(C3) pauta_certamen3_trimestre2_2014

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
Introducción a la Matemática Universitaria (520145)
Evaluación 3
Tiempo: 100 minutos
1. (20 puntos) Considere la función f : Dom(f) ⊆ R→ R definida por
f(x) =
√
9− e(x2),
1.1) Determine dominio de f .
Solución:
El dominio de la función está dado por
Dom(f) =
{
x ∈ R : ∃y ∈ R : y =
√
9− e(x2)
}
=
{
x ∈ R : 9− e(x2) ≥ 0
}
=
{
x ∈ R : ln (9) ≥ x2
}
=
{
x ∈ R : |x| ≤
√
ln (9)
}
=
[
−
√
ln (9),
√
ln (9)
]
1.2) Muestre que f no es inyectiva.
Solución:
Como
{
−
√
ln (9),
√
ln (9)
}
⊆ Dom(f) y f
(
−
√
ln (9)
)
= 0 = f
(√
ln (9)
)
, se tiene
que f no es inyectiva.
1.3) Restrinja dominio y codominio de f de modo que la función resultante tenga inversa.
Justifique sus respuestas.
Solución:
Primero debemos restringir el dominio, para que f resulte ser inyectiva. Esto se obtiene
haciendo
Dom(f) =
[
0,
√
ln (9)
]
.
En efecto, sabemos que en R+0 las funciones x2 y
√
(x) son estrictamente crecientes,
mientras 9− ex es estrictamente decreciente, concluyéndose que son inyectivas. Aśı, la
compuesta de ellas resulta ser inyectiva.
Dado este dominio, obtenemos el recorrido,
Rec(f) =
{
y ∈ R : ∃x ∈ Dom(f) : y =
√
9− e(x2)
}
=
{
y ∈ R : ∃x ∈ Dom(f) : y2 = 9− e(x2), y ≥ 0
}
=
{
y ∈ R : ∃x ∈ Dom(f) : 9− y2 = e(x2), y ≥ 0
}
=
{
y ∈ R : ∃x ∈ Dom(f) : ln (9− y2) = x2, y ≥ 0, 9− y2 > 0
}
=
{
y ∈ R : ∃x ∈ Dom(f) : x =
√
ln (9− y2), y ≥ 0, |y| < 3, ln (9− y2) ≥ 0
}
=
{
y ∈ R : ∃x ∈ Dom(f) : x =
√
ln (9− y2), y ≥ 0, |y| < 3, |y| ≤ 2
√
2
}
De la condición x ∈ Dom(f), se tiene que
0 ≤
√
ln (9− y2) ≤
√
ln (9),
lo que es equivalente a
0 ≤ y ≤ 2
√
2.
Aśı, usando todas las restricciones se concluye que
Rec(f) =
[
0, 2
√
2
]
,
es decir que f no es sobreyectiva.
Luego, debemos restringir el codominio de f a Cod(f) =
[
0, 2
√
2
]
.
Con todas estas restricciones, f resulta ser biyectiva (posee inversa).
1.4) Defina la inversa de la función en 1.3.
Solución:
La función inversa queda definida por f−1 :
[
0, 2
√
2
]
→
[
0,
√
ln (9)
]
, con f−1(x) =√
ln (9− y2).
2
2. (15 puntos) Determine los valores de x ∈ R para los cuales se cumple que:
2.1) Arctan (1− x2) Arccos(x) = 2πArctan (1− x2),
Solución:
La ecuación dada es equivalente a Arctan(1− x2) (Arccos(x)− 2π) = 0.
Se infiere que Arctan(1− x2) = 0 ∨ Arccos(x) = 2π.
La segunda condición es incompatible, pues no existe x ∈ R tal que Arccos(x) = 2π
porque 2π no pertenece al recorrido de la función Arccos. Por ende sólo desarrollamos
la primera condición, es decir
Arctan(1− x2) = 0⇔ 1− x2 = 0⇔ |x| = 1.
Aśı, las soluciones de la ecuación son x = 1 y x = −1.
2.2) log2(6x− x2) ≤ ln(e3) + log2(x− 1).
Solución:
La ecuación dada es equivalente a log2(6x− x2)− log2(x− 1) ≤ 3.
