Tarea1_2004_2

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Teoría Microeconómica I, 2do. Semestre 2004
Tarea 1, Jueves 19 de Agosto
Fecha entrega: Lunes 30 de Agosto (al inicio de la Ayudantía)
Prof.: Juan-Pablo Montero (jmontero@faceapuc.cl)
Ayudantes: Paula Benavides (pbenavid@puc.cl) y Manuel Hermosilla (mihermos@puc.cl)
Instrucciones. Las tareas son individuales; lo que no significa que no puedan discutir los problemas
entre Uds.
1. (Problema 7.4 de Varian) Considere la siguiente función de utilidad indirecta
v(p1, p2,m) =
m
p1 + p2
donde m es ingreso.
(a) Cuáles son las funciones de demanda (ordinarias o Marshallianas)?
(b) Cuál es la funcion de gasto?
(c) Cuál es la función de utilidad directa, es decir u(·)?
2. Considere un consumidor con un ingreso de w dentro una economía con n bienes. Usando la
propiedad de homogeneidad de la función de demanda x(p,w) y la restricción presupuestaria
p ·x = w (esta es una multiplicación vectorial correspondiente aP pixi = w), demuestre y comente
las siguientes tres relaciones
εiw +
nX
k=1
εik = 0 ∀i = 1, ..., n (1)
βi +
nX
k=1
βkεik = 0 ∀i = 1, ..., n (2)
nX
k=1
βkεkw = 1 ∀i = 1, ..., n (3)
donde εik es la elasticidad precio (cambio porcentual en xi a un cambio porcentual en pk), εiw es
la elasticidad ingreso (cambio en xi a un cambio en el ingreso w) y βi es la fración del ingreso
gastada en el bien i, es decir pixi/w.
3. Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad
u(x1, x2) = (x1 − x−12 )
(a) Calcule la función de utilidad indirecta, la función de gasto y las demandas Marshallianas (u
ordinaria o de mercado) y Hicksianas para ambos bienes.
(b) Compruebe la ecuación de Slutsky, en términos de elasticidades, para el bien 2 con respecto
a su propio precio.
(c) Sea p1 = p2 = 8 e I = 100 en un primer momento. Luego el precio del bien 2 aumenta en 2
pesos y el ingreso disminuye a $90. De acuerdo a lo encontrado en a) se puede concluir que
el bien 2 es inferior. Comente.
4. Considere un consumidor con la siguiente función de utilidad
u(x, y) = xy
donde x es trigo e y es papas.
(a) Encuentre la función de gasto para py = 1. Suponga que el ingreso es 100 y que el precio del
trigo se reduce de $1 a $ 0,25 debido al éxito del proyecto del Valle de la Suerte. Evalúe la
ganancia de los consumidores en términos de variación compensatoria.
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(b) Derive la función de demanda de Hicks para x y compare su pendiente con la curva de demanda
de Marshall respectiva. Mida la variación compensatoria de una baja del precio de x de $1 a
$ 0,25 como área de la curva de demanda y compare con (a).
(c) Suponga ahora que al mismo tiempo que baja el precio del trigo de 1 a 0,25, el precio de las
papas sube a $2,25. ¿Este efecto elimina el efecto positivo de la baja del precio del trigo?
¿Cuál es la variación compensatorio de ambos cambios en precios?
5. Dentro de los varios bienes que consume, café y té son bienes sustitutos para Juan.
(a) Para mantener un cierto nivel de bienestar (utilidad) constante, cree Ud. que la disposición
a pagar de Juan por no ser privado de consumir té depende de si el café está o no disponible.
(b) Demuestre formalmente su respuesta.
6. Un consumidor con ingreso w vive en una economía de cuatro bienes 1, 2, 3 y 4. Los precios son,
respectivamente, p1, p2, p3 y p4. Dentro del rango relevante de precios, las funciones de demandas
de los tres primeros bienes están dadas por
x1 = α1p1/p4 + α2p2/p4 + α3p3/p4 + α4w/p4
x2 = β1p1/p4 + β2p2/p4 + β3p3/p4 + β4w/p4
x3 = γ1p1/p4 + γ2p2/p4 + γ3p3/p4 + γ4w/p4
(a) Indique brevemente como determinaría la función de demanda para el cuarto bien.
(b) Comente si las funciones de demanda arriba indicadas son homogeneas del grado adecuado
(c) De un estudio empírico con todos los precios igual a 1 y w = 4, se observó que x1 = x2 =
x3 = x4 = 1 y
α2 + α4 > 0
α3 + α4 < 0
β3 + β4 < 0
0 < α4 < 1
Usando todo lo que sabe de la teoría del consumidor, que otras restricciones a los parámetros
α, β y γ puede Ud. encontrar (nótese que no se llega muy lejos con simplemente reemplazar
números en las funciones de demanda)
(d) En base a su análisis en (c) diga si los bienes 1 y 2 son sustitutos o complementos. Lo mismo
para 1 y 3, 1 y 4, 2 y 3, 2 y 4, y 3 y 4.
(e) Finalmente, en base a sus análisis en (c) y (d) diga si el bien 4 es un bien inferior o normal.
7. Problema 3.I.8 de MWG (Mas-Colell, Whinston y Green).
8. (Problema 2 Prueba 1 2do. Sem. 2002) Considere una firma con función de producción y ≡
f(x1, x2, x3) = min{x1 + 2x2, 4x2, x0.51 x0.53 } y donde el precio del insumo xi es wi > 0. Se sabe
además que por razones ambientales la empresa está restringida a no producir más de y.
(a) ¿Cuál es la función de costos C(y, w) de esta firma?¿Cuáles son las demandas condicionales
de factores xi(y,w)?
(b) ¿Si el precio del producto es p (exógeno a la firma), determine la función de utilidades de la
firma π(p,w)?
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9. (Problema 3 Prueba 1 2do. Sem. 2002) Una firma en competencia perfecta produce dos bienes x e
y usando dos insumos K y L. Los precios de los bienes son px y py, respectivamente, y los precios
de los insumos son r y w, respectivamente. La función de utilidades de esta firma es
π =
p2x
w + r
+
pαy
(w + r)2
− (w + r)
Por otro lado, las curvas de demanda de mercado para los bienes x e y están dadas por
Dx(px) = 240/px
Dy(py) = 120/py
(a) ¿Cuál es el valor del parámetro α?
(b) Suponiendo que en esta industria todas las firmas existentes y potenciales entrantes son iguales
a la firma descrita arriba y que w = 2 y r = 3, determine el número de firmas en el equilibrio
de largo plazo.
10. (Problema 1, Prueba 1 2do. Sem 2003) Suponga que una empresa posee la siguiente función de
producción
y = min
½
x0.51
a
,
x0.52
b
¾
a partir de la cual obtenga
(a) la función de costos de la empresa (precio factores exógenos a la firma)
(b) la función de costos medios y marginales (incluya además un gráfico)
(c) la curva de oferta de la empresa
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