Análisis Matemático I Final abril 2022

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Análisis Matemático I Final abril 2022 
Para aprobar deberá resolver correctamente, como mínimo 3 ejercicios de teoría y 
2 de práctica. 
Parte teórica 
1- a) Defina limites laterales. Represente gráficamente. b) Enuncie el Teorema e 
existencia de límite de una función. 
2- a) Enunciar la relación entre continuidad y derivabilidad de una función en un 
punto. b) Dar un ejemplo analítico de una función continua pero no derivable en 
𝑥 = 2, luego graficar dicha función. 
3- a) Definir extremos absolutos y relativos. b) Explicar la diferencia entre extremo 
absoluto y extremo relativo. c) Definir punto crítico de una función. 
4- a) Dada la función 𝑓(𝑥) = √4 + 𝑥, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓′(5) a partir de la definición de la 
derivada de una función en un punto. ¿Qué representa geométricamente 𝑓’(5)? 
5- a) Definir antiderivada general de una funcion. b) Analiticamente que 
representa la solucion de la integral indefinida? Y geometricamente? 
Parte practica 
1- Calcular el area de la region sombreada. Aplique integrales. 
 
2- Aplicando diferenciales calcular cos 30,4° + ln 0,96 
3- Dadas las graficas de las funciones f y g fundamente y determine: 
 
 
 
𝑓(𝑥) = √4 + 𝑥, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓′(5) 
𝑓′(𝑎) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
 
𝑓′(5) = lim
𝑥→5
√4 + 𝑥 − 3
𝑥 − 5
=
0
0
 
𝑓′(5) = lim
𝑥→5
√4 + 𝑥 − 3
𝑥 − 5
∗
√4 + 𝑥 + 3
√4 + 𝑥 + 3
 
𝑓′(5) = lim
𝑥→5
(√4 + 𝑥)
2
− 32
(𝑥 − 5). (√4 + 𝑥 + 3)
 
 
𝑓′(5) = lim
𝑥→5
4 + 𝑥 − 9
(𝑥 − 5). (√4 + 𝑥 + 3)
 
𝑓′(5) = lim
𝑥→5
𝑥 − 5
(𝑥 − 5). (√4 + 𝑥 + 3)
 
 
𝑓′(5) = lim
𝑥→5
1
√4 + 𝑥 + 3
 
𝑓′(5) =
1
6
 
𝑓(𝑥) = √4 + 𝑥 
𝑓′(𝑥) =
1
2. √4 + 𝑥
 
𝑓′(5) =
1
6
 
 
 
 
 
𝐴 = 2 ∗ 𝐴1 
𝐴1 = ∫ [√4 − 𝑥
2 − 𝑥]
1
0
 𝑑𝑥 
𝐴1 = ∫ √4 − 𝑥
2
1
0
 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥
1
0
 𝑑𝑥 
𝐴1 = [
1
2
. 𝑥. √4 − 𝑥2 + 2. sin−1 (
𝑥
2
)]
0
1
−
1
2
. 𝑥2|0
1 
𝐴1 = [(
1
2
. 1. √4 − 12 + 2. sin−1 (
1
2
)) − (0 + 0)] −
1
2
. (1 − 0) 
𝐴1 =
1
2
. √3 + 2. sin−1 (
1
2
) −
1
2
 
𝐴 = 2 ∗ 𝐴1 
 
Calculo auxiliar 
∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 
 
𝑥 = 2. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
𝑑𝑥 = 2. cos 𝜃 𝑑𝜃 
√4 − 𝑥2 = 2. cos 𝜃 
∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ 2. cos 𝜃 2. cos 𝜃 𝑑𝜃 = 4. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 
∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 4. [
1
2
cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 +
1
2
𝜃] + 𝐶 
∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 2. cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 2. 𝜃 + 𝐶 
∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 2.
√4 − 𝑥2
2
.
𝑥
2
+ 2. sin−1 (
𝑥
2
) + 𝐶 
∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
1
2
. 𝑥. √4 − 𝑥2 + 2. sin−1 (
𝑥
2
) + 𝐶 
 
Calculo auxiliar 2 
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ cos 𝜃 . 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃 
𝑢 = cos 𝜃 → 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 
𝑑𝑣 = cos 𝜃 𝑑𝜃 → 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃) 𝑑𝜃 
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + ∫ 𝑑𝜃 − ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + ∫ 𝑑𝜃 
2. ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝜃 + 𝐶 
 
 
∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 =
1
2
cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 +
1
2
𝜃 + 𝐶 
2- diferenciales calcular cos 30,4° + ln 0,96 
𝑦 = cos 𝑥 𝑥0 = 30° 𝑑𝑥 = ∆𝑥 = 0,4° = 0,4.
𝜋
180
 
𝑑𝑦 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑦(𝑥0) = −𝑠𝑒𝑛 30°. 0,4.
𝜋
180
= −0,00349 
𝑦(𝑥0) = cos 30° = 0,86 
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) ≈ 𝑑𝑦(𝑥0) + 𝑦(𝑥0) 
cos 30,4° ≈ −0,00349 + 0,86 
0,862 ≈ 0,856 
𝑦 = ln 𝑥 𝑥0 = 1 𝑑𝑥 = ∆𝑥 = −0,04 
𝑑𝑦 =
1
𝑥
 𝑑𝑥 
𝑑𝑦(𝑥0) =
1
1
 . − 0,04 = −0,04 
𝑦(𝑥0) = ln 1 = 0 
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) ≈ 𝑑𝑦(𝑥0) + 𝑦(𝑥0) 
ln 0,96 ≈ −0,04 + 0 
−0,040 ≈ −0,04 
 
cos 30,4° + ln 0,96 ≈ 0,856 + (−0,04) ≈ 0,816 
 
 
 
(𝑓 − 𝑔)(2) = 𝑓(2) − 𝑔(2) = 3 − 5 = −2 
(𝑔 ∗ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) = [4,15] 
x f g f*g 
-1 1 4 4 
0 2 4 8 
1 2,5 4,5 11,25 
2 3 5 15 
3 2 5,2 10,4 
4 1,1 5,5 6,05 
5 1,5 5,2 7,8 
6 2 5 10 
 
𝐷𝑜𝑚 (𝑔 + 𝑓) = 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [−1,6] ∩ [−1,8] = [−1,6] 
 
𝑔(2) = 5 𝑓(5) = 4 (𝑓𝑜𝑔)(2) = 5 
𝑓(4) = 3 𝑔(3) = 4,8 𝑔[𝑓(4)] = 4,8 
𝑔(−2) = 1 𝑔(1) = 4 (𝑔𝑜𝑔)(−2) = 4