Función cuadrática

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Carreras: Administración y Gestión en Recursos Humanos. 
Equipo de cátedra: 
➢ Profesora de matemática: Bazán, Johana 
➢ Profesora de matemática: Álvarez, Gabriela 
2020 
Universidad de Congreso 2 
 
2. Función cuadrática 
Se llama función cuadrática a toda función f definida por una expresión de la forma: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 donde a , b y c son números reales y 𝑎 ≠ 0 
 
La expresión 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 recibe el nombre de ecuación explícita de la parábola. 
Cada uno de sus términos tiene un nombre: 
• ax 2 es el término cuadrático 
• bx es el término lineal 
• c es el término independiente 
 
2.1 Representación gráfica de una función cuadrática 
 
Si se representan en una gráfica "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática , 
se obtiene siempre una curva 
llamada parábola . 
Como contrapartida, una parábola es la 
representación gráfica de una función 
cuadrática. 
Dicha parábola tendrá algunas 
características o elementos bien definidos 
dependiendo de los valores de la ecuación 
que la generan. 
Estas características o elementos son: 
▪ Orientación o concavidad (ramas o 
brazos) 
▪ Puntos de corte con el eje de 
abscisas (raíces) 
▪ Punto de corte con el eje de ordenadas 
▪ Eje de simetría 
▪ Vértice 
 
Ejemplo 1: f : R → R definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 es una función cuadrática 
El 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = 𝑅 y en la siguiente tabla se muestran algunos pares (x, y) que pertenecen a la 
función, para poder realizar la gráfica. 
 
 
Parábola del puente, una función 
cuadrática. 
Universidad de Congreso 3 
 
 
 
 
 
 
 
Puede observarse que: 
o La función del ejemplo es decreciente en el intervalo (−∞, 1) y es creciente en 
(1, +∞) 
o Cuando x = 1, f (x) adopta su mínimo valor: f (1) = −4 . 
o El punto V =(1, - 4) se llama vértice de la parábola. 
o Imag( f ) = [ - 4,+∞) 
o La parábola presenta un eje de simetría vertical (paralelo al eje de ordenadas) de 
ecuación x = 1 que contiene al vértice V . 
o Los puntos de intersección de la gráfica con el eje x son: A=(1,0) y B=(3,0) . 
o El punto en el que la parábola corta al eje y es: C=(0,-3) . 
 
2.1.1 Construcción del gráfico mediante elementos 
Para realizar la representación gráfica de una función cuadrática dada por: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , no es necesario confeccionar una tabla. 
En este caso se deben usar las características particulares de la parábola: 
▪ Sus raíces, es decir los puntos de intersección con el eje x (si existen) 
▪ Su vértice 
▪ La ordenada al origen, es decir el punto de intersección con el eje y 
▪ Su eje de simetría 
Raíces: 
 Si la parábola corta al eje x, los puntos de intersección tienen ordenada y = f (x) = 0 
Para determinar los valores que hacen que 𝑦 = 0, se calculan las raíces x1 y x2 de la 
ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , utilizando la siguiente fórmula: 
𝑥1, 𝑥2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
2. 𝑎
 
 Si la ecuación cuadrática tiene: 
 
x y=f(x) 
-2 5 
-1 0 
0 -3 
1 -4 
2 -3 
3 0 
4 5 
Eje de simetría 
Universidad de Congreso 4 
 
▪ Dos raíces reales y distintas, esto significa que la curva corta al eje x en los puntos 
A=(x1 ,0) y B=(x2 ,0) . 
 
▪ Dos raíces reales coincidentes, la curva tiene sólo un punto en común con el eje x. 
 
▪ Dos raíces complejas conjugadas, no hay contacto entre la parábola y el eje x. 
 
