Copia de 5,1 SEMANA C T VF 2021-II - BYRON DAVID CEVALLOS TRUJILLO

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CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
PRE 2021-II
5.1 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I
05
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 
Definición:
Es aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen del sistema
cartesiano y la longitud de su radio es igual a la unidad del sistema.
Se denomina también circunferencia unitaria.
En la figura:
X
Y
A
B
A′
B′
O
1u
CT
x2 + y2 = 1
Reconocemos:
A(1; 0): Origen de arcosM
M(x; y): Extremo del arco AM
B(0; 1): Origen de complementos de arcos
A′(−1; 0): Origen de suplementos de arcos
B′(0; −1): Ningún nombre en particular
Razones trigonométricas de números reales
Las razones trigonométricas de un número real θ son iguales a las
razones trigonométricas de un ángulo de medida θrad; siempre que
dicha razón trigonométrica se encuentre definida.
En la circunferencia trigonométrica mostrada:
X
Y
A
B
A′
B′
O
1u
CT
M
1u
θrad
𝛉
RT θ = RT θrad
De esta manera, por ejemplo:
∗ sen 2 = sen(2rad)
∗ cos 3 = cos(3rad)
∗ tan
πrad
4
= tan(
π
4
)
X
Y
A
B
A′
B′
O
Ubicación de números reales en la circunferencia trigonométrica
Para ubicar números reales en la circunferencia trigonométrica
(C.T) se dibuja una recta numérica tangente a la C.T en el origen de
arcos A y luego se procede a “envolver” esta recta numérica a la C.T
como se muestra en la figura adjunta:
𝟏
𝟎
𝟐
X
Y
A
B
A′
B′
O
0
1
2
5
−1−2
Y
X
Y
X
Veamos la animación:
X
Y
0°
90°
180°
270°
O 360°
Ubicaciones importantes en la circunferencia trigonométrica:
II. Números enteros:I. Arcos expresados en grados sexagesimales:
Las referencias más importantes son:
𝟒𝟓°
𝟐𝟐𝟓°
𝟏𝟑𝟓°
𝟑𝟏𝟓°
Las referencias más importantes son:
X
Y
O
𝟎
𝛑/𝟐
𝛑
𝟑𝛑/𝟐
𝟐𝛑
≈ 1,57
3,14 ≈
≈ 4,71
≈ 6,28
𝟏𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
𝟔
III. Arcos cuadrantales y sus coterminales:
X
Y
A
B
A′
B′
O
En la circunferencia trigonométrica mostrada:
Los arcos con extremos en: ∀ k ∈ ℤ
A:
A′:
kπ
B:
B′:
(2k + 1)π
2
kπ
2
2kπ
(2k + 1)π
(4k + 1)π
2
(4k + 3)π
2
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS 
Definición:
Son segmentos dirigidos que representan los valores numéricos de las
razones trigonométricas de un ángulo o de un número real, siempre que
la razón trigonométrica se encuentre definida.
Cada razón trigonométrica tiene su propia línea trigonométrica, así que
debemos estudiar seis líneas trigonométricas.
Estas líneas trigonométricas se asociarán a las coordenadas de un
punto, el cual se determinará por la forma particular en que se define
cada línea.
Línea trigonométrica seno
El seno de un ángulo o número real, viene dado por la ordenada del
extremo del arco asociado a dicho ángulo o número real.
En la circunferencia trigonométrica mostrada:
X
Y
A
B
A′
B′
O
θrad
𝛉
M(x; y)
1
Para el ángulo canónico que mide θrad:
sen θrad =
y
1
sen(θ)
∴ sen θ = y
P
PM = sen(θ)
Consideración:
Para todo θ ∈ ℝ: sen(θ) se encuentra definido
Longitud de PM:
Observe los segmentos dirigidos asociados al seno de cada arco:
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
𝛂
P
sen(α)
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
𝛃
P
sen(β)
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
𝛍
P
sen(μ)
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
𝛚
P
sen(ω)
PM = sen(α)
PM = sen(β)
PM = sen(μ)
PM = sen(ω)
Después de proyectar el extremo del
arco sobre el eje de abscisas, el
segmento orientado, definido desde
el pie de la proyección al extremo
del arco, es la línea trigonométrica
seno de dicho arco.
X
Y
A
B
A′
B′
O
Variación de la línea trigonométrica seno:
𝟎
𝟏
𝟎
−𝟏
Podemos observar que:
∀ θ ∈ ℛ:−1 ≤ sen(θ) ≤ 1
∀ θ ∈ ℛ: 0 ≤ sen2(θ) ≤ 1
Esto significa que:
∀ θ ∈ ℛ: sen θ
máximo
= 1
∀ θ ∈ ℛ: sen θ
mínimo
= −1
En el recorrido 0; 2π : 0 ≤ θ ≤
π
2
⇒ 0 ≤ sen(θ) ≤ 1
𝜋
2
≤ θ ≤ π ⇒ 0 ≤ sen(θ) ≤ 1
π ≤ θ ≤
3π
2
⇒ −1 ≤ sen(θ) ≤ 0
3𝜋
2
≤ θ ≤ 2π ⇒ −1 ≤ sen(θ) ≤ 0
APLICACIÓN 01:
Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en cada caso:
A) VFV B) VFF C) VVF D) FFV E) FVF
I. sen 140° > sen(160°)
II. sen 220° > sen(250°)
III. sen(290°) < sen(310°)
RESOLUCIÓN:
Ubicando en la CT:
X
Y
A
B
A′
B′
O
140°
160°
I. sen 140° > sen(160°) … (V)
220°
250°
II. sen 220° > sen(250°) …(V)
290°
310°
III. sen(290°) < sen(310°) …(F)
Finalmente: VVF CLAVE: C
APLICACIÓN 02:
En la circunferencia trigonométrica
mostrada, exprese el área de la región
cuadrangular AMA’B en términos de
θ.
A) 0,5(1 + sen θ ) B) 0,5 1 − sen θ
C) 1 + sen(θ) D) 1 − sen(θ)
E) 2(1 − sen θ )
X
Y
A
B
A′
B′
O
θ
M
RESOLUCIÓN:
En los problemas de cálculo de áreas o longitudes, es común utilizar
líneas trigonométricas. Según el criterio a utilizar deben cuidar que las
líneas a utilizar tengan longitud positiva.
En la CT adjunta podemos notar que:
X
Y
A
B
A′
B′
O
θ
M
SAMA′B = SAA′B + SMA′A…(1)
1
1
1
sen(θ)
SAA′B =
(A′A)(OB)
2
=
(2)(1)
2
= 1
P
SMA′A =
(A′A)(MP)
2
=
(2)(−sen(θ))
2
= −sen(θ)
En (1): SAMA′B = 1 + (−sen θ )
Finalmente:
SAMA′B = 1 − sen(θ) CLAVE: D
APLICACIÓN 03:
Calcule el valor máximo de: 1 − sen(θ) 3 + 2sen(θ) ; si θ ∈ ℛ
A) 25/16 B) 15/8 C) 25/8 D) 15/4 E) 35/8
RESOLUCIÓN:
Sea k la expresión: k = 1 − sen(θ) 3 + 2sen(θ)
k =
1
2
2 − 2sen(θ) 3 + 2sen(θ)
a b
Notemos que:k =
1
2
(ab) ; k ⇝ máximo
Pero: a + b = 5⇒ (ab)máximo=
52
4
=
25
4
Finalmente:
kmáximo = 25/8 CLAVE: C
Cuando: a = b =
5
2
2 − 2sen θ = 3 + 2sen(θ)
⇒ sen θ = −
1
4
∈ −1; 1
APLICACIÓN 04:
Determine la variación de: 1 − 2sen(θ) 1 + sen(θ) ;
A) −1; 1 B) −
1
4
; 1 C) −
5
4
; 2 D) −2;
5
4
E) −2; 1
si 0 ≤ θ ≤
π
2
RESOLUCIÓN:
Sea k la expresión:
k = 1 − 2sen(θ) 1 + sen(θ)
k = 1 − sen θ − 2sen2(θ)
Desarrollando:
k = 1 − 2 sen2 θ +
1
2
sen(θ)
k = 1 − 2 sen2 θ +
1
2
sen θ +
1
16
+
1
8
k =
9
8
− 2 sen θ +
1
4
2
…(1)
Pero de lo visto en la variación de la LT seno:
0 ≤ θ ≤
π
2
⇒ 0 ≤ sen(θ) ≤ 1
Entonces a partir de: 0 ≤ sen(θ) ≤ 1
Hallaremos la variación de: k =
9
8
− 2 sen θ +
1
4
2
…(1)
0 ≤ sen(θ) ≤ 1 ⇒
1
4
≤ sen θ +
1
4
≤
5
4
⇒
1
16
≤ sen θ +
1
4
2
≤
25
16
⇒ −
1
8
≥ −2 sen θ +
1
4
2
≥ −
25
8
⇒ −
1
8
+
9
8
≥
9
8
− 2 sen θ +
1
4
2
≥ −
25
8
+
9
8
k
⇒ 1 ≥ k ≥ −2
Finalmente: k ∈ −2; 1 CLAVE: E
Línea trigonométrica coseno
El coseno de un ángulo o número real, viene dado por la abscisa del
extremo del arco asociado a dicho ángulo o número real.
