TP 16 TEORIA 2021

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Análisis Matemático I 
• Ing. Roberto Lamas
• Prof. Adjunto Análisis Matemático I
Trabajo Practico N° 16
Métodos de integración: Integración de funciones 
trigonométricas o hiperbólicas. Integrales que contienen 
expresiones de la forma . Integrales de 
funciones racionales con raíces reales. 
I) Integración de funciones trigonométricas:
a) Potencias impares de senos o cosenos: n N
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
u = sen x entonces du = cos x dx
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𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑢 = sen 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥 
1 − 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 − 
𝑢
3
+ 𝐶 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
3
+ 𝐶
b) Potencias pares de senos o cosenos: n N
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 
1
2
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 
Se desarrollan las potencias obteniendo potencias impares 
( se aplica el método a ) y potencias pares ( se vuelve a 
aplicar este método )
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𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 
1
2
1 − cos(2𝑥) 𝑑𝑥 =
=
1
4
 1 − 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥) 𝑑𝑥 =
=
1
4
 1 − 2 cos 2𝑥 +
1
2
1 + cos(4𝑥) 𝑑𝑥 =
=
1
4
3
2
𝑥 −
2
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
1
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𝑠𝑒𝑛(4𝑥) + 𝐶
c) Producto de potencias de senos y cosenos.
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
p , q ∈ N
i) Si p y q son pares, se aplica el método b.
ii) Si al menos uno es impar , se aplica el método a, y al ser impar 
uno de ellos el otro puede ser real.
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𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 / 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 / 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 / 𝑥 𝑑𝑥 = 
= 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 / 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑢 = sen 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = sen 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥 
= 1 − 𝑢 𝑢 / 𝑑𝑢 = 𝑢 / − 𝑢 / 𝑑𝑢 =
= 
3
5
𝑢 / −
3
11
𝑢 + 𝐶 = 
3
5
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 
3
11
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶
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d) Potencias de tangentes o cotangentes.
𝑡𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 1 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 1 
𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 
𝑡𝑔 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
La primera de las integrales se resuelve por medio de una 
sustitución, con u = tg x , mientras que en la segunda se vuelve a 
aplicar este método hasta llegar a :
∫ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 1 𝑑𝑥 o bien ∫ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = − ln cos(𝑥)
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𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 1 𝑑𝑥
= 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 1 𝑑𝑥 =
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 1 𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥
= − 𝑢 𝑑𝑢 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 =
= − 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
3
+ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 + 𝑥 + 𝐶
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e) Potencias de pares de secantes o cosecantes.
𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 1 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥
u = tg x du = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥
=− ∫ 𝑢 + 1 𝑑𝑢 = − + 𝑢 + 𝐶 = − − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 
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f) Potencias impares de secantes o cosecantes.
𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥
Al aplicar integración por partes se obtiene la misma 
integral, la se agrupa con la del primer miembro, quedando el 
resultado reducido en dos el exponente. Se vuelve a aplicar el 
método reduciendo en dos el exponente, hasta llegar a:
sec 𝑥 𝑑𝑥 = 
sec 𝑥 sec 𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥 
sec 𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥 
 𝑑𝑥 = ln sec 𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥 
cosec 𝑥 𝑑𝑥 = 
cosec 𝑥 cosec 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
cosec 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
 𝑑𝑥 = − ln cosec 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 =Ejemplo:
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 
 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = −𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
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= −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 =
= −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 1 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 =
= −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥
2 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 − ln 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 − ln 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 
g) Integral de productos de senos y/o cosenos con distintos 
argumentos.
Se aplican las identidades siguientes:
𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑏 = 
1
2
cos 𝑎 − 𝑏 − cos(𝑎 + 𝑏)
𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 = 
1
2
cos 𝑎 − 𝑏 + cos(𝑎 + 𝑏)
𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 = 
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑎 − 𝑏 + sen(𝑎 + 𝑏)
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𝑠𝑒𝑛 9𝑥 cos 4𝑥 𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 9𝑥 cos 4𝑥 𝑑𝑥 =
 1
2
𝑠𝑒𝑛 5𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(13𝑥) 𝑑𝑥 = 
= −
1
2
cos 5𝑥
5
−
1
2
cos 13𝑥
13
+ 𝐶
= −
cos 5𝑥
10
−
cos 13𝑥
26
+ 𝐶
2) Integración de funciones que contienen la expresión : 
𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶
a) Se completa cuadrado en el integrando, para llevarlo a la forma : 
i) 𝑎 𝑥 − 𝑏 ii ) 𝑏 − 𝑎 𝑥 iii) 𝑎 𝑥 + 𝑏
b) Se plantea una sustitución trigonométrica.
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𝑎𝑥
𝑏
= sec 𝑡
𝑎𝑥
𝑏
= sen 𝑡
𝑎𝑥
𝑏
= tg 𝑡
𝑎 𝑥 − 𝑏 = 𝑏 𝑡𝑔 𝑡 𝑏 − 𝑎 𝑥 = 𝑏 cos 𝑡 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑏 sec 𝑡
𝑥
9 − 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 
𝑥
3
 ⇒ 𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ⇒ 𝑑𝑥
= 3 cos 𝑡 𝑑𝑡 
cos 𝑡 = 
9 − 𝑥
3
 ⇒ 9 − 𝑥 = 3 cos 𝑡 
𝑥
9 − 𝑥
𝑑𝑥 = 
3 𝑠𝑒𝑛 𝑡
3 cos 𝑡 
 3 cos 𝑡 𝑑𝑡 =
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= 9 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = 
9
2
1 − cos(2𝑡) 𝑑𝑡 =
=
9
2
𝑡 −
1
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑡) + 𝐶 =
9
2
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥
3
−
9
4
2𝑠𝑒𝑛 𝑡 cos 𝑡 + 𝐶 =
=
9
2
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥
3
−
9
2
𝑥
3
9 − 𝑥
3
+ 𝐶 =
=
9
2
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥
3
−
𝑥 9 − 𝑥
2
+ 𝐶
3) Integración de funciones racionales.
Descomposición en fracciones simples.
Se trata de integrales de la forma ∫
( )
( )
 𝑑𝑥 con P y Q funciones 
polinomiales.
I )Si gr(P(x) ≥ gr(Q(x)) se debe efectuar la división., 
( )
( )
= 𝐶 𝑥 + 
( )
( )
donde gr(R(x)) < gr (Q(x)).
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II) gr ( P(x)) < gr(Q(x)) se descompone en fracciones simples 
∫
( )
( )
 𝑑𝑥 = ∫ 𝐹 𝑥 + 𝐹 𝑥 +. . + 𝐹 𝑥 𝑑𝑥
Donde las fracciones son de la forma o 
donde 𝑥 ∈ 𝑅 y x2 +bx +c es irreductible en R.
El objetivo es hallar A, B y C.
Se factorea Q(x) a su mínima expresión en el campo de los reales.
Ej: (x4 – 1 ) ( x3 – 1 ) = ( x2 + 1 ) ( x – 1 ) ( x + 1 ) ( x – 1 ) ( x2 + x +1 ) =
( x2 + 1 ) ( x – 1 )2 ( x + 1 ) ( x2 + x +1 )
El exponente es el orden de multiplicidad , es decir la raíz se repite 
n veces.
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Por cada factor de la forma ( x – x1 ) r1 se forman r1 fracciones:
𝐴
𝑥 − 𝑥
 ; 
𝐴
𝑥 − 𝑥
 ; 
𝐴
𝑥 − 𝑥
; . . ; 
𝐴
𝑥 − 𝑥
 
