Todo_2009_2

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
INSTITUTO DE ECONOMÍA
Repaso de Lógica
Profesor: José Miguel Sánchez Marzo 2011
1. Relaciones de Implicancia y Equivalencia
Sean A y B dos proposiciones que, como tales, pueden ser verdaderas o falsas. Se denota
A ⇒ B
a una relación de implicancia entre ambas proposiciones y se lee como “A implica B”. Cabe
mencionar que la proposición no establece la veracidad de A, sino que es una hipótesis que en
el caso de verificarse señala el cumplimiento de B. Las siguientes relaciones son equivalentes
en relación a A ⇒ B:
1) Si A ocurre, entonces B ocurre.
2) Si A es verdadera, B también lo es y si B es falsa, entonces A es falsa1.
3) A es suficiente para B, es decir, el hecho de que A es verdadero basta para saber que B
también lo es.
4) A es verdadero sólo si B es verdadero.
5) B es necesario para A, es decir, si A ocurre, necesariamente ocurre B.
Notar que de lo anterior se tiene que no puede pasar que A sea verdadero y B falso. De
esta forma, se tiene que:
¬B ⇒ ¬A
donde ¬ denota la negación de la proposición que tenga a su derecha. Esta es la forma
contrapositiva de una relación de implicancia.
Si en un caso particular se tiene que A ⇒ B y además que B ⇒ A, se dice que B es
equivalente a A y se denota:
A ⇔ B
1No se puede deducir una falsedad a partir de una verdad ni viceversa.
1
2. Demostraciones
Para establecer la veracidad de una relación del tipo A ⇒ B se puede proceder de dos
formas opuestas:
Si una proposición es verdadera, para establecerla se requiere una demostración.
Si una proposición es falsa, basta un contraejemplo. Para ilustrar, considere la frase:
“Todos los números impares son divisibles por 3.” Un contraejemplo que muestra la
falsedad de la frase es el número 5.
Cuando se quiere enunciar una relación A ⇒ B se requiere una demostración. Ella puede
proceder de tres maneras distintas.
a) Por construccción: Se comienza a partir de las premisas de A y se llega a B.
b) Por contradicción: Se supone que la relación A ⇒ ¬B es correcta y se demuestra que
es falsa. De esta forma, sólo es posible que A ⇒ B.
c) Por contrapositivo: Se demuestra por construcción, pero usando el contrapositivo.
Para establecer la veracidad de una proposición de la forma A ⇔ B se debe probar la
necesidad (⇒) y la suficiencia (⇐) de A para el cumplimiento de B.
2
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
INSTITUTO DE ECONOMÍA
Repaso de Microeconomı́a
Profesor: José Miguel Sánchez Marzo 2011
Notación
A lo largo de estas notas de clase, se empleará la siguiente notación:
R = {x| −∞ < x <∞} denota el conjunto de los números reales.
Rk denota el espacio dado por el producto cartesiano:
R× R× · · · × R︸ ︷︷ ︸
k veces
donde x ∈ Rk ⇔ x = (x1, x2, ..., xk) con xi ∈ R para i = 1, 2, ..., k. Aśı x es un vector
de dimensión k. Como caso particular tenemos
R2 ≡ R× R = {(x1, x2)|x1 ∈ R, x2 ∈ R}
en donde cada elemento es un punto en el espacio euclidiano bidimensional.
x denota un vector que pertenece a Rk, mientras que x denota un escalar. En particular,
0 es un vector de ceros. Igual convención se aplica a las funciones; e.g. f(x) denota
una función f : R→ R, mientras que f(x) denota una función f : Rk → Rk.
Sean x,y ∈ Rk entonces
x ≥ 0⇔ xi ≥ 0 ∀ i = 1, 2, ..., k
x� 0⇔ xi > 0 ∀ i = 1, 2, ..., k
x ≥ y ⇔ xi ≥ yi ∀ i = 1, 2, ..., k
x� y ⇔ xi > yi ∀ i = 1, 2, ..., k
Se definen los conjuntos Rk+ y Rk++ según:
5 Rk+ = {x = (x1, ..., xk)|x ≥ 0} ⊂ Rk
5 Rk++ = {x = (x1, ..., xk)|x > 0} ⊂ Rk
Sean x y p vectores de Rk. Se define el producto punto como:
x · y = x1 · y1 + x2 · y2 + · · ·+ xk · yk
1
Parte 1
Teoŕıa del consumidor
1.1. Preferencias
Sea X el conjunto de posibilidades de consumo de k bienes donde X = Rk+. Las preferencias
de los consumidores deben ser tales que sean capaces de ordenar cualquier par de canastas
x,y ∈ X para lo cual se define sobre X la relación binaria � tal que al menos una de las
siguientes relaciones sea verdadera:
x � y y se lee “x es al menos tan preferido a y”
y � x
En el evento que ambas relaciones sean verdaderas, se denota x ∼ y que se lee “ x es
indiferente a y ” y cuando x � y es verdadera y y � x es falsa se escribe x � y que se lee
“la canasta x es preferida (estrictamente) a y”.
Definición 1.1
Sea � una relación binaria en un conjunto X no vaćıo. Se dice que X es:
i) Completa si ∀x,y ∈ X se tiene que x � y ó y � x
ii) Refleja si ∀x ∈ X, se tiene que x � x.
iii) Transitiva si ∀x,y, z ∈ X se tiene que si x � y y y � z entonces x � z
iv) Continua si el conjunto definido por Y = {x � x0|x ∈ X}, donde x0 es una canasta
arbitraria, es cerrado en Rk+. Dicho conjunto se denota � (x0) y se lee “el conjunto de
canastas al menos tan preferidas a x0.” Análogamente se define el conjunto Ỹ = {x �
x0|x ∈ X} se lee como el conjunto de canastas que no son mejores a x0. A consecuencia
de la definición de continuidad de � el conjunto Ỹ es también cerrado.
v) Monótona estricta1 si cumple x0 ≥ x1 ⇒ x0 � x1 y si x0 � x1 ⇒ x0 � x1 para todo
x0,x1 ∈ Rk+
1Esta es la noción de que más es preferido a menos.
2
vi) Estrictamente convexa en tanto para cualquier par de canastas en X tales que x1 6= x0
y x1 � x0 se tenga que
αx1 + (1− α)x0 � x0 ∀α ∈ (0, 1)
Esta propiedad permite que se verifique una preferencia por la “variedad”.
Supuesto 1.1
La relación de preferencias � del consumidor es completa, refleja, transitiva, continua,
estrictamente monotónica y estrictamente convexa en Rk+.
Definición 1.2
Sea � una relación binaria en X que cumple el supuesto 1.1 y sea u(·) : X→ R una función
real valorada. Se dice que u representa a � en X si ∀x,y ∈ X se tiene que:
x � y ⇔ u(x) ≥ u(y)
Otra manera de señalar lo anterior es que u representa las preferencias del consumidor y se
le conoce como “ función de utilidad”.
Definición 1.3
Sea f : D ⊂ Rn → R una función real valorada. Entonces f se le llama
i) Creciente si f(x0) ≥ f(x1) si x0 ≥ x1
ii) Estrictamente creciente si f(x0) > f(x1) si x0 � x1
Con el supuesto 1.1 se puede demostrar el siguiente teorema2 de existencia de la función
de utilidad.
Teorema 1.1
Si la relación binaria � es completa, transitiva y continua, entonces existe una función real
valorada continua, u : X→ R, que representa a � . Más aún, si f : R→ R es estrictamente
creciente, entonces v(x) = f(u(x)) también representa las preferencias descritas con la
relación � . Por otro lado, se tiene que:
i) u(x) es estrictamente creciente si y sólo si � es estrictamente monotónica.
ii) u(x) es cuasi-cóncava si y sólo si � es convexa.
iii) u(x) es estrictamente cuasicóncava si y sólo si � es estrictamente convexa.
2Ver Jehle G. y Reny P. (2000), “Advanced Microeconomic Theory” The Addison-Wesley series in econo-
mics, pág. 14 y siguientes.
3
Notar que sólo las primeras tres premisas del supuesto 1.1, descritos en la definición 1.1,
son necesarias para la existencia de la función de utilidad. Las otras dos premisas le otorgan
propiedades deseables que permiten que el problema del consumidor, descrito más adelante,
tenga solución interior permitiendo el uso de las herramientas de cálculo diferencial. No-
tar que el teorema sólo señala condiciones bajo las cuales u(x) es continua; no obstante,
generalmente se pide que ella sea diferenciable y no sólo continua.
1.2. Conjunto de Posibilidades
Sea y el ingreso del consumidor bajo análisis y sea p el vector de precios de los k bienes
que puede escoger. Al conjunto de posibilidades para el consumidor se le llama “restricción
presupuestaria”. Este conjunto se le supone no vaćıo, cerrado y acotado en Rk+ para p� 0
y de su definición se tiene que es convexo3:
B ≡ {x|x ∈ Rk+, p · x ≤ y}
6
-
x1
x2
Figura 1.1: Representación gráfica del conjunto B para k = 2
1.3. Problema del consumidor
El problema del consumidor se refiere a encontrar la canasta que sea la más preferida que
pertenezca al conjunto presupuestario. Matemáticamente, se busca x∗ ∈ X tal que:
x∗ � x ∀x∈ B
1.3.1. Problema Primal
De la definición 1.2 se tiene que el problema del consumidor puede ser expuesto como:
u(x∗) ≥ u(x) ∀x ∈ B
3Notar que aśı es un conjunto compacto. Si p 6� 0 el conjunto B no es compacto.
4
por lo que se busca un máximo global de u(x) en B que se puede escribir como:
máx
{x∈Rk+}
u(x) s.a. p · x ≤ y x ≥ 0 (1.1)
siendo esta la representación primal del problema del consumidor.
Como se está optimizando una función continua en un conjunto compacto, gracias al
teorema de Weiertrass4, existe un máximo en dicho conjunto. Más aún, debido a que la
función de utilidad es estrictamente cuasicóncava y el conjunto presupuestario es convexo,
la solución al problema del máximo es única y la función de demanda es continua. El que
u(·) sea estrictamente creciente permite que el máximo se encuentre en el borde del conjunto
presupuestario y aśı, en el óptimo se tiene que:
p · x∗ = y
Lo anterior se demuestra a continuación. Las condiciones necesarias, que también resultan ser
suficientes debido a la continuidad y cuasiconcavidad de u(·), del programa de Kuhn-Tucker
asociado son las siguientes:
a)
∂u(x)
∂xi
− λpi ≤ 0 para i = 1, 2, ..., k
b) xi ·
(
∂u(x)
∂xi
− λpi
)
= 0 para i = 1, 2, ..., k
c) y − p · x ≥ 0
d) λ · (y − p · x) = 0
e) λ ≥ 0 y xi ≥ 0 para i = 1, 2, ..., k
Por monotonicidad se tiene que:
∀x ∈ Rk+,
∂u(x)
∂xj
> 0 para algún j
aśı en el óptimo, por a) se tiene para algún bien j:
0 <
∂u(x∗)
∂xj
≤ λ · pj
⇒ λpj > 0 y como pj > 0
⇒ λ > 0
y resolviendo la condición d) se llega a que la restricción presupuestaria es activa en el
óptimo. Aśı, las condiciones de óptimo son:
4Ver teorema A1.10 del libro de Jehle & Reny (2000), op. cit.