En la circunferencia trigonométrica mostrada:
X
Y
A
B
A′
B′
O
θrad
𝛉
M(x; y)
1
Para el ángulo canónico que mide θrad:
cos θrad =
x
1 ∴ cos θ = x
Q
cos(θ)
QM = cos(θ)Longitud de QM:
Consideración:
Para todo θ ∈ ℝ: cos(θ) se encuentra definido
Observe los segmentos dirigidos asociados al coseno de cada arco:
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
𝛂
Q
cos(α)
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
𝛃
Q
cos(β) X
Y
A
B
A′
B′
O
M
𝛍
Q
cos(μ)
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
𝛚
Q
cos(ω)
QM = cos(α)
QM = cos(β) QM = cos(μ)
QM = cos(ω)
Después de proyectar el extremo del
arco sobre el eje de ordenadas, el
segmento orientado, definido desde
el pie de la proyección al extremo
del arco, es la línea trigonométrica
coseno de dicho arco.
Variación de la línea trigonométrica coseno:
En el recorrido 0; 2π :
X
Y
A
B
A′
B′
O 𝟏
𝟎
−𝟏
𝟎
Podemos observar que:
∀ θ ∈ ℛ:−1 ≤ cos(θ) ≤ 1
∀ θ ∈ ℛ: 0 ≤ cos2(θ) ≤ 1
Esto significa que:
∀ θ ∈ ℛ: cos θ
máximo
= 1
∀ θ ∈ ℛ: cos θ
mínimo
= −1
0 ≤ θ ≤
π
2
⇒ 0 ≤ cos(θ) ≤ 1
𝜋
2
≤ θ ≤ π ⇒ −1 ≤ cos(θ) ≤ 0
π ≤ θ ≤
3𝜋
2
⇒ −1 ≤ cos(θ) ≤ 0
3𝜋
2
≤ θ ≤ 2π ⇒ 0 ≤ cos(θ) ≤ 1
APLICACIÓN 05:
Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en cada caso:
A) VFV B) VFF C) VVF D) FFV E) FVF
I. cos 1 > cos(6) II. cos 2 > cos(3) III. cos(3) < cos(4)
RESOLUCIÓN:
Ubicando en la CT:
𝟎
𝛑/𝟐
𝛑
X
Y
O
𝟑𝛑/𝟐
𝟐𝛑
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟔
I. cos 1 > cos(6) …(F)
II. cos 2 > cos(3) … (V)
III. cos(3) < cos(4) … (F)
Finalmente: FVF
CLAVE: E
APLICACIÓN 06:
En la circunferencia trigonométrica
mostrada, exprese el área de la región
triangular AOP en términos de θ.
X
Y
A
B
A′
B′
O
θ
M
P
A)
sen(θ)2 cos θ − 1
B)
−sen(θ)
2 1 + cos(θ)
C)
sen(θ)
cos θ − 1
D)
−sen(θ)
1 + cos(θ)
E)
−sen(θ)
2 − cos(θ)
RESOLUCIÓN:
Se debe tener cuidado con los signos de las líneas trigonométricas a
utilizar y se debe considerar que la semejanza de triángulos es una
herramienta muy útil para calcular longitudes desconocidas…veamos…
En la circunferencia trigonométrica:
X
Y
A
B
A′
B′
O
θ
M
P
1
SAOP =
(OA)(OP)
2
=
(1)(OP)
2
=
OP
2
… (1)
Q
sen(θ)
cos(θ)
cos(θ)De los trazos realizados:
⊿AQM~⊿AOP:
OP
OA
=
MQ
AQ
⇒
OP
1
=
sen(θ)
1 + cos(θ)
=
−sen(θ)
1 − cos(θ)
⇒ OP =
−sen(θ)
1 − cos(θ)
En (1): SAOP =
1
2
sen(θ)
cos θ − 1
Finalmente: SAOP =
sen(θ)
2(cos θ − 1)
CLAVE: A
APLICACIÓN 07:
Determine la variación de: 5 − 6cos 2θ −
𝜋
3
;
A) 4; 11 B) 6; 11 C) 8; 11 D) 5; 12 E) 6; 13
si
π
2
≤ θ <
13π
18
RESOLUCIÓN:
Sea la expresión: k = 5 − 6cos 2θ −
π
3
Partimos de:
π
2
≤ θ <
13π
18
⇒ π ≤ 2θ <
13π
9
⇒ π −
π
3
≤ 2θ −
π
3
<
13π
9
−
π
3
2π
3
≤ 2θ −
π
3
<
10π
9
En la CT:
X
Y
A
B
A′
B′
O
2π
3
10π
9
−1/2
−1
cos(
10π
9
)
Tenemos: −1 ≤ cos 2θ −
π
3
≤ −
1
2
11 ≥ 5 − 6cos 2θ −
π
3
≥ 8
k
Finalmente: k ∈ 8; 11 CLAVE: C
Consideración:
Las coordenadas del extremo M de un arco θ en una circunferencia
trigonométrica, dibujado a partir del origen de arcos A; siempre es de la
forma cos θ ; sen(θ) ; cualquiera sea la ubicación de dicho extremo.
En la circunferencia trigonométrica mostrada:
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
𝛂
sen(α)
cos(α)
cos α ; sen(α)
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
𝛃
sen(β)
cos(β)
cos β ; sen(β)
Modificaciones del extremo de un arco, por rotaciones y simetrías:
Dado un arco θ dibujado en la circunferencia trigonométrica a partir del origen 
de arcos A:
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
θ
N
cos θ ; sen(θ)
−sen θ ; cos(θ)
P−cos θ ; −sen(θ)
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
θ
R
S
cos θ ; sen(θ)− cos θ ; sen(θ)
cos θ ;−sen(θ)
APLICACIÓN 08:
En la circunferencia trigonométrica
mostrada, exprese el área de la región
triangular MB’A en términos de θ.
A)
1 − sen θ + cos(θ)
2
B)
1 − sen θ − cos(θ)
2
C)
sen θ − cos(θ)
2
D)
cos θ − sen(θ)
2
E)
1 + sen θ − cos(θ)
2
X
Y
A
B
A′
B′
O
θ
M
RESOLUCIÓN:
Esta es un aplicación para calcular el área de una región, pero
utilizando las coordenadas de los vértices…veamos…
X
Y
A
B
A′
B′
O
θM
En la figura, reconocemos las coordenadas de 
los vértices del triángulo:
M cos θ ; sen θ ,
(cos θ ; sen θ )
B′ 0;−1 ,
(0;−1)
A(1; 0)
(1; 0)Construimos el arreglo:
1 0
cos(θ) sen(θ)
0 −1
1 0
sen(θ)
−cos(θ)
0
0
0
−1
(+)
sen θ − cos(θ)
(+)
−1
Luego: SMB′A =
sen θ − cos θ − (−1)
2
Finalmente:
SMB′A =
1 + sen θ − cos(θ)
2
CLAVE: E
Línea trigonométrica tangente
La tangente de un ángulo o número real, viene dado por la ordenada del
punto de intersección de la prolongación del radio que pasa por el
extremo del arco asociado a dicho ángulo o número real; y la recta
tangente a la circunferencia trigonométrica en el origen de arcos A.
En la circunferencia trigonométrica mostrada:
X
Y
A
B
A′
B′
O
𝛉
θrad
M
𝟏
T(1; y)
(0; 0)
Sabemos que: tan θrad = mOT =
y − 0
1 − 0
=
y
1
tan(θ)
∴ tan θ = y
AT = tan(θ)Longitud de AT:
Observación:
Para los arcos cuyo extremo coincida con B o B’, es decir para 
arcos coterminales con π/2 y 3π/2; la razón trigonométrica 
tangente no está definida.
X
Y
A
B
A′
B′
O
Consideración:
Para todo θ ∈ ℛ −
2k+1 π
2
; k ∈ ℤ , tan(θ) si 
está definida.
Para los arcos de la forma 
(2k+1)π
2
; k ∈ ℤ , la 
tangente no está definida.
Observe los segmentos dirigidos asociados a la tangente de cada arco:
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
𝛂
T(1; tan α )
𝟏 X
Y
A
B
A′
B′
O
M
𝛃
T (1; tan β )
𝟏 X
Y
A
B
A′
B′
O
M
𝛍
T(1; tan μ )
𝟏
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
𝛚 T(1; tan ω )
𝟏
AT = tan(α)
AT = tan(β) AT = tan(μ)
AT = tan(ω)
El segmento orientado, definido desde
el origen de arcos al punto de
intersección de la prolongación del
radio y la recta tangente a la CT, es la
línea trigonométrica tangente del
arco considerado.
Variación de la línea trigonométrica tangente:
X
Y
A
B
A′
B′
O
𝟎
En el recorrido 0; 2π :
Podemos observar que:
∀ θ ∈ ℛ −
2k + 1 π
2
; k ∈ ℤ :−∞ < tan θ < +∞
∀ θ ∈ ℛ −
2k + 1 π
2
; k ∈ ℤ : tan2 θ ≥ 0
Esto significa que:
∀ θ ∈ ℛ −
2k + 1 π
2
; k ∈ ℤ
tan θ no tiene máximo ni mínimo
0 ≤ θ <
π
2
⇒ 0 ≤ tan θ < +∞
𝜋
2
< θ ≤ 𝜋 ⇒ −∞ < tan θ ≤ 0
π ≤ θ <
3π
2
⇒ 0 ≤ tan θ < +∞
3𝜋
2
< θ ≤ 2𝜋 ⇒ −∞ < tan θ ≤ 0
APLICACIÓN 08:
Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en cada caso:
A) VFV B) VFF C) VVF D) FFV E) FVF
I.
π
2
< α < β < π ⇒ tan α < tan(β)
II.
