(C1) pauta_certamen1_trimestre2_2010

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
SOLUCION PRUEBA 1. ALGEBRA. 525147.
Problema 1. Considere el número complejo z = 2+ia+i, con a ∈. Determi-
nar la forma polar de z, sabiendo que z se encuentra en la recta bisectriz
del tercer cuadrante del plano complejo. Especificar el correspondiente
valor de a que hace esto posible.
Solución. Primero se observa que
z =
(2 + i)(a − i)
(a + i)(a − i) =
(2a + 1) + (a − 2)i
a2 + 1
.
(5 puntos)
Ahora, para que z se encuentre en la recta bisectriz del tercer cuadrante
del plano complejo se requiere que Re(z) = Im(z), lo cual conduce a la
ecuación
2a + 1 = a − 2 ⇒ a = −3 .
(5 puntos)
Aśı tenemos que z = −1
2
(1 + i), cuya representación en la forma polar
es z =
√
2
2 cis(
5π
4 ). (5 puntos)
Problema 2.
2.1. Encuentre las ráıces cuartas del complejo z definido por z = 5i(2+2i)(1−i)(2−i)(3−i).
2.2. Describa geométricamente el conjunto de puntos z ∈ C tales que:
zz + 1 = 2|z|.
Solución 2.1. Haciendo las operaciones que corresponde el número com-
plejo dado es z = −1 − i.
La forma polar es z =
√
2cis(5π4 ). (5 puntos)
Sus ráıces cuartas son:
wk = (
√
2)1/4cis[
5π
4 + 2kπ
4
], k = 0, 1, 2, 3.
1
Dandole valores a k obtenemos las cuatro ráıces cuartas de z.
(5 puntos)
Solución 2.2. Dado que zz = |z|2 se tiene que
zz + 1 = 2|z| ⇐⇒ |z|2 − 2|z| + 1 = 0 ⇐⇒ (|z| − 1)2 = 0.
De donde, es fácil ver que |z| = 1 y corresponde a la circunferencia uni-
taria.
(5 puntos)
Problema 3. Usando Regla de Ruffini determinar a y b para que el
polinomio
p(x) = x6 + 8x5 + 23x4 + 20x3 − 30x2 + ax + b
tenga a −2 como ráız doble. Luego, sabiendo que −2 + i es una ráız
de p, factorizar a p como producto de polinomios irreducibles: (i) en
P (R) y (ii) en P (C).
Solución. Dividiendo a p dos veces por x + 2, por la regla de Ruffini, se
obtiene:
1 8 23 20 −30 a b
−2 −12 −22 4 52 −2(a + 52)
1 6 11 −2 −26 a + 52 b − 2(a + 52)
−2 −8 −6 16 20
1 4 3 −8 −10 a + 72
luego, −2 es ráız doble si a + 72 = 0 y b − 2(a + 52) = 0, es decir,
cuando a = −72 y b = −40. Entonces:
p(x) = (x4 + 4x3 + 3x2 − 8x − 10)(x + 2)2.
(6 puntos)
2
Ya que −2 + i es una ráız de p, también lo es su conjugado −2− i y p
es divisible por x2 + 4x + 5. Dividiendo hallamos:
p(x) = (x2 − 2)(x2 + 4x + 5)(x + 2)2.
. (5 puntos)
Finalmente, las factorizaciones pedidas son:
p(x) = (x −
√
2)(x +
√
2)(x2 + 4x + 5)(x + 2)2, en P (R),
p(x) = (x −
√
2)(x +
√
2)(x + 2 − i)(x + 2 + i)(x + 2)2, en P (C).
(4 puntos)
Problema 4- Descomponga la siguiente función racional en fracciones
parciales
(x + 2)3
(x − 2)2(x2 + 4)
Solución:
(x + 2)3
(x − 2)2(x2 + 4) =
A
(x − 2) +
B
(x − 2)2 +
Cx + D
x2 + 4
(6 puntos)
Multiplicando por (x − 2)2 y reemplazando por x = 2 se tiene
(2 + 2)3
(22 + 4)
= A(2 − 2) + B + 2C + D
22 + 4
(2 − 2)2 =⇒ B = 8.
(3 puntos)
Reemplazando B = 8 y desarrollando al lado izquierdo y derecho de
la primera igualdad se tiene:
x3 + 6x2 + 12x + 8
(x − 2)2(x2 + 4) =
A(x3 − 2x2 + 4x − 8) + (8x2 + 32) + (Cx + D)(x2 − 4x + 4)
(x − 2)2(x2 + 4)
3
Igualando los polinomios de los numeradores a la izquierda y la derecha
se obtiene:







A + C = 1
2(A + 2C) − D = 2
4(A + C) − 4D = 12
8A − 4D = 24
(3 puntos)
De la primera y tercera ecuación de este sistema se tiene D = −2;
reemplazando el valor de D en la cuarta ecuación se deduce A = 2; con
lo cual, de la primera ecuación se tiene C = −1.
Reemplazando todos estos valores en la fracciones parciales, se con-
cluye:
(x + 2)3
(x − 2)2(x2 + 4) =
2
(x − 2) +
8
(x − 2)2 −
x + 2
x2 + 4
.
(3 puntos)
Agosto/2010.
ACQ/RBP/MCP/MSC.
4