Vértice: 
Las coordenadas del vértice V= (xv , yv ) , se calculan del siguiente modo: 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 o 𝑥𝑣 =
𝑥1+𝑥2
2
 𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣) = 𝑎. 𝑥𝑣
2 + 𝑏. 𝑥𝑣 + 𝑐 
Ordenada al origen: 
El punto de intersección entre la parábola y el eje y tiene abscisa x = 0 
 
Si x = 0 , entonces f (0) = a. 0 + b. 0 + c= c 
Por lo tanto, la parábola corta al eje y en el punto C=(0, c) , u O=(0, c) 
 
Eje de simetría: 
El eje de simetría está dado por la recta vertical cuya ecuación es: 𝑥 = 𝑥𝑣 
 
Actividad 1: Hallar los elementos de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 y graficar 
Solución: 
Como 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 entonces: 𝑎 = 1 , 𝑏 = −2 𝑦 𝑐 = −3 
Raíces: 
𝑥1, 𝑥2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
2. 𝑎
 
𝑥1, 𝑥2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4.1. (−3)
2.1
= 
𝑥1, 𝑥2 =
2 ± √4 + 12
2
=
2 ± √16
2
=
2 ± √16
2
=
2 ± 4
2
 
𝑥1 = 3 y 𝑥2 = −1 
 Vértice: 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
(−2)
2.1
=
2
2
= 1 o 𝑥𝑣 =
3+(−1)
2
= 1 
Universidad de Congreso 5 
 
 Eje de simetría 
 𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣) = 𝑎. 𝑥𝑣
2 + 𝑏. 𝑥𝑣 + 𝑐 
 𝑦𝑣 = 𝑓(1) = 12 − 2.1 − 3 = −4 
𝑉 = (1, −4) 
Ordenada al origen: 
𝑂 = (0, 𝑐) 
 =(0,-3) 
Eje de simetría: 
𝑥 = 1 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅 𝐼𝑚𝑎𝑔(𝑓) = [−4, ∞) 
 
 
Ejemplo 2: Representar gráficamente la función cuadrática definida por: 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 +
10𝑥 − 8 
Raíces: 𝑥1, 𝑥2 =
−10±√102−4.(−2).(−8)
2.(−2)
=
−10±√100−64
−4
=
−10±√36
−4
=
−10±6
−4
 
 
 𝑥1 = 1 y 𝑥2 = 4 
 Vértice: 𝑥𝑣 = −
10
2.(−2)
=
5
2
 
 𝑦𝑣 = −2(
5
2
)2 + 10.
5
2
− 8 =
9
2
 
 𝑉 = (
5
2
,
9
2
) 
 Ordenada al origen: O= (0, 8) 
 
Eje de simetría: 
𝑥 =
5
2
 
 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = 𝑅 𝐼𝑚𝑎𝑔(𝑔) = (−∞,
9
2
] 
 
Ejemplo 3: Representar gráficamente la parábola de ecuación: ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 
x1 x2 
O 
 
 Eje de simetría 
x1 x2 
O 
Universidad de Congreso 6 
 
 
Raíces: 𝑥1, 𝑥2 =
−4±√42−4.1.4
2.1
=
−4±√16−16
2
=
−4±√0
2
 𝑥1 = −2 y 𝑥2 =
−2 
 Vértice: 𝑥𝑣 = −
4
2.1
= −2 
 𝑦𝑣 = (−2)2 + 4. (−2) + 4 = 0 
𝑉 = (−2, 0) 
Ordenada al origen: O= (0, 4) 
Eje de simetría: 
𝑥 = −2 
𝐷𝑜𝑚(ℎ) = 𝑅 𝐼𝑚𝑎𝑔(ℎ) = [0, ∞) 
 
En este caso hay dos raíces reales coincidentes. La parábola tiene sólo un punto en 
común con el eje x y éste coincide con el vértice V =(-2,0) . 
Para poder completar el trazado del gráfico se pueden elegir otros dos valores de x (uno 
a cada lado del vértice) y calcular los correspondientes valores para y . 
 
Por ejemplo: 
 
Si x = −3 , y = 1 
 
Si x = 1, y = 9 
 
Los puntos E=( -3,1) y F= (1,9) pertenecen a la parábola. 
 
 
 
Ejemplo 4: Representar gráficamente la parábola cuya ecuación es: i(x) = x
2
 - 2x + 5 . 
 