3π
2
< α < β < 2π ⇒ tan(α) < tan(β)
III. 2 < α < β < 4 ⇒ tan α − tan(β) = tan β − tan(α)
RESOLUCIÓN:
En este caso tendremos que analizar cada caso en una circunferencia
trigonométrica, respetando los intervalos donde se deben realizar las
comparaciones…veamos…
Veamos cada proposición:
I.
π
2
< α < β < π ⇒ tan α < tan(β)
En la circunferencia trigonométrica:
X
Y
A
π/2
π O
α
β
P(1; tan α )
Q(1; tan β )
Notamos que:
tan α < tan β ⇒ I: (V)
II.
3π
2
< α < β < 2π ⇒ tan(α) < tan(β)
En la circunferencia
trigonométrica:
X
Y
2π
3π/2
π O
0
π/2
α
β
P(1; tan α )
Q(1; tan β )
Notamos que:
tan(α) > tan(β) ⇒ II: (F)
III. 2 < α < β < 4 ⇒ tan α − tan(β) = tan β − tan(α)
En la circunferencia trigonométrica, veremos tres posibilidades:
X
Y
A
π/22
O
4
X
Y
A
π/22
O
4
α
β
α
β
X
Y
A
π/22
O
4
α
β
P(1; tan α )
Q(1; tan β )
P(1; tan α )
Q(1; tan β )
P(1; tan α )
Q(1; tan β )
En todos ellos se cumple: tan α < tan β ⇒ tan α − tan β < 0
⇒ tan α − tan(β) = − tan α − tan β = tan β − tan α ⇒ III: (V)
Finalmente: VFV CLAVE: A
APLICACIÓN 09:
En la circunferencia trigonométrica
mostrada, exprese el área de la región
triangular OO’T en términos de θ; si O’ es
centro de la circunferencia inscrita en el
sector AOB.
A)
1 − 2 tan(θ)
2
B) −
2 + 1 tan(θ)
2
C)
2 + 1 tan θ − 1
2
D)
2 − 1 1 − tan(θ)
2
E) −
2 − 1 tan θ
2
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
θ
T
P
Q
T
O′
RESOLUCIÓN:
En la C.T podemos notar que:
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
θ
T
P
Q
T
O′
T 1; tan(θ)
1; tan(θ)
O′ r; r
r
r r; r
0; 0
El área de la región triangular OO’T es:
SOO′T =
r tan(θ) − r 1
2
SOO′T =
r tan θ − 1
2
…(1)
Pero: OT = OO′ + O′T ⇒ 1 = r 2 + r
⇒ 1 = r( 2 + 1)⇒ r = 2 − 1
En (1): SOO′T =
2 − 1 tan θ − 1
2
SOO′T =
2 − 1 tan θ − 1
2
Como: tan θ < 0 ⇒ tan θ − 1 = 1 − tan(θ)
Finalmente:
SOO′T =
2 − 1 1 − tan(θ)
2
CLAVE: D
APLICACIÓN 10:
Determine la variación de:
A) 2; 3 B) 2; 4 C) 2; 5 D) 2; 6 E) 2; 7
3 tan
πsen(θ)
4
+ 2; θ ∈ ℛ
RESOLUCIÓN:
Sea la expresión: k = 3 tan
πsen(θ)
4
+ 2
Como θ ∈ ℛ: −1 ≤ sen(θ) ≤ 1 ⇒ −
π
4
≤
πsen(θ)
4
≤
π
4 X
Y
A
B
A′
B′
O
−𝝅/𝟒
𝝅/𝟒
(𝟏;−𝟏)
(𝟏; 𝟏)
⇒ −1 ≤ tan
πsen(θ)
4
≤ 1 ⇒ 0 ≤ tan
πsen(θ)
4
≤ 1
⇒ 2 ≤ 3 tan
πsen θ
4
+ 2 ≤ 5 Finalmente:
k
k ∈ 2; 5
CLAVE: C
PROBLEMA 01:
Simplifica
:
A) − 2sen(3) B) − 2sen(4) C) 0 D) 2sen(3) E) 2sen(4)
sen2 3 + sen2 4 + 2sen 3 sen(4) + sen(3) + sen(4)
RESOLUCIÓN:
Sea la expresión:k = sen2 3 + sen2 4 + 2sen 3 sen(4) + sen(3) + sen(4)
⇒ k = sen 3 + sen(4) 2 + sen(3) + sen(4)