Y por cada factor 𝑥 + 𝑝 𝑥 + 𝑞
𝐵 𝑥 + 𝐶
𝑥 + 𝑝 𝑥 + 𝑞
 ; 
𝐵 𝑥 + 𝐶
𝑥 + 𝑝 𝑥 + 𝑞
 ; . . ; 
𝐵 𝑥 + 𝐶
𝑥 + 𝑝 𝑥 + 𝑞
Como determinar las constantes:
Se plantea 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 +. . +𝐹 = 
ℎ(𝑥)
𝑄(𝑥)
Luego 𝑃 𝑥 = ℎ(𝑥) . Se forma un sistema de n ecuaciones 
con n incógnitas ( Ai, Bi , Ci ) de la resolución del sistema se 
obtienen las constantes.
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Ejemplo: ∫
 
 𝑑𝑥
Factoreamos el denominador:
𝑥 − 2𝑥 + 4𝑥 − 8 = 𝑥 − 2 𝑥 + 4
Las fracciones simples tendrán la forma : + 
Operamos : + = 
𝐴𝑥 + 4𝐴 + 𝐵𝑥 − 2𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 − 2𝐶 = 6𝑥 − 5𝑥 + 18
𝐴 + 𝐵 = 6
𝐶 − 2𝐵 = −5
4𝐴 − 2𝐶 = 18
Resolviendo el sistema: A = 4 ; B = 2 ; C = – 1 
6𝑥 − 5𝑥 + 18
𝑥 − 2𝑥 + 4𝑥 − 8
 𝑑𝑥
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Resolviendo el sistema: A = 4 ; B = 2 ; C = – 1 
6𝑥 − 5𝑥 + 18
𝑥 − 2𝑥 + 4𝑥 − 8
 𝑑𝑥 = 
4
𝑥 − 2
𝑑𝑥 + 
2𝑥 − 1
𝑥 + 4
 𝑑𝑥
= 
4
𝑥 − 2
𝑑𝑥 +
2𝑥
𝑥 + 4
𝑑𝑥 −
1
𝑥 + 4
 𝑑𝑥 =
= 4𝑙𝑛 𝑥 − 2 + 𝑙𝑛 𝑥 + 4 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝐶