problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (616)

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15.4 Forma trigonométrica de los números complejos
b) De manera análoga
6
√
1⇔ z = 6
√
1(cos 0 + i sen 0)
=
6
√
1
(
cos
(
0
6
+
2kπ
6
)
+ i sen
(
0
6
+
2kπ
6
))
, (k = 0, 1, . . . , 5)
= cos
kπ
3
+ i sen
kπ
3
, (k = 0, 1, . . . , 5).
Dando a k los correspondientes valores,
k = 0⇒ w0 = cos 0 + i sen 0 = 1,
k = 1⇒ w1 = cos
π
3
+ i sen
π
3
=
1
2
+
√
3
2
i,
k = 2⇒ w2 = cos
2π
3
+ i sen
2π
3
= −1
2
+
√
3
2
i,
k = 3⇒ w2 = cosπ + i senπ = −1.
Como 6
√
1 son las ráıces del polinomio con coeficientes reales z6−1 las otras
dos ráıces han de ser las conjugadas de w1 y w2. En consecuencia, las ráıces
sextas de la unidad son
±1, 1
2
±
√
3
2
i, −1
2
±
√
3
2
i.
5. a) Usando la conocida fórmula de las ráıces enésimas de un número com-
plejo,
z6 + 1 = 0⇔ z6 = −1⇔ z = 6
√
−1⇔ z = 6
√
1(cosπ + i senπ)
=
6
√
1
(
cos
(
π
6
+
2kπ
6
)
+ i sen
(
π
6
+
2kπ
6
))
, (k = 0, 1, . . . , 5)
= cos
(
π
6
+
kπ
3
)
+ i sen
(
π
6
+
kπ
3
)
, (k = 0, 1, . . . , 5).
Dando a k los correspondientes valores,
k = 0⇒ w0 = cos
π
6
+ i sen
π
6
=
√
3
2
+
1
2
i,
k = 1⇒ w1 = cos
π
2
+ i sen
π
2
= i,
k = 2⇒ w2 = cos
5π
6
+ i sen
5π
6
= −
√
3
2
+
1
2
i.