Raíces: 𝑥1, 𝑥2 =
−(−2)±√(−2)2−4.1.5
2.1
=
2±√4−20
2
=
2±√−16
2
=
2±4𝑖
2
 
O 
Eje de simetría 
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 𝑥1 = 1 + 2𝑖 y 𝑥2 = 1 − 2𝑖 
Las raíces son complejas conjugadas. La parábola no corta al eje x . 
Vértice: 𝑥𝑣 = −
(−2)
2.1
= 1 𝑦𝑣 = 12 − 2.1 + 5 = 4 
 
𝑉 = (1, 4) 
 
Ordenada al origen: O= (0, 5) 
Eje de simetría: 
𝑥 = 1 
𝐷𝑜𝑚(𝑖) = 𝑅 𝐼𝑚𝑎𝑔(𝑖) = [5, ∞) 
Otros puntos de la parábola son: G= (-
1,8) y H=(3,8) 
 
2.1.2 Problema de aplicación 
En un día determinado los registros de temperatura en una zona rural, medidos entre la 
hora 0 y la hora 24 , se ajustan a la función C(t) = 0,1t 
2
 + 2,4 t - 4,4 , donde C(t) es la 
temperatura en grados Celsius y t es la hora del día. 
 
a) Identificar la variable independiente y la variable dependiente. 
 
Solución:La variable independiente es t y representa la hora del día. 
La variable dependiente es C(t) y representa la temperatura en grados 
Celsius. La función dada es cuadrática. 
 
b) Determinar los puntos notables de la función. 
 
Solución: 
Al decir puntos notables se hace referencia al punto de intersección de la curva 
con el eje de ordenadas, a los puntos de intersección con el eje de abscisas (si 
éstos existen) y al vértice. 
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Puntos de intersección con el eje de abscisas (Raíces): A=(2 , 0) y B=(22 , 0) 
Vértice: V= (12 ,10) 
Punto de intersección con el eje de ordenadas: C=(0; - 4,4) 
c) Realizar la representación gráfica de la función. 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) ¿Cuál fue la temperatura máxima de ese día? ¿A qué hora se registró? 
Solución: 
La temperatura máxima fue de 10 ºC. Se registró a la hora 12. 
e) ¿En qué instantes del día la temperatura fue de 0ºC? 
Solución: 
A las 2 y a las 22 . 
 
f) Indicar en qué intervalos de tiempo del día hubo temperaturas bajo cero. 
 
Solución: 
Hubo temperaturas bajo cero en los siguientes intervalos de tiempo: 
[0 , 2) y (22 , 24] . 
 
g) ¿Qué temperatura se registró a las 8 de la mañana? 
 
Solución: 
C(8) = 0,1 8
2
 + 2,4 8 4,4 = 8,4º C 
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 A las 8 de la mañana se registró una temperatura de 8,4º C 
 
2.2 El discriminante 
En la fórmula cuadrática, la expresión bajo el signo de la raíz cuadrada , b 2 – 4.a.c , es 
llamado el discriminante. 
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
El signo del discriminante puede ser usado para encontrar el número de soluciones 
que tienen las ecuaciones cuadráticas de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
▪ Si el discriminante es positivo, entonces el símbolo ± significa que obtiene dos 
respuestas. 
Las soluciones de esta ecuación corresponden a las intercepciones en x 
(raíces) de la parábola 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 
 
Ejemplo 1: Hallar la cantidad de raíces que tiene la función 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 + 10𝑥 − 8 
Para ello hay que calcular el discriminante de la siguiente manera: 
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 = 102 − 4. (−2). (−8) = 100 − 64 = 36 
Por lo tanto la función tiene dos raíces reales distintas 
 
 
▪ Si el discriminante es cero, hay únicamente una solución. 
 
Ejemplo 2: Hallar la cantidad de raíces que tiene la función ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 
 
Se calcula el discriminante de la siguiente manera: 
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 =42 − 4.1.4 = 16 − 16 = 0 
 
Es decir que la función posee una raíz doble. 
 
