Ejercicios de Cálculo 28 - Caleb Carballido Torres

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SEGUNDOSEMESTRE2019.
SOLUCIÓNPENDIENTEAYUDANT ÍA8
CALCULOII ? MAT1620
VicenteMerino-vamerino@uc.cl
4. Determinelaecuaci´ondelplanotangentealasuperficie
z =3 y2 − 2x2 + x
enelpunto(2 ,−1,−3)
Soluci´onEcuaci´ondelplanotangente:
z − z0 = fx(x0,y 0)(x− x0)+ fy(x0,y 0)(y − y0)
Paraestecasotenemosque
fx(x,y )= −4x+1 fx(2,−1)= −7
fy(x,y )=6 yf y(2,−1)= −6
Ecuaci´ondelplanotangente:
z +3= −7(x− 2)+ −6(y +1)
7x+6 y + z =5
5. Si z = f(x,y ),donde x = r cos θ y y = r sen θ,determine
∂2z
∂r∂θ
Regladelacadena:Si z = f(x,y )y x = g(s,t )y y = h(s,t )
∂z
∂s
=
∂z
∂x
∂x
∂s
+
∂z
∂y
∂y
∂s
∂z
∂t
=
∂z
∂x
∂x
∂t
+
∂z
∂y
∂y
∂t
Enestecasotenemosque
∂z
∂θ
=
∂z
∂x
∂x
∂θ
+
∂z
∂y
∂y
∂θ
Sabemosque
∂x
∂θ
= −r sen θ ∂y
∂θ
= r cos θ
1
 
 
Por lo tanto
∂z
∂θ
=
∂z
∂x
(−r sen θ) + ∂z
∂y
(r cos θ)
Ahora derivamos con respecto a r y usamos regla del producto en cada sumando
∂2z
∂r∂θ
=
∂
∂r
(
∂z
∂x
(−r sen θ) + ∂z
∂y
(r cos θ))
=
∂
∂r
(
∂z
∂x
)
(−r sen θ) + ∂z
∂x
(− sen θ) + ∂
∂r
(
∂z
∂y
)
(r cos θ) +
∂z
∂y
(cos θ) (1)
Ahora notemos que tanto
∂z
∂x
como
∂z
∂y
son en realidad funciones que tambien dependen
de r y θ, por lo que nuevamente debemos usar regla de la cadena para calcular sus
derivadas con respecto a θ, por lo tanto tenemos que
∂
∂r
(
∂z
∂x
)
=
∂
∂x
(
∂z
∂x
)
∂x
∂r
+
∂
∂y
(
∂z
∂x
)
∂y
∂r
Reemplazando en las derivadas xr, yr queda:
∂
∂r
(
∂z
∂x
)
=
∂2z
∂x
cos θ +
∂2z
∂y∂x
sen θ (2)
Análogamente, hacemos el mismo proceimiento con
∂z
∂y
∂
∂r
(
∂z
∂y
)
=
∂
∂x
(
∂z
∂y
)
∂x
∂r
+
∂
∂y
(
∂z
∂y
)
∂y
∂r
Reemplazando en las derivadas xr, yr queda:
∂
∂r
(
∂z
∂y
)
=
∂2z
∂x∂y
cos θ +
∂2z
∂y2
sen θ (3)
Ahora si juntamos (1), (2) y (3)
∂2
∂r∂θ
= − sen θ ∂z
∂x
+cos θ
∂z
∂y
−r sen θ cos θ ∂
2z
∂x2
+r sen θ cos θ
∂2z
∂y2
+r cos2 θ
∂2z
∂x∂y
−r sen2 θ ∂
2z
∂y∂x
Si asumimos que la función f(x, y) es de clase C2 (dos veces continuamente diferencia-
ble), entonces se cumple el teorema de Clairaut, y por lo tanto
∂2z
∂y∂x
=
∂2z
∂x∂y
se tiene
entonces que
∂2
∂r∂θ
= − sen θ ∂z
∂x
+cos θ
∂z
∂y
−r sen θ cos θ ∂
2z
∂x2
+r sen θ cos θ
∂2z
∂y2
+r(cos2 θ−sen2 θ) ∂
2z
∂y∂x
2