Hacemos las restricciones necesarias:
6x− x2 > 0⇔ x ∈]0, 6[.
x− 1 > 0⇔ x ∈ [1,+∞[.
Dadas las restricciones, podemos desarrollar
log2
(
6x− x2
x− 1
)
≤ 3,
o bien
6x− x2
x− 1
≤ 8.
Aśı, obtenemos que
(x+ 4)(x− 2)
x− 1
≥ 0,
o bien que x ∈ [−4, 1[∪[2,+∞[.
Finalmente, aplicando a esta solución las restricciones antes encontradas, se concluye
que la solución final a la inecuación es x ∈ [2, 6[.
3
3. (5 puntos) Dos trenes parten simultáneamente desde una estación en direcciones tales que
entre ellas se forma un ángulo de 60◦. Ambos trenes se mueven a velocidad constante, el
primero va a 15 km
hr
y el otro a 25 km
hr
. Determine la distancia entre ellos después de dos horas
de viaje.
Solución:
Figura 1: Esquema
Basados en el dibujo, utilizamos el teorema del coseno para decir que
x2 = 502 + 302 − 2 · 50 · 30 · cos (60◦) = 1900.
Aśı, la distancia entre los trenes transcurridas dos horas es de
√
1900 km (≈ 43,6 km.)
4
4. (15 puntos) Determine los valores de a ∈ R y b ∈ R de modo que la función f : R → R
que se define a continuación sea continua en −1 y 0,
f(x) =

x3 + 2x2 + x
x+ 1
, x < −1,
ax+ b, −1 ≤ x ≤ 0,
3
√
x+ 1− 1√
x+ 1− 1
, x > 0.
Solución:
Para que la función sea continua en x = −1, debe tenerse que ĺım
x→−1
f(x) = f(−1).
Aśı, se tiene que f(−1) = b− a.
Para calcular el ĺımite, usamos los ĺımites laterales, es decir
ĺım
x→−1−
x3 + 2x2 + x
x+ 1
= ĺım
x→−1−
x(x+ 1)2
x+ 1
= 0.
ĺım
x→−1+
ax+ b = −a+ b.
Aśı, obtenemos la primera ecuación, b = a.
Análogamente, para que la función sea continua en x = 0, debe tenerse que ĺım
x→0
f(x) = f(0).
Aśı, se tiene que f(0) = b.
Para calcular el ĺımite, usamos los ĺımites laterales, es decir
ĺım
x→0−
ax+ b = b.
ĺım
x→0+
3
√
x+ 1− 1√
x+ 1− 1
=
2
3
. En efecto,
ĺım
x→0+
3
√
x+ 1− 1√
x+ 1− 1
= ĺım
x→0+
3
√
x+ 1− 1√
x+ 1− 1
((
3
√
x+ 1
)2
+ 3
√
x+ 1 + 1(
3
√
x+ 1
)2
+ 3
√
x+ 1 + 1
)
= ĺım
x→0+
x((
3
√
x+ 1
)2
+ 3
√
x+ 1 + 1
) (√
x+ 1− 1
) (√x+ 1 + 1√
x+ 1 + 1
)
= ĺım
x→0+
√
x+ 1 + 1(
3
√
x+ 1
)2
+ 3
√
x+ 1 + 1
=
2
3
Aśı, obtenemos que, b = 2
3
.
Finalmente, se concluye que a = b = 2
3
son los valores que hacen que la función f se continua
en x = −1 y x = 0.
5
5. (5 puntos) Calcule
ĺım
x→0
1− cos (x)
x2
.
Solución:
Se tiene que
ĺım
x→0
1− cos (x)
x2
= ĺım
x→0
1− cos (x)
x2
· 1 + cos (x)
1 + cos (x)
= ĺım
x→0
1− (cos (x))2
x2
· 1
1 + cos (x)
= ĺım
x→0
(sin (x))2
x2
· 1
1 + cos (x)
=
(
ĺım
x→0
sin (x)
x
)2
· ĺım
x→0
1
1 + cos (x)
= 1 · 1
2
=
1
2
Aśı, el ĺımite pedido es
ĺım
x→0
1− cos (x)
x2
=
1
2
LBA/MG/MS/MW Fecha:12 de septiembre de 2014
6