctrica,
en millones de KW, tiene un comportamiento aleatorio según el siguiente modelo:
3
8
(4x− 2x2), 0 ≤ x ≤ 2
(a) ¿Cuál es la probabilidad que el consumo esté comprendido entre 0.5 y 1.5 millones de
KW?
(b) ¿Qué cantidad de enerǵıa se debe tener almacenada al comienzo de cada semana para
poder satisfacer la demanda en dicho peŕıodo con una probabilidad de 0.95?
11. El porcentaje de nicotina en la composición del nuevo cigarrillo COF-COF se puede considerar
como una variable aleatoria X cuya función distribución se encuentra definida como sigue:
FX(x) =

0, x < 0
x4(5− 4x), 0 ≤ x < 1
1, x ≥ 1
(a) Obtener la función densidad de X.
(b) Calcular la probabilidad que el porcentaje de nicotina se mantenga entre 0.2 % y 0.5 %.
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(c) Obtenga E(X) y Var(X).
12. Si la función de distribución de una variable aleatoria X está determinada por:
FX(x) =

0,00, x < −0,01
0,25, −0,01 ≤ x < 0,03
0,75, 0,03 ≤ x < 0,05
1,00, x ≥ 0,05
Determine:
(a) P (X ≤ 0,5).
(b) P (0,4 ≤ X ≤ 0,6).
(c) P (0 ≤ X ≤ 0,1).
(d) P (X ≤ 0,4).
(e) P (X < 0).
(f) P (−0,1 ≤ X ≤ 0,1).
13. Suponiendo que la duración en horas de cierto tubo da radio es una variable aleatoria continua
X con función de densidad dada por:
fX(x) =
10
x2
, x > 100
¿Cuál es la probabilidad que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo todav́ıa
funciona después de 150 horas de servicio?
14. Encuentre el valor esperado y varianza de la variable aleatoria X según las siguientes funciones
de probabilidad y de densidad:
(a) pX(x) =
(
n
x
)
πx (1− π)n−x, con x = 0, 1, . . . , n y 0 < π < 1.
(b) fX(x) =
1
b−a , con a ≤ x ≤ b.
(c) fX(x) = λ e
−λx, con x ≥ 0 y λ > 0.
(d) fX(x) =
1
2 e
−|x|, con −∞ < x <∞.
15. En algunos procesos computacionales los números reales son aproximados al entero más cer-
cano, dichas aproximaciones producen los llamados Errores de Redondeo, los cuales son con-
siderados como variables aleatorias continuas cuya función densidad de probabilidad puede
ser modelada de acuerdo a la siguiente función :
fX(x) = 1, −0,5 < x < 0,5
En una operación algebraica que utiliza 10 números reales.
(a) ¿Cuál es la probabilidad que un redondeo de un número real cualesquiera sea positivo?
(b) ¿Cuál es la probabilidad que el primer redondeo negativo encontrado sea en el quinto
número real procesado?
(c) ¿Cuál es la probabilidad que el tercer error de redondeo positivo encontrado sea en el
noveno número real procesado?
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(d) Suponga que se sabe que 5 de los 10 números en operación tienen redondeos positivos. Al
seleccionar simultáneamente 4 de ellos ¿Cuál es la probabilidad que dos de ellos posean
un error de redondeo negativo?
16. Suponga que el número de pinchazos que puede sufrir un camión entre Arica y Santiago es
una variable aleatoria con función de probabilidad
pX(x) =
c · dx
x!
, con x = 0,1,2,3 y 4.
Además, la probabilidad de no tener pinchazos es igual a la probabilidad de tener uno.
(a) Determine los parámetros c y d.
(b) Calcule la probabilidad de que un camión sufra exactamente 2 pinchazos.
(c) Para un camión, calcule el número esperado de pinchazos.
(d) Calcular la probabilidad de que 2 camiones seleccionados al azar, sufran en total a lo
más 2 pinchazos.
(e) Obtenga E(X) y Var(X).
17. Un lote de 10 motores eléctricos debe ser rechazado o vendido según el resultado del siguiente
proceso. Se escogen al azar 2 motores y se inspeccionan. Si uno o más son defectuosos el lote
es rechazado, de otro modo es aceptado. Suponga que cada uno de los motores cuesta $75
y se vende por $100. Si el lote contiene 1 motor defectuoso, cual es la utilidad esperada del
fabricante?
18. Suponga que un aparato electrónico tiene una vida útil X (en miles de horas), la cual es una
variable aleatoria cuya densidad es
fX(x) = e
−x, x ≥ 0
(a) Calcular la probabilidad que el aparato se descomponga antes de las 900 horas.
(b) El costo de manufacturar el art́ıculo es US$ 120 y el fabricante lo vende a US$ 300,
pero garantiza devolución total del pago si X < 0,9. ¿Cuál es el beneficio esperado del
fabricante (por cada art́ıculo)?.
19. Se sabe que X es una variable aleatoria para la cual E(X) = 10 y Var(X) = 25. ¿Para qué
valores positivos a y b, Y = aX + b tiene valor esperado igual a cero y varianza igual a uno?
20. Usted se ha inscrito en el curso “Calificaciones Estocásticas” dictado por el profesor Locatelli.
El sistema de evaluaciones del profesor para el control 1 es bastante singular. Entrega a cada
alumno un dado equilibrado de 7 caras, y el valor que se obtenga en el lanzamiento, será su
calificación.
(a) Calcule el valor esperado y varianza de su Nota.
(b) Dados los malos resultados que el curso obtuvo en el control 1, el profesor Locatelli
decidió cambiar el método de evaluación, ofreciendo al curso dos posibles opciones para
el control 2:
• La nota será incrementada en un punto sobre lo que marque el dado.
• La nota será incrementada en un 25 % sobre lo que marque el dado.
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Dados sus conocimientos probabiĺısticos, usted ha sido elegido por sus compañeros como
delegado del curso para tomar la decisión sobre qué alternativa es mejor. Si lo más
importante para Usted es que la nota esperada en este segundo control sea mayor dentro
de las alternativas planteadas, ¿cuál será su elección?
(c) ¿Cómo cambiaŕıa su respuesta en (b) si el criterio de decisión ahora fuera hacer mı́nima
la varianza de la nota dentro de las alternativas planteadas.
21. El número de clientes por hora que llega a cierta oficina comercial es diferente para las horas
de la mañana de 09:00 a 13:00, que de la tarde de 14:00 a 20:00. La siguiente tabla nos muestra
las distribuciones de probabilidades para cada uno de ambos casos.
No de clientes Probabilidades Mañana Probabilidades Tarde
0 0,15 0,05
1 0,25 0,l0
2 0,20 0,15
3 0,25 0,20
4 0,15 0,50
(a) ¿Cuál es la probabilidad que en una hora cualquiera lleguen más de 2 clientes?.
(b) Sabiendo que en una hora cualquiera llegaron mas de 2 clientes. ¿Cuál es la probabilidad
que haya sido en la mañana? y ¿En la tarde?
(c) ¿Cuál es el número esperado y la varianza de clientes por hora que llega en la mañana?
y ¿En la tarde?
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