5
a)
∂u(x∗)
∂xi
− λpi ≤ 0 para i = 1, 2, ..., k
b) xi ·
(
∂u(x)
∂xi
− λpi
)
= 0 para i = 1, 2, ..., k
c) p · x∗ = y
d) λ ≥ 0 y xi ≥ 0 para i = 1, 2, ..., k
Notar que si la solución es interior, i.e. x∗i > 0 para i = 1, 2, ..., k, entonces las condiciones
a) y b) se resumen en:
TMSij =
∂u(x∗)
∂xi
∂u(x∗)
∂xj
=
pi
pj
para i = 1, 2, ..., k
donde TMSij es la tasa marginal de sustitución del bien i con respecto al bien j. Lo anterior
en el caso k = 2 se representa gráficamente como:
•
@
@
@
@
@
@
@
x∗1 x1
x∗2
x2
A
.............................
−p2/p1
Cuando x∗i = 0 para algún i se tiene una solución de esquina que en el caso k = 2 se
representa:
6
-
.
........
........
.
.........
........
.........
........
.........
........
..........
.......
..........
......
...........
.....
............
....
...............
..aa
aa
aa
a
•A x1
x2
..........
.........
.
.........
.
−p2/p1
6
Sea x∗ la solución única5 del problema del consumidor descrito en (1.1), dicha solución
es la función de demanda marshalliana:
x∗ = f(p, y)
Esta función es homogénea de grado cero en (p, y); esto es, para todo λ > 0 se tiene que
f(λ · p, λ · y) = f(p, y)
Definición 1.4
La función v : Rk++ × R+ → R se le llama función de utilidad indirecta si para cada
(p, y) ∈ Rk++ × R+ se tiene:
v(p, y) = máx
{p·x≤y}
u(x)
Es decir, v(p, y) es una función de valor máximo.
Con esta definición se puede demostrar que:
v(p, y) = u(x∗) = u(f(p, y))
Teorema 1.2
Si u(·) es continua y estrictamente creciente en Rk+, entonces v(p, y) tiene las siguientes
propiedades:
i) v es continua para todo (p, y) ∈ Rk++ × R+.
ii) v es homogénea de grado cero en (p, y).
iii) v es decreciente en p y estrictamente creciente en y.
iv) v es cuasiconvexa en (p, y)
v) Identidad de Roy: Si v(p, y) es diferenciable en (p0, y0) y
∂v(p0, y0)
∂y
6= 0, entonces:
xi(p
0, y0) =
∂v(p0, y0)
∂pi
∂v(p0, y0)
∂y
∀i = 1, 2, ..., k
5Gracias a la cuasi-concavidad de u(·) y al hecho que B es convexo.
7
1.3.2. Problema dual
En el apartado anterior se sostuvo que el problema del consumidor puede resolverse de
la manera primal según (1.1). Una manera alternativa de solución es la siguiente:
mı́n
{x∈Rk+}
p · x s.a. u(x) ≥ u0 (1.2)
que es la representación dual del problema. Este problema responde a la pregunta de cuánto
es el mı́nimo nivel de gasto para alcanzar un nivel dado de utilidad.
Nuevamente, por los supuestos hechos [cuasiconcavidad estricta de u(·)], la solución del
problema es única y depende de p y u0.
Definición 1.5
Sea la función de gasto mı́nimo e : Rk++ × R→ R+ dada por:
e(p, u0) = mı́n
{x∈Rk+}
p · x s.a. u(x) = u0
La solución al problema (1.2) se llama demandas hicksianas o compensadas:
x∗ = h(p, u0)
por lo que la función de gasto mı́nimo adopta la forma:
e(p, u0) = p · h(p, u0)
que puede interpretarse como el costo de la canasta h(p, u0)
Teorema 1.3
Si u(·) es continua y estrictamente creciente, entonces e(p, u0) es:
i) Continua en el dominio Rk++ × R.
ii) Estrictamente creciente y no acotada por arriba en u0, para p� 0.
iii) Creciente en p.
iv) Homogénea de grado uno en p; i.e., para todo λ > 0 se tiene que e(λp, u0) = λe(p, u0)
v) Cóncava en p.
vi) Si u(·) es estrictamente cuasicóncava, se cumple el lema de Shephard :
• e(p, u0) es diferenciable en p en el punto (p0, u0) con p0 � 0 y:
8
hi(p
0, u0) =
∂e(p0, u0)
∂pi
De la propiedad vi) del teorema anterior se desprende que h(p, u0) es homogénea de
grado cero en p. Esto quiere decir que para cualquier λ > 0 se tiene:
h(λ · p, u0) = h(p, u0)
Teorema 1.4
(Dualidad) Las soluciones a los problemas representados en (1.1) y en (1.2) bajo el su-
puesto que u(·) es continua y cuasicóncava se encuentran relacionados según:
• xi(p, y) = hi(p, v(p, y))
• hi(p, u0) = xi(p, e(p, u0))
El teorema anterior permite afirmar que:
(a) Si x∗ es solución al problema (1.1) para (p, y), entonces x∗ es la solución del problema
(1.2) para (p, u0 = u(x∗)).
(b) Si x0 es la solución al problema (1.2) para (p, u0), entonces x0 es la solución del problema
(1.1) para (p, e(p, u0)).
y en conjunto con los teoremas (1.2) y (1.3) se puede hacer la figura 1.2.
1.4. Propiedades de la Demanda del Consumidor
En la sección anterior se estableció la ı́ntima relación entre los problemas (1.1) y (1.2)
que se representa en la figura 1.2. Ahora se busca explotar dichas relaciones para descubrir
propiedades de las funciones de demanda hicksianas y marshallianas.
La primera relación se le conoce como “ecuación de Slutsky” y es capaz de descomponer el
efecto de un cambio en un precio relativo de cualquier bien en el efecto sustitución e ingreso
asociado, al tiempo que relaciona las demandas marshallianas y las hicksianas.
Teorema 1.5
Sea x(p, y) las demandas marshallianas (u ordinarias) y sea u∗ el nivel de utilidad alcanzado
a los precios p e ingreso y. Entonces:
∂xi
∂pj
(p, y)︸ ︷︷ ︸
Efecto Total
=
∂hi
∂pj
(p, u∗)︸ ︷︷ ︸
Efecto Sustitución
−xj(p, y) ·
∂xi
∂y
(p, y)︸ ︷︷ ︸
Efecto Ingreso
(1.3)
9
Figura 1.2: Interacciones entre los problemas (1.1) y (1.2) gracias a la dualidad.
máx
x∈Rk+
u(x)
s.a. p · x ≤ y
Función de Utilidad
Indirecta
v(p, y) = u(x∗)
Sustitución
Demanda Marshalliana
x∗ = f(p, y)
?
Solución
6Identidad
de Roy
Invertir
mı́n
{x∈Rk+}
p · x
s.a. u(x) ≥ u0
6
?
? ?
Solución
Sustitución
Lema de
Shephard
-
Demanda Hicksiana
x∗ = h(p, u0)
Función de Gasto
e(p, u0) = p · x∗
�
Teorema 1.6
Supóngase que la función de utilidad del individuo es estrictamente creciente, por lo que:
y =
k∑
i=1
pi · xi(p, y)
entonces las siguientes relaciones son ciertas:
i) Agregación de Engel:
n∑
i=1
siηi = 1
donde si es la participación del ingreso gastado en el bien i,
(
si =
pi · xi(p, y)
y
)
, y ηi
es la elasticidad ingreso del bien i; ηi =
∂ lnxi(p, y)
∂y
.
ii) Agregación de Cournot:
n∑
i=1
si · �ij = −sj
donde �ij =
∂xi
∂pj
· xi
pj
(p, y) es la elasticidad cruzada de la demanda del bien i con respecto
al precio del bien j.
10
1.4.1. Condiciones Necesarias de las Funciones de Demanda Indi-
viduales
i) Gasto igual al ingreso:
p · h(p, u0) = p · f(p, y) = y
debido a que � es estrictamente monótona.
ii) Homogeneidad de grado cero:
h(λp, u0) = h(p, u0)
f(λp,λy) = f(p, y)
iii) El jacobiano de h(p, u0) en p se le conoce como matriz de sustitución, denotada S.
⇒ S =

∂h1
∂p1
(p, u0) · · · ∂h1
∂pk
(p, u0)
...
. . .
...
∂hk
∂p1
(p, u0) · · · ∂hk
∂pk
(p, u0)

Ella debe ser negativa semidefinida. Esto se debe al teorema de Young y al hecho que
e(p, u0) es cóncava en p (ver teorema 1.3).
iv) Simetŕıa de la matriz de Slutsky (S):
∂hj
∂pi
=
∂hi
∂pj
Esto se debe, nuevamente, al teorema de Young y al lema de Shephard (ver teorema 1.3).
En efecto; gracias a que
hj(p
0, u0) =
∂e(p0, u0)
∂pj
⇒ ∂hj
∂pi
=
∂2e(p0, u0)
∂pi∂pj
=
∂2e(p0, u0)
∂pj∂pi
=
∂hi(p
0, u0)
∂pj
v) Singularidad de la matriz S :
Para el vector p� 0 se tiene que:
pS = 0
de lo que se concluye que S es singular6. Esto se demuestra con el teorema de Euler7 y
al hecho que h(·) es homogénea de grado cero.
6Notar que la propiedad implica que S es singular y NO al revés. En particular, el saber que S es singular
no implica que provenga de funciones de demanda bien definidas.
7Ver teorema A2.7 del libro de Jehle & Reny (2000); op. cit.
11
Notar que estas propiedades se basan en demandas que no son observables, las hicksianas.
Sin embargo, con la ecuación de Slutsky en (1.3) se puede verificar emṕıricamente si las
propiedades anteriores se cumplen o no. Por otro lado, se puede demostrar que si f(p, y)
satisface i) y iv) (esta última se verifica con la ecuación de Slustky) entonces f(p, y) es
homogénea de grado cero en (p, y). Además, v) proviene de la homogeneidad de grado cero
en (p, y). La figura 1.3 resume las únicas implicancias para el comportamiento observables
de la teoŕıa del consumidor.
Figura 1.3: Condiciones Necesarias de la Teoŕıa del Consumidor
máx
x∈Rk+
u(x)
s.a. p · x ≤ y xi ≥ 0
Se satisfacen:
i)
iii)
iv)
=⇒
1.4.2. Condiciones Suficientes de la teoŕıa del Consumidor (Inte-
grabilidad)
La idea de la integrabilidad se ilustra en la figura 1.4.
Figura 1.4: Condiciones Suficientes de la Teoŕıa del Consumidor
máx
x∈Rk+
u(x)
s.a. p · x ≤ y xi ≥ 0
Condiciones
i), iii) y iv) del
apartado 1.4.1
⇐=
Supóngase que se cuenta con un sistema de ecuaciones de demandas ordinarias que cumple
con la condición i) del apartado 1.4.1:
xi = fi(p, y) ∀i = 1, 2, ..., k
la idea es determinar si estas demandas provienen o no de una maximización de una fun-
ción de utilidad bien comportada. De la ecuación de Slutsky (1.3) se pueden obtener las k
derivadas parciales siguientes:
∂hi
∂pj
(p, u∗) ∀ i = 1, 2, ..., k
y empleando el lema de Shephard se llega a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales
para e(p, u∗).
