Pauta Practica 4 Calculo III PLEV

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN 
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
Pauta Práctica 4 Cálculo III PLEV (2025) 
Tema: Diferenciabilidad de la Función Compuesta, Regla de la Cadena para Derivadas Parciales. 
Problema 1. Sea 𝑢 ∶ ℝ ⟶ ℝ , definida por 𝑢 = 𝑓 𝑟 , donde 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ es una función de 
clase 𝐶2 y 𝑟 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ es la función definida por 𝑟 𝑥,𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2. Pruebe que: 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 0 ⟺
𝑑2𝑢
𝑑𝑟2
+
1
𝑟
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
= 0 , 𝑟 ≠ 0 
Solución. 
Por la Regla de la Cadena se tiene: 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑟
∙
𝜕𝑟
𝜕𝑥
=
𝑥
 𝑥2 + 𝑦2
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝑑𝑢
𝑑𝑟
∙
𝜕𝑟
𝜕𝑦
=
𝑦
 𝑥2 + 𝑦2
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
 
De donde (por la Regla de la Derivada del Producto de Funciones): 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
=
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 =
𝜕
𝜕𝑥
 
𝑥
 𝑥2 + 𝑦2
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
 
 =
𝑦2
 𝑥2 + 𝑦2 
3
2
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
+
𝑥
 𝑥2 + 𝑦2
∙
𝜕
𝜕𝑥
 
𝑑𝑢
𝑑𝑟
 
 =
𝑦2
 𝑥2 + 𝑦2 
3
2
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
+
𝑥
 𝑥2 + 𝑦2
∙
𝜕
𝜕𝑟
 
𝑑𝑢
𝑑𝑟
 
𝜕𝑟
𝜕𝑥
 
 =
𝑦2
 𝑥2 + 𝑦2 
3
2
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
+
𝑥2
𝑥2 + 𝑦2
∙
𝑑2𝑢
𝑑𝑟2
 
 
 
 
 
 
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
=
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 =
𝜕
𝜕𝑦
 
𝑦
 𝑥2 + 𝑦2
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
 
 =
𝑥2
 𝑥2 + 𝑦2 
3
2
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
+
𝑦
 𝑥2 + 𝑦2
∙
𝜕
𝜕𝑦
 
𝑑𝑢
𝑑𝑟
 
 =
𝑥2
 𝑥2 + 𝑦2 
3
2
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
+
𝑦
 𝑥2 + 𝑦2
∙
𝜕
𝜕𝑟
 
𝑑𝑢
𝑑𝑟
 
𝜕𝑟
𝜕𝑦
 
 =
𝑦2
 𝑥2 + 𝑦2 
3
2
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
+
𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
∙
𝑑2𝑢
𝑑𝑟2
 
Sumando estas expresiones se tiene que: 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 0 ⟺
𝑦2
 𝑥2 + 𝑦2 
3
2
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
+
𝑥2
𝑥2 + 𝑦2
∙
𝑑2𝑢
𝑑𝑟2
+
𝑦2
 𝑥2 + 𝑦2 
3
2
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
+
𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
∙
𝑑2𝑢
𝑑𝑟2
= 0
⟺
𝑑2𝑢
𝑑𝑟2
+
1
 𝑥2 + 𝑦2
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
= 0 ⟺
𝑑2𝑢
𝑑𝑟2
+
1
𝑟
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑟
= 0 , 𝑟 ≠ 0 
Problema 2. Sea 𝑧 = 𝑧 𝑥,𝑦 una función de clase 𝐶2 y considere el cambio de variables 
𝑥 = 𝑢 + 𝑣, 𝑦 = 𝑢𝑣. Obtenga en términos de las variables 𝑥 e 𝑦, en forma simplificada, una 
expresión para 
𝜕2𝑧
𝜕𝑢2
+
𝜕2𝑧
𝜕𝑣2
. 
Solución. 
Por la Regla de la Cadena, se tiene que: 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑣
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑣
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 
De donde: 
 
𝜕2𝑧
𝜕𝑢2
=
𝜕
𝜕𝑢
 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
 =
𝜕
𝜕𝑢
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 +
𝜕
𝜕𝑢
 𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 
 =
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 ∙
𝜕𝑦
𝜕𝑢
+ 𝑣
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+ 𝑣
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 ∙
𝜕𝑦
𝜕𝑢
 
 =
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+ 𝑣
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝑣2
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
 
 =
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+ 2𝑣
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ 𝑣2
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
 
