Función linael y Cuadrática - Carla Justiniano

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M. Arias 
 
Capítulo 3: Función Lineal – Función Cuadrática 
Función Lineal 
Una función lineal es una función polinómica de grado 1, su expresión es: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ; 𝑎 ∈ 𝑅 
 𝑎 ≠ 0  𝑏 ∈ 𝑅. 
Ejemplos: 4
2
3
)( +−= xxf ; 72)( += xxg … 
Dominio: 
Una función lineal es polinómica entonces RD f = . 
Imagen: 
∀𝑦 ∈ 𝑅, ∃𝑥 ∈ 𝐷𝑓 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥) entonces, el conjunto imagen es: RI f = 
La gráfica de una función lineal es una recta que representa aumentos y disminuciones constantes. 
 
Función lineal creciente 𝑎 > 0 
 
 Función lineal decreciente 𝑎 < 0 
 
 
Ejemplo: Un modelo lineal es utilizado para la estimación del área foliar de las hojas de cierta 
especie de planta, relaciona el área foliar con el área del rectángulo de dimensiones largo y ancho 
de la hoja. Para la estimación del área foliar de las hojas de la planta Alnusacuminatael modelo 
adecuado está dado por la función: 𝐴(𝑎) = 1.001𝑎 − 0.171, donde A (área foliar medida en cm2) 
y a (área del rectángulo medida en cm2). ¿Cuál es el área foliar de una hoja de Alnusacuminata de 
8 cm de largo y 6 cm de ancho? 
Desarrollo: 
1º - El área del rectángulo que incluye a la hoja es: 𝑎 = 8𝑐𝑚. 6𝑐𝑚𝑎 = 48 𝑐𝑚2 
 
2º - El área foliar de la hoja se determina reemplazando 𝑎 = 48en 𝐴(𝑎) = 1.001𝑎 − 0.171 
𝐴(48) = 1.001. (48) − 0.171 
𝐴(48) = 48.048 − 0.171 
𝐴(48) = 47.877 
El área foliar de una hoja de la planta con las dimensiones dadas es de 47.877 cm2 
 
Capítulo 3 
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Intervalos de positividad y negatividad 
Los intervalos de positividad o negatividad de una función se obtienen resolviendo la inecuación 
que resulta de plantear 0)( xf o 0)( xf respectivamente. 
Ejemplo: ¿Para qué valores de 𝑥 la función 4
2
3
)( +−= xxf es negativa? 
Para determinar el intervalo donde f es negativa se plantea: 0)( xf 
 −
3
2
𝑥 + 4 < 0  −
3
2
𝑥 < −4  (−
2
3
) (−
3
2
) 𝑥 > (−
2
3
) (−4) 
 

3
8
x la función es negativa en el intervalo 





,
3
8
 
Para valores de 𝑥 superiores a 
8
3
 el valor es negativo, por ejemplo, para x=4 
el valor es 𝑓(4) = −2 
En 𝑥 =
8
3
, el valor es cero, es decir: 𝑓 (
8
3
) = 0 
Para valores de 𝑥 inferiores a 
8
3
 el valor de la función es positivo. 
 
 
 
Función Constante 
La expresión de una función constante es bxf =)( siendo Rb . 
Dominio: RD f = 
Imagen: 𝑦 = 𝑏 ∈ 𝑅, ∀𝑥 ∈ 𝑅 por lo tanto:  bI f = 
Ejemplo:
 
 
RD f = 
 bI f = 
 
Observaciones: 
 
 
Las rectas con pendiente 
 
0m representan funciones lineales. 
 
0=m representan funciones constantes. 
 
Las rectas verticales no 
representan funciones. 
Ej. La recta 𝑥 = 2 es una relación con  2=D e RI = 
Rectas que representan funciones 
Las rectas, bmxy += que representan funciones lineales son aquellas con 0m . 
De la ecuación general de una recta es: 0=++ CByAx . 
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Si 0A ; RCB  0 
Despejando “𝒚” de la ecuación se obtiene:
B
C
x
B
A
y −−= donde: 
Pendiente: 𝑚 = −
𝐴
𝐵
 y ordenada: 𝑏 = −
𝐶
𝐵
 
Ejemplo: ¿Cuáles son los posibles valores de los parámetros 𝐴, 𝐵 y 𝐶 para que la recta represente 
una función lineal creciente, que corte al eje de las ordenadas en un valor negativo? 
Condiciones: 
Pendiente positiva  0m 
Ordenada negativa  0b 
De modo que: −
𝐴
𝐵
> 0 
Por propiedad: 0)1()1( −





−−
B
A
 
Resulta la desigualdad  0
B
A
por propiedad: 0000  BABA 
Por otro lado, 0b : 0−
B
C
 
Multiplicando por (-1) resulta 0
B
C
entonces, por propiedad: 0000  BCBC 
Respuesta: Los valores de 𝐴 y 𝐵 deben tener distinto signo para que la función sea creciente, 
además, 𝐶 y 𝐵 de igual signo para que corte al eje de las ordenadas en un valor negativo. 
Las rectas, bmxy += que representan funciones constantes son aquellas con 0=m 
 
Con 0=A la ecuación general resulta: 0=+CBy 
De modo que: 
B
C
y −= , es decir 𝑦 = 𝑏. 
Función Cuadrática 
Definición: Una función cuadrática es una función polinómica de grado 2. 
Su expresión es: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con 𝑎 ∈ 𝑅  𝑎 ≠ 0; 𝑏 ∈ 𝑅; 𝑐 ∈ 𝑅. 
𝑎𝑥2: término cuadrático. 
𝑏𝑥: término lineal. 
𝑐: término independiente 
𝑎: coeficiente del término cuadrático. 
𝑏: coeficiente del término lineal. 
 
Ejemplos: 
132)( 2 +−= xxxf xxxg 5
4
3
)( 2 += 22 −= xy 
𝑎 = 2; 𝑏 = −3; 𝑐 = 1 𝑎 = 
3
4
; 𝑏 = 5; 𝑐 = 0 𝑎 = 1; 𝑏 = 0; 𝑐 = −2 
 
Capítulo 3 
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La gráfica de una función cuadrática es una parábola con eje de simetría vertical. 
Las figuras ilustran lo expresado: 
Figura 1 
 
Figura 2 
 
 
Concavidad 
El signo del coeficiente del término cuadrático permite predecir la concavidad de las gráficas. 
Si 0a  la gráfica es cóncava hacia abajo (Figura 1) 
Si 0a  la gráfica es cóncava hacia arriba (Figura 2) 
El vértice ( )
vv
yxV , de la parábola es un punto máximo o mínimo, según su concavidad. 
Dominio: La función cuadrática es polinómica entonces, el dominio es: RD f = 
Imagen: La imagen de una función cuadrática es el intervalo infinito que tiene como extremo 
superior o inferior al valor de la ordenada del vértice 𝑦𝑣, según sea un valor máximo o un mínimo. 
 
( vyI ,−= siendo vy un valor máximo. 
 
 )= ,vyI siendo vy un valor mínimo. 
Intersecciones con el eje de las abscisas [𝑓(𝑥) = 0 ] 
Para determinar algebraicamente los valores donde la parábola interseca al eje de las abscisas se 
resuelve la ecuación de segundo grado: 
cxbxa0 2 ++= 
Fórmula para obtener las raíces: 
a
acbb
x
2
42
12
−−
=
 
Discriminante: 
El discriminante acb 42 −= indica la naturaleza de las raíces, de modo que la ecuación puede 
tener: 
Dos raíces reales y distintas, 0  Rxx 21  
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La parábola interseca en dos puntos al eje de las abscisas. 
Las graficas muestran algunas posibilidades: 
 
Gráfica 1 Gráfica2 
 
Puntos de intersección: 𝑃(𝑥1, 0) y 𝑄(𝑥2, 0) 
Intervalos de positividad y negatividad 
Los intervalos donde los valores de la función son positivos o negativos depende de la concavidad 
En el caso precedente, las raíces son reales y distintas entonces: 
 𝑓 es positiva (𝑓(𝑥) > 0) en :(−∞, 𝑥1)(𝑥2, ∞) 
Si la concavidad es hacia arriba 𝑎 > 0 
(gráfica1: tiene un punto mínimo) 𝑓 es negativa (𝑓(𝑥) < 0) en :(𝑥1, 𝑥2) 
 
 
 𝑓 es positiva (𝑓(𝑥) > 0) en :(𝑥1, 𝑥2) 
Si la concavidad es hacia abajo 𝑎 < 0 
(gráfica2: tiene un punto máximo) 𝑓 es negativa (𝑓(𝑥) < 0) en :(−∞, 𝑥1)(𝑥2, ∞) 
 
Dos raíces reales e iguales, 0=  Rxx 21 = 
La parábola es tangente al eje de las abscisas (corta al eje de las abscisas en un único punto). 
Gráfica 1 Gráfica2 
 
 
El único punto de contacto con el eje 𝑥 es el vértice de la parábola 𝑉(𝑥𝑣, 0). 
Intervalos de positividad y negatividad (cuando 0= ) 
Los valores de la función serán positivos o negativos en los intervalos: 
Si la concavidad es hacia arriba 𝑎 > 0 , (Gráfica1) 𝑓 es positiva en: (−∞, 𝑥1) ∪ (𝑥1, ∞) 
 
 
 
 
Si la concavidad es hacia abajo 𝑎 < 0, (Gráfica2) 𝑓 es negativa en: (−∞, 𝑥1) ∪ (𝑥1, ∞) 
En este caso, no hay intervalos donde los valores de la función sean negativos. 
 
Capítulo 3 
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Raíces complejas, 0  Cxx 21  
La parábola no tiene puntos de contacto con el eje de las abscisas. 
Gráfica 1 Gráfica2 
 
 
Intervalos de positividad y negatividad (cuando 0 ) 
La función será positiva o negativa en todo su dominio (dependerá de la concavidad). 
Si la concavidad es hacia arriba 𝑎 > 0 𝑓 es positiva en su dominio (en 𝑅) 
(gráfica1) 
No hay intervalos donde los valores de la función sean negativosSi la concavidad es hacia abajo 𝑎 < 0 𝑓 es negativa en su dominio (en𝑅) 
(gráfica2) 
No hay intervalos donde los valores de la función sean positivos 
Atención!! Los intervalos de positividad o negatividad de una función cuadrática dependen de la 
concavidad y la naturaleza de las raíces. 
Intersección con el eje de las ordenadas (𝑥 = 0) 
Evaluando la función en 𝑥 = 0: 
𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 02 + 𝑏 ∙ 0 + 𝑐 se concluye que cy = 
El punto de intersección con el eje de las ordenadas es: ),0( cP 
 
 
Ejemplo: La gráfica de 45)( 2 +−= xxxf , corta al eje “y” en 4, siendo el punto de corte )4,0(P . 
Eje de simetría 
El eje de simetría es una recta vertical que pasa por el vértice de la parábola y la divide en dos 
ramas simétricas. Algebraicamente es igual a la semisuma de las raíces. 
La recta vertical es: 
2
21
xx
x
+
= 
Deducción de la fórmula 
El eje de simetría divide a la gráfica en dos ramas 
simétricas. De modo que las distancias horizontales 
desde puntos simétricos al eje son iguales. Partiendo de: 
21
dd = (ver gráfico). 
Siendo: 𝑑1 = 𝑥𝑒 − 𝑥1 y 𝑑2 = 𝑥2 − 𝑥𝑒 
Igualando: 𝑥𝑒 − 𝑥1 = 𝑥2 − 𝑥𝑒 
Operando: 2𝑥𝑒 = 𝑥2 + 𝑥1 
En este caso, no hay intervalos donde los valores de la función sean positivos. 
 
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Así: 𝑥𝑒 =
𝑥1+𝑥2
2
 siendo la ecuación 
2
21
xx
x
+
= . 
 
Vértice 
El vértice es el punto máximo o mínimo de la parábola. 
Las coordenadas del vértice ),(
vv
yxV se obtienen: 
Abscisa del vértice: 
En el eje de simetría se ubica el vértice de la parábola, entonces el valor 𝑥𝑒 es la abscisa del 
vértice, en consecuencia: 𝑥𝑣 =
𝑥1+𝑥2
2
. 
Ordenada del vértice: 
Se obtiene evaluando la función en vx : 
 )x(fy vv = luego, cxbxay vvv ++=
2)(
 
Entonces: ( )cxbxaxV
vvv
++2)(, 
 
Tarea 
 
Pruebe que las coordenadas del vértice se pueden escribir en función de los parámetros a, b, y 
c, del siguiente modo: 𝑉 (−
𝑏
2𝑎
, −
𝑏2
4𝑎
+ 𝑐) 
Sugerencia: reemplace las raíces obtenidas con la fórmula, luego opere y tendrá otra forma para determinar el vértice 
de una parábola en términos de los parámetros que intervienen en la expresión polinómica de la función. 
 
Ejemplo 1: Esbozar la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6 
Intersección con el eje de las abscisas 
Haciendo 𝑦 = 0 se obtiene la ecuación: 0 = 𝑥2 − 𝑥 − 6 
Es una ecuación cuadrática completa, la fórmula para calcular sus raíces es: 𝑥12 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
, en 
la ecuación a = 1, b = -1, c = -6 
Entonces 𝑥12 =
−(−1)±√(−1)2−4.(1)(−6)
2.(1)
 