⇒ k = sen 3 + sen(4) + sen(3) + sen(4)
X
Y
A
B
A′
B′
O
3
4
sen(3)
sen(4)
En la C.T:
sen 3 < sen(4) ⇒ sen 3 < −sen 4 ⇒ sen 3 + sen 4 < 0
Entonces: k = − sen 3 + sen 4 + sen 3 − sen(4)
Finalmente: k = −2sen(4) CLAVE: B
PROBLEMA 02:
Sabiendo que:
A)VFV B) FVF C) VVF D) FFV E) FVV
Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en cada caso:
π
2
< a < b < π
I. cos a < cos(b) II. cos
a + b
2
< cos(b) III. cos
a + b
2
> cos(a)
RESOLUCIÓN:
En la C.T utilizamos líneas
trigonométricas:
X
Y
A
π/2
π
B′
O
𝐚
𝐛
cos(a)
cos(b)I. cos a < cos(b) … (F)
𝐚 + 𝐛
𝟐 cos(
a + b
2
)
II. cos
a + b
2
< cos(b)… (F)
III. cos
a + b
2
> cos(a)
… (V)
Finalmente: FFV
CLAVE: D
PROBLEMA 03:
Sabiendo que:
A)VFV B) FVF C) VVF D) FFV E) FFF
Señale verdadero (V) o falso (F), segúncorresponda en cada caso:
π
2
< a < b < π
I. tan a − tan(b) = tan a − tan(b)
II. tan
a + b
2
> tan
b − a
2
III. tan a +
π
2
> tan b +
π
2
RESOLUCIÓN:
En la circunferencia
trigonométrica: X
Y
A
π/2
π
B′
O
𝐚
𝐛
(1; tan a )
(1; tan b )
I. tan a − tan(b) = tan a − tan(b)
Pero: tan a < tan b ⇒ tan a − tan b < 0
⇒ tan a − tan(b) = tan b − tan(a)
…(F)
II. tan
a + b
2
> tan(
b − a
2
)
X
Y
A
π/2
π
B′
O
𝐚
𝐛
𝐚 + 𝐛
𝟐
𝐛 − 𝐚
𝟐
(𝟏; 𝐭𝐚𝐧(
𝐚 + 𝐛
𝟐
))
(𝟏; 𝐭𝐚𝐧(
𝐛 − 𝐚
𝟐
))
Notamos que:
tan
a + b
2
< tan
b − a
2
…(F) III. tan a +
π
2
> tan b +
π
2
X
Y
A
π/2
π
B′
O
𝐚
𝐛
𝐚 +
𝛑
𝟐
𝐛 +
𝛑
𝟐
(𝟏; 𝐭𝐚𝐧(𝐚 +
𝛑
𝟐
))
(𝟏; 𝐭𝐚𝐧(𝐛 +
𝛑
𝟐
))
Notamos que: tan a +
π
2
< tan(b +
π
2
)
… (F)
Finalmente: FFF CLAVE: E
PROBLEMA 04:
A) 2sen2(θ) B) 2cos2(θ) C) 2
D) 4 E) 6
En la circunferencia trigonométrica mostrada,
calcular: (AM)2+(B′N)2
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
N
θ
RESOLUCIÓN:
Vamos a calcular las coordenadas de los extremos de cada segmento, para
luego calcular las distancias entre ellos…veamos…
En la C.T reconocemos las coordenadas
de los extremos de cada segmento:
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
N
θ(𝐜𝐨𝐬 𝛉 ; 𝐬𝐞𝐧(𝛉))
(−𝐬𝐞𝐧 𝛉 ; 𝐜𝐨𝐬(𝛉))
(𝟏; 𝟎)
(𝟎;−𝟏)
AM 2 = 1 − cos(θ) 2 + 0 − sen(θ) 2
B′M 2 = 0 + sen(θ) 2 + −1 − cos(θ) 2
Ordenando:
AM 2 = 1 − cos(θ) 2 + sen2(θ)
B′M 2 = 1 + cos(θ) 2 + sen2(θ)
Luego: AM 2 + B′M 2 = 2 1 + cos2(θ) + 2sen2(θ)
AM 2 + B′M 2 = 2 + 2 sen2(θ) + cos2(θ)
1
OM 2= 1
Finalmente: (AM)2+(B′N)2= 4 CLAVE: D
PROBLEMA 05:
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
En la circunferencia trigonométrica mostrada se
cumple que el área de las regiones triangulares
MA’B y NB’A están en la relación de 2 a 3.