 
𝜕2𝑧
𝜕𝑣2
=
𝜕
𝜕𝑣
 
𝜕𝑧
𝜕𝑣
 =
𝜕
𝜕𝑣
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 +
𝜕
𝜕𝑣
 𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 
 =
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 ∙
𝜕𝑦
𝜕𝑣
+ 𝑢
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+ 𝑢
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 ∙
𝜕𝑦
𝜕𝑣
 
 =
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+ 𝑢
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ 𝑢
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝑢2
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
 
 =
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+ 2𝑢
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ 𝑣2
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
 
Luego se concluye que: 
 
𝜕2𝑧
𝜕𝑢2
+
𝜕2𝑧
𝜕𝑣2
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+ 2𝑣
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ 𝑣2
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+ 2𝑣
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ 𝑣2
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
 
 = 2
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+ 2 𝑢 + 𝑣 
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ 2𝑣2
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
 
= 2
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+ 2𝑥
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ 2𝑣2
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
 
Problema 3. Pruebe que la función 𝑧 = 𝑓 𝑥2 + 𝑦2 , con 𝑓 diferenciable, satisface la ecuación 
diferencial parcial: 
𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
− 𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 0 
Solución. 
Por la Regla de la Cadena se tiene que: 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑓′ 𝑥2 + 𝑦2 ∙ 2𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑓′ 𝑥2 + 𝑦2 ∙ 2𝑦 
De donde: 
𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
− 𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 2𝑥𝑦𝑓 ′ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦𝑓 ′ 𝑥2 + 𝑦2 = 0 
Esto prueba lo pedido. 
OBS: También se puede resolver de esta manera. Sea 𝑢 𝑥,𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2. Luego por la Regla de 
la Cadena: 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
𝜕𝑧
𝜕𝑢
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
𝜕𝑧
𝜕𝑢
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 2𝑦
𝑑𝑧
𝑑𝑢
 
Reemplazando se llega a la misma conclusión. 
Problema 4. Pruebe que la función 𝑤 = 𝑓 
𝑟−𝑠
𝑠
 , donde 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ es una función real de una 
variable real de clase 𝐶2, satisface la ecuación diferencial parcial: 
1
𝑠
∙
𝜕2𝑤
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
∙
𝜕2𝑤
𝜕𝑠𝜕𝑟
= −
1
𝑟𝑠2
𝑓′ 
𝑟 − 𝑠
𝑠
 
Indicación: Haga 𝑧 =
𝑟−𝑠
𝑠
. 
Solución. 
Notar que 
𝑟−𝑠
𝑠
=
𝑟
𝑠
− 1. Por la Regla de la Cadena se tiene: 
𝜕𝑤
𝜕𝑟
= 𝑓′ 
𝑟 − 𝑠
𝑠
 
1
𝑠
 
Luego: 
𝜕2𝑤
𝜕𝑟2
=
𝜕
𝜕𝑟
 
𝜕𝑤
𝜕𝑟
 =
1
𝑠2
𝑓′′ 
𝑟 − 𝑠
𝑠
 
𝜕2𝑤
𝜕𝑠𝜕𝑟
=
𝜕
𝜕𝑠
 
𝜕𝑤
𝜕𝑟
 = −
1
𝑠2
𝑓 ′ 
𝑟 − 𝑠
𝑠
 −
𝑟
𝑠3
𝑓 ′ ′ 
𝑟 − 𝑠
𝑠
 
De donde: 
1
𝑠
∙
𝜕2𝑤
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
∙
𝜕2𝑤
𝜕𝑠𝜕𝑟
=
1
𝑠3
𝑓′′ 
𝑟 − 𝑠
𝑠
 −
1
𝑟𝑠2
𝑓 ′ 
𝑟 − 𝑠
𝑠
 −
1
𝑠3
𝑓′′ 
𝑟 − 𝑠
𝑠
 = −
1
𝑟𝑠2
𝑓 ′ 
𝑟 − 𝑠
𝑠
 
Lo que prueba lo pedido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5. Sea 𝑢 = 𝑓 𝑥,𝑦 , 𝑥 = 𝑠 + cos 𝑡, 𝑦 = 𝑠 + sen 𝑡, donde 𝑓 es una función de clase 𝐶2 
sobre todo el plano. Calcule 
𝜕2𝑢
𝜕𝑠𝜕𝑡
 y 
𝜕2𝑢
𝜕𝑠2
. 
Solución. 
Por la Regla de la Cadena, se tiene que: 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑡
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑡
= − sen 𝑡 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ cos 𝑡 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑠
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑠
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑠
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 
De donde: 
 
𝜕2𝑢
𝜕𝑠𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑠
 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
 
= − sen 𝑡 
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝑠
− sen 𝑡 
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 ∙
𝜕𝑦
𝜕𝑠
+ cos 𝑡 
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝑠
+ cos 𝑡 
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 ∙
𝜕𝑦
𝜕𝑠
 
 = − sen 𝑡 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
− sen 𝑡 
𝜕2𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ cos 𝑡 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ cos 𝑡 
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
 
 
 
𝜕2𝑢
𝜕𝑠2
=
𝜕
𝜕𝑠
 
𝜕𝑢
𝜕𝑠
 
 =
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝑠
+
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 ∙
𝜕𝑦
𝜕𝑠
+
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝑠
+
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 ∙
𝜕𝑦
𝜕𝑠
 
 =
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
 
 =
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 2
𝜕2𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
 
Es decir: 
𝜕2𝑢
𝜕𝑠2
=
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 2
𝜕2𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
𝜕2𝑢
𝜕𝑠𝜕𝑡
= − sen 𝑡 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
− sen 𝑡 
𝜕2𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ cos 𝑡 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ cos 𝑡 
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
 
 
 
 
 
Problema 6. Sea 𝑣 = 𝑣 𝑟, 𝑠 , de clase 𝐶2 y considere el cambio de variables 𝑟 = 𝑥 + 𝑐𝑡, 
𝑠 = 𝑥 − 𝑐𝑡, donde 𝑐 es una constante real. Se define la función 𝑢 mediante la igualdad: 
𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑣 𝑥 + 𝑐𝑡, 𝑥 − 𝑐𝑡 
 a) Calcule las derivadas parciales 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
 y 
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
, en términos de las derivadas parciales de la función 
𝑣. 
 b) Pruebe que: 
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
− 𝑐2
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= 0 ⟺ −4
𝜕2𝑣
𝜕𝑟𝜕𝑠
= 0 
Solución. 
a) Notar que 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑣 𝑟, 𝑠 . Por la Regla de la Cadena se tiene: 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑟
∙
𝜕𝑟
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑠
∙
𝜕𝑠
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑟
+
𝜕𝑣
𝜕𝑠
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝜕𝑣
𝜕𝑟
∙
𝜕𝑟
𝜕𝑡
+
𝜕𝑣
𝜕𝑠
∙
𝜕𝑠
𝜕𝑡
= 𝑐
𝜕𝑣
𝜕𝑟
− 𝑐
𝜕𝑣
𝜕𝑠
 
De donde: 
 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
=
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 =
𝜕
𝜕𝑟
 
𝜕𝑣
𝜕𝑟
 
𝜕𝑟
𝜕𝑥+
𝜕
𝜕𝑠
 
𝜕𝑣
𝜕𝑟
 
𝜕𝑠
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑟
 
𝜕𝑣
𝜕𝑠
 
𝜕𝑟
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑠
 
𝜕𝑣
𝜕𝑠
 
𝜕𝑠
𝜕𝑥
 
 =
𝜕2𝑣
𝜕𝑟2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑠𝜕𝑟
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑟𝜕𝑠
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑠2
 
=
𝜕2𝑣
𝜕𝑟2
+ 2
𝜕2𝑣
𝜕𝑟𝜕𝑠
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑠2
 
 
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
=
𝜕
𝜕𝑡
 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
 = 𝑐
𝜕
𝜕𝑟
 