Resolviendo: 𝑥12 =
1±√1+24
2
 
De modo que: 𝑥1 =
1−5
2
= −2 y 𝑥2 =
1+5
2
= 3 
Las raíces son reales y distintas, ∆= 25 > 0, la parábola interseca al eje “𝑥” en – 2 y 3. 
Los puntos de intersección con el eje de las abscisas son 𝑃(3, 0) y 𝑄(−2, 0) 
Intersección con el eje de las ordenadas 
Capítulo 3 
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De la expresión se deduce que la parábola corta al eje “𝑦” en – 6. El punto es 𝑅(0, −6). 
Eje de simetría 
Para determinar el eje de simetría se reemplazan las raíces en la fórmula: 𝑥𝑒 =
𝑥1+𝑥2
2
 
Para el caso estudiado: 𝑥𝑒 =
3−2
2
  el eje es la recta: 𝑥 =
1
2
 
Vértice 
Reemplazando el valor 𝑥𝑣 =
1
2
 en la expresión de la función se obtiene la ordenada del vértice. 
 𝑦𝑣 = (
1
2
)
2
− 1
2
− 6  𝑦𝑣 = −
25
4
 
Luego el vértice es: 𝑉 (
1
2
, −
25
4
) 
Imagen 
𝑎 > 0, el vértice es un punto mínimo, entonces la imagen es: 𝐼𝑓 = [−
25
4
, ∞) 
Intervalos de positividad y negatividad (𝑎 > 0 y ∆> 0) 
Por la concavidad (hacia arriba) y la naturaleza de las raíces (reales y distintas), la función es 
negativa en el intervalo abierto(−2, 3) y positiva en (-∞, -2)(3, ∞) . 
Observación: Algebraicamente los intervalos anteriores, se obtienen resolviendo las desigualdades 
cuadráticas correspondientes. 
Gráfica 
Con los elementos obtenidos se puede trazar, aproximadamente, la gráfica. 
 
 
 
Ejemplo 2: Graficar la función 𝑔(𝑥) = −(𝑥 + 2)2 
Intersección con el eje de las abscisas 
Haciendo 𝑦 = 0: 0 = −(𝑥 + 2)2 
De modo que: 0 = (𝑥 + 2)2 (las raíces son dobles)  𝑥1 = 𝑥2 = −2 
La parábola corta al eje “𝑥” en un solo punto, ∆= 0, (es tangente al eje de las abscisas). 
El punto es 𝑃(−2, 0), es el vértice de la misma. 
Intersección con el eje de las ordenadas 
Reemplazando 𝑥 = 0 se tiene: 𝑦 = −(0 + 2)2  𝑦 = −4 
La parábola corta al eje y en – 4. El punto es 𝑅(0, −4) 
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Eje de simetría 
Reemplazamos el valor de las raíces: 𝑥𝑒 =
−2−2
2
  la recta 𝑥 = −2 es el eje de simetría. 
Vértice 
Como ya se dijo anteriormente, el vértice es el punto de contacto con el eje “𝑥” entonces es:
)0,2(V − . 
En este caso, para trazar la gráfica se obtuvo el eje de simetría, el vértice que se ubica sobre el eje 
de las abscisas y la intersección con el eje de las ordenadas. Para obtener otro punto, se determina 
el punto simétrico al punto de intersección con el eje “𝑦”. 
El eje de simetría es 𝑥 = −2, entonces el punto simétrico de )4,0(R − es )4,4(R −− . 
La gráfica es: 
 
Ejemplo 3: Graficar la función ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 2 
Intersección con el eje de las abscisas 
Aplicando la fórmula se obtienen: 
𝑥1 =
−2+√−4
2
 y 𝑥1 =
−2−√−4
2
 (raíces complejas) 
La parábola no cortará al eje de las abscisas, ∆< 0. 
Intersección con el eje de las ordenadas 
El corte con el eje 𝑦 está indicado por el valor de “𝑐” entonces, 𝑦 = 2 y el punto es 𝑅(0, 2). 
Eje de simetría 
𝑥𝑣 =
−2+√−4
2
+
−2−√−4
2
2
  el eje de simetría es la recta: 𝑥 = −1 
Vértice 𝑉(𝑥𝑣, 𝑦𝑣) 
𝑥𝑣 = −1  𝑦𝑣 = (−1)
2 + 2(−1) + 2  𝑦𝑣 = 1 
El vértice es el punto: 𝑉(−1, 1) 
Capítulo 3 
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La gráfica: 
El punto simétrico de (0, 2) es (−2, 2) 
 
Ejemplo 4: Obtener el o los valores del parámetro 𝑘 para que la gráfica de la función 
kxx2y 2 +−= no corte al eje de las abscisas. 
Analice el discriminante, para ello identifique: kcba =−== ,1,2 
La condición para que no corte al eje 𝑥 es: 040 2 − cab 
Reemplazando en la expresión: (−1)2 − 4(2)(𝑘) < 0 
Resolviendo la inecuación: 1 − 8𝑘 < 0  −8𝑘 < −1 
(−
1
8
) (−8𝑘) > (−
1
8
) (−1) 
 𝑘 >
1
8
 
Los valores de k mayores que un octavo hacen que la parábola no corte al eje x. 
Tarea 
 
Con GeoGebra, para distintos valores de k superiores a un octavo trace las gráficas y 
confirme lo obtenido en el estudio realizado. 
Ejemplo 5: ¿Cuáles son los valores de 𝑃 para que la gráfica de ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 𝑃𝑥2 +
1
2
 corte al 
eje de las abscisas en dos puntos? 
La condición es: 𝑏2 − 4𝑎. 𝑐 > 0 
En la expresión, se observan dos términos cuadráticos, entonces se debe operar con ellos para 
obtener el término cuadrático que permitirá identificar “𝑎”. 
La expresión que resulta es: ℎ(𝑥) = (1 + 𝑃)𝑥2 − 3𝑥 +
1
2
 
 𝑎 = 1 + 𝑃, 𝑏 = −3, 𝑐 =
1
2
 
como 𝑎 ≠ 0  1 + 𝑃 ≠ 0  𝑃 ≠ −1 
reemplazando en: 𝑏2 − 4𝑎. 𝑐 > 0 
(−3)2 − 4(1 + 𝑃).
1
2
> 0  9 − 2(1 + 𝑃) > 0 
9 − 2 − 2𝑃 > 0  7 − 2𝑃 > 0 
−2𝑃 > −7  𝑃 <
7
2
 
Finalmente: 𝑃 <
7
2
 y 𝑃 ≠ −1 Gráficamente: 
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Tarea 
 
Con GeoGebra, para valores de P inferiores a siete medios y distinto de menos uno, trace las 
gráficas y confirme lo obtenido en el estudio realizado. 
 
Expresión de una función cuadrática 
Para determinar la expresión de una función 
cuadrática se utilizará: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (polinómica) 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) (factorizada) 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑣)
2 + 𝑦𝑣 (canónica) 
Dependerá de la información que conoce o puede conocerse para usar una u otra expresión. 
Ejemplo 1: ¿Cuál es la expresión de la función cuadrática que tiene eje de simetría 𝑥 = −1
2
 
interseca al eje de las abscisas en −2, y pasa por el punto 𝑃(2, 2)? 
 
 
Desarrollo: 
Una raíz es 𝑥1 = −2 y 𝑥𝑣 = −
1
2
 reemplazando en 𝑥𝑣 =
𝑥1+𝑥2
2
: 
−2+𝑥2
2
= −
1
2
 luego, −2 + 𝑥2 = −1entonces: 1x2 = 
Utilizando la expresión: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
Se reemplazan los valores de las raíces: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) 
y se sustituyen las coordenadas de P para obtener el valor de “𝑎” 
2 = 𝑎(2 + 2)(2 − 1)  2 = 4𝑎  
1
2
= 𝑎
 
La expresión es: 𝑓(𝑥) =
1
2
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) 
Expresada en forma polinómica: 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥2 +
1
2
𝑥 − 1 
 
Ejemplo 2: Obtener la expresión de la función cuadrática que interseca al eje de las ordenadas en 
−8 y sugráfica es tangente al eje de las abscisas en 2. 
Desarrollo: 
La información proporcionada permite concluir que si la parábola: 
- Corta al eje de las ordenadas en −8, entonces se conoce un punto 𝑃(0, −8). 
- Es tangente al eje de las abscisas entonces, el único punto de contacto es el vértice 𝑉(2,0). 
En este caso, se utilizará la expresión canónica, aunque se podría utilizar la expresión factorizada. 
Reemplazando las coordenadas de los puntos 𝑃 y 𝑉 en 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑣)
2 + 𝑦𝑣 se obtiene el valor 
del coeficiente del término cuadrático: 
Por tres puntos se puede trazar una 
parábola siempre que: a) los puntos 
no sean colineales; b) dos de ellos no 
pertenezcan a una recta vertical. 
Capítulo 3 
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−8 = 𝑎(0 − 2)2 + 0  −8 = 𝑎. 4  𝑎 = −2 
La expresión es: 𝑓(𝑥) = −2(𝑥 − 2)2 
o bien 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 8𝑥 − 8 
 