12
Hurwicz y Uzawa (1971)8 demostraron que las condiciones necesarias y suficientes que
aseguran que existe la función e(·) que soluciona dicho sistema son las siguientes:
∂xl
∂y
· xj(p, y) +
∂xl
∂pj
(p, y) =
∂xj
∂y
· xl(p, y) +
∂xj
∂pl
(p, y) ∀ i, j = 1, 2, ..., k
y que gracias a la ecuación de Slutsky se puede escribir:
∂hl
∂pj
=
∂hj
∂pl
de lo cual se desprende que la condición de simetŕıa de S resulta fundamental para la
integración. Sin embargo, esta condición por śı misma sólo es necesaria y no suficiente para
lograr el objetivo de la figura 1.4. Esto se debe a que la función que se obtiene de la resolución
del sistema debe ser en efecto una función de gasto. Para asegurarlo, ella debe ser cóncava y
homogénea de grado uno en precios. Pero esto se cumple automáticamente en la medida que S
sea simétrica y semidefinida negativa. La función de gasto aśı obtenida (que es la “inversa”,
en cierto sentido, de v(p, y)) es una representación dual de la función de utilidad y, por
tanto, constituye una representación alternativa del orden de preferencias del consumidor.
La discusión precedente se resume en el siguiente teorema de integrabilidad:
Teorema 1.7
Una función continuamente diferenciable x : Rk++ × R++ → Rk+ es la función de demanda
de un consumidor generada por alguna función de utilidad continua, estrictamente creciente
y estrictamente cuasicóncava si y sólo si dicha función x(·) cumple con las condiciones i),
iii) y iv) del apartado 1.4.1.
1.5. Agregación a través de consumidores
Considere un conjunto de demandas individuales de la forma xi(p, yi) para el individuo
i en donde hay n consumidores. Recordar que la demanda del consumidor i es un vector
xi(p, yi) =
(
xi1(p, y
i), xi2(p, y
i), ..., , xik(p, y
i)
)
Se define la demanda agregada como
X(p, y1, y2, ..., yn) ≡
n∑
i=1
xi(p, yi)
La demanda agregada por el bien j está dada por
xj(p,y)
8L. Hurwicz y H. Uzawa, 1971, “On the Integrability of Demand Functions”, en Chipman et al, editors,
Preferences, Utility and Demand.
13
donde y = (y1, y2, ..., yn); es decir, la demanda agregada es función de los precios y de
la distribución de la riqueza. En general la demanda agregada pierde propiedades de las
demandas individuales, aunque es posible crear funciones de utilidad que preserve algunas
o todas de ellas. Aśı, la teoŕıa del consumidor no impone restricciones sobre la demanda
agregada más que la continuidad y la homogeneidad de grado cero en precios e ingreso.
Proposición
Si las funciones de demanda individuales son continuas entonces la función de demanda
agregada es continua.
Notar que la proposición anterior es una de suficiencia. Más aun existen casos que mues-
tran que la continuidad de la demanda agregada no implica continuidad de la demanda
individual. Un ejemplo de lo anterior son las demandas unitarias.
14
Parte 2
Teoŕıa de la firma
En el caṕıtulo anterior se realizaron supuestos sobre las preferencias y dotaciones (in-
greso) de un individuo, con lo cual se derivaron las demandas marshallianas y hicksianas y
se estudiaron sus propiedades y relaciones. En este caṕıtulo se requieren supuestos sobre la
tecnoloǵıa, que se describe por las relaciones entre insumo y producto.
2.1. Tecnoloǵıa y funciones de producción
Sea Y el conjunto de posibilidades de producción con Y ⊂ Rk. Se dice que y =
(y1, y2, ..., yk) ∈ Y es un plan tecnológicamente factible, donde los componentes de y son
insumos o productos. La convención es que si para algún i = 1, 2, ...k se tiene que yi < 0,
entonces yi es un insumo, mientras que si yi > 0 es un producto.
Se restringe, por comodidad, el análisis a firmas que producen un sólo bien. Esto permite
representar la tecnoloǵıa con una función de producción. Sea q un escalar que representa el
(único) producto y sea x el vector de insumos:
⇒ y = (q,−x), q ∈ R+, x ∈ Rk−1+
Supuesto 2.1
Y satisface las siguientes propiedades:
i) Y no es vaćıo (siempre se puede producir si se tienen los insumos suficientes).
ii) Y es cerrado (i.e. contiene sus bordes). Esta condición permite asegurar que el ĺımite de
una secuencia de planes de producción tecnológicamente factibles (de existir) también
es factible; es decir:
Si yn → y con yn ∈ Y ⇒ y ∈ Y
iii) Es posible no producir (i.e. se permite el cierre de la firma):
0 ∈ Y
15
iv) No hay free lunch. Suponga que y ∈ Y y que y ≥ 0 entonces y = 0. Esto señala que
no es posible producir si no se usa al menos un factor.
v) Libre eliminación:
Si y ∈ Y y además y′ ≤ y ⇒ y′ ∈ Y
Esto nos dice que si y es factible y si y′ produce a lo más lo mismo que y con a lo menos
la misma cantidad de insumos que y, entonces y también es factible, ya que siempre
se puede absorber insumos en cantidades adicionales son reducir el producto. Es decir,
cantidades extra de insumos (o productos) pueden ser eliminados sin costo extra.
vi) Irreversibilidad:
Si y ∈ Y y además y 6= 0⇒ −y 6∈ Y
Es decir, si la empresa se compromete a producir y ella no puede deshacer el proceso
productivo al escoger el nivel de producción −y ya que no es factible.
Definición 2.1
Un plan de producción y = (q,−x) es factible y eficiente tecnológicamente si sólo si q = f(x)
donde f : Rk−1+ → R+ entrega el máximo nivel de producto dado el vector de insumos x. A
la función f se le conoce como función de producción.
Un ejemplo de una funciónde producción se encuentra en la figura 2.1.
Figura 2.1: Frontera de Posibilidades de Producción con un insumo
y
y = F (−L)
−L
Definición 2.2
Se definen las isocuantas como el conjunto de combinaciones de factores que entrega una
misma cantidad de producto q0. Matemáticamente, dicho conjunto viene dado por:{
x ∈ Rk−1+ |q0 ∈ R+, f(x) = q0
}
16
Para el caso de dos factores, la isocuanta para el nivel de producción q0 viene dada por:
q0 = f(v1, v2)
y aplicando diferencial total a esta ecuación se tiene:
dq0 =
∂f
∂v1
dv1 +
∂f
∂v2
dv2
pero, por definición, en una isocuanta se tiene que dq0 = 0. Aśı se define la tasa marginal de
sustitución técnica como:
TMSTv1,v2 ≡ −
dv2
dv1
=
∂f
∂v1
∂f
∂v2
donde ∂f
∂vi
es la productividad marginal del factor vi.
Definición 2.3
Sea q = f(x) una función de producción y sea y = (q,x) ∈ Y un plan de producción
cualquiera. Se dice que hay:
i) Retornos constantes a escala si ∀y ∈ Y se cumple que:
α · y ∈ Y para cualquier escalar α ≥ 0
Aśı f(x) es homogénea de grado uno; es decir, si para todo λ > 0 se tiene:
f(λx) = λf(x)
ii) Retornos decrecientes a escala si ∀y ∈ Y se cumple que:
α · y ∈ Y para α ∈ [0, 1]
Esto quiere decir que cualquier plan de producción puede ser escalado hacia abajo. Aśı,
para todo λ > 0 se tiene:
f(λx) < λf(x)
iii) Retornos crecientes a escala si ∀y ∈ Y se cumple que:
α · y ∈ Y para α ≥ 1
Es decir, cualquier plan de producción puede ser escalado hacia arriba. Aśı, para todo
λ > 0 se tiene:
f(λx) > λf(x)
En el caso que x sea escalar, los tres casos anteriores se representan en los siguientes
gráficos para algún 0 < α < 1 :
17
Figura 2.2: Retornos Constantes a Escala
q
v
Y
y
α · y
Figura 2.3: Retornos Decrecientes a Escala
q
v
Y
y
α · y
Π = p · y −w · x
Figura 2.4: Retornos Crecientes a Escala
q
v
•
•
•
y
α·y
,
,
, ,
,
, ,
,
,
, ,,, @
@
@
@
@
@
@
@
Y
e
e
e
e
e
e
e
e
Π0=p·y−w·x
2.2. Problema de la Firma
El objetivo de la firma ha de estar ligado al objetivo del consumidor, pues el dueño de
ella es a su vez consumidor. De esta manera se postula que el objetivo de la firma es la
maximización de ganancias, pues permite al dueño de la firma la maximización del conjunto
presupuestario que enfrenta como consumidor. Esto logra conciliar a la teoŕıa del consumidor
con la teoŕıa de la firma. El análisis versará sólo sobre tecnoloǵıas que presenten rendimientos
decrecientes a escala, ya que se pretende hacer un modelo de mercados competitivos (dejan
fuera los rendimientos crecientes) y se buscan relaciones precisas en cuanto a cantidades pro-
18
ducidas por cada firma, dejando fuera los rendimientos constantes. Además, se supondrá que
la firma es competitiva en el mercado de factores y de producto.
El problema de la firma es:
máx
{y}
p · y s.a. y ∈ Y
o, equivalentemente, para el caso de firmas uniproducto:
máx
{q,x}
p · q −w · x s.a. q ≥ 0, x ≥ 0, f(x) ≥ q (2.1)
La solución a este problema adopta la forma:
q(p,w) x(p,w)
y corresponden, respectivamente, a las funciones de oferta del bien y demanda derivada de
factores.
Supuesto 2.2
La función de producción f : Rk−1+ → R+ es continua, estrictamente creciente, estrictamente
cóncava y con f(0) = 0.
Este supuesto garantiza tanto la existencia como la unicidad de la solución al proble-
ma (2.1). Como f(x) es estrictamente creciente, en el óptimo:
f(x∗) = q∗
Suponiendo que f(x) es diferenciable y la solución es interior, el óptimo está caracterizado
por las condiciones de primer orden siguientes:
p · ∂f
∂xi
− wi = 0 ∀ i = 1, 2, ..., k
⇔ p · ∂f
∂xi
= wi
De estas ecuaciones se obtiene la demanda derivada de factores y al término p · ∂f
∂xi
se le
conoce como el “valor de la productividad marginal” del factor i, denotada por VPMgi.
Notar que para precios positivos, el óptimo resuelve:
TMSTi,j ≡
∂f
∂xi
∂f
∂xj
(x∗) =
wi
wj
que gráficamente se representa en la figura 2.5.
19
Figura 2.5: Solución Interior al Problema del Productor
•
@
@
@
@
@
@
@
x∗i xi
x∗j
xj
q0=f(x−i,−j ,xj ,xi)
.............................
−wj/wi
2.3. Función de beneficio
Análogamente a la teoŕıa del consumidor, se puede reemplazar la solución x∗ en la función
objetivo para obtener una función que entregará el máximo beneficio para cada punto (p,w).
Definición 2.4
Se define la función de beneficio como:
π(p,w) ≡máx
{x,q}
p · q −w · x (2.2)
s.a. f(x) = q
Gracias al supuesto 2.2 dicha función existe y está bien definida.
Teorema 2.1
Si f(x) satisface el supuesto 2.2 y la función de beneficios de (2.2) está bien definida,
entonces para cada precio p > 0 y w � 0 la función π(p,w) es:
i) Continua en (p,w).
ii) Creciente en p y decreciente en w.
iii) Homogénea de grado uno en (p,w).
iv) Convexa en (p,w).
v) Diferenciable en (p,w)� 0. Además se cumple el lema de Hotelling:
∂π
∂p
= q(p,w) − ∂π
∂wi
= xi(p,w) ∀i = 1, 2, ..., k − 1
El siguiente teorema señala propiedades de la función de oferta q(p,w) y de la demanda
de insumos x(p,w).
20
Teorema 2.2
Sea π(p,w) una función de beneficio doblemente diferenciable de alguna firma. Entonces,
para todo w � 0 y p > 0 se cumple que:
i) Las funciones q(p,w) y x(p,w) son homogéneas de grado cero en (p,w):
∀λ > 0 : q(λp, λw) = q(p,w)
∀λ > 0 : x(λp, λw) = x(p,w)
ii) Los efectos del precio de cada bien (factor) en la cantidad ofrecida (demandada) de este
mismo bien (factor)1 son tales que:
∂q
∂p
(p,w) ≥ 0 ∂xi
∂wi
(p,w) ≤ 0 ∀ i = 1, 2, ..., k − 1
iii) La matriz de sustitución definida según:
∂q
∂p
∂q
∂w1
· · · ∂q
∂wk−1
−∂x1
∂p
− ∂x1
∂w1
· · · − ∂x1
∂wk−1
...
...
. . .
...
−∂xk−1
∂p
−∂xk−1
∂w1
· · · ∂xk−1
∂wk−1

es simétrica y semidefinida positiva2.
2.4. Problema de Minimización de Costo
Para un w ∈ Rk−1++ dado y un nivel de producción dado q0, se puede considerar el siguiente
problema como alternativa a (2.1):
mı́n
{x}
k−1∑
i=1
wi · xi s.a. f(x) ≥ q (2.3)
La solución de este problema de optimización entrega al demandas de insumos condicio-
nales en el nivel de producto3 q0 :
x∗ = g(w, q0)
1Se les conoce como efectos propios.
2De aqúı se obtiene ii).
3Notar que es independiente del precio del producto.
21
Definición 2.5
Se define la función de costos de la firma como la función de valor mı́nimo:
C(w, q0) ≡ mı́n
{x}
w · x s.a. f(x) ≥ q0
=
k−1∑
i=1
pix
∗
i
que entrega el mı́nimo costo requerido para producir q0.
Ahora se realiza una comparación entre las soluciones entregadas por los problemas (2.1)
y (2.3). Para ello se comparan las condiciones de primer orden4:
Cuadro 2.1: Comparación de las condiciones de primer orden de los problemas (2.1) y (2.3).
Problema (2.1) Problema (2.3)
wi = p ·
∂f
∂xi
(x) wi = λ ·
∂f
∂xi
(x)
wi
wj
=
∂f
∂xi
∂f
∂xj
wi
wj
=
∂f
∂xi
∂f
∂xj
Como las condiciones marginales son las mismas se tiene que el problema (2.1) es condi-
ción suficiente para (2.3) para un nivel de producto y precio de factores dados. No obstante,
no se cumple a la inversa.
2.5. Ejemplos
Ejemplo 1
Supóngase la siguiente función de producción:
q = f(x1, x2) =
√
x1 +
√
x2
que claramente presenta rendimientos decrecientes a escala. Para precios dados p, w1 y w2
tales que el máximo sea interior (i.e. x∗1 > 0 y x
∗
2 > 0). El problema de la firma es maximizar:
p · (
√
x1 +
√
x2)− w1 · x1 − w2 · x2
Las condiciones necesarias de primer orden son:
4El escalar λ corresponde al multiplicador de Lagrange asociada a la única restricción de (2.3).
22
(1)
1
2
· px−1/21 − w1 = 0
(2)
1
2
· px−1/22 − w2 = 0
de las que se obtienen las demandas derivadas5 de factores:
x∗1 =
(
p
2w1
)2
x∗2 =
(
p
2w2
)2
La oferta se haya reemplazando en la función de producción:
q(p, w1, w2) =
p(w1 + w2)
2w1w2
Ejemplo 2
Considérese la siguiente función de producción con retornos crecientes a escala con un solo
factor:
f(x) = x2
con precios p y w tales que el óptimo es interior (x∗ > 0). Se busca maximizar:
px2 − wx
cuya condición de primerorden es:
2px− w = 0
de la cual se obtiene:
x =
w
2p
que corresponde a un mı́nimo, y no un máximo, de la función objetivo. En efecto, la condición
de segundo orden es:
2p > 0
Ejemplo 3
Por último, considérese una función de producción con retornos constantes a escala y un
sólo factor:
f(x) = x.
La función objetivo a maximizar por parte de esta firma es:
px− wx = (p− w) · x
que no tiene un máximo en tanto (p − w) > 0. Si (p − w) < 0, la función anterior se
maximiza en x∗ = 0 que corresponde al cierre de la firma. Si (p − w) = 0, la cantidad a
producir está indeterminada. La oferta en este último caso se representa en el gráfico 2.6.
5Se “derivan” de la demanda por producto. Es la función que relaciona la cantidad demandada de factor
con los precios del bien y de los factores.
23
Figura 2.6: Retornos constantes a escala y oferta horizontal
p
q
p = w̄
24
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
INSTITUTO DE ECONOMÍA
Equilibrio General en Economı́a de Intercambio Puro
(Arrow-Debreu) y con Producción
Profesor: José Miguel Sánchez Marzo 2011
Introducción e Historia
Los modelos de equilibrio general pretenden entender como funciona una economı́a en
su totalidad cuando hay más de un mercado, estudiando las interacciones entre ellos. En
particular, dichos modelos suponen que todos los precios son endógenos de tal forma que los
mercados se aclaran (o vaćıan). La metodoloǵıa de análisis usada comienza con el análisis
del comportamiento individual de los agentes (consumidores y firmas), para posteriormente
evaluar como se comportan en su conjunto.
Para asir los conceptos de eficiencia y equilibrio se consideran dos escenarios que serán
estudiados en las partes 1 y 2:
1) Equilibrio de intercambio: sólo dotaciones, no hay producción ni mercados de bienes.
Se busca establecer las asignaciones eficientes (en algún sentido) de las dotaciones.
2) Equilibrio en sistemas de mercados competitivos: sólo dotaciones y todas las
transacciones se llevan a cabo en mercados competitivos, donde los todos los agentes
perciben los precios como dados. Aqúı se encuentra la asignación de equilibrio que resul-
ta ser eficiente (nuevamente, en cierto sentido) y los precios que vaćıan los mercados.
En la parte 3 se estudian los teoremas fundamentales del bienestar que se refieren a si las
asignaciones resultantes del equilibrio son o no “eficientes” bajo algún sentido. Finalmente,
en la parte 4 de este apunte se generalizan los resultados obtenidos de las partes 2 y 3 al
considerar la posibilidad de que parte de la dotación de los individuos sea empleada como
factor productivo de alguna firma.
El creador de los modelos de equilibrio general fue Leon Walras, un economista margina-
lista francés del siglo XIX, quien fue el primer autor en estudiar la determinación sistemática
de la oferta y la demanda en múltiples mercados; en derivar ecuaciones de demanda y oferta
como problemas de optimización; y en definir el equilibrio al combinar la determinación de
la demanda y la oferta con el vaciado del mercado. Sin embargo, al abocarse a la existencia
1
del equilibrio general1, le otorgó una respuesta tan sencilla como errada: como la existencia
del equilibrio se debe a la solución de un sistema de ecuaciones (demanda igual a oferta para
cada bien) en donde hay tantas variables como ecuaciones, entonces el sistema debe tener
solución2.
Walras también introdujo la noción del subastador que ajusta los precios en función del
exceso de demanda/oferta y, al igual que con la existencia del equilibrio, también supuso
obvia su estabilidad. Debido a sus fallidos intentos por popularizar sus ideas, se decidió a
buscar a alguien a quien legar su agenda de investigación. Tal persona resultó ser Wilfre-
do Pareto (1884-1923), un ingeniero y economista italinano con una sólida base matemática3.
Pareto definió una noción de equilibrio distinta a la de Walras. Para él, el equilibrio es
una situación en donde la tensión entre lo que es socialmente posible y lo que los individuos
quieren es máxima4. Además Pareto abrió el debate de la implementación de resultados
deseados mediante la autoridad5.
A pesar del sólido conocimiento matemático, los trabajos de Pareto eran poco formales.
Sin embargo fue Francis Ysidro Edgeworth (1845-1926), economista inglés, quien hizo posi-
ble sus contribuciones. Edgeworth estudió el conjunto de asignaciones posibles en las cuales
ningún individuo o grupo de ellos, actuando independientemente, pudiera impedir dichas
asignaciones al marginarse del intercambio6. Él conjeturó que las asignaciones posibles con-
vergen al conjunto de posibles equilibrios walrasianos a medida que el número de agentes
aumenta.
La teoŕıa del equilibrio se detuvo momentáneamente entre 1910 y 1950 hasta que Ken-
neth Arrow (1991) y Gerard Debreu (1921-2004) se encontraron en la Cowles Comission in
Chicago. Arrow mostró que las nociones de equilibrio de Walras y de Pareto no son tan
diferentes como se pensaba: primero, el equilibrio de Walras es equilibrio en el sentido de
Pareto y segundo, que un equilibrio de Pareto puede ser implementado por un equilibrio
de Walras bajo redistribución de las dotaciones individuales. Estos dos resultados son tan
importantes que se les conoce, respectivamente, como el Primer y Segundo Teorema del Bie-
nestar. Posteriormente Arrow y Debreu demostraron la existencia del equilibrio walrasiano
bajo condiciones muy débiles y estudiaron la unicidad y estabilidad. Por todo lo anterior7,
Arrow ganó el premio Nobel en 1972 y Debreu en 1983.
1“Elements d’economie Politique Pure ou Theorie de la Richesse Sociale” o “Elementos de Economı́a
Poĺıtica Pura o Teoŕıa de la Riqueza Social”, (1874)
2Como contraejemplo, para el sistema x2 + y2 = 0, x2 − y2 = 1 no hay solución real.
3Ello a pesar de profundas diferencias personales e ideológicas entre él y Walras; entre ellas, Walras era
izquierdista mientras que Pareto un liberal.
4I.e., si los recursos son constantes, al mejorar a alguien se empeora a otro.
5Su argumento es: como el equilibrio warasiano es la solución de un sistema de ecuaciones, un gobierno
puede resolver el sistema e imponer una asignación sin la necesidad de los mercados. Claramente, Pareto
pasa por alto un problema informacional no menor.
6Esto es, si la asignación perjudica a uno de los individuos éste no comercia y consume su dotación.
7Además resolvieron la conjetura de Edgeworth.
2
Parte 1
Equilibrio de Intercambio
Tal como se dijo en la introducción, este modelo supone que no hay producción, sólo hay
dotaciones de bienes y que los consumidores son tomadores de precios1.
Los agentes intercambian entre ellos con el objetivo de maximizar su función de utilidad (o
equivalentemente, encontrar la canasta más preferida dentro de su conjunto presupuestario).
1.1. Caja de Edgeworth
Una manera conveniente de representar las asignaciones posibles en el caso de dos con-
sumidores, I = {1, 2}, la entrega la caja de Edgeworth.
Considérese el modelo con las siguientes caracteŕısticas:
Dos consumidores: i = 1, 2.
Dos bienes x1 y x2.
Preferencias representadas por la función de utilidad ui, con i = 1, 2, que es continua,
estrictamente creciente y estrictamente cuasicóncava en R2+.
La dotaciones del individuo i es wi = (wi1, w
i
2) para i = 1, 2.
Los sub́ındices denotarán al bien y los supráındices denotarán consumidor. Aśı xik es el
consumo del bien k por parte del consumidor i.
Definición 1.1
Una asignación es una canasta de consumo para cada consumidor:
X = (x1,x2) ≡
(
(x11, x
1
2), (x
2
1, x
2
2)
)
1Se dejan fuera consideraciones de carácter estratégico.
3
Definición 1.2
Una asignación es factible si solo si:
x11 + x
2
1 = w
1
1 + w
2
1 ≡ w1
x12 + x
2
2 = w
1
2 + w
2
2 ≡ w2
donde wi es la cantidad total disponible de bien i para i = 1, 2.
Con este modelo, la caja de Edgeworth se representa en la figura 1.1 donde la curva verde
es la curva de contrato,la cual une los puntos tangenciales de las curvas de indiferencia. Cada
punto dentro de la caja (incluso sus bordes) es una asignación factible.
Figura 1.1: Caja de Edgeworth
O1
O2
•
•
w = (w1, w2)
x = (x1, x2)
w12
w11 x
1
1
x12
x22
w22
w21 x
2
1
Eje Bien x1
Eje bien x2
Definición 1.3
Se define el conjunto ε = {ui,wi}i∈I como una economı́a de intercambio, donde ui es una
función de utilidad que representa las preferencias del individuo i.
Definición 1.4
Una asignación factible X = (x1,x2) se dice que es Pareto superior a otra asignación
factible Z = (z1, z2) si
∀ i ∈ I ui(xi) ≥ ui(zi) y
uj(xj) > uj(zj) para algún j ∈ I
4
Definición 1.5
Una asignación factible X es un óptimo de Pareto (o es Pareto eficiente) si no existe
ninguna otra asignación factible que sea Pareto superior a ella.
Figura 1.2: Distinción entre Eficiencia Paretiana y Pareto Superior
Notar que las asignaciones Pareto eficientes no son únicas. La diferencia entre estos dos
conceptos se ilustra en la figura 1.2. En donde el área amarilla representa el conjunto de asig-
naciones Pareto superiores a dotación inicial w. Notar que en tanto el intercambio reasigne
las dotaciones entre consumidores dentro de esta área, el bienestar de ambos consumidores
aumentará o quedará igual. Por su parte, la recta verde dentro del área amarilla es el con-
junto de asignaciones Pareto eficientes2, que claramente no son únicas.
El conjunto de asignaciones Pareto eficientes viene dada por la curva de contrato que es
definida impĺıcitamente por la ecuación:
∂u1
∂x1
(x1, x2)
∂u1
∂x2
(x1, x2)
=
∂u2
∂x1
(w1 − x1, w2 − x2)
∂u2
∂x2
(w1 − x1, w2 − x2)
en donde se igualan las tasas marginales de sustitución de cada consumidor.
Una generalización de este esquema para n consumidores se puede hallar en Jehle y Reny
(2001)3.
2Notar que esta afirmación es condicional en la dotación inicial de cada individuo.
3“Advanced Microeconomic Theory”, sección 5.1.
5
Parte 2
Equilibrio en Mercados Competitivos
Sea k la cantidad de bienes y supóngase que hay n consumidores indexados según I =
{1, 2, ..., n}. Cada consumidor i ∈ I cuenta con una dotación wi = (wi1, wi2, ..., wik) con wi ≥ 0
y enfrenta mercados competitivos (tomador de precios). Notar que la riqueza del consumidor,
el valor de su dotación, es endógena porque depende de los precios que también lo son.
Supuesto 2.1
Las preferencias de cada consumidor pueden ser representadas por una función de utilidad
ui que es continua, estrictamente creciente y estrictamente cuasicóncava en Rk+.
2.1. Problema del Consumidor
Sea p ≡ (p1, p2, ..., pk) � 0 el vector de precios de mercado. Entonces el consumidor i
resuelve:
máx
{xi∈Rk+}
ui(xi) s.a. p · xi ≤ p ·wi
cuya solución viene dada por:
xi(p,p ·wi)
que corresponde a la demanda del consumidor i.
Teorema 2.1
Si ui cumple el supuesto 2.1, entonces para cada p � 0, el problema del consumidor tiene
una única solución xi(p,p ·wi). Además, xi(p,p ·wi) es continua en p ∈ Rk++.
Demostración: La existencia de la solución se sigue directamente del hecho que p� 0,
por lo que el conjunto presupuestario es acotado. Del teorema del máximo se sigue la con-
tinuidad de xi(p,p ·wi). La unicidad viene del supuesto 2.1 pues al ser la función objetivo
cuasicóncava y el conjunto presupuestario convexo. Notar que xi(p,p ·wi) no es necesaria-
mente continua en Rk+ pues si algún precio tiende a cero, el hecho que ui sea estrictamente
creciente lleva a que la demanda por algún bien de precio nulo tienda a infinito.
6
Se ilustra lo anterior con el caso particular k = 2 e i = 1, 2. El conjunto presupuestario del
individuo 1 viene dado por:
B1(p) = {x1 = (x11, x12)|p · x1 ≤ p ·w1}
La recta presupuestaria viene dada por:
p1 · x11 + p2 · x12 = p ·w1
aśı, w1 = (w11, w
1
2) está siempre sobre la recta presupuestaria.
O1
O2Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
•
•w
B1(p) B2(p)
.
.........
...
.........
...
.........
...
.........
...
.........
...
.........
...
− p1
p2
Definición 2.1
Un equilibrio walrasiano para una economı́a de intercambio ε = {ui,wi}i∈I es un precio p∗
y una asignación factible X∗ = (x1∗,x2∗, ...,xn∗) tal que:
i) Los n consumidores actúan acorde a la maximización de su función de utilidad. Es decir
∀ i = 1, 2, ..., n se tiene que xi resuelve:
máx
{xi∈Rk+}
ui(xi) s.a. p∗ · xi ≤ p∗ ·wi
ii) Los mercados de los k bienes se aclaran. Es decir ∀ l = 1, 2, ..., k se tiene que:
n∑
i=1
xil =
n∑
i=1
wil = wl
En las figuras siguientes (ver 2.1 y 2.2) se incluyen un ejemplo de una situación de des-
equilibrio y una de equilibrio walrasiano.
Notar que en el caso de la figura 2.1, como x11 + x
2
1 > w1 hay exceso de demanda por el
bien uno. Asimismo, es fácil notar que hay un exceso de oferta del bien 2. Por su parte, en la
figura 2.2 se cumplen ambas condiciones para un equilibrio walrasiano. Notar que más aún,
dicho equilibrio es Pareto eficiente1.
1Esto será demostrado como un teorema más adelante.
7
Figura 2.1: Ejemplo de una situación de desequilibrio
O1
O2Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
.
.........
....
.........
....
........
.....
........
.....
........
.....
.........
....
− p
∗
1
p∗2
x11
x22
x21
x21
x12
x22 •
•
• w
Figura 2.2: Ejemplo de una situación de equilibrio walrasiano
O1
O2Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
.
.........
...
.........
...
.........
...
........
...
.........
...
.........
...
•
•X
∗ = (x1,x2)
w
− p
∗
1
p∗2
2.2. Equilibrio Walrasiano
En esta sección se aborda el problema del equilibrio walrasiano. De particular interés
resulta responder preguntas sobre existencia, unicidad, estabilidad (convergencia hacia el
equilibrio). Sin embargo, sólo se estudiará el tema de existencia y el cómo caracterizarlo.
Para ambas interrogantes resulta ser importante la siguiente función.
Definición 2.2
Se define la función de exceso de demanda agregada del bien j como la función zj(p) :
Rk++ → R real valorada dada por:
zj(p) ≡
n∑
i=1
xij(p,p ·wi)︸ ︷︷ ︸
Demanda Agregada bien j
−
n∑
i=1
wij︸ ︷︷ ︸
Oferta agregada bien j
8
Notar que cuando zj(p) > 0 hay exceso de demanda por el bien j y que cuando zj(p) < 0
hay exceso de oferta de bien j.
Definición 2.3
Se define la función de exceso de demanda agregada como la función vectorial:
z(p) ≡

z1(p)
z2(p)
...
zk(p)

Notar que las condiciones i) y ii) de la definición 2.1 se satisfacen en la medida que algún
p∗ cumpla con:
z(p∗) = 0
Teorema 2.2
Un equilibrio walrasiano según la definición 2.1 equivale a una asignación X∗ y un precio
p∗ ∈ Rk++ tales que z(p∗) = 0
Con preferencias estrictamente crecientes, cualquier equilibrio walrasiano debe tener p�
0 porque en caso contrario los consunidores demandan una cantidad no acotada de todos los
bienes libres cuyo precio es cero.
Teorema 2.3
Si para cada consumidor i ∈ I, su función de utilidad ui cumple con el supuesto 2.1 y las
dotaciones agregadas de cada bien son tales que ∀ l = 1, 2, ..., k wl > 0 (existen cantidades
positivas de cada bien) entonces la función z(p) posee las siguientes propiedades para todo
p� 0:
i) z(p) es continua en p.
ii) z(λ · p) = z(p) para cualquier λ > 0. Es decir, z(p) es homogénea de grado cero en p.
iii) Para todo precio p ∈ Rk+ se tiene que p ·z(p) = 0. Este resultado se conoce como ley de
Walras: el valor del exceso de demanda agregado es cero. En particular se cumple para
el precio de equilibrio.
iv) (Condición de borde) Si {pm}∞m=0 es una secuencia de vectores de precios en Rk++ que
convergen a p 6= 0 con pl = 0 para algún bien l. Entonces, para algún bien l′ con pl′ = 0,
la secuencia de excesos de demanda de dicho bien asociada a la secuencia de precios
{pm}∞m=0, denotada {zl′(pm)}∞m=0, no tiene cota superior.
9
A continuación se demuestran cada una de las propiedades anteriores.
Demostración parte I)
Las funciones de demanda individuales, xi(p,p · wi), son continuas por lo que la sumade
ellas también es una función continua.
Demostración parte II)
Las demandas individuales son homogéneas de grado cero en precios por cuanto el conjunto
presupuestario no se ve alterado cuando los precios aumentan todos en un factor de λ :
p · xi ≤ p ·wi ⇔ λp · xi ≤ λp ·wi
y como en la función de utilidad no influyen los precios de los bienes, la solución al problema
del consumidor es la misma usando una u otra restricción y aśı para todo i ∈ I y cualquier
λ > 0:
xi(p,p ·wi) = xi(λp, λp ·wi)
y es sencillo notar que la suma de funciones homogéneas de grado cero es también una función
homogénea de grado cero. De esta manera, sólo los precios relativos importan, lo que permite
normalizar de alguna forma arbitraria. La más conocida y simple de ellas es hacer de un bien
el numerario de la economı́a al fijar su precio en uno, aśı el vector de precios es de la forma
p = (1, p2, ..., pk).
Demostración parte III)
La ley de Walras se sigue del supuesto que ui es estrictamente creciente y aśı todo el ingreso
se gasta. De la definición de z(p) se tiene:
z(p) =
n∑
i=1
(xi(p,p ·wi)−wi)
/
p · (·)
⇒ p · z(p) = p ·
(
n∑
i=1
(xi(p,p ·wi)−wi)
)
=
n∑
i=1
p · (xi(p,p ·wi)−wi)
= 0
donde la última igualdad se debe al hecho que cada individuo agota su ingreso. La ley
de Walras implica que de haber equilibrio en k − 1 mercados, necesariamente el k está en
equilibrio. Sin embargo esta no es una condición de equilibrio puesto que se cumple para
todo p.
Demostración parte IV)
En otras palabras, la propiedad iv) significa que si los precios de algunos pero no de todos
10
los bienes se acercan arbitrariamente a cero, entonces el exceso de demanda de alguno de
esos bienes crece sin ĺımite alguno. Ahora se procede a su demostración. Supóngase que las
preferencias de los individuos satisfacen el supuesto 2.1.Considere una secuencia de vectores
de precio estrictamente positivos {pm}∞m=0 , que convergen a p 6= 0 tal que pk = 0 para algún
bien k . Como
n∑
i=1
wi � 0, debe cumplirse que p ·
n∑
i=1
wi > 0 y consecuentemente:
p ·
n∑
i=1
wi =
n∑
i=1
p ·wi > 0
entonces debe haber al menos un consumidor i para el cual p ·wi > 0, esto es, alguno de los
consumidores debe tener un ingreso positivo.