Calcule: sen(θ)
1 + cos(θ) X
Y
A
B
A′
B′
O
M
N
θ
RESOLUCIÓN:
Vamos a calcular las coordenadas de los vértices de cada triángulo para
calcular sus áreas y luego utilizar la condición…veamos…
En la C.T reconocemos las coordenadas:
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
N
θ
(𝐜𝐨𝐬 𝛉 ; 𝐬𝐞𝐧(𝛉))
(−𝐬𝐞𝐧 𝛉 ; 𝐜𝐨𝐬(𝛉))
(𝟎; 𝟏)
(−𝟏; 𝟎)
(𝟎;−𝟏)
(𝟏; 𝟎)
i) Calculamos el área de la región MA’B:
𝟎 𝟏
𝐜𝐨𝐬(𝛉) 𝐬𝐞𝐧(𝛉)
−𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
𝟏 𝟎
−𝐬𝐞𝐧(𝛉) 𝐜𝐨𝐬(𝛉)
𝟎 −𝟏
𝟏 𝟎
𝟎
𝟎
−𝟏
𝐜𝐨𝐬(𝛉)
−𝐬𝐞𝐧(𝛉)
𝟎
−𝟏𝐜𝐨𝐬(𝛉) − 𝐬𝐞𝐧(𝛉)
⇒ SMA′B=
−1− cos θ + sen(θ)
2
ii) Calculamos el área de la región NB’A:
𝐜𝐨𝐬(𝛉)
𝐬𝐞𝐧(𝛉)
𝟎
𝟎
𝟎
−𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝛉 + 𝐬𝐞𝐧(𝛉)−𝟏
⇒ SNB′A=
cos θ + sen θ + 1
2
iii) En la condición:
SMA′B
SNB′A
=
2
3
⇒ 3
−1 − cos θ + sen(θ)
2
= 2
cos θ + sen θ + 1
2
Operando: −3 − 3 cos θ + 3sen θ = 2 cos θ + 2sen θ + 2
sen θ = 5 + 5 cos θ ⇒ sen θ = 5(1 + cos θ )
⇒
sen(θ)
1 + cos(θ)
= 5
Finalmente
:
sen(θ)
1 + cos(θ)
= 5 CLAVE: D
Con las áreas calculadas: SMA′B =
−1− cos θ + sen(θ)
2
SNB′A =
cos θ + sen θ + 1
2
PROBLEMA 06:
A) 2cot(θ) B) 2tan(θ)
C) cot(
θ
2
) D) tan
θ
2
E) csc
θ
2
En la circunferencia trigonométrica
mostrada exprese el área de la
región sombreada en términos de θ.
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
Q
θ
T
P
RESOLUCIÓN:
El área pedida se calcularía así:
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
Q
θ
T
P
SAA′Q =
AA′ (QH)
2
…(1)
H
Note que: PM = sen θ ; AT = tan(θ)
sen θ
tan θ
En el trapecio MPAT:
1
(QH)
=
1
(PM)
+
1
(AT)
1
QH
=
1
sen(θ)
+
1
tan(θ)
= csc θ + cot(θ)
1
QH
= cot
θ
2
⇒ QH = tan
θ
2
En (1): SAA′Q =
2 tan
θ
2
2
Finalmente
:
SAA′Q = tan
θ
2
CLAVE: D
PROBLEMA 07:
Determine la variación de la expresión k definida por:
𝐴) ℛ − −2; 3 B) ℛ − −1; 2 C) ℛ − −1; 3
D) ℛ − −1; 4 E) ℛ − −2; 4
k = 3 tan θ + 2; θ ∈
π
6
;
2π
3
−
π
2
RESOLUCIÓN:
En la circunferencia trigonométrica:
X
Y
A
A′
B′
O
π/6
2π/3
π/2
(𝟏; 𝟑/𝟑)
(𝟏;− 𝟑)
tan θ ≤ − 3 v tan(θ) ≥
3
3
⇒ 3tan θ + 2 ≤ −1 v 3 tan θ + 2 ≥ 3
k k
Finalmente: k ∈ ൻ−∞; ሿ−1 ∪ ሾ3; ۧ+∞ CLAVE: C
PROBLEMA 08:
Sabiendo que:
A) −1; 3 B) −2; 3 C) −2; 4 D) −1; 4 E) −2; 5
Determine la variación de la expresión k dada
por:
2sen β − 2tan2 θ = 1; θ ≠
2k + 1 π
2
, k ∈ ℤ
k = 2 3 cos β + 1
RESOLUCIÓN:
De la condición: 2sen β = 1 + 2tan2(θ)
Pero: tan2 θ ≥ 0 ⇒ 1 + 2tan2(θ) ≥ 1
⇒ 2sen(β) ≥ 1 ⇒ sen(β) ≥
1
2
En la C.T:
X
Y
A
B
A′
B′
O
π/6
1/2
⇒ 1 ≥ sen(β) ≥
1
2
5π/6
π
6
≤ β ≤
5π
6
1/2
3/2− 3/2
0
⇒ −
3
2
≤ cos(β) ≤
3
2
⇒ −2 ≤ 2 3 cos β + 1 ≤ 4 Finalmente
:
k ∈ −2; 4 CLAVE: C
PROBLEMA 09:
Determine la variación de la expresión k definida por:
A) − 2/3 B) − 1/3 C) 1/3 D) 2/3 E) 1
Dar como respuesta la diferencia de su máximo y mínimo valor.