𝜕𝑣
𝜕𝑟
 
𝜕𝑟
𝜕𝑡
+ 𝑐
𝜕
𝜕𝑠
 
𝜕𝑣
𝜕𝑟
 
𝜕𝑠
𝜕𝑡
− 𝑐
𝜕
𝜕𝑟
 
𝜕𝑣
𝜕𝑠
 
𝜕𝑟
𝜕𝑡
− 𝑐
𝜕
𝜕𝑠
 
𝜕𝑣
𝜕𝑠
 
𝜕𝑠
𝜕𝑡
 
 = 𝑐2
𝜕2𝑣
𝜕𝑟2
− 𝑐2
𝜕2𝑣
𝜕𝑠𝜕𝑟
− 𝑐2
𝜕2𝑣
𝜕𝑟𝜕𝑠
+ 𝑐2
𝜕2𝑣
𝜕𝑠2
 
= 𝑐2
𝜕2𝑣
𝜕𝑟2
− 2𝑐2
𝜕2𝑣
𝜕𝑟𝜕𝑠
+ 𝑐2
𝜕2𝑣
𝜕𝑠2
 
b) Usando 𝑎 se tiene que: 
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
− 𝑐2
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= 0 ⟺ 𝑐2
𝜕2𝑣
𝜕𝑟2
− 2𝑐2
𝜕2𝑣
𝜕𝑟𝜕𝑠
+ 𝑐2
𝜕2𝑣
𝜕𝑠2
− 𝑐2
𝜕2𝑣
𝜕𝑟2
− 2𝑐2
𝜕2𝑣
𝜕𝑟𝜕𝑠
− 𝑐2
𝜕2𝑣
𝜕𝑠2
= 0 ⟺ −4
𝜕2𝑣
𝜕𝑟𝜕𝑠
= 0 
 
Problema 7. Consideremos la ecuación diferencial parcial: 
𝜕2𝑢
𝜕𝑟2
 𝑟,𝜃 +
1
𝑟2
∙
𝜕2𝑢
𝜕𝜃2
 𝑟,𝜃 +
1
𝑟
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑟
 𝑟,𝜃 = 0 
¿En qué se transforma la ecuación al hacer 𝑥 𝑟,𝜃 = 𝑟 cos𝜃 e 𝑦 𝑟,𝜃 = 𝑟 sen𝜃? 
Solución. 
Por la Regla de la Cadena tenemos que: 
𝜕𝑢
𝜕𝑟
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑟
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑟
= cos𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ sen𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑦
⋯ 1 
𝜕𝑢
𝜕𝜃
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
∙
𝜕𝑥
𝜕𝜃
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
∙
𝜕𝑦
𝜕𝜃
= −𝑟 sen𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑟 cos𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑦
⋯ 2 
De 1 tenemos que: 
 
𝜕2𝑢
𝜕𝑟2
=
𝜕
𝜕𝑟
 
𝜕𝑢
𝜕𝑟
 =
𝜕
𝜕𝑟
 cos𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ sen𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 
 = cos𝜃
𝜕
𝜕𝑟
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 + sen𝜃
𝜕
𝜕𝑟
 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 
 = cos𝜃 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑟
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑟
 + sen𝜃 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑟
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑟
 
 = cos𝜃 cos𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ sen𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
 + sen𝜃 cos𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ sen𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
 
 = cos2 𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ sen𝜃 cos𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ sen𝜃 cos𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ sen2 𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De 2 tenemos: 
 
𝜕2𝑢
𝜕𝜃2
=
𝜕
𝜕𝜃
 −𝑟 sen𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑟 cos𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 
 = −𝑟 cos𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑥
− 𝑟 sen𝜃
𝜕
𝜕𝜃
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 − 𝑟 sen𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑟 cos𝜃
𝜕
𝜕𝜃
 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 
 = −𝑟 cos𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑥
− 𝑟 sen𝜃 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
𝜕𝑥
𝜕𝜃
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝜃
 − 𝑟 sen𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑟 cos𝜃 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝜃
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
𝜕𝑦
𝜕𝜃
 
 = −𝑟 cos𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑥
− 𝑟 sen𝜃 −𝑟 sen𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝑟 cos𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
 − 𝑟 sen𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑟 cos𝜃 −𝑟 sen𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+
𝑟 cos𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
 
 = −𝑟 cos𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑟2 sen2 𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝑟2 sen𝜃 cos𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
− 𝑟 sen𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑦
− 𝑟2 sen𝜃 cos𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+
𝑟2 cos2 𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
 
Por lo tanto: 
1
𝑟
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑟
=
1
𝑟
∙ cos𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
1
𝑟
∙ sen𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑦
⋯ 3 
1
𝑟2
∙
𝜕2𝑢
𝜕𝜃2
= −
1
𝑟
∙ cos𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ sen2 𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ sen𝜃 cos𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
−
1
𝑟
∙ sen𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑦
− sen𝜃 cos𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ cos2 𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
⋯ 4 
𝜕2𝑢
𝜕𝑟2
= cos2 𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ sen𝜃 cos𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ sen𝜃 cos𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ sen2 𝜃
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
⋯ 5 
Reemplazando 3 , 4 y 5 en la E.D.P. se obtiene: 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 0 
 
 
 
 
 