Ejemplo 3: Obtener la expresión de la función cuadrática que pasa por los puntos )3,1( −P , )5,2( −Q 
y )2,1( −−R . 
Desarrollo:(No hay información sobre corte con el eje x (raíces) porque ningún punto tiene ordenada cero) 
En este caso se utilizará la expresión polinómica: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
1. Se reemplazan las coordenadas de cada punto en la expresión 
𝑃(1, −3) ∈ 𝑓  −3 = 𝑎(1)2 + 𝑏 ∙ 1 + 𝑐  ecuación (1) 
𝑄(2, −5) ∈ 𝑓  −5 = 𝑎(2)2 + 𝑏 ∙ 2 + 𝑐  ecuación (2) 
𝑅(−1, −2) ∈ 𝑓  −2 = 𝑎(−1)2 + 𝑏 ∙ (−1) + 𝑐  ecuación (3) 
Las tres ecuaciones determinan el siguiente sistema: 
{
−3 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
−5 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐
−2 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐
 
2. Resolviendo por sustitución, se despeja “𝑐” en una de las ecuaciones y reemplaza en las otras 
dos, obteniéndose un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 
De la ecuación (1) del sistema: 𝑐 = −3 − 𝑎 − 𝑏 
Reemplazando “𝑐” en las ecuaciones (2) y (3): {
−5 = 4𝑎 + 2𝑏 + (−3 − 𝑎 − 𝑏)
−2 = 𝑎 − 𝑏 + (−3 − 𝑎 − 𝑏)
 
Operando con los términos semejantes: 



−=
+=−
b2a01
ba32
 
Resolviendo el sistema se obtiene: −
1
2
= 𝑏 y −
1
2
= 𝑎 
Para determinar el valor de “𝑐”, se sustituyen en la ecuación (1), los valores obtenidos. 
𝑐 = −3 − 𝑎 − 𝑏 
𝑐 = −3 − (−
1
2
) − (−
1
2
)  𝑐 = −3 + 1  𝑐 = −2 
La expresión de la función es: 𝑦 = −
1
2
𝑥2 −
1
2
𝑥 − 2 
Aplicación 1: Para delimitar un terreno rectangular (ver figura) se dispone de 1000 metros de 
alambre tejido. 
a) Determine la expresión del área del terreno en función del 
ancho e indique los valores posibles para el ancho del terreno. 
b) Calcule el área máxima y las dimensiones del terreno para que 
ello ocurra. 
c) Cuáles son las posibles dimensiones del terreno cuando el área es de 40000 m2. 
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Desarrollo. 
El área de un rectángulo: A= base . altura, 
Para el problema: Base= ancho(x) y Altura= largo(y) 
Una ilustración de la situación: 
 
Perímetro: 𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦 entonces, 2𝑥 + 2𝑦 = 1000 (1) 
Área:𝐴 = 𝑥. 𝑦 (2) 
Despejando en (1): 𝑦 = 500 − 𝑥 (3) 
Reemplazando (3) en (2): 𝐴(𝑥) = 𝑥. (500 − 𝑥) Expresión 
 
Determinar los posibles valores para el ancho, significa analizar el dominio de la función en el 
contexto del problema y como los valores para el área son siempre positivos en consecuencia la 
condición que surge es:𝐴 > 0de modo que: 𝑥(500 − 𝑥) > 0 
Resolviendo la desigualdad se obtiene: 𝑥 > 0 y𝑥 < 500 
Entonces los valores posibles son: 0 < 𝑥 < 500 
La gráfica de la función que describe la situación es: 
El área máxima se obtiene calculando la ordenada del 
vértice:𝑥𝑣 =
0+500
2
𝑥𝑣 = 250 
El área máxima es: 𝐴(250) = 250. (500 − 250)𝐴 = 62500 m2. 
Las dimensiones de los terrenos que se pueden cercar con el alambre para que el área sea de 
40000m2 se calcula resolviendo la ecuación que resulta de reemplazar el área en la expresión que 
describe la situación: 
𝑥(500 − 𝑥) = 40000−𝑥2 + 500𝑥 − 40000 = 0 
𝑥12 =
−500 ± √5002 − 4(−1). 40000
2(−1)
 