Considere la demanda de este consumidor i con ingreso positivo, xi(pm,pm · wi) a lo
largo de la secuencia de precios {pm}. Ahora suponga por contradicción, que esta secuencia
de vectores de demanda está acotada. Entonces, por teorema de secuencias acotadas en Rn,
debe existir una subsecuencia convergente.
Se puede asumir sin pérdida de generalidad que la secuencia original de demanda converge
a un punto que se denotará x∗. Esto es xi(pm,pm ·wi)→ x∗. Para simplificar notación sea
xm ≡ xi(pm,pm · wi) para todo m. Ahora como xm maximiza ui sujeto a la restricción
presupuestaria del consumidor i dados los precios pm y como uies estrictamente creciente,
la restricción presupuestaria debe cumplirse con igualdad. Esto es:
pm · xm = pm ·wi
para cada m. Tomando ĺımite cuando m→∞ se tiene
p · x∗ = p ·wi > 0 (2.1)
Donde la desigualdad estricta viene de nuestra elección del consumidor i. Ahora sea x̂= x∗+
(0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) donde el uno está en la posición k. Entonces como ui es estrictamente
creciente en Rn+,
ui(x̂) > ui(x∗) (2.2)
Adicionalmente, como pk = 0 la ecuación (2.1) implica que:
p · x̂ = p ·wi > 0 (2.3)
Entonces como ui es continua las ecuaciones (2.2) y (2.3) implican que existe un t ∈ (0, 1)
tal que:
ui(tx̂) > ui(x∗)
p · (tx̂) < p ·wi > 0
11
Pero como pm → p, xm→ x∗ y uies continua esto implica que para m suficientemente grande:
ui(tx̂) > ui(xm)
pm · (tx̂) < pm ·wi
Esto contradice el hecho que xm resuelve el problema del consumidor a los precios pm. Se
concluye entonces que la secuencia de vectores de demanda, {xm}∞m=0 , no tiene cota.
Como la secuencia de vectores de demanda del consumidor i no tiene cota y es no ne-
gativa, debe existir algún bien k ′ tal que {xmk′} no tenga cota superior. Como el ingreso del
consumidor i converge a p ·wi la secuencia de ingreso {pm ·wi} está acotada. Luego se debe
tener pmk′ → 0 ya que esta es la única manera que la demanda por el bien k ′ no esté acotada
y sea alcanzable. Entonces pk′ = ĺımm→∞ p
m
k′ = 0
Finalmente notar que como la oferta agregada del bien k ′ está fija y es igual a su dotación
agregada y todos los consumidores demandan cantidades no negativas del bien, el hecho que
la demanda del consumidor i por el bien k ′ no tenga cota superior implica que el exceso de
demanda agregada por el bien k ′ no tiene cota superior. Consecuentemente partiendo del
supuesto que pm → p 6= 0 y que pk = 0 para algún k se ha demostrado que existe algún bien
k ′ con pk′ = 0 tal que el exceso de demanda agregada por este bien no tiene cota superior a
lo largo de la secuencia de precios {pm} .
Resumen
Se resaltan aqúı los puntos más notables de esta sección.
(a) Las demandas y ofertas dependen solamente de los k − 1 precios relativos existentes.
Entre las normalizaciones más usadas están:
1) Hacer que el precio de uno de los bienes sea uno. Dicho bien será el numerario de la
economı́a. Aśı, el vector de precios resultantes es de la forma
p = (p1, p2, ..., pk−1, 1)
2) Suponer que el vector de precios pertenece al simplex unitario en Rk+, es decir los
precios satisfacen la relación
k∑
i=1
pi = 1
Ejemplo para k = 2. Sean p̂1 y p̂2 precios no-normalizados. La normalización simplex
para cada uno de ellos es
p̂1
p̂1 + p̂2︸ ︷︷ ︸
≡p1
+
p̂2
p̂1 + p̂2
= 1︸ ︷︷ ︸
≡p2
Notar que p1 y p2 ahora están normalizados mediante este método.
12
(b) El equilibrio de mercado requiere la compatibilización simultánea de acciones individua-
les, independientes y decentralizadas de agentes que maximizan su utilidad. Más aún el
equilibrio walrasiano requiere una cantidad de información mucho menor que en el caso
del equilibrio de intercambio, pues los agentes en el primer caso requieren conocer sólo
k− 1 precios relativos, mientras que en el segundo se requiere conocer las dotaciones de
cada individuo y sus preferencias (es decir, se requiere conocer la economı́a completa ε).
(c) Si la asignación inicial es w, la acción individual de agentes en mercados impersonales
lleva a una distribución del producto de la economı́a que está dentro del “lente” for-
mado por las curvas de indiferencia de la figura 1.2 (área amarilla) y sobre la curva de
contrato. Son asignaciones factibles en las cuales cada agente está mejor o igual que
con la asignación inicial (la dotación) y a partir de las cuales es imposible mejorar a al-
guien sin empeorar a otro. Esto implica que el equilibrio walrasiano tiene una propiedad
socialmente deseable: es eficiente en el sentido de Pareto.
2.3. Existencia del Equilibrio Walrasiano
Para comenzar esta sección, conviene recordar que la ley de Walras no es una condición
de equilibrio. De hecho, Leon Walras2 no resolvió el problema de existencia pues señaló que
el sistema z(p) = 0 al tener k ecuaciones (una para cada bien) y k incógnitas (cada precio)
siempre tiene solución3
Como ejercicio sencillo, se demuestra la existencia del equilibrio walrasiano para el caso
k = 2. Esta demostración consta de dos partes:
(a) Se demuestra que cuando p1 → 0 se tiene que z1(p1, 1)→ +∞.
(b) Para un p1 suficientemente grande, z1(p1, 1) < 0 (exceso de oferta)
y debido a que z1(p1, 1) es una función continua, por el teorema del valor intermedio, se tiene
que existe al menos un precio p∗ = (p∗1, 1) tal que z1(p
∗) = 0 (véase figura 2.3) Este precio
es el equilibrio walrasiano.
Demostración (a) A medida que p1 → 0, el exceso de demanda para algún bien se va a
infinito por la propiedad iv) del teorema 2.3. Los consumidores tienen
riqueza finita, luego deben tener demandas acotadas por el bien 2 que
tiene precio uno. Aśı:
ĺım
p1→0
z1(p1, 1) = +∞
2“Elements dé Economie Politique Pure” (1874)
3No obstante, esto es claramente falaz, tal como se ilustró en la introducción.
13
Figura2.3: Existencia del equilibrio walrasiano para k = 2
0 p1
z1
z1(p)
p∗1
6
-
Demostración (b) Considérese el vector de precios normalizados según p = (1, 1/p1). A
medida que p1 → +∞, claramente el precio relativo del bien 2 se va a
cero:
ĺım
p1→+∞
1
p1
= 0
y aśı, el exceso de demanda del bien 2 se va a infinito, mientras que el del
bien 1 está acotado mediante un argumento análogo a la demostración
de (a). Aśı, para p1 suficientemente grande se tiene:
z2(1, 1/p1) > 0
pero por la ley de Walras:
p1 · z1(1, 1/p1) = −p2 · z2(1, 1/p1) < 0
luego
z1(p1, 1) < 0
para p1 suficientemente grande.
El siguiente teorema resulta vital para probar la existencia del equilibrio walrasiano.
Teorema 2.8
(Teorema de Punto Fijo de Brouwer) Sea S ⊂ Rn un conjunto no vaćıo, compacto4
y convexo. Sea f : S → S una función continua. Entonces existe al menos un punto fijo en
S; esto es, existe al menos un punto x∗ ∈ S tal que:
f(x∗) = x∗
Para el caso n = 1, este teorema se reduce al teorema del valor intermedio de los cursos
de cálculo diferencial, véase la figura 2.3.
4I.e. cerrado y acotado.
14
Figura 2.4: Teorema de Brouwer para n = 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f(x) = x
a b
a
b
f(x∗)
x∗ x
f(x)
2.4. Demostración Existencia del Equilibrio Walrasiano
para el caso de k bienes
En esta sección se demostrará el siguiente teorema.
Teorema 2.9
Suponga que z(p) satisface las siguientes cuatro condiciones:
i) z(·) es continua en Rk++.
ii) (Homogeneidad) z(λp) = z(p) para todo λ > 0.
iii) p · z(p) = 0 para todo p� 0.
iv) (Condición de Borde) Si {pm} es una secuencia de vectores de precio en Rk++ que
converge a p 6= 0, con pj = 0 para algún bien j , entonces, para algún bien j ′ con pj′ = 0
la secuencia asociada de exceso de demanda en el mercado del bien j ′, {zj′(pm)}, no
tiene cota superior.
Entonces existe un vector de precios p∗ � 0 tal que z(p∗) = 0.
Antes de pasar a la demostración del teorema notar que la ausencia de continuidad de la
función demanda y por lo tanto de la función de exceso de demanda agregada, en la frontera
de los vectores de precios no negativos exige realizar un trabajo adicional para alejarse de
ese ĺımite. Para lograrlo, primero se define zj(p) = mı́n {zj(p), 1} para todo p � 0, y sea
z(p) = (z1(p), ..., zk(p)). Con esto se ha asegurado que zj(p) está acotado por arriba por 1,
por su definición misma. Ahora se define el conjunto Sε fijando ε ∈ (0, 1) y haciendo (ver
figura 2.5):
Sε =
{
p :
k∑
j=1
pj = 1 y pj ≥
ε
1 + 2k
∀j
}
15
Figura 2.5: Ilustración de Sε con k = 2
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
1
ε/5
ε/5 1
Sε = {(p1, p2)|p1 + p2 = 1 y p1, p2 ≥ ε/5}
En este conjunto se está excluyendo aquellos vectores de precios que contengan algún
precio que se aproxima o es igual a cero. Además se está normalizando los precios, esto lo
hacemos porque como la función de exceso de demanda agregada es homogénea de grado
cero en precios estos pueden normalizarse y expresar las demandas en función de los precios
relativos. Esto puede hacerse de muchas maneras, una de ellas es hacer:
pj =
p̂j
k∑
m=1
p̂m
donde p̂j es el precio absoluto. Note que
k∑
j=1
pj = 1.
Demostración: Se ha restringido la búsqueda del equilibrio Walrasiano de un precio
p∗ � 0 tal que z(p∗) = 0 al conjunto Sε. Esto se ha hecho de este modo porque se ha
construido un conjunto compacto y además convexo y no vaćıo. Por el teorema de Punto
Fijo de Brouwer 2.8 se sabe que toda función continua desde un conjunto convexo y compacto
a ese mismo conjunto tiene al menos un punto fijo. Para demostrar la existencia, se construye
una función continua tal que su punto fijo sea el equilibrio Walrasiano. Hay muchas funciones
que lo hacen pero sólo se necesita una. Se construye la siguiente función vectorial:
f : Sε → Sε
Donde,
f(p) ≡

f1(p)
f2(p)
...
fk(p)

16
Para j = 1, ..., k, fj(p) viene dado por:
fj(p) ≡
ε+ pj + máx(0, zj(p))
kε+ 1 +
k∑
m=1
máx(0, zm(p))
j = 1, ..., k (2.4)
La función f puede interpretarse como la variación en los precios que producen los mercados
cuando no hay equilibrio. Si p es un vector de precios que no es de equilibrio y si zj(p) > 0,
es decir hay exceso de demanda por ese bien, entonces su precio relativo debe aumentar.
Notar que
k∑
j=1
fj(p) = 1:
k∑
j=1
fj(p) ≡
k∑
j=1
[ε+ pj + máx(0, zj(p))]
kε+ 1 +
k∑
m=1
máx(0, zm(p))
=
kε+ 1 +
k∑
j=1
máx(0, zj(p)))
kε+ 1 +
k∑
m=1
máx(0, zm(p))
= 1
Además notar que se cumple que fj(p) ≥ εkε+1+k ya que zj(p) ≤ 1 ∀ j entonces fj(p) ≥
ε
1+2k
.
Por lo tanto se cumple que f : Sε → Sε. Notar que fj(p) es continua en Sε ya que por la
condición i) del teorema 2.9 zj(p) es continua en Sε, por lo tanto zj(p) es continua en Sε ya
que la función de máximo es continua, entonces por composición de funciones fj(p) también
son funciones continuas en Sε. Luego f(p) es una función continua que mapea el conjunto
no vaćıo compacto y convexo Sε sobre si mismo. Por el teorema de punto fijo de Brouwer 2.8
se sabe que existe un pε ∈ Sε tal que f(pε) = pε. Esto es equivalente a que fj(pε) = pεj para
j = 1, ...., k.
ε+ pεj + máx(0, zj(p
ε))
kε+ 1 +
k∑
m=1
máx(0, zm(pε))
= pεj j = 1, ..., k
pεj
[
kε+
k∑
m=1
máx
(
0, zm(p
ε)
)]
≡ ε+ máx(0, zm(pε)) (2.5)
Ahora se hace tender a cero a ε y se considera la secuencia de vectores de precios {pε} que
satisfaga (2.5). Notar que la secuencia de precios está acotada, porque pε ∈ Sε lo que implica
que el precio en cada mercado está siempre entre 0 y 1. En consecuencia por teorema de
secuencias acotadas alguna subsecuencia de {pε} debe converger. Supóngase, sin pérdida de
generalidad, que {pε} converge a p∗. Se sabe que p∗ ≥ 0 y p∗ 6= 0 porque sus componentes
suman uno. Se quiere mostrar que p∗ � 0. Se procede por contradicción: Supóngase que no
es el caso que p∗ � 0. Entonces para algún bien j se tiene p∗
j
= 0. Por condición iii) del
teorema 2.9 entonces debe existir algún bien j′ con p∗j′ = 0 tal que la secuencia asociada
de exceso de demanda en el mercado del bien j′, {zj′(pε)} , no tiene cota superior cuando
ε tiende a cero. Pero note que como pε → p∗, p∗j′ = 0 implica que pεj′ → 0. Luego el
lado izquierdo de (2.5) para j = j′ debe tender a cero ya que el término entre paréntesis
17
está acotado por la definición de z. Sin embargo el lado derecho aparentemente no tiende a
cero ya que zj′(p
ε) no está acotado por lo cual zj′(p
ε) toma su valor máximo de 1. Esto es
una contradicción porque ambos lados de la condición son iguales para todo ε. Se concluye
entonces que p∗ � 0. Entonces pε → p∗ � 0 a medida que ε → 0. Como z(·) es continua
en Rk++ se puede tomar ĺımite a (2.5) con ε→ 0 y se obtiene:
p∗j
k∑
m=1
máx(0, zm(p
∗)) ≡ máx(0, zj(p∗)) j = 1, ..., k
multiplicando ambos lados por zj(p
∗) en cada una de estas k ecuaciones:
zj(p
∗)p∗j
k∑
m=1
máx(0, zm(p
∗)) ≡ zj(p∗) máx(0, zj(p∗)) j = 1, ..., k
sumando sobre j = 1, ..., k bienes se tiene :
k∑
m=1
máx(0, zm(p
∗))
k∑
j=1
zj(p
∗)p∗j ≡
k∑
j=1
zj(p
∗) máx(0, zj(p
∗))
Pero por Ley de Walras se tiene que:
k∑
j=1
zj(p
∗)p∗j = 0
Luego:
k∑
j=1
zj(p
∗) máx(0, zj(p
∗)) = 0
Cada término de esta sumatoria es no negativo ya que es cero o positivo (ya que zj comparte
el signo de zj). Si algún término fuera estrictamente mayor que cero, la igualdad anterior
no se puede cumplir, por lo que cada término de la sumatoria debe ser igual a cero. Esto
implica que zj(p
∗) ≤ 0 para j = 1, ..., k y p∗ � 0. Claramente no puede ser que zj(p∗) < 0
y p∗ � 0.
Proposición: Si p∗ es un equilibrio walrasiano y zj(p
∗) < 0, entonces p∗j = 0, es decir,
si algún bien está en exceso de oferta, en el equilibrio walrasiano, debe ser bien libre.
• Demostración: Suponga que p∗ es un equilibrio walrasiano y que z(p∗) ≤ 0 entonces
p∗ · z(p∗) =
k∑
j=1
p∗jzj(p
∗) ≤ 0 porque los precios son no negativos. Si zj(p∗) < 0 y p∗j > 0 se
tendŕıa que p∗ · z(p∗) < 0 lo que contradice la Ley de Walras. Entonces si p∗ � 0 y p∗ es
un equilibrio walrasiano z(p∗)= 0.
Luego, mientras la función de exceso de demanda agregada sea continua en Rk++, sea ho-
mogénea de grado cero en precios, satisfaga la Ley de Walras y no tenga cota superior a
medida que un precio, pero no todos, se aproximan a cero entonces existe un equilibrio
Walrasiano con todos los precios estrictamente positivos.
18
Parte 3
Teoremas Fundamentales de Bienestar
3.1. Primer Teorema de Bienestar
Teorema 3.1
(Primer Teorema de Bienestar) Para la economı́a de intercambio ε = {ui, wi}i∈I si
ui es estrictamente creciente en Rk+, entonces todos los equilibrios walrasianos entregan una
asignación que es eficiente en el sentido de Pareto.
Este teorema señala que:
Equilibrio Walrasiano⇒ Eficiencia Paretiana
y para demostrarlo se requiere un supuesto muy débil sobre las preferencias de los consu-
midores: que existe no-saciedad local1. Algunos aspectos vitales que sustentan este teorema
son la inexistencia de externalidades (y por tanto no hay bienes públicos), hay competen-
cia perfecta, la información es perfecta y que los mercados son completos. La presencia de
externalidades y sus efectos en este teorema serán estudiados más adelante.
Definición 3.1
La relación de preferencias �i presenta no-saciedad local si para cada xi ∈ Rk+ y cada � > 0,
existe un xi′ tal que xi′ �i xi y que
‖xi′ − xi‖ < �
Esta propiedad impide que las curvas de indiferencias sean “gruesas”2.
1Esta propiedad es más laxa que el supuesto de estricta monotonicidad de � .
2No existe un entorno de un punto en la curva de indiferencia que tenga sólo canastas que son igualmente
preferidas.
19
Demostración Teorema 3.1: Se demuestra por contradicción. Supóngase que hay un
equilibrio walrasiano
(
p∗,X∗
)
que no es Pareto óptimo. Aśı, hay otra asignación factible Z
que es Pareto superior. Entonces por definición:
∀ i ∈ I ui(zi) ≥ ui(xi∗)
y para algún j ∈ I uj(zj) > uj(xj∗)
Por equilibrio walrasiano, cualquier asignación estrictamente preferida debe costar más (ar-
gumento de preferencias reveladas) dado que, por la no-saciedad local, el individuo gasta
todo su ingreso. De lo contrario, el consumidor la hubiese escogido en lugar de xi∗. Luego
debe darse que:
∀ i ∈ I p∗ · zi ≥ p∗ · xi∗
(por no-saciedad local, si p∗ · zi < p∗ ·xi∗, entonces existe alguna canasta xi∗ en el conjunto
presupuestario que seŕıa estrictamente preferida a zi y, por tanto, a xi∗, lo que viola el su-
puesto que xi∗ maximiza la utilidad en el conjunto presupuestario).
Por otro lado, debe darse que para aquellos consumidores con
uj(zj) > uj(xj∗)
que
p∗ · zj > p∗ · xj∗
porque de otra forma el consumidor hubiese escogido zj violando el supuesto de maximización
de utilidad. De esta forma, a nivel agregado debe cumplirse que:
p∗ ·
n∑
i=1
zj > p∗ ·
n∑
i=1
xj∗
y como cada consumidor agota su ingreso (no-saciedad local)
p∗ · xi∗ = p∗ ·wi
luego la desigualdad de arriba se transforma en:
p∗ ·
n∑
i=1
(zi −wi) > 0 (3.1)
Por otra parte, como Z es una asignación factible se cumple que:
n∑
i=1
zi =
n∑
i=1
wi
y por tanto
p∗ ·
n∑
i=1
(zi −wi) = 0 (3.2)
contradiciendo a la desigualdad (3.1).
Consecuentemente, no puede haber una asignación Z Pareto superior a la asignación del
equilibrio walrasiano, por lo que ésta es Pareto eficiente de acuerdo a la definición 1.5.
20
3.2. Segundo Teorema de Bienestar
Un equilibrio competitivo consigue explotar todas las posibles ganancias del intercambio
pero la distribución resultante es un reflejo de la dotación de cada individuo.
Es posible modificar las condiciones iniciales de forma que se llegue a una asignación final
con una distribución de los recursos predeterminada. Bajo este respecto conviene notar que:
(a) Las dotaciones dejan de ser exógenas y son variables del problema.
(b) Abre la posibilidad de conseguir asignaciones eficientes predeterminadas respetando el
sistema de precios y variando solamente el derecho de propiedad. Esto permite com-
patibilizar dos objetivos sociales importantes y muchas veces conflictivos: eficiencia y
equidad.
El primer teorema establećıa que el equilibrio walrasiano es una condición suficiente para
la eficiencia paretiana bajo ciertas circunstancias. Una pregunta natural es si esta condi-
ción es a su vez necesaria. Sin embargo esto es falso, pues el equilibrio walrasiano depende
de la asignación de la riqueza y nada garantiza que cualquier asignación sea factible para
cada individuo. Para que lo último sea cierto debe redistribuirse la dotación mediante un
impuesto de suma alzada que en la práctica es un “first best” imposible, ya que requiere
gravar todos los bienes con la misma tasa (para no cambiar los precios relativos y aśı no
alterar el comportamiento de los agentes). Pero un bien (al menos) no puede gravarse: el
ocio. Existe una numerosa literatura en finanzas públicas sobre el “second best” que señala
que para disminuir el problema, puede gravarse con una tasa mayor aquellos bienes que son
complementarios con el ocio.
Obviando la dificultad anterior, se enuncia el segundo teorema de bienestar.
Teorema 3.2
(Segundo Teorema de Bienestar) Considere una economı́a de intercambio ε = {ui,wi}i∈I
con dotación agregada w � 0 y con funciones de utilidad que satisfacen el supuesto 2.1.
Supóngase que se considera una asignación X que es eficiente en el sentido de Pareto para
dicha economı́a y tal que las dotaciones han sido redistribuidas de tal forma que el nue-
vo vector de dotaciones es X. Entonces X es un equilibrio walrasiano de la economı́a de
intercambio ε′ = {ui,xi}i∈I.
Demostración Teorema 3.2: Como X es Pareto óptimo, por definición es factible∑
i∈I
xi =
∑
i∈I
wi = w � 0
Por el teorema de existencia del equilibrio walrasiano, dado que ui satisface el supuesto 2.1
y w � 0 se tiene que existe al menos un vector p∗ tal que z(p∗) = 0 por lo que la economı́a
ε′ tiene una asignación de equilibrio walrasiano denotada X̂. Se demostrará que X̂ = X.