k =
cos θ cos θ + 1 + 2
cos θ cos θ + 1 + 1
RESOLUCIÓN:
En la expresión: k =
cos θ cos θ + 1 + 2
cos θ cos θ + 1 + 1
= 1 +
1
cos θ cos θ + 1 + 1
k = 1 +
1
cos2 θ + cos(θ) + 1
= 1 +
1
cos2 θ + cos θ +
1
4
+
3
4
cos θ +
1
2
2
Tendríamos entonces: k = 1 +
1
cos θ +
1
2
2
+
3
4
Partimos de:
−1 ≤ cos(θ) ≤ 1 ⇒ −
1
2
≤ cos θ +
1
2
≤
3
2
⇒ 0 ≤ cos θ +
1
2
2
≤
9
4
⇒
3
4
≤ cos θ +
1
2
2
+
3
4
≤ 3 ⇒
4
3
≥
1
cos θ +
1
2
2
+
3
4
≥
1
3
⇒
7
3
≥ 1 +
1
cos θ +
1
2
2
+
3
4
≥
4
3
k
⇒
7
3
≥ k ≥
4
3
kmáximo = 7/3
kmínimo = 4/3
Finalmente
:
kmáximo − kmínimo = 1 CLAVE: E
PROBLEMA 10:
En la circunferencia trigonométrica
mostrada exprese el área de la
región sombreada en términos de θ.
X
Y
A
B
A′
B′
O
θ
M
P
A)
1 + sen θ + cos(θ)
2
B)
1 + sen θ − cos(θ)
2
C)
1 − sen θ + cos(θ)
2
D) 1 + sen θ − cos(θ)
E) 1 − sen θ + cos(θ)
RESOLUCIÓN:
El área pedida se calcularía así:
X
Y
A
B
A′
B′
O
θ
M
P
H
SAA′P =
AA′ (PH)
2
… (1)
(𝐜𝐨𝐬 𝛉 ; 𝐬𝐞𝐧(𝛉))
(𝟏; 𝟎)
(𝟎; 𝟏)
(𝐚; 𝐛)
Note que: mAB =
b − 0
a − 1
= −1
45°
⇒ b = −a + 1
⇒ a + b = 1… (2)
mMP =
b − sen(θ)
a − cos(θ)
= 1
⇒ b− sen θ = a − cos(θ)
⇒ a − b = cos θ − sen θ …(3)
(2) – (3): 2b = 1 − cos θ + sen θ
En (1): SAA′P =
(2)(b)
2
= b Finalmente: SAA′P =
1 + sen θ − cos(θ)
2
CLAVE: B
PROBLEMA 01:
Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en cada caso:
A) FVV B) VFF C) VVF D) VFV E) FFV
III. Si π < a < b <
3π
2
⇒ tan a +
π
2
> tan b +
π
2
I. Si
π
2
< a < b < π ⇒ sen
a + b
2
< sen(a)
II. Si − π < a < b < −
π
2
⇒ cos a < cos b
PROBLEMA 02:
Simplifica
:
A) − 2cos(4) B) − 2cos(5) C) 0 D) 2cos(4) E) 2cos(5)
cos2 5 + cos2 4 + 2cos 5 cos(4) + cos(5) + cos(4)
PROBLEMA 03:
A) − 0,3 B) − 0,2 C) − 0,1
D) 0,1 E) 0,2
En la circunferencia trigonométrica
mostrada, S1 y S2 son las áreas de las
regiones AMB y MA’B’ respectivamente,
cumpliendo que: 2S1 = 3S2; calcular:
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
θ
S1
S2
sen θ + cos(θ)
PROBLEMA 04:
A) − tan(θ) B) − cot(θ)
C) tan2(θ) D) cot2(θ)
E) − sen θ cos(θ)
En la circunferencia trigonométrica
mostrada se cumple que S1 y S2 son las de
las regiones triangulares BMP y B’NQ
respectivamente. Exprese S1/S2 en términos
de θ.
X
Y
A
B
A′
B′
O
M
N
θ
P
Q
S1
S2
PROBLEMA 05:
En la circunferencia trigonométrica
mostrada, calcule la suma de las
coordenadas del punto P.
A)
sen θ + cos(θ)
2
B)
sen θ − cos(θ)
2
C)
cos θ − sen(θ)
2
D) sen θ − cos(θ)
E) sen θ + cos(θ)
X
Y
A
B
A′
B′
O
θ
M
P
PROBLEMA 06:
Determine la variación de la expresión k definida por:
𝐴) − 0,25 B) 0,25 C) 0,50 D) 0,75 E) 1
k = sen(2θ +
π
3
) sen 2θ +
π
3
− 1 ; θ ∈ −
π
6
;
π
9
Dar como respuesta la diferencia del máximo y mínimo valor que
puede tomar.
PROBLEMA 07:
Determine la variación de la expresión T definida por:
𝐴) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
T =
5 + 2tan2 θ − 4tan(θ)
5 + 3tan2 θ − 6tan(θ)
; θ ≠
2k + 1 π
2
, k ∈ ℤ
Dar como respuesta la cantidad de valores enteros que puede tomar T.