Problema 8. Sea 𝑧 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ ; 𝑢, 𝑣 ⟼ 𝑧 𝑢, 𝑣 una función de clase 𝐶2, y sean 𝑢 𝑥,𝑦 = 𝑥 
y 𝑣 𝑥,𝑦 =
𝑦
𝑥
. Calcular: 
𝐸 = 𝑢
𝜕2𝑧
𝜕𝑢2
− 𝑣
𝜕2𝑧
𝜕𝑢𝜕𝑣
+
𝑣
𝑢
∙
𝜕𝑧
𝜕𝑣
 
Solución. 
Notar que: 
 
𝑢 = 𝑥
𝑣 =
𝑦
𝑥
 ⟺ 
𝑥 = 𝑢
𝑦 = 𝑢𝑣
 
Por la Regla de la Cadena se tiene: 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑣
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑣
= 𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 
De donde: 
 
𝜕2𝑧
𝜕𝑢2
=
𝜕
𝜕𝑢
 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
 =
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 
𝜕𝑦
𝜕𝑢
+ 𝑣
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+ 𝑣
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 
𝜕𝑦
𝜕𝑢
 
 =
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+ 𝑣
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝑣
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ 𝑣2
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
 
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+ 2𝑣
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ 𝑣2
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
 
𝜕2𝑧
𝜕𝑢𝜕𝑣
=
𝜕
𝜕𝑢
 
𝜕𝑧
𝜕𝑣
 =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑢
𝜕
𝜕𝑢
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 
 =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑢
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+ 𝑢
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 
𝜕𝑦
𝜕𝑢
 
 =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑢
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝑢𝑣
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
 
Reemplazando se tiene: 
𝐸 = 𝑢
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+ 2𝑢𝑣
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ 𝑢𝑣2
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
− 𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑦
− 𝑢𝑣
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
− 𝑢𝑣2
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
+ 𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑢
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+ 𝑢𝑣
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
= 𝑥
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+ 𝑦
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
 
 
Problema 9. Sean 𝑓 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ y 𝑔 ∶ ℝ3 ⟶ ℝ2 ,𝑔 = 𝑔1 ,𝑔2 , 𝑔1 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥
2 + 𝑦2 + 𝑧2, 
𝑔2 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 dos funciones diferenciables. Sea 𝑕 = 𝑓 𝑜 𝑔. Pruebe que: 
 ∇𝑕 2 = 4 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
 
2
𝑔1 + 4 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 𝑔2 + 3 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 
2
 
Solución. 
Sea 𝑔 = 𝑔1 ,𝑔2 = 𝑢, 𝑣 . Luego por la Regla de la Cadena se tiene que: 
𝜕𝑕
𝜕𝑥
=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑣
∙
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= 2𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑢
+
𝜕𝑓
𝜕𝑣
𝜕𝑕
𝜕𝑦
=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑓
𝜕𝑣
∙
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 2𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑢
+
𝜕𝑓
𝜕𝑣
𝜕𝑕
𝜕𝑧
=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑓
𝜕𝑣
∙
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= 2𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑢
+
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 
De donde: 
 ∇𝑕 𝑥,𝑦, 𝑧 2 = 
𝜕𝑕
𝜕𝑥
 𝑥,𝑦, 𝑧 
2
+ 
𝜕𝑕
𝜕𝑦
 𝑥,𝑦, 𝑧 
2
+ 
𝜕𝑕
𝜕𝑧
 𝑥,𝑦, 𝑧 
2
= 4𝑥2 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
 𝑢, 𝑣 
2
+ 4𝑥 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
 𝑢, 𝑣 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 𝑢, 𝑣 + 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 𝑢, 𝑣 
2
+ 4𝑦2 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
 𝑢, 𝑣 
2
+ 4𝑦 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
 𝑢, 𝑣 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 𝑢, 𝑣 + 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 𝑢, 𝑣 
2
+ 4𝑧2 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
 𝑢, 𝑣 
2
+ 4𝑧 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
 𝑢, 𝑣 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 𝑢, 𝑣 + 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 𝑢, 𝑣 
2
= 4 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
 𝑢, 𝑣 
2
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 4 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
 𝑢, 𝑣 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 𝑢, 𝑣 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 
+ 3 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 𝑢, 𝑣 
2
= 4 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
 𝑢, 𝑣 
2
𝑔1 𝑥,𝑦, 𝑧 + 4 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
 𝑢, 𝑣 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 𝑢, 𝑣 𝑔2 𝑥,𝑦, 𝑧 
+ 3 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 𝑢, 𝑣 
2
 
Lo que permite concluir que: 
 ∇𝑕 2 = 4 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
 
2
𝑔1 + 4 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 𝑔2 + 3 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 
2
 
AHN/ahn 
03/01/2014