▪ Si el discriminante b 2 – 4.a.c es negativo, entonces no hay soluciones reales de la 
ecuación. 
Ejemplo 3: Hallar la cantidad de raíces que tiene la función 𝑖(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 
Al calcular el discriminante queda: 
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 =(−2)2 − 4.1.5 = 4 − 20 = −16 
La función no tiene raíces reales. 
 
Resumen: 
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/quadratic-formula.html
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/square-roots.html
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/x-intercepts.html
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/x-intercepts.html
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/parabolas.html
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10 
 
Según el valor del discriminante, la función cuadrática corta dos, una o ninguna vez el eje 
x. 
 
 
 
 
2.3 Forma polinómica, factorizada y canónica de una función cuadrática 
 
2.3.1 La forma polinómica de la función cuadrática es: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 
2.3.2 La forma factorizada es: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
 
donde 𝑎 es el coeficiente principal, 𝑥1 y 𝑥2 son las raíces. 
 
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11 
 
Actividad 2: Expresar en forma factorizada la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 
 
Solución: 
 
Sabemos que sus raíces son: 𝑥1 = 3 y 𝑥2 = −1 por lo tanto en forma factorizada queda 
expresada de la siguiente manera: 
 
𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟏) 
 
 
2.3.3 La forma canónica de una función cuadrática es: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑣)2 + 𝑦𝑣 
 
donde 𝑎 es el coeficiente principal, 𝑥𝑣 es la primera coordenada del vértice e 𝑦𝑣 es 
la segunda. 
 
Actividad 3: Expresar en forma canónica la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 
 
Solución: 
 
Sabemos que su vértice es 𝑉 = (1, −4) por lo tanto en forma canónica queda expresada 
de la siguiente manera: 
 
𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝟐 − 𝟒 
 
 
2.4 Análisis de los coeficientes de una función cuadrática de la forma 
 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 
 
2.4.1 Funciones de la forma 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 
 
 
Si 𝒂 > 0 las ramas de la función van hacia arriba 
Si 𝒂 < 0 las ramas de la función van hacia abajo 
 
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Si 𝟏 < |𝒂| las ramas de la función se cierran en relación a 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 
Si 𝟎 < |𝒂| < 1 las ramas de la función se abren en relación 
a 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 
 
 
 
2.4.2 Funciones de la forma 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 
 
Si los signos de 𝒂 y de 𝒃 son iguales la gráfica de la 
función se corre hacia la derecha en relación a 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 
Si los signos de 𝒂 y de 𝒃 son distintos la gráfica de la 
función se corre hacia la izquierda en relación a 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 
 
2.4.3 Funciones de la forma 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 
 
Si 0< 𝑐 la gráfica de la función se desplaza hacia arriba en 
relación a la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 
Si 𝒄 < 0 la gráfica de la función se desplaza hacia abajo en 
relación a la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 
 
 
 
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Ejercicios: 
1. Dada la función definida por 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 − 4 . 
a. Determinar las coordenadas del punto de intersección de la gráfica con el eje 
de ordenadas. 
b. Determinar las coordenadas del vértice. 
c. Representar gráficamente la función. 
d. Indicar el dominio y la imagen de la función. 
 
2. Hallar los elementos y graficar 
a. 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 
b. 𝑦 = 4𝑥2 + 5 
c. 𝑦 = 2. (𝑥 – 2)2 
d. 𝑦 + 1 + 4𝑥 = 𝑥2 
e. 𝑦 = (𝑥 + 1)2 − 3 
f. 𝑦 + 2 𝑥2 = 6𝑥 − 5 
 
3. Graficar las parábolas y dar las coordenadas del vértice 
a. 𝑦 = 𝑥2 + 5 
b. 𝑦 = 𝑥2 − 5 
c. 𝑦 − 𝑥2 = 5 
d. 𝑦 = (𝑥 – 3)2 
e. 𝑓(𝑥) = (𝑥 – 3)2 
f. 𝑦 = (𝑥 + 2)2 
g. 𝑔(𝑥) = (𝑥 – 2)2 
 
4. Problemas 
4.1 Al poner a prueba un nuevo automóvil se comprobó que para velocidades mayores 
a 10 km/h y menores que 150 km/h, el rendimiento de nafta r (en km/litro) está 
relacionado con la velocidad v (en km/h) mediante la función: r(v) = 0,002 v. (180- v) 
 
a. Completar la tabla 
v (km/h) 40 110 
r (km/litro) 6,4 
 
b. Averiguar a qué velocidad el rendimiento es máximo y calcular dicho rendimiento. 
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14 
 
 
4.2 Un grupo de biólogos estudia las características de un lago artificial en el cual 
introdujeron un conjunto de peces para analizar la evolución de su población. En un 
principio, la colonia crece reproduciéndose normalmente, pero al cabo de unos meses 
algunos peces mueren, por causas que se desconocen. Uno de los científicos plantea: 
“He llamado t a los días que han trascurrido y n a lacantidad de peces. Mis registros 
indican que el conjunto de peces evoluciona según la ley: n(t) = 240 + 10t - 0,1t 
2
 . 
Debemos hacer algo rápidamente ya que, con esta proyección, pronto se extinguirán.” 
Considerando la función planteada por este biólogo: 
a. ¿Cuántos peces se introdujeron en el lago? 
b. ¿Durante cuántos días la cantidad de peces aumentó? 
c. ¿Cuál es la cantidad máxima que llegó a haber? ¿En qué momento? 
d. ¿Después de cuántos días se extinguirá esa población si no se toma alguna 
medida? 
 
4.3. El beneficio semanal de una estación de servicio depende de los litros de nafta sin 
plomo que vende, según la función: y = x
2
 + 46x- 205. La variable x se mide en miles 
de litros y el beneficio y en pesos. La estación de servicio tiene capacidad de 
comercializar 50.000 litros por semana. Se desea conocer: 
a. ¿Cuánto dinero pierde si no vende ningún litro de nafta? 
b. ¿Cuántos litros se deben vender para que el beneficio sea máximo? 
c. ¿Para qué cantidad de litros no hay pérdida ni ganancia? 
d. ¿Cuántos litros de combustible deberían venderse para que la actividad sea 
rentable (produzca ganancia)? 
 
4.4. Durante una colisión, la fuerza F (en N) que actúa sobre un objeto varía con el 
tiempo t de acuerdo con la ecuación F = 84t -21t 
2
 , donde t se mide en milisegundos. 
¿Para qué valor de t fue máxima la fuerza? ¿Cuál fue el valor máximo de la fuerza? 
 
4.5. Un niño tira una piedra verticalmente hacia arriba. La relación que existe entre el 
tiempo y la altura, está dada por la formula: y = 4,9t 
2
 + 14,7t (t en segundos, y en 
metros) 
a. ¿Cuándo alcanza la piedra la máxima altura? 
b. ¿Cuál es esa altura? 
 
5. Indicar el tipo de raíces que tienen las siguientes funciones: 
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15 
 
a. 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5 
b. 𝑦 = 𝑥2 + 1 
c. 𝑦 = −𝑥2 + 4 
d. 𝑦 = 2𝑥2 − 8𝑥 + 8 
 
6. Determinar “k” de modo que las dos raíces de la ecuación 𝑥2 − 𝑘𝑥 + 36 = 0 
sean iguales. 
 
7. Hallar los posibles valores de “m” para que se cumpla la condición pedida en cada 
caso: 
a. 𝑦 = 𝑥2 + 𝑚 𝑥 + 3 tiene una raíz doble; 
b. 𝑦 = 2 𝑥2 − 𝑥 − 𝑚 no tiene raíces reales; 
c. el gráfico de las funciones de la forma 𝑦 = 𝑚 𝑥2 − 𝑥 − 1 interseca el eje x en 
dos puntos; 
d. el gráfico de las funciones de la forma 𝑦 = − 𝑥2 − 𝑚 𝑥 − 5 toca al eje x, pero 
no lo atraviesa. 
 
8. Completar el siguiente cuadro: