unidad 4 LA RECTA EN EL PLANO

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PUNTOS Y RECTAS EN EL PLANO
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Distancia entre dos puntos del plano
Supongamos que tenemos dos puntos en el plano, en el cual establecemos
un sistema de ejes coordenados:
Y supongamos que queremos hallar la 
distancia entre ellos
Queremos entonces hallar la medida 
del segmento AB
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Consideremos las coordenadas de los puntos:
La distancia entre los puntos es la longitud de la hipotenusa (d) del
triángulo rectángulo que queda formado. Luego, por el Teorema de
Pitágoras:
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Punto medio entre dos puntos: dados dos puntos A y B en el plano,
queremos hallar las coordenadas del punto medio entre los dos
Para ello observemos los siguientes triángulos construidos a partir 
de las coordenadas de los puntos:
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Si M es el punto medio entre A y B entonces los triángulos deben ser
iguales. Y por lo tanto:
Por lo tanto: las coordenadas del punto medio entre dos puntos son la 
semisuma de las coordenadas de los mismos.
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Ecuación de una recta
Comenzaremos por definir un lugar geométrico, como el conjunto de
puntos que verifican una misma propiedad.
De una recta tenemos el concepto gráfico, y podemos definirla como un
conjunto de infinitos puntos alineados. Luego, la recta es un lugar
geométrico, y por lo tanto sus puntos verifican una propiedad que tiene
que poder traducirse en una ecuación que relacione las coordenadas de
esos puntos.
Las rectas tienen diferentes posiciones respecto de los ejes cartesianos.
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Las rectas no verticales verifican que para cualquier par de
puntos de la misma, la razón entre la diferencia de las ordenadas
de los puntos y la diferencia de las abscisas es constante, o sea:
Luego, si conocemos dos puntos podemos hallar la pendiente de
la recta, y si queremos hallar el valor de cualquier otro punto que
esté sobre ella sabemos que debe verificar lo siguiente:
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Supongamos que queremos hallar la ecuación de la recta de
pendiente 2 que pasa por el punto (3,1)
y = 2(x-3)+1
y = 2x-6+1
y = 2x-5
Observemos que si x = 0, entonces x = -5, y en general podemos
decir que a partir de cualquiera de las ecuaciones anteriores se
llega a otra de la forma:
y = mx+b, donde m es la pendiente y b se la llama ordenada al
origen.
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Gráfico de la recta dada la pendiente y un punto
Supongamos que queremos graficar la recta 1
2
3
+= xy
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Con la misma metodología grafiquemos:
1) y = - 5/4 x+3
2) y = 2x-1
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Ejercicio Hallar la ecuación de las siguientes rectas y graficarlas:
1. Pasa por el punto (3,1) y tiene pendiente 2
2. Pasa por los puntos (2,4) y (-5,3)
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En general: 
m >0 m <0 m = 0 
 
 
¿ 2=x es una recta? ¿Es una función lineal? 
 
Nota: las rectas verticales no son funciones 
La siguiente recta es x = 2
Rectas paralelas 
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. 
Sean las rectas 111 : bxmyL += 222 : bxmyL += 
2121 || mmLL = 
Ejemplo: 
53:1 += xyL , 23:2 −= xyL 21 || LL 
 
 
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Rectas perpendiculares 
Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo de 90º. En 
función de las pendientes esto se expresa como: 
Sean las rectas 111 : bxmyL += , 222 : bxmyL += 
1. 2121 −=⊥ mmLL para 0,0 21  mm 
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Ejemplo: 
32:1 +−= xyL , 1
2
1
:2 −= xyL , 21 LL ⊥ 
 
 
Observación: Si la pendiente es 0, la recta es horizontal entonces 
todas las rectas verticales son perpendiculares a ellas.