Resultado: 𝑥1 = 100 y 𝑥2 = 400 
En el contexto del problema, los valores son: ancho, 𝑥 = 100 y largo, 𝑦 = 400 
O bien: ancho, 𝑥 = 400 y largo, 𝑦 = 100 
Observación: para obtener el valor del largo “y” se reemplaza el valor de “x” en la expresión (3). 
Aplicación 2: Se estudia la variación, en el tiempo, de dos poblaciones que son 
modeladas por funciones cuadráticas en un período de 16 años. El estudio se 
inicia cuando cada población tiene 240 individuos. Una población alcanza a los 
5 años su valor mínimo de 140 individuos y la otra tiene 252 individuos a los 2 
años, extinguiéndose a los 16 años. Para cada población: 
a) Determine la expresión matemática que la modela. 
b) Obtenga los elementos que permiten describir su comportamiento, ¿en 
qué período de tiempo la cantidad de individuos estuvo disminuyendo? 
c) ¿Cuántos años deben transcurrir para que la población coincida con la población inicial? 
Capítulo 3 
41 
M. Arias 
 
d) ¿A los cuantos años las poblaciones tienen la misma cantidad de individuos? 
Desarrollo: 
a) Período experimental: 0 ≤ 𝑡 ≤ 16, modelo cuadrático. 
Población inicial 𝑡 = 0 ; 𝑃1 = 240 y 𝑃2 = 240 
Población 1: En 𝑡 = 5 y 𝑃 = 140 (población mínima)  𝑉(5, 140) y 𝑃(0, 240) 
Utilizando la expresión canónica: 𝑃1 = 𝑎(𝑡 − 𝑡𝑣)
2 + 𝑝𝑣 
240 = 𝑎(0 − 5)2 + 140  100 = 25𝑎  4 = 𝑎 
 𝑃1 = 4(𝑡 − 5)
2 + 140 
Población 2: En 𝑡 = 2, 𝑃 = 252 ; en 𝑡 = 0, 𝑃 = 240 y extinción 𝑃 = 0 en 𝑡 = 16 
Utilizando la expresión polinómica: 𝑃2 = 𝑎𝑡
2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 
240 = 𝑎(0)2 + 𝑏 (0) + 𝑐 
252 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 
0 = 256𝑎 + 16𝑏 + 𝑐 
 
240 = 𝑐  6 = 2𝑎 + 𝑏 
−240 = 256𝑎 + 16(6 − 2𝑎) 
−336 = 224𝑎 
 𝑎 = −
3
2
 y 𝑏 = 9 
𝑃2 = −
3
2
𝑡2 + 9𝑡 + 240 
b) Población 1: 𝑃1 = 4(𝑡 − 5)
2 + 140  𝑉(5, 140) , 𝑡𝑣 = 5 y 𝑎 > 0 (cóncava hacia arriba) 
 la población disminuirá durante los primeros 5 años (0 ≤ 𝑡 ≤ 5) y luego aumentará hasta 
el final de período. 
Población 2: 𝑃2 = −
3
2
𝑡2 + 9𝑡 + 240; 𝑡1 = −10 y 𝑡2 = 16  𝑡𝑣 = 3 y 𝑝𝑣 = 253.41 
𝑉(3, 253) , y 𝑎 < 0 (cóncava hacia abajo)  la población disminuirá a partir de los 3 años, 
hasta el final de período y desde el inicio aumentará hasta los 3 años. 
c) Población 1: 𝑃1 = 4(𝑡 − 5)
2 + 140 ; 𝑡 =? 
Para que 𝑃 = 240  5 = 𝑡 − 5  𝑡 = 10. 
Población 2: 𝑃2 = −
3
2
𝑡2 + 9𝑡 + 240 ; 𝑡 =? 
Para que 𝑃 = 240  0 = −
3
2
𝑡(𝑡 − 6)  𝑡 = 6. 
d) Población 1 = Población 2  4(𝑡 − 5)2 + 140 = −
3
2
𝑡2 + 9𝑡 + 240 
 𝑡(11𝑡 − 98) = 0,  𝑡 = 8.9 años; aproximadamente 8 años 10 meses y 27 días. 
 
Autoevaluación 
Actividades de revisión e integración 
 Defina función lineal. ¿Cuál es el conjunto dominio e imagen? 
 ¿Qué tipos de rectas representan funciones lineales? 
 ¿Cuándo una función lineal es creciente o decreciente? 
Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología 
42 
M. Arias 
 
