(C2) pauta_certamen2_trimestre2_2012

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Universidad de Concepción
Facultad de Ciencias F́ısicas y Matemáticas
Departamento de Ingenieŕıa Matemática
Pauta del Certamen II, Álgebra I, 13 de septiembre de 2012
1. Considere el sistema de ecuaciones Ax = B con
B =
1α
1
 , α ∈ R y x =

x1
x2
x3
x4
 .
Después de realizar las siguientes operaciones sobre las filas de A
f2 ← f2 − 2f1, f3 ← f3 − f1
se obtiene la matriz
à =
1 2 −3 −20 −3 0 6
0 1 0 −2

1.1 ¿Cuál es el rango de A? Justifique su respuesta.
1.2 ¿Para qué valores de α el sistema Ax = B es incompatible? Justifique su
respuesta.
1.3 Sea α tal que el sistema Ax = B es compatible, encuentre su conjunto
solución.
Solución:
1.1 Dado que las matrices A y à son semejantes, sus rangos coinciden. Además
à ∼f2↔f3
1 2 −3 −20 1 0 −2
0 −3 0 6
 ∼f3←f3+3f2
1 2 −3 −20 1 0 −2
0 0 0 0

Esta última matriz está en forma escalonada por filas, su rango es 2 (número
de filas distintas de Θ). El rango de A coincide con el rango de esta matriz.
1.2 Aplicando sobre B las mismas operaciones elementales que se aplicaron sobre
A se obtiene que la matriz ampliada del sistema de ecuaciones Ax = b es tal
que
(A|B) ∼
1 2 −3 −2 | 10 1 0 −2 | 0
0 0 0 0 | α− 2

Si α 6= 2, el rango de la matriz ampliada es 3, mientras que el de A es 2. En
estos casos el sistema es incompatible.
1
1.3 Sólo para α = 2 el sistema es compatible. El conjunto solución del sistema
Ax = B coincide con el de1 2 −3 −20 1 0 −2
0 0 0 0
x =
10
0

y éste es
S =
{
x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 = 1 + 3x3 − 2x4, x2 = 2x4
}
.
2. Sean L1 la recta
L1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (3, 0, 3) + t[1, 0, 1], t ∈ R
}
,
y Π1 y Π2 los planos
Π1 =
{
P ∈ R3 :
−−→
PP1 · −→n1 = 0, con P1 = (1, 0, 1), −→n1 = [1, 1, 1]
}
,
Π2 =
{
P ∈ R3 :
−−→
PP2 · −→n2 = 0, con P2 = (1, 2, 1), −→n2 = [−1, 0, 1]
}
.
2.1 Describa el conjunto formado por los puntos de intersección de los planos Π1
y Π2.
2.2 Encuentre el punto P3 donde L1 y Π1 se intersectan.
2.3 Escriba la ecuación de la recta L2 contenida en Π1 que pasa por P3 y es
perpendicular a L1.
2.4 Describa el lugar geométrico de los puntos en Π1 a distancia 1 de Π2.
Solución:
2.1 Los planos Π1y Π2 se intersectan en los puntos (x, y, z) ∈ R3 que satisfacen
[x− 1, y, z − 1] · [1, 1, 1] = 0 y [x− 1, y − 2, z − 1] · [−1, 0, 1] = 0,
es decir, en los puntos (x, y, z) tales que
x+ y + z = 2 y z − x = 0.
De esta forma, los planos se intersectan en la recta de ecuación
Π1 ∩ Π2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (0, 2, 0) + t[1,−2, 1], t ∈ R
}
.
2.2 La recta y el plano dados se intersectan en el punto de la forma (3+ t, 0, 3+ t)
que satisface 3 + t + 3 + t = 2 ⇔ t = −2. El punto de intersección es, por
tanto, P3(1, 0, 1).
2
2.3 Una recta L2 contenida en Π1 que pasa por P3 tiene la forma general
L2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (1, 0, 1) + t[a, b, c], t ∈ R
}
,
con vector director [a, b, c] ∈ R3 perpendicular a vector normal de Π1, es
decir, [a, b, c] debe satisfacer a+ b+ c = 0.
Además esta recta es perpendicular a L1 si su vector director [a, b, c] es per-
pendicular a vector director de L1 y ella y L1 se intersectan. El punto P3 ya
es el punto donde ellas se intersectan, basta entonces que a, b, c ∈ R satisfa-
gan a + c = 0. Cualquier vector de la forma c[−1, 0, 1] es, por tanto, vector
director de la recta buscada. Tomando c = 1 se tiene
L2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (1, 0, 1) + t[−1, 0, 1], t ∈ R
}
.
2.4 Variante 1: Sea (a, b, c) un punto en Π1. La distancia de (a, b, c) a Π2 es
d ((a, b, c),Π2) =
|−→n2 · [a− 1, b− 2, c− 1]|
‖−→n2‖
,
=
|c− a|
2
√
2.
Esa distancia es igual a 1 ssi |c − a| =
√
2. Los puntos (a, b, c) en Π1 a
distancia 1 de Π2 son aquellos que satisfacen
a+ b+ c = 2 ∧ c− a =
√
2
o los que satisfacen
a+ b+ c = 2 ∧ c− a = −
√
2.
El lugar geométrico de los puntos en Π1 a distancia 1 de Π2 es el de los puntos
sobre la recta
(
√
2, 2−
√
2, 0) + t[1,−2, 1], t ∈ R
o sobre la recta
(−
√
2, 2 +
√
2, 0) + t[1,−2, 1], t ∈ R.
Variante 2: Como los planos Π1 y Π2 son perpendiculares, los puntos en Π1
a distancia 1 de Π2 son los puntos en Π1 a distancia 1 de la recta donde Π1
y Π2 se intersectan, es decir, los puntos (a, b, c) ∈ R3 que satisfacen
a+ b+ c = 2 ∧ 1 = d ((a, b, c),Π1 ∩ Π2) =
‖[1,−2, 1]× [a− 1, b, c− 1]‖
‖[1,−2, 1]‖
3
si se toma a [1,−2, 1] como vector director de L2 y a (1, 0, 1) como punto en
ella. Dado que
[1,−2, 1]× [a− 1, b, c− 1] = [2− 2c− b, a− c, b+ 2a− 2]
que, teniendo en cuenta que a + b + c = 2, [1,−2, 1] × [a − 1, b, c − 1] =
[a− c, a− c, a− c] se tiene que a, b, c deben ser tales que
a+ b+ c = 2 ∧
√
3(a− c)2 =
√
6,
es decir, a+b+c = 2 y |a−c| =
√
2 que son las mismas condiciones encontradas
antes por lo que el lugar geométrico de los puntos en Π1 a distancia 1 de Π2
es el de los puntos sobre la recta
(
√
2, 2−
√
2, 0) + t[1,−2, 1], t ∈ R
o sobre la recta
(−
√
2, 2 +
√
2, 0) + t[1,−2, 1], t ∈ R.
3. Sean −→w1 = [1,−1, 1],−→w2 = 23 [−1, 1, 2],
−→u = [1, 1,−1] vectores en R3.
3.1 Pruebe que −→w2 es perpendicular a −→w1.
3.2 Encuentre b, c ∈ R de modo que −→w = −→u − b−→w1 − c−→w2 sea ortogonal a los
vectores −→w1 y −→w2.
Solución:
3.1 −→w1 es perpendicular a −→w2 ssi −→w1 · −→w2 = 0, lo cual se cumple pues
−→w1 · −→w2 = −
2
3
− 2
3
+
4
3
= 0.
3.2 −→w = −→u − b−→w1 − c−→w2 es ortogonal a −→w1 ssi
0 = −→w1 · −→w = −→w1 · −→u − b‖−→w1‖2 ⇔ b =
−→w1 · −→u
‖−→w1‖2
= −1
3
.
Además, −→w es ortogonal a −→w2 ssi
0 = −→w2 · −→w = −→w2 · −→u − c‖−→w2‖2 ⇔ c =
−→w2 · −→u
‖−→w2‖2
= −1
2
.
4