IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

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MATEMATICA APLICADA II 
 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Son igualdades entre expresiones trigonométricas, las 
cuales se verifican para todo valor admisible de la variable 
angular. 
 
 Las identidades se clasifican en: 
 
IDENTIDADES FUNDAMENTALES 
 
A) Identidades Pitagóricas 
 
 
2 2 1Sen x Cos x  
 
2 21 Tg x Sec x  
2 21 Ctg x Csc x  
 
B) Identidades por cociente 
 
 
Senx
Tgx
Cosx
 
 
Cosx
Ctgx
Senx
 
 
C) Identidades Recíprocas 
 
 . 1Senx Cscx  
 . 1Cosx Secx  
 . 1TgxCtgx  
 
IDENTIDADES AUXILIARES 
 
.Tgx Ctgx Secx Cscx  
2 2 2 2.Sec x Csc x Sec x Csc x  
4 4 2 21 2 .Sen x Cos x Sen xCos x   
 
6 6 2 21 3 .Sen x Cos x Sen xCos x   
    21 2 1 1Senx Cosx Senx Cosx     
 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE 
ÁNGULOS 
COMPUESTOS Y MÚLTIPLES 
 
 
INTRODUCCIÓN 
La utilidad de estas identidades radica en que con ellas se 
puede calcular razones trigonométricas de arcos o ángulos 
desconocidos a partir de arcos o ángulos cuyas razones 
trigonométricas sean conocidas. 
 
 
A) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS 
COMPUESTOS 
 
I. F.T. DE LA SUMA Y RESTA DE DOS ÁNGULOS: 
 
  . os os .Sen Sen C C Sen        
 os os . os .C C C Sen Sen        
 
1 .
Tg Tg
Tg
Tg Tg
  
 

 

 
  . 1Ctg CtgCtg
Ctg Ctg
  
 
 


 
 
 
II. IDENTIDADES AUXILIARES: 
 
2 2( ). ( )Sen x y Sen x y Sen x Sen y    
2 2os( ). os( ) osC x y C x y C x Sen y    
( )
os . os
Sen x y
Tgx Tgy
C xC y

  
( )
os . os
Sen x y
Tgx Tgy
C xC y

  
( )
.
Sen x y
Ctgx Ctgy
Senx Seny

  
( )
.
Sen y x
Ctgx Ctgy
Senx Seny

  
( ) . . ( )Tg x y Tgx Tgy TgxTgyTg x y     
( ) . . ( )Tg x y Tgx Tgy TgxTgy Tg x y     
 
III. PROPIEDADES: Si 2
 zyx , 
entonces: 
 
a) . . . 1TgxTgy TgyTgz TgxTgz   
b) . .Ctgx Ctgy Ctgz CtgxCtgy Ctgz   
c) 2 2 2 1 2 . .Sen x Sen y Sen z Senx Seny Senz    
d) 2 2 2os os os 2 2 . .C x C y C z Senx Seny Senz    
 
IV. PROPIEDADES: Si  zyx , se 
cumple: 
 
a) . .Tgx Tgy Tgz TgxTgy Tgz   
b) . . . 1CtgxCtgy Ctgy Ctgz CtgxCtgz   
c) 
2 2 2 2 . .Sen x Sen y Sen z Senx Seny Senz   
d) 2 2 2os os os 1 2 os . os . osC x C y C z C xC yC z    
 
B) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS 
MÚLTIPLES 
 
 
I. F.T. DEL ÁNGULO DOBLE: 
 
2 2 . osSen Sen C   
2 2
2
2
os
os 2 1 2
2 os 1
C Sen
C Sen
C
 
 

 
 
 
 
2
2
2
1
Tg
Sen
Tg




 
2
2
1
2
1
Tg
Cos
Tg





 
2
2
2
1
Tg
Tg
Tg




 
2 1
2
2
Ctg
Ctg
Ctg



 
 
 
 
 MATEMATICA APLICADA II 
 
21 Tg 
2Tg
21 Tg 
2
 
 
 
II. F.T. DEL ÁNGULO TRIPLE: 
 
33 3 4Sen Sen Sen    
3os3 4 os 3 osC C C    
3
2
3
3
1 3
Tg Tg
Tg
Tg
 




 
3
2
3
3
1 3
Ctg Ctg
Ctg
Ctg
 




 
 
 
 
IDENTIDADES AUXILIARES: 
 
3 4 . (60 ). (60 )Sen Sen Sen Sen      
 
os3 4 os . os(60 ). os(60 )C C C C      
 
3 . (60 ). (60 )Tg Tg Tg Tg      
 
3
2 os 2 1
Sen
C
Sen
 

  
 
os3
2 os 2 1
os
C
C
C
 

  
 
2 sc 2Ctg Tg C    
 
2 2Ctg Tg Ctg    
 
4 4 3 os 4os
4
C
Sen C
    
 
6 6 5 3 os 4os
8
C
Sen C
    
 
 
 
 
III. F.T. DEL ÁNGULO MITAD: 
 
 
1 os
2 2
C
Sen
     
 
 
 
1 os
os
2 2
C
C
     
 
 
 
1 os
2 1 os
C
Tg
C
 

      
 
 
 
 
 
1 os
2 1 os
C
Ctg
C
 

      
 
 
 
El signo se elige de acuerdo al signo que tenga la F.T. 
en el cuadrante en el cual se ubica  2 
 
sc
2
Tg C Ctg
      
 
 
 
 sc
2
Ctg C Ctg
      
 
 
 
 
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
2
2 2
x y x y
Sen x Sen y Sen Cos
         
   
 
2
2 2
x y x y
Sen x Sen y Cos Sen
         
   
 
2
2 2
x y x y
Cos x Cos y Cos Cos
         
   
 
2
2 2
x y x y
Cos x Cos y Sen Sen
          
   
 
 
   2 .SenxCosy Sen x y Sen x y    
   2 .CosxCosy Cos x y Cos x y    
   2 .Senx Seny Cos x y Cos x y   