21
Por el equilibrio walrasiano, el consumidor i maximiza ui en su restricción presupuestaria.
Como i demanda x̂i y tiene una dotación xi, debe ser cierto que ∀i ∈ I
ui(x̂i) ≥ ui(xi) (3.3)
con x̂i factible. Como X̂ es una asignación de equilibrio walrasiano factible para la economı́a
ε′ entonces: ∑
i∈I
x̂i =
∑
i∈I
xi =
∑
i∈I
wi
por lo que X̂ es también factible para la economı́a original ε. Además como X es Pareto
óptimo se tiene que (3.3) se cumple con igualdad3.
⇒ ∀i ∈ I ui(x̂i) = ui(xi)
Ahora se procede a demostrar que x̂i = xi. Supóngase que x̂i 6= xi, entonces un consumidor
puede tomar una combinación lineal de las canastas, que es factible y que gracias a la estricta
cuasiconcavidad de ui entrega una mayor utilidad, negando el hecho que xi forma parte de
un equilibrio walrasiano.
⇒ x̂i = xi
Una manera equivalente de plantear el segundo teorema es la siguiente.
Teorema 3.3
Considérese las mismas premisas que en el teorema 3.2. Entonces hay un vector de precios
p tal que cuando la asignación de dotaciones es X, cada consumidor i ∈ I maximiza ui(xi)
sujeto a p · xi ≤ p · xi eligiendo xi = xi.
Bajo el teorema 3.2 se dice que p soporta la asignación X. La figura 3.1 muestra como
una redistribución de riqueza que lleva a las dotaciones a los puntos w′ o a X cambia el
equilibrio walrasiano (tanto el vector de precios de equilibrio como la asignación resultante).
3Al ser Pareto óptimo nadie puede estar estrictamente mejor.
22
Figura 3.1: Ejemplo de redistribución para el caso de dos consumidores y dos bienes
O1
O2
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
l
l
l
l
l
l
l
l
•
•
•
•
X
X
w′
w
23
Parte 4
Equilibrio Walrasiano con Producción
Al igual que antes hay k bienes y los n consumidores están indexados con I = {1, 2, ..., n},tienen
preferencias que satisfacen el supuesto 2.1 y tienen dotaciones wi. Sin embargo, ahora hay
firmas J indexadas con el conjunto J = {1, 2, ..., J} que se les supone:
i) Tomadoras de precio.
ii) Maximizadoras de beneficio.
Sea yj ∈ Rk un plan de producción para la firma j y notarque los supráındices indexan una
firma. Recordar que en el vector:
yj =

yj1
yj2
...
yjk

se dice que si yjk < 0, entonces el bien k es un insumo neto para la empresa j y que cuando
yjk > 0 se dice que el bien k es un producto neto para la empresa j. Por su parte, las
ganancias de las firmas constituyen parte del ingreso de los consumidores y los consumidores
son también oferentes de insumos.
Supuesto 4.1
Cada firma j ∈ J tiene un conjunto de posibilidades de producción Y j ⊆ Rk tal que:
i) 0 ∈ Y j. Esto garantiza que las ganancias están acotadas por debajo en cero, permitiendo
el cierre de la firma.
ii) Y j es un conjunto compacto1. Esto permite que Y j contenga sus bordes por lo que los
ĺımites de los planes de producción son posibles, al tiempo que impone continuidad. El
hecho que Y j sea acotado pretende capturar el hecho que los recursos son limitados.
iii) Y j ∩Rk+ = {0}. Esto significa que la producción siempre requiere de insumos, a menos
que la empresa cierre.
1Esto es, un conjunto cerrado y acotado en Rk.
24
iv) Y j es estrictamente convexo. Esto es:
∀ yj1,y
j
2 ∈ Y j y ∀ λ ∈ (0, 1), ∃ y ∈ Y j tal que y � λy
j
1 + (1− λ)y
j
2
Eliminando los retornos constantes y crecientes a escala se asegura que existe un único
máximo de beneficios que se alcanza con algún plan de producción.
Ahora se busca caracterizar el equilibrio walrasiano. Como el ingreso del consumidor
depende de la utilidad de las firmas en las que posee, conviene iniciar con el problema de la
firma para encontrar la función de beneficio.
4.1. Problema de la Firma
Cada firma j ∈ J enfrenta un vector de precios p ∈ Rk++ y elige un plan de producción
para resolver:
máx
{yj∈Y j}
p · yj
Notar que por la convención de signos de insumos y productos, lo anterior sigue siendo
ingresos menos costos. Como la función objetivo es continua y el conjunto de restricciones es
compacto, por el teorema de Weierstrass se sigue que un máximo existe. Luego, para cada
p ∈ Rk++ se define la función de beneficio:
πj(p) ≡ máx
{yj∈Y j}
p · yj
Por el teorema del máximo2 se tiene que πj(p) es continua en Rk+. La convexidad estricta
asegura que el plan yj(p) que maximiza los beneficios es único para p ∈ Rk++. A su vez, el
teorema del máximo asegura que yj(p) es continua en p ∈ Rk++. Notar que yj(p) es una
función vectorial, cuyos componentes son la oferta de la firma y la demanda de insumos. Lo
anterior se resume en el siguiente teorema.
Teorema 4.1
Si Y j satisface el supuesto 4.1, entonces para todo p ∈ Rk++ la solución al problema de la
firma es único y lo denotamos por yj(p). Más aún yj(p) es continua en Rk+. Adicionalmente,
p · yj(p) está bien definida, es continua en Rk++ y es homogénea de grado uno en el vector
de precios. Por su parte, yj(p) es homogénea de grado cero en precios.
Definición 4.1
Suponiendo la inexistencia de externalidades en la producción entre firmas, se define el
conjunto de posibilidades de producción agregada como:
Y ≡
{
y
∣∣y = ∑
j∈J
yj , con yj ∈ Y j
}
2Ver Jehle G. y Reny P. (2001), “Advanced Microeconomic Theory”; Apéndice A2, página 505.
25
Ejemplo:
La firma uno con 280 TM trigo3, 12 TM de hierro y 1000 hrs. de trabajo produce 600
TM trigo. Por su parte, la firma dos con 120 TM de trigo, 8 TM de hierro y 600 hrs. de
trabajo produce 20 TM de hierro. Aśı, los planes de producción de ambas firmas son
y1 =
 320−12
−1000
 y2 =
−12012
−600

Por tanto un plan de producción agregado es
y = y1 + y2 =
 2000
−1600

Teorema 4.2
Si cada Y j con j ∈ J cumple con el supuesto 4.1, entonces Y también las cumple.
Como no hay externalidades en producción, cada plan de producción y ∈ Y se puede
expresar como la suma de los J planes individuales de las firmas: y1,y2, ...,yJ . Un plan
y ∈ Y si y sólo si y puede escribirse como:
y =
J∑
j=1
yj con yj ∈ Y j para todo j ∈ J.
Es sencillo probar que Y preserva los supuestos i), ii) y iv) en tanto cada Y j los cumpla.
A pesar que se sigue cumpliendo la libre eliminación, en el sentido que siempre es posible
producir lo mismo o menos con más insumos, la condición iii) no necesariamente se cumple;
en efecto:
y1 =
[
−3
3
]
y2 =
[
4
−2
]
⇒ y = y1 + y2 =
[
1
1
]
∈ R2++
Para evitar esto a veces se supone irreversibilidad, extendiendo la imposibilidad de produc-
ción libre en el conjunto agregado. Este supuesto se escribe matemáticamente como
Y ∩ {−Y } = {0}
3Toneladas métricas de trigo.
26
Esto es, si y ∈ Y con y 6= 0, entonces −y 6∈ Y (si el plan y es factible entonces −y no lo
es). Se tiene que la libre eliminación y la irreversibilidad implican que Y ∩ Rk+ = {0}.
Teorema 4.3
Un plan de producción agregado y =
∑
j∈J
yj maximiza los beneficios agregados p · y para
y ∈ Y si y sólo si cada plan de producción individual yj maximiza las ganancias individuales
p·yj sobre todos los planes yj ∈ Y j para todo j ∈ J (ver figura 4.1 para el caso de un insumo
y un bien).
La demostración de este teorema se deja de ejercicio al lector4.
Figura 4.1: Maximización conjunta de beneficios como consecuencia de maximizaciones in-
dividuales
•
•
•
y2
Y 2
Y 1
Y y1+y2
y1
y1
y2
````````
````````````````
6
-
�
�
�
��
��
��
4.2. Problema del Consumidor
Se deben introducir dos nuevos elementos: la oferta de insumos y la distribución de los
beneficios. El siguiente ejemplo ilustra las modificaciones pertinentes al problema del consu-
midor.
Ejemplo: Considérese un modelo con dos bienes, uno de consumo y ocio, y con un sólo
individuo. Sean L̄ la dotación de tiempo del individuo, l las horas dedicadas a la producción
de bien de consumo, w el salario por unidad de trabajo (notar que es el precio del ocio a su
vez) y c̄ la dotación del bien de consumo. Notar que el ocio viene dado por:
L̄− l
Sea u( c
(+)
, L̄− l
(+)
) donde los signos debajo de los argumentos de u(·) señalan el signo de la
derivada parcial de dicho argumento.
4Ayuda: Una forma sencilla de lograrlo es mediante la contradicción.
27
En este caso, el problema a resolver es:
máx
{c,l}
u(c, L̄− l) s.a. p · c = w · l + p · c̄︸ ︷︷ ︸
ingreso
de cuya solución se extrae la demanda de bien de consumo y la oferta de trabajo.
La restricción presupuestaria puede ser reescrita como:
p · c+ w · (L̄− l) = w · L̄+ p · c̄
y al término w · L̄ + p · c̄ se le conoce como “ingreso completo” que corresponde al valor de
la dotación.
Ahora se procede a desarrollar un modelo general. Sea wi el vector de dotaciones del
individuo (bien de consumom y tiempo) i ∈ I, p el vector de precios (incluido el precio del
ocio). Se supone que existe un sistema de propiedad establecido que permite la distribución
de los beneficios. Sea θij la participación del individuo i en la firma j, para todo i ∈ I y
j ∈ J. Esta asignación para todo j ∈ J debe satisfacer :∑
i∈I
θij = 1
De esta forma, los beneficios que recibe el consumidor i por su propiedad en las firmas es:
J∑
j=1
θij · p · yj(p)
por lo que la recta presupuestaria del consumidor i es:
p · xi = p ·wi︸ ︷︷ ︸
Valor de la dotación
+
J∑
j=1
θij · p · yj(p)︸ ︷︷ ︸
Ingreso por propiedad de la firma
y de este modo, el problema que resuelve cada individuo i ∈ I es:
máx
{x∈Rk+}
ui(xi) s.a. p · xi = p ·wi +
J∑
j=1
θij · p · yj(p)
donde ui satisface el supuesto 2.1. De esta forma, la función xi(p) está bien definida, es
continua y homogénea de grado cero en precios5.
5Además de las otras propiedades enunciadas en el apunte “Repaso de Microeconomı́a”.
28
4.3. Caracterización del Equilibrio Walrasiano con Pro-
ducción
La economı́a con producción se queda descrita por la colección:
ε = {ui,wi, θij,Y j}i∈I,j∈J
Definición 4.2
Al sumar las demandas agregadas de los n consumidores se obtiene la demanda agregada,
denotada X(p) :
X(p) ≡
∑
i∈I
xi(p)
Definición 4.3
Se define la oferta agregada de los consumidores como:
W ≡
∑
i∈I
wi
Por su parte, se define la oferta agregada neta de las firmas como:
Y (p) ≡
∑
j∈J
yj(p)
Definición 4.4
Se