Tema 29 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

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MATEMÁTICAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Identidades Trigonométricas
Una identidad es una ecuación que es válida para todos los
valores de las variables para los cuales están definidas las ex-
presiones involucradas en ella.
Ejemplo
La ecuación x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) es una identidad
porque es válida para todo x ∈ R.
La ecuación
1
x− 1
− 1
x+ 1
=
2
x2 − 1
es una identidad para
x 6= ±1, porque para esos valores están definidas las expre-
siones que aparecen en la igualdad.
La ecuación x2 − 1 = 0 no es una identidad, porque sólo es
válida para x = ±1.
Si una identidad contiene expresiones trigonométricas, se de-
nomina identidad trigonométrica.
Veremos inicialmente unas identidades trigonométricas
básicas, llamadas identidades trigonométricas fun-
damentales, que nos permiten expresar una función
trigonométrica en términos de las otras, simplificar expre-
siones trigonométricas y resolver ecuaciones trigonométricas.
Identidades Trigonométricas Fundamentales
• Identidades Rećıprocas
Se deducen directamente de la definición de las fun-
ciones trigonométricas:
sen t =
1
csc t
, csc t =
1
sen t
cos t =
1
sec t
, sec t =
1
cos t
tan t =
1
cot t
, cot t =
1
tan t
tan t =
sen t
cos t
, cot t =
cos t
sen t
• Identidades Pitagóricas
sen 2t+ cos2 t = 1
1 + tan2 t = sec2 t
1 + cot2 t = csc2 t
Prueba:
En la circunferencia unitaria consideremos un ángulo
en posición estándar cuya medida en radianes es t y sea
P = (x, y) el punto en el que el lado terminal del ángulo
t interseca la circunferencia unitaria.
Como sen t = y y cos t = x, por el Teorema de Pitágoras
sen 2t+ cos2 t = 1. (1)
Si en (1) dividimos ambos lados de la ecuación por
cos2 t, cos t 6= 0, obtenemos
sen 2t
cos2 t
+
cos2 t
cos2 t
=
1
cos2 t
⇒ tan2 t+ 1 = sec2 t.
Si en (1) dividimos ambos lados de la ecuación por
sen2 t, sen t 6= 0, obtenemos
sen 2t
sen2 t
+
cos2 t
sen2 t
=
1
sen2 t
⇒ 1 + cot2 t = csc2 t.
Simplificación de Expresiones Trigonométricas
Para simplificar expresiones trigonométricas, utilizamos las
mismas técnicas empleadas para simplificar expresiones alge-
braicas y las identidades trigonométricas fundamentales.
Ejemplo
Simplifique las siguientes expresiones trigonométricas:
1. cos3 x+ sen 2x · cosx
2.
1 + cotA
cscA
3.
sen y
cos y
+
cos y
1 + sen y
.
Solución
1. cos3 x+ sen 2x · cosx = cos2 x · cosx+ sen 2x · cosx
=
(
cos2 x+ sen 2x
)
cosx = 1 · cosx = cosx.
1
2.
1 + cotA
cscA
=
1 +
cosA
senA
1
senA
=
senA+ cosA
senA
1
senA
=
senA (senA+ cosA)
senA
= senA+ cosA.
Observación: En algunas casos es útil escribir la expresión
a simplificar en términos de las funciones seno y coseno, como
se hizo en el ejemplo anterior.
3.
sen y
cos y
+
cos y
1 + sen y
=
sen y (1 + sen y) + cos y · cos y
cos y (1 + sen y)
=
sen y + sen 2y + cos2 y
cos y (1 + sen y)
=
sen y + 1
cos y (1 + sen y)
=
1
cos y
= sec y.
Demostración de Identidades Trigonométricas
Además de las identidades trigonométricas fundamentales,
hay otras identidades importantes que se usan en otros cursos
de matemáticas y de f́ısica.
Dada una ecuación es fácil probar que no es una identidad,
hallando al menos un valor de la variable (o variables) para
el cual no se satisfaga la ecuación.
Ejemplo
Muestre que la ecuación senx+cosx = 1 no es una identidad
trigonométrica.
Solución
Para mostrar que senx+cosx = 1 no es una identidad, basta
encontrar un valor de x para el cual no se cumpla la ecuación.
Consideremos x =
π
4
: sen
π
4
=
√
2
2
y cos
π
4
=
√
2
2
. Luego,
sen
π
4
+ cos
π
4
=
√
2
2
+
√
2
2
=
√
2 6= 1.
Como senx y cosx están definidas para todo x ∈ R y x = π
4
no satisface la ecuación, entonces senx+ cosx = 1 no es una
identidad.
Ejemplo
Demuestre que la ecuación tanx+ 1 = 2 no es una identidad.
Solución
Consideremos x =
π
6
:
tan
π
6
=
sen
π
6
cos
π
6
=
1
2√
3
2
=
1√
3
y tan
π
6
+ 1 =
1√
3
+ 1 6= 2.
Luego, tanx+ 1 = 2 no es una identidad.
¿Cómo probar que una Ecuación es una Identidad?
Para probar que una ecuación es una identidad
trigonométrica, debemos elegir un lado de la ecuación y
transformarlo, usando identidades conocidas y operaciones
algebraicas, hasta obtener el otro lado de la ecuación.
Algunas sugerencias para realizar este trabajo son:
• Escoger el lado “más complicado” de la ecuación para
ser transformardo.
• Realizar operaciones algebraicas como sumar o restar
fracciones, o expresar una fracción como una suma de
fracciones, o factorizar numerador o denominador de
una fracción, entre otras.
• Tener en cuenta la expresión del lado de la ecuación al
cual se quiere llegar ya que ésta le puede sugerir el paso
siguiente.
• En algunos casos, es útil expresar el lado de la ecuación
a transformar en términos de seno y coseno, usando las
identidades fundamentales.
Otro método para probar que una ecuación es una identi-
dad, es transformar ambos lados por separado hasta obtener
en cada lado la misma expresión. En este caso no necesari-
amente realizamos las mismas operaciones en ambos lados,
sino que trabajamos independientemente en cada lado hasta
obtener el mismo resultado en ambos lados.
Ejemplo
Pruebe las siguientes identidades trigonométricas:
1.
1 + sec2 x
1 + tan2 x
= 1 + cos2 x
2. 2 tanx secx =
1
1− senx
− 1
1 + senx
3.
1 + cosx
cosx
=
tan2 x
secx− 1
.
Solución
1. Transformemos el lado izquierdo de la ecuación:
1 + sec2 x
1 + tan2 x
=
1 + sec2 x
sec2 x
=
1
sec2 x
+
sec2 x
sec2 x
= cos2 +1
= 1 + cos2 x.
Luego,
1 + sec2 x
1 + tan2 x
= 1 + cos2 x es una identidad
trigonométrica.
2. Escojamos el lado derecho:
1
1− senx
− 1
1 + senx
=
1 + senx− (1− senx)
(1− senx) (1 + senx)
=
2 senx
12 − sen 2x
=
2 senx
cos2 x
= 2
senx
cosx
· 1
cosx
= 2 tanx secx.
Luego, la ecuación dada es una identidad
trigonométrica.
2
3. Trabajemos con ambos lados separadamente:
Lado izquierdo:
1 + cosx
cosx
=
1
cosx
+
cosx
cosx
= secx+ 1.
Lado derecho:
tan2 x
secx− 1
=
sec2 x− 1
secx− 1
=
(secx+ 1) (secx− 1)
secx− 1
= secx+ 1.
Como al transformar cada lado de la ecuación se obtiene
la misma expresión, la ecuación dada es una identidad.
Otras identidades trigonométricas importantes
Existen otras identidades trigonométricas importantes que in-
volucran más de un ángulo o múltiplos de un ángulo.
Fórmulas de Adición y Sustracción
1. sen (s+ t) = sen s cos t+ cos s sen t
cos (s+ t) = cos s cos t− sin s sin t
tan (s+ t) =
tan s+ tan t
1− tan s tan t
.
Prueba
Las fórmulas para seno y coseno de la suma de ángulos
se deducen de la siguiente gráfica
tan (s+ t) =
sen(s+ t)
cos(s+ t)
=
sen s cos t+ cos s sen t
cos s cos t− sin s sin t
=
sen s cos t
cos s cos t
+
cos s sen t
cos s cos t
cos s cos t
cos s cos t
− sin s sin t
cos s cos t
=
tan s+ tan t
1− tan s tan t
.
2. sen (s− t) = sen s cos t− cos s sen t
cos (s− t) = cos s cos t+ sin s sin t
tan (s− t) = tan s− tan t
1 + tan s tan t
.
Prueba
Las fórmulas para seno y coseno de la diferen-
cia de ángulos se obtienen escribiendo sen (s− t) =
sen (s+ (−t)) y cos (s− t) = cos (s+ (−t)) y teniendo
en cuenta que sen (−t) = − sen t y cos (−t) = cos t.
Tarea
Use el hecho de que s − t = s + (−t) para probar la fórmula
de la tangente de la diferencia s− t.
Ejemplo
Calcule el valor exacto de las siguientes expresiones, sin em-
plear calculadora:
1. cos (20o) cos (70o)− sen (20o) sen (70o)
2. tan
7π
12
.
Solución
1. cos (20o) cos (70o)− sen (20o) sen (70o)
= cos (20o + 70o) = cos (90o) = 0.
2. tan
7π
12
= tan
(
3π
12
+
4π
12
)
= tan
(π
4
+
π
3
)
=
tan
π
4
+ tan
π
3
1− tan π
4
tan
π
3
=
1 +
√
3
1− 1 ·
√
3
=
1 +
√
3
1−
√
3
.
Ejemplo
Demuestre las siguientes identidades trigonométricas:
1. sec
(π
2
− x
)
= cscx
2. 1− tanx tan y = cos (x+ y)
cosx cos y
.
Solución
1. Transformemos el izquierdo:
sec
(π
2
− x
)
=
1
cos
(π
2
− x
)
=
1
cosπ
2
cosx+ sen
π
2
senx
=
1
0 · cosx+ 1 · senx
=
1
senx
= cscx.
2. Transformemos el lado derecho:
cos (x+ y)
cosx cos y
=
cosx cos y − senx sen y
cosx cos y
=
cosx cos y
cosx cos y
− senx sen y
cosx cos y
= 1− senx sen y
cosx cos y
= 1− senx
cosx
· sen y
cos y
= 1− tanx tan y.
3
Expresiones de la forma A senx+B cosx
Las expresiones de la forma A senx+B cosx siempre pueden
escribirse en la forma k sen (x+ φ) ó k cos (x+ φ).
Veamos:
Ejemplo
Exprese
1
2
senx+
√
3
2
cosx en la forma k cos (x+ φ).
Solución
k cos (x+ φ) = k [cosx cosφ− senx senφ]
= k cosx cosφ− k senx senφ
= (−k senφ) senx+ (k cosφ) cosx.
Para que se cumpla la igualdad es necesario que
−k senφ = 1
2
y que k cosφ =
√
3
2
.
Elevando al cuadrado ambas expresiones:
k2 sen 2φ =
1
4
y k2 cos2 φ =
3
4
.
Ahora, sumando:
k2 sen 2φ+ k2 cos2 φ =
1
4
+
3
4
k2
(
sen 2φ+ cos2 φ
)
=
4
4
= 1
k2 · 1 = 1
k = 1.
De esta forma:
−k senφ = 1
2
⇒ −1 senφ = 1
2
⇒ senφ = −1
2
k cosφ =
√
3
2
⇒ 1 cosφ =
√
3
2
⇒ cosφ =
√
3
2
.
Como senφ < 0 y cosφ > 0, φ se encuentra en el IV cua-
drante. Por lo tanto, tenemos que φ = −π
6
.
Aśı,
1
2
senx+
√
3
2
cosx = 1 cos
(
x+
(
−π
6
))
= cos
(
x− π
6
)
Fórmulas para el Ángulo Doble
A partir de las fórmulas de adición y sustracción, es fácil pro-
bar las siguientes fórmulas para el ángulo doble:
sen(2x) = 2 senx cosx
cos(2x) = cos2 x− sen 2x
tan(2x) =
2 tanx
1− tan2 x
.
En efecto, sen(2x) = sen (x+ x) = senx cosx+ senx cosx =
2 senx cosx.
Ejercicio
Demuestre las fórmulas para el coseno y la tangente del ángulo
doble.
Ejemplo
Pruebe las siguientes identidades:
1. sen2 x =
1− cos(2x)
2
2. cos2 x =
1 + cos(2x)
2
.
Solución
1. cos(2x) = cos2 x− sen 2x
cos(2x) = 1− sen 2x− sen 2x
cos(2x) = 1− 2 sen 2x
2 sen2 x = 1− cos(2x)
sen 2x =
1− cos(2x)
2
.
2. cos(2x) = cos2 x− sen 2x
cos(2x) = cos2 x−
(
1− cos2 x
)
cos(2x) = 2 cos2 x− 1
cos2 x =
1 + cos(2x)
2
.
Fórmulas para el Semiángulo o Ángulo Medio
sen
u
2
= ±
√
1− cosu
2
cos
u
2
= ±
√
1 + cosu
2
tan
u
2
=
1− cosu
sinu
ó tan
u
2
=
senu
1 + cosu
.
En las dos primeras fórmulas la elección del signo + ó − de-
pende del cuadrante en el que se encuentre
u
2
.
Las demostraciones de estas fórmulas se obtienen a partir de
los resultados del ejemplo anterior, haciendo x =
u
2
.
En efecto, usando el resultado del numeral 2 del ejemplo an-
terior, haciendo x =
u
2
, tenemos:
sen2
u
2
=
1− cosu
2
.
4
Luego
sen
u
2
= ±
√
1− cosu
2
.
Ejemplo
Calcule el valor exacto de cos(22.5o).
Solución
cos (22.5o) = cos
(
45o
2
)
= ±
√
1 + cos 45o
2
.
Como 22.5o está en el primer cuadrante, elegimos el signo +:
cos (22.5o) =
√
1 + cos 45o
2
=
√√√√1 + √2
2
2
=
√√√√ 2 +√2
2
2
=
√
2 +
√
2
4
=
√
2 +
√
2
2
.
Ejercicio
Pruebe las siguientes identidades:
• senu cosu = 1
2
[sen (u+ v) + sen (u− v)]
• senu senu = 1
2
[cos (u− v)− cos (u+ v)].
5