 Sea ( ) bxky +−= 42 . Analice para qué valores de k la recta representará una función lineal 
creciente. 
 Defina función constante y proporcione un ejemplo. 
 Analice para qué valores de 𝑝la recta ( ) bxpy +−= 21 representará una función constante. Proporcione un ejemplo de una recta que no represente a una función. 
 Analice y responda proporcionando los fundamentos teóricos o algebraicos si las siguientes 
afirmaciones son correctas: 
a) Toda recta representa una función lineal. 
b) Si una recta representa una función lineal creciente, formará un ángulo agudo con el eje 
positivo de las abscisas. 
 Sea cxbxaxf ++= 2)( , con 𝑎 ∈ 𝑅𝑦𝑎 ≠ 0, 𝑏 ∈ 𝑅 , 𝑐 ∈ 𝑅: 
a) ¿Cuál es el parámetro que indica la concavidad de una parábola y cuándo la gráfica será cóncava 
hacia abajo y cuándo hacia arriba? 
b) ¿Qué parámetro indica el valor donde la parábola interseca al eje de las ordenadas? 
 Estudie el discriminante e indique en qué casos la gráfica de una función cuadrática, cortará al eje de 
las abscisas en 2 puntos, en 1 punto o no lo cortará. 
 Realice la deducción de la fórmula para determinar el eje de simetría de una parábola. 
 ¿Cómo determina el vértice de una parábola? 
 Considerando el estudio precedente, ¿qué información necesita para escribir el conjunto imagen de 
una función cuadrática? 
 ¿Qué información necesita para obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una 
función cuadrática? Analice las distintas posibilidades. 
 Para reconstruir la expresión de una función cuadrática ¿en qué caso y con qué información utilizaría 
la expresión factorizada, la polinómica o canónica? 
 Considere todas las posibilidades, y analice la positividad y negatividad de una función cuadrática. 
 Dada la función cxbxaxf ++= 2)( . Analice las condiciones o valores de los parámetros ba, y c 
de modo que: 
a) La parábola corte al eje de las abscisas en dos puntos y uno es el origen de coordenadas 
b) La parábola corte al eje de las ordenadas en un valor positivo y no corte al eje de las abscisas. 
c) El vértice de la parábola se ubique en el eje de las ordenadas y corte al eje de las abscisas en 
dos puntos. 
d) El vértice se ubique en el eje de las abscisas y 
f
Dx , 0)( xf 
 
Ejercitación 
 
 Sean 1r : 11 bxmy += y 2r : 22 bxmy += dos rectas de ordenada al origen iguales. La recta 2r 
representa una función constante y la recta 1r representa una función lineal con coeficiente del 
término lineal igual a 1. ¿Cuál es la amplitud del ángulo con el que se cortan las gráficas de las 
funciones? 
 Las funciones 𝑓 y 𝑔 son lineales. 
a) A partir de la información que dispone obtenga la 
expresión de 𝑓 y luego la expresión de 𝑔, cuya gráfica es 
una recta perpendicular a la gráfica de 𝑓. 
Capítulo 3 
43 
M. Arias 
 
b) Determine la intersección con los ejes coordenados y los intervalos de positividad y negatividad 
de las funciones. 
 
 
 Dos especies de plantas, durante un período de 6 años, tienen un crecimiento lineal. Algunas 
mediciones que se efectuaron en ese período están dadas en las siguientes tablas: 
Especie 1 Especie 2 
Tiempo (años) 𝑡 0 1 2 3 5 Tiempo (años) 𝑡 1 3 4 5 
Altura (metros) ℎ 1 1.8 2.6 3.4 5 Altura (metros) ℎ 2.05 4.55 5.8 7.05 
 
a) Determine la expresión para calcular la altura de 
cada especie de árbol, en un tiempo t. 
b) En el contexto del problema ¿Cuál es el significado 
del coeficiente del término lineal y del término 
independiente de cada expresión? 
c) Obtenga la altura de cada planta al final del 
período de crecimiento. 
d) A los cuántos meses los árboles tienen la misma 
altura. 
 Dos funciones cuadráticas tienen la misma concavidad, el mismo eje de simetría x=p con p>0 y ambas 
pasan por el origen de coordenadas. Una tiene imagen (-, p] y la otra (-, 2p] Determine las 
condiciones o valores de los parámetros a, b y c para cada función. 
 Una función cuadrática es positiva en el intervalo (−1, 5) y su imagen es el conjunto I = (−∞, 4]. 
Obtenga la expresión de la función. 
 
 Con los datos proporcionados en cada gráfico o enunciado, realice los cálculos o procedimientos 
pertinentes para determinar la expresión algebraica de la función cuadrática correspondiente. 
a) 
 
b) 
 
c) Los ceros de la función son 𝑥 = −
2
3
 y 𝑥 = 4 además, 𝑓(2) =
4
3
. 
d) El punto 𝑃(1, −3) ∈ 𝑓 , el eje de simetría es 𝑥 = −2 y una de sus raíces es 𝑥 = −4 
e) El vértice de la parábola es 𝑉(2,3) y pasa por el punto 𝑃(3, −1). 
f) La imagen de la función es 𝐼 = [− 2, ∞) y los ceros de la misma son 𝑥 =
3
2
 y 𝑥 =
9
2
. 
g) La función es negativa en (0,2) y la imagen es 𝐼 = (− ∞, 4]. 
h) Pasa por los puntos 𝑃(0,3); 𝑄(2,2) y 